(完整word版)小學(xué)奧數(shù)-容斥原理(教師版)

1、容斥原理知識梳理）森林中住著很多動物，據(jù)說獅子大王派仙鶴去統(tǒng)計鳥類的種數(shù)，蝙蝠跑過去對仙鶴說；“我有翅膀，我應(yīng)該是屬于鳥類的。”于是仙鶴就把蝙蝠統(tǒng)計到鳥類的種類里去了，結(jié)果得出森林中一共有 80種鳥類。獅子大王又派大象去統(tǒng)計野獸的種類數(shù)，蝙蝠聽說又來統(tǒng)計獸類了，急忙跑過去對大象 說；“我沒有羽毛，我應(yīng)該是屬于獸類的。”于是大象就把蝙蝠統(tǒng)計到獸類的種類里去了，結(jié)果統(tǒng)計出森林中一共有60種獸類。最后獅子大王問：“森林中共有鳥類和獸類多少種？”狡猾的狐貍聽見 了仙鶴和大象的統(tǒng)計結(jié)果，高興地向獅子大王匯報：“這還不簡單！森林中共有鳥類和獸類 140種?！?這個統(tǒng)計正確嗎？同學(xué)們肯定會說：“不對！蝙蝠被

2、算了兩次，應(yīng)該再減去一，是 139種?！边@個故事說明了一個 數(shù)學(xué)問題，那就是被稱為“容斥原理”的包含與排除問題。當(dāng)需要計數(shù)的兩類事物互相包含（有部 分重復(fù)交叉）時，應(yīng)把重復(fù)計數(shù)的部分排除掉。由此我們得到逐步排除法（容斥原理）：當(dāng)兩個計數(shù)部分有重復(fù)時，為了不重復(fù)計數(shù)，應(yīng)從它們的和中減去重復(fù)部分。容斥原理1如果被計數(shù)的事物有A、B兩類，那么，A類B類元素個數(shù)總和 =屬于A類元素個數(shù)+屬于B類元素個數(shù)一既是A類又是B類的元素個數(shù)。即 AU B = A+B - A A B容斥原理2如果被計數(shù)的事物有 A、B、C三類，那么， A類和B類和C類元素個數(shù)總和 =A類元素個 數(shù)+ B類元素個數(shù)+C類元素個數(shù)一

3、既是 A類又是B類的元素個數(shù)一既是 A類又是C類的元素 個數(shù)一既是 B類又是C類的元素個數(shù) +既是A類又是B類而且是 C類的元素個數(shù)。即 AU BU C = A+B+C - A AB - B AC - C PA + A ABAC 玷特色講解）容斥原理1【例1】一次期末考試，某班有15人數(shù)學(xué)得滿分，有 12人語文得滿分，并且有 4人語、數(shù)都是滿分，那么這個班至少有一門得滿分的同學(xué)有多少人？【解析】依題意，被計數(shù)的事物有語、數(shù)得滿分兩類，“數(shù)學(xué)得滿分”稱為“A類元素”，“語文得滿分”稱為“B類元素”，“語、數(shù)都是滿分”稱為“既是 A類又是B類的元素”，“至少有一門得滿分的同學(xué)”稱為“A 類和B類元

4、素個數(shù)”的總和。15+12-4=23【小試牛刀】電視臺向100人調(diào)查前一天收看電視的情況，有62人看過2頻道，34人看過8頻道，其中11人兩個頻道都看過。兩個頻道都沒看過的有多少人？【解析】100-(62+34-11)=15例2 一個班有學(xué)生48人，每人至少參加跑步、跳高兩項比賽中的一項。已知參加跑步的有37人，參加跳高的有 40人，請問：這兩項比賽都參加的學(xué)生有多少人？【解析】兩項比賽都參加的學(xué)生人數(shù)，就是參加跑步人數(shù)、參加跳高人數(shù)重復(fù)的部分，排除掉重復(fù)部分，所得的就是全體參賽人數(shù)，也就是全班學(xué)生人數(shù)。40- (4837) =29 人?！拘≡嚺５丁课迥昙?6名學(xué)生都訂了報紙，有 64人訂了少

