傅里葉描述子

1、 傅里葉描述子傅里葉描述子 報告人：張衡報告人：張衡引言引言對圖像目標的識別首先需要抽取目標的特征然后用適當?shù)臄?shù)學表示對目標進行描述。對目標特征提取的算子稱為目標檢測子，對目標描述的算子稱為描述子。下面將重點闡述傅里葉描述子：傅里葉描述子簡介傅里葉描述子簡介圖像的目標區(qū)域的邊界是一條封閉的曲線，因此相對于邊界上某一固定的起始點來說，沿邊界曲線上的一個動點的坐標變化則是一個周期函數(shù)。通過規(guī)范化之后，這個周期函數(shù)可以展開成傅里葉級數(shù)而傅里葉級數(shù)中的一系列系數(shù)是直接與邊界曲線的形狀有關的，可作為形狀的描述，稱為傅里葉描繪子目標區(qū)域邊界的象素點可以用以弧長為函數(shù)的曲線切線角來表示，也可以用復變函數(shù)來表

2、示。傅里葉描述子定義傅里葉描述子定義假設C是復平面上的封閉曲線（邊界）。以逆時針方向沿著這個曲線保持恒定的速度移動，得到一個復函數(shù)z(t),這里t是時間變量。速度應該選擇為使得環(huán)繞邊界一周的時間為 ;然后沿曲線做多次里邊得到一個周期為2的周期函數(shù)。這就允許了z(t)的傅里葉表示：其中級數(shù) 稱為曲線C的傅里葉描述子2int( )nnz tT enT傅里葉描述子概念傅里葉描述子概念考慮到曲線距離s對照于時間會更有用，因此做如下變換:其中L是曲線長度。傅里葉描述子 則表示如下：對傅里葉描述子 進行傅里葉反變換可重構(gòu)會原輪廓曲線傅里葉描述子反映原曲線的形狀特征2/ts LnT(2 / )01( )Li

3、L nsnTz s edsLnT曲線的參數(shù)方程曲線的參數(shù)方程令C表示區(qū)域R的邊界，通常是一條簡單的封閉曲線。s表示從C上的起始點 到沿曲線C反時針方向上某一動點 之間的弧長。 表示輪廓曲線C的周長。動點b的坐標 既是x、y的函數(shù)又是弧長s的函數(shù)。曲線的參數(shù)方程可用復數(shù)形式表示為：它是一個周期函數(shù)，即：0bbL( ( ), ( )b x s y s( )( )( )U sx sjy s()( ),0U sLU ssL曲線的參數(shù)方程曲線的參數(shù)方程對于方程 ，令 ，則方程可以表示為：式中的 是一個以2為周期的周期函數(shù)，其傅里葉展開式為：( )Us2/ts L( )( )( ),02U tx tjy

4、tt ( )U t20 , )()(10tepeppeptUnntjnjntnnjntn曲線的參數(shù)方程曲線的參數(shù)方程曲線的傅里葉級數(shù)為：描述子受曲線形狀及曲線初始點的影響。.2, 1, 0,)(2120ndtetUpjntn通過邊界鏈碼計算通過邊界鏈碼計算傅里葉傅里葉系數(shù)系數(shù)在數(shù)字圖像中，區(qū)域的邊界輪廓線往往用邊界的方向鏈碼 來表示，此鏈是沿曲線C的反時針方向而構(gòu)成的。將 區(qū)域劃分為由傅里葉級數(shù)為：上式中， 對應于起始點，因此 項是與坐標有關的Mccc,212 , 0MmLStmm, 2 , 1 , 0,2; 0,)()(2112100nttUtUUpmMmmm0,)()(2111ntUtUe

5、jnpMmmmjntnm000jyxU0p通過邊界鏈碼計算通過邊界鏈碼計算傅里葉傅里葉系數(shù)系數(shù)為了建立鏈碼與傅里葉系數(shù)的關系，設：周長L：參變量：Mkccakkk, 2 , 12, 1為奇數(shù)若，為偶數(shù)若MkkaS1MmaaSStMkkmkkmm.3 , 2 , 1,/ )2(211通過邊界鏈碼計算通過邊界鏈碼計算傅里葉傅里葉系數(shù)系數(shù)現(xiàn)將周長L和參變量的公式代入式傅里葉系數(shù)的公式后分別得到MmaajcmMkkmkkmeaUp2400111, 2, 1211)24(111neanjpMmaancjmnMkkmkkm通過邊界鏈碼計算通過邊界鏈碼計算傅里葉傅里葉系數(shù)系數(shù)這時傅里葉系數(shù) 和 僅與邊界鏈碼

6、 有關，而 也完全由 所確定。因此我們可通過邊界鏈碼來計算傅里葉系數(shù)。Fourier系數(shù) 表示輪廓曲線C的形心位置。若將坐標原點移至形心，那么曲線的方程可改寫成：傅里葉系數(shù) 與輪廓曲線C的形狀有一一對應的關系。0pnpkckakc0p20 , )()(1tepeptUnjntnjntn0p通過傅里葉系數(shù)提取形狀特征通過傅里葉系數(shù)提取形狀特征圓形度：當傅里葉系數(shù) 中除 之外其它項全為零時， 表示輪廓曲線C的形狀是以 為半徑的一個圓。也就是說，當C為一個圓時，相應的圓形度特征 。當C為其他形狀時有 。不難證明 特征在平移、旋轉(zhuǎn)、尺寸、起始點等條件變化下都是一個不變量。111)(nnnpppFnp1

7、pjteptU1)(1p11F101F1F通過傅里葉系數(shù)提取形狀特征通過傅里葉系數(shù)提取形狀特征細長度令 表示形狀C的擬合橢圓，其長半軸的長度為 ，短半軸長度為 ,長短半軸長度之比可反映形狀的橢圓度(或稱細長度)。當C接近于圓時,其長短軸長度之比接近于1，因此 。當C為其它形狀時，有 。 特征同樣具有不變量的性質(zhì)111121ppppF jtjtepeptE1111 pp11 pp02F102 F2F通過傅里葉系數(shù)提取形狀特征通過傅里葉系數(shù)提取形狀特征散射度(或稱密集度)式中的L是輪廓曲線C的周長，面積A也可由傅里葉系數(shù)來表征。ALF423122)(nnnppnA通過傅里葉系數(shù)提取形狀特征通過傅里葉系數(shù)提取形狀特征因此散射度可表示為：散射度特征同樣具有不變量的性質(zhì)。 )(441222223nnnppnSASF通過傅里葉系數(shù)提取形狀特征通過傅里葉系數(shù)提取形狀特征凸凹度當曲線 為一個圓時， ；而當曲線C具有較多凹處時，則 。凸凹度也具有不變量的性質(zhì)。212122134ppppnFnnn14F14F通過傅里葉系數(shù)提取形狀特征通過傅里葉系數(shù)提取形狀特征形心偏差度對于兩條曲線 C 和 N ,分別通過博里葉級數(shù)展開獲得各自的博里葉系數(shù) 和 ，其零次項系數(shù) 和 分別表示