期權(quán)定價(jià)中蒙特卡洛模擬方法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上期權(quán)定價(jià)中的蒙特卡洛模擬方法期權(quán)作為最基礎(chǔ)的金融衍生產(chǎn)品之一，為其定價(jià)一直是金融工程的重要研究領(lǐng)域，主要使用的定價(jià)方法有偏微分方程法、鞅方法和數(shù)值方法。而數(shù)值方法又包括了二叉樹方法、有限差分法和蒙特卡洛模擬方法。蒙特卡洛方法的理論基礎(chǔ)是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，其實(shí)質(zhì)是通過模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格路徑預(yù)測(cè)期權(quán)的平均回報(bào)并得到期權(quán)價(jià)格估計(jì)值。蒙特卡洛方法的最大優(yōu)勢(shì)是誤差收斂率不依賴于問題的維數(shù)，從而非常適宜為高維期權(quán)定價(jià)。1. 預(yù)備知識(shí)兩個(gè)重要的定理：柯爾莫哥洛夫(Kolmogorov)強(qiáng)大數(shù)定律和萊維一林德貝格(Levy-Lindeberg)中心極限定理。大數(shù)定律是概率論中用以說明大

2、量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果穩(wěn)定性的一系列極限定律。在蒙特卡洛方法中用到的是隨機(jī)變量序列同分布的Kolmogorov強(qiáng)大數(shù)定律：設(shè)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，若則有顯然，若是由同一總體中得到的抽樣，那么由此大數(shù)定律可知樣本均值當(dāng)n很大時(shí)以概率1收斂于總體均值。中心極限定理是研究隨機(jī)變量之和的極限分布在何種情形下是正態(tài)的，并由此應(yīng)用正態(tài)分布的良好性質(zhì)解決實(shí)際問題。設(shè)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，若則有其等價(jià)形式為。Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型模型的假設(shè)條件：1、標(biāo)的證券的價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)其中，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格是時(shí)間的函數(shù)，為標(biāo)的資產(chǎn)的瞬時(shí)期望收益率，為標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)率，是維納過程。2、證券允許賣

3、空、證券交易連續(xù)和證券高度可分。3、不考慮交易費(fèi)用或稅收等交易成本。4、在衍生證券的存續(xù)期內(nèi)不支付紅利。5、市場(chǎng)上不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的套利機(jī)會(huì)。6、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為一個(gè)固定的常數(shù)。下面，通過構(gòu)造標(biāo)的資產(chǎn)與期權(quán)的資產(chǎn)組合并根據(jù)無(wú)套利定價(jià)原理建立期權(quán)定價(jià)模型。首先，為了得到期權(quán)的微分形式，先介紹隨機(jī)微積分中的最重要的伊藤公式。伊藤Ito公式：設(shè)，是二元可微函數(shù)，若隨機(jī)過程滿足如下的隨機(jī)微分方程則有根據(jù)伊藤公式，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律服從假設(shè)條件中的幾何布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)，期權(quán)的價(jià)值的微分形式為現(xiàn)在構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合，即有，經(jīng)整理后得到這個(gè)表達(dá)式就是表示期權(quán)價(jià)格變化的Black-Scholes偏微分方程。它同時(shí)適合歐式

4、看漲期權(quán)、歐式看跌期權(quán)、美式看漲期權(quán)和美式看跌期權(quán)，只是它們的終值條件和邊界條件不同，其價(jià)值也不相同。歐式看漲期權(quán)的終邊值條件分別為，通過求解帶有終邊值條件的偏微分方程，得出歐式看漲期權(quán)的的解析解：其中，為期權(quán)的執(zhí