5、年報，有 48人訂了小學(xué)生報。兩種報紙都訂的有多少人？;產(chǎn)尸飛 J 1 " K(0 j旦A Q人【解析】用左邊的圓表示訂少年報的64人，右邊的圓表示訂小學(xué)報的48人，中間重疊部分表示兩種報刊都訂的人數(shù)。顯然，兩種報刊都訂的人數(shù)被統(tǒng)計了兩次：64+48=112人，比總?cè)藬?shù)多112 96=16人，這16人就是兩種報刊都訂的人數(shù)?！纠?】 實驗小學(xué)各年級都參加的一次書法比賽中，四年級與五年級共有20人獲獎，在獲獎?wù)咧杏?6人不是四年級的，有 12人不是五年級的。該校書法比賽獲獎的總?cè)藬?shù)是多少人？【解析】由“ 16人不是四年級的”可知：16人是五年級和其他年級的；由“12人不是五年級的”可知

6、：12人是四年級和其它年級的。用16+12可算出四年級加五年級以及兩個其它年級的人數(shù)和，再減去20就得兩個其他年級的人數(shù)，這樣其他年級的人數(shù)是：(16+1220) +2=4人，該校參加書法比賽獲獎的總?cè)藬?shù)是 4+20=24人。【例4】五一小學(xué)舉行小學(xué)生田徑運動會，其中24名運動員不是六年級的，28名運動員不是五年級的，已知五、六年級運動員共有32名，求五、六年級和中低年級運動員各有多少名？【解析】(24+28-32 ) + 2=10【例5】在100個外語教師中，懂英語的有75人，懂日語的有45人，其中必然有既懂英語又懂日語的老師。問：只懂英語的老師有多少人？【解析】顯然，兩種語言都懂的人在懂英

7、語的75人中統(tǒng)計過一次，在懂日語的45人中又統(tǒng)計過一次。因此，75+45=120人，比100多出的20人就是兩種語言都懂的人數(shù)。然后，從懂英語的75人中減去兩種語言都懂的 20人，就是只懂英語的人數(shù)了：75 20=55人。【小試牛刀】40人都在做加試的兩道題，并且至少做對了其中的一題。已知做對第一題的有 30人，做對第二題的有21人。只做對第一題的有多少人？【解析】19人【例6】在1至1000這1000個自然數(shù)中，能被 5或11整除的自然數(shù)一共有多少個？【解析】如下圖，小圓表示能被 11整除的自然數(shù)，大圓表示能被5整除的自然數(shù)。如果把大圓內(nèi)的200個自然數(shù)和小圓內(nèi) 90個自然數(shù)相加，陰影部分的

8、自然數(shù)事實上被加了兩次。因此要想求出：能被5或11整除的自然數(shù)的個數(shù)就應(yīng)該：能被5整除的自然數(shù)的個數(shù)+能被11整除的自然數(shù)的個數(shù)一既能被5整除又能被11整除的自然數(shù)的個數(shù)=能被5或11整除的自然數(shù)的個數(shù)。【解析】 能被5整除的自然數(shù)有多少個？1000 + 5=200有 200 個。能被11整除的自然數(shù)有多少個？1000 + 11=9010 有 90 個。既能被5整除又能被11整除的自然數(shù)有多少個？1000+55=1810 有 18 個。所以能被5或11整除的自然數(shù)的個數(shù)是：200+90-18=272個。【小試牛刀】60名同學(xué)面向老師站成一橫排。老師先讓同學(xué)們從左到右按照1、2、3、4、59、6

9、0的順序依次報數(shù)，再讓報數(shù)是 4的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，接著又讓報數(shù)是6的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)。請問：現(xiàn)在面向老師的學(xué)生還有多少名？【解析】 從1到60中，4的倍數(shù)一共有：60+4=15個，6的倍數(shù)一共有：60 + 6=10個，既是4的倍 數(shù)又是6的倍數(shù)有：60+12=5個。一次都不轉(zhuǎn)的學(xué)生是：60- ( 15+10 5) =40個，轉(zhuǎn)兩次的學(xué)生有5個，所以面向老師的學(xué)生還有 40+5=45個。【例7】有一根長是240厘米的繩子，從一端開始每隔4厘米作一個記號，同時每隔6厘米也作一個記號，然后將標(biāo)有記號的地方剪斷，請問：繩子一共被剪成了多少段？【解析】240厘米長的繩子每隔 4厘米作一個記號，這樣一共

10、有：240 + 41=59個記號；每隔6厘米作一個記號，這樣一共有：240 + 61=39個記號。而兩者每隔 12厘米重復(fù)一個記號，這樣一共重復(fù)了： 240+ 12 1=19個記號。因此繩子上共有記號數(shù)是：59+39 19=79,所以繩子一共被剪成了 79+1=80 段。容斥原理2【例8 某校有28名學(xué)生參加市運動會，參加跑步類項目的有15人，參加跳類項目的有13人，參加投擲類項目的有14人，既參加跑又參加跳項目的有4人，既參加跑又參加投擲項目的有6人，既參加跳又參加投擲項目的有5人，三種項目都參加的有 2人，試說明，這個報名表有誤。【解析】按照贊加各個項目的詳細(xì)人數(shù)，該校參加市運動會的人數(shù)為

11、15+13+14-4-6-5+2=29 人，與實際參加人數(shù)不符，所以這個報名表有誤?！拘≡嚺５丁磕承Ａ?）班有學(xué)生 45人，每人在暑假里都參加體育訓(xùn)練隊，其中參加足球隊的有25人，參加排球隊的有22人，參加游泳隊的有 24人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有9人，排球、游泳都參加的有8人，問：三項都參加的有多少人?【解析】參加足球隊的人數(shù)25人為A類元素，參加排球隊人數(shù)22人為B類元素，參加游泳隊的人數(shù)24人為C類元素，既是 A類又是B類的為足球排球都參加的12人，既是 B類又C類的為足球游泳都參加的9人，既是 C類又是A類的為排球游泳都參加的8人，三項都參加的是A類B類C類

12、的總和設(shè)為 X。注意：這個題說的每人都參加了體育訓(xùn)練隊，所以這個班的總?cè)藬?shù)既為 A類B類和C類的總和。25+22+24-12-9-8+X=45 解得 X=3【例9 從1至1000這1000個自然數(shù)中，不能被 3、5、7中任何一個自然數(shù)整除的數(shù)一共有多少個?【解析】能被3整除的自然數(shù)有多少個?1000 + 3=3331有333個。能被5整除的自然數(shù)有多少個?1000 + 5=200有200個。能被7整除的自然數(shù)有多少個?1000 + 7=1426有142個。既能被3整除又能被5整除的自然數(shù)有多少個?1000+ 15=6610有66個。既能被3整除又能被7整除的自然數(shù)有多少個?1000 + 21=

13、4713有47個。既能被5整除又能被7整除的自然數(shù)有多少個?1000 + 35=2820有28個。能同時被3、5、7整除的自然數(shù)的個數(shù)有多少個?1000 + ( 3X 5X 7) =955有9個。能被3、5、7中任何一個自然數(shù)整除的數(shù)一共有:333+200+142- ( 66+47+28) +9=457 個。所以不能被3、5、7中任何一個自然數(shù)整除的數(shù)一共有：1000- 543=457【小試牛刀】分母是 1001的最簡分?jǐn)?shù)一共有多少個?【解析】這一題實際上就是找分子中不能與1001進行約分的數(shù)。由于 1001=7X 11X13,所以就是找不能被7, 11, 13整除的數(shù)。由容斥原理知：在110

14、01中，能被7或11或13整除的數(shù)有（143+91+7）-（13+11+7）+1=281（ 個）,從而不能被 7、11或13整除的數(shù)有 1001-281=720（個）.也就是說，分母為1001的最簡分?jǐn)?shù)有720 個.【例10】如下圖，在長方形 ABCD, AD=15厘米，AB=8厘米，四邊形 OEFG勺面積是9平方厘 米。請問：陰影部分的面積是多少平方厘米？【解析】三角形ABD三角形AFQ三角形ACDO可以AD為底，AB為高，故它們的面積都等于 ADXAB+ 2=15X8+2=60 （平方厘米）。陰影部分面積=（三角形ABD面積+三角形ACD面積）（三角形AFD面積-四邊形DEFGS積）=(6

15、0+60) - (60-9) =69 (平方厘米)?！拘≡嚺５丁咳鐖D所示，A、B、C分別是面積為12、28、16的三張不同形狀的紙片，它們重疊在一起，露在外面的總面積為 38 .若A與B、B與C的公共部分的面積分別為 8、7, A、B、C這三張紙片的公共部分為 3.求A與C公共部分的面積是多少？【解析】設(shè) A與C公共部分的面積為x,由包含與排除原理可得： 先“包含"：把圖形A、B、C的面積相加：12 28 16 56 ,那么每兩個圖形的公共部分的面積都重復(fù)計算了 1次，因此要排除掉.再“排除” ：56 8 7 x,這樣一來，三個圖形的公共部分被全部減掉，因此還要再補回.再“包含” ：

16、56 8 7 x 3,這就是三張紙片覆蓋的面積.根據(jù)上面的分析得：56 8 7 x 3 38,解得：x 6 .【例11】某校五年級有120名學(xué)生，訂故事大王的有85人，訂兒童漫畫的有 90人,62人，同時訂兒童漫訂優(yōu)秀作文選的有 70人，同時訂故事大王和優(yōu)秀作文選的有畫和優(yōu)秀作文選的有46人，同時訂這三種雜志的有21人，此外，還有 5名學(xué)生沒有訂任何雜志，問：恰好只訂了故事大王和兒童漫畫的有多少人？【解析】 設(shè)同時訂故事大王和 兒童漫畫的有X人，有120-85-90-70+62+46+X-21=5 , X=43,所以恰好只訂故事大王和兒童漫畫的有43-21=22人。容斥原理中的最值問題【例12

17、】在陽光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人給100盆花澆水，已知甲澆了 30盆，乙澆了 75盆，丙澆了 80盆，丁澆了 90盆，請問恰好被 3個人澆過的花最少有多少盆？【解析】為了恰好被 3個人澆過的花盆數(shù)量最少，那么被四個人澆過的花、兩個人澆過的花和一個人澆過的花數(shù)量都要盡量多，那么應(yīng)該可以知道被四個人澆過的花數(shù)量最多是30盆，那么接下來就變成乙澆了 45盆，丙澆了 50盆，丁澆60盆了，這時共有100 30 70盆花，我們要讓這70盆中恰 好被3個人澆過的花最少，這就是簡單的容斥原理了，恰好被3個人澆過的花最少有45 50 60 140 15 盆.【小試牛刀】甲、乙、丙同時給 100盆花澆

18、水.已知甲澆了 78盆，乙澆了 68盆，丙澆了 58盆，那 么3人都澆過的花最少有多少盆 ？【解析】只考慮甲乙兩人情況，有甲、乙都澆過的最少為：78+68-100=46盆，此時甲單獨澆過的為78-46=32盆，乙單獨澆過的為 68-46=22盆；欲使甲、乙、丙三人都澆過的花最少時，應(yīng)將丙澆過的花盡量分散在兩端.于是三者都澆過花最少為58-32-22=4盆.【小試牛刀】例題中恰好被1個人澆過的花最多有多少盆？【解析】100盆花共被澆水275次，平均每盆被澆2.75次，為了讓被澆1次的花多，我們也需要被澆4次的花盡量多，為 30盆，那么余下70盆共被澆155次，平均每盆被澆 2.21次，說明需要一

19、些花被澆3次才可以.我們假設(shè) 70盆都被澆3次，那么多出55次，每盆花少澆 2次變?yōu)楸粷?次最多可以變27次，所以本題答案為 27盆.砧家庭作業(yè)）1 .某校教師至少懂得英語和日語中的一種語言。已知有 35人懂英語，34人懂日語，兩種語言都懂的有21人。這個學(xué)校共有多少名教師？【解析】 把懂英語和懂日語白人數(shù)加起來得35+34=69人，但是，兩種語言都懂的21人被統(tǒng)計過兩次，應(yīng)該從69里去掉一個21才能得出這個地區(qū)外語教師的總?cè)藬?shù)：6921=48人。2 .在邊長是10厘米的正方形紙片中間挖掉一個小正方形后，成為一個寬度為1厘米的方框，把5個這樣的方框放在桌面上 （如下圖）。請你算一算：桌面被這些

20、方框所蓋住的面積是多少平方厘米?【解析】（ 102-8 2） X 5-1 2 X 8=172 （平方厘米）3 .張宏、王剛、李立三人練習(xí)投籃球，一共投了100次，有43次沒投進，已知張宏和王剛一共投進了 32次，王剛和李立一共投進了46次，王剛投進了多少次？【解析】 三人投的總次數(shù)減去沒投進的次數(shù)，就是三人共投進100-43=57次。張宏和王剛、王剛和李立共投進的次數(shù)為 32+46=78次，這是三人共投進的次數(shù)，在加上王剛投進的次數(shù)，從中減去共投 進的次數(shù)，就是王剛投進的次數(shù)，列式為 78-57=21次，所以王剛投進了 21次。4 .育新小學(xué)舉行各年級學(xué)生畫展，其中有18幅畫不是六年級的，20

21、幅畫不是五年級的。現(xiàn)在知道五、六年級共展出 22幅畫，請問：其他年級共展出多少幅畫？【解析】其中18幅不是六年級的，換句話說，一至五年級共展出18幅，20幅不是五年級的，換句話說，就是一、二、三、四、六年級共展出20幅，從中可以看出一、二、三、四年級總張數(shù)的2倍加上五、六年級張數(shù)的和，一共是 18+20=38幅，又因為五、六年級共展出 22幅畫，因此一至四年 級張數(shù)和的2倍是38-22=16張。從而可以求出一至四年級共展出16 + 2=8張。5 .五（4）班的同學(xué)中有32人喜歡音樂，27人喜歡美術(shù)，音樂和美術(shù)都喜歡的有11人，請問：五（4）班的學(xué)生中喜歡音樂或美術(shù)的一共有多少人？【解析】 通過

22、你自己畫圖，觀察圖可以看出：32+27 11=48人，就表示五（4）班的學(xué)生中喜歡音樂或美術(shù)的一共的人數(shù)。答：五（4）班的學(xué)生中喜歡音樂或美術(shù)的一共有48人。6 .某一個班共有學(xué)生 50人，參加文藝活動的有 28人，參加體育活動的有 30人，并且全班每人至 少參加一項活動（僅限文藝活動或體育活動），請問：這個班這兩項活動都參加的有多少人？【解析】30+28=58人表示全班的總?cè)藬?shù) 50人和公共部分重復(fù)統(tǒng)計了一次的總數(shù)量，58 50=8人，這里的8個人就是這個班這兩項活動都參加的人數(shù)。7 .分母是385的最簡真分?jǐn)?shù)有多少個？【解析】385=5X 7X 11,不超過385的正整數(shù)中被5整除的數(shù)有7

23、7個；被7整除的數(shù)有55個；被 11整除的數(shù)有35個；被77整除的數(shù)有5個；被35整除的數(shù)有11個；被55整除的數(shù)有7個；被 385整除的數(shù)有1個；最簡真分?jǐn)?shù)的分子可以有 385-77-55-35+5+11+7-1=240 個。8 .一次數(shù)學(xué)小測驗只有兩道題，結(jié)果全班有10人全對，第一題有25人做對，第二題有18人做錯。請問：兩道題都做錯的有幾個人？【解析】 我們用A圓表示第一題全對的，B圓表示第二題全對的，兩圓公共部分表示兩題全對的，長方形表示參加考試人數(shù)，長方形內(nèi)兩個圓外表示兩道題全錯的人數(shù)。因為第一題對的有25人，兩道題全對的有10人，因此第一題對第二題錯的有 15人。又因為第二題18人

24、做錯，18人比15人多 3人，因此這三人只能是第一題錯，第二題也錯，即兩道題都錯的有3人。9 .在1到2004的所有自然數(shù)中，既不是2的倍數(shù)，也不是 3、5的倍數(shù)的數(shù)有多少個？【解析】1至U 2004中是2的倍數(shù)的有1002個，3的倍數(shù)的有668個，5的倍數(shù)的有2004/5=400 個，6的倍數(shù)的有 334個，10的倍數(shù)的有2004/10=200 個，15的倍數(shù)的有2004/15=133 個，30的倍數(shù)的有2004/30=66 個。所以不是 2、3、5 的倍數(shù)有 2004-1002-668-400+334+200+133-66=535 個.（“”表示對內(nèi)的數(shù)取整.）10 .有50個女孩，她們的皮膚有白的或淺黑色的，眼睛則是藍色的或褐色的，如果有14個藍眼睛白膚色，31個是淺黑膚色，18個是褐色眼睛，請問：褐色眼睛淺黑膚色的女孩有多少個？【解析】建議同學(xué)們畫一個 “統(tǒng)計表”，因為褐色眼睛女孩是 18人，所以藍色眼睛女孩是：50-18=32 人。又因為藍眼睛白膚色女孩是14人，所以藍眼睛淺黑膚色女孩是32-14=18人。又因為淺黑膚色女孩是31人，所以褐色眼睛淺黑膚色女孩有31-18=13人。11 . 一個長方形長12厘米，寬8厘米，另一個長方形長 10厘米，寬6厘米，它們中間重疊的部分是一個邊長4厘米的正方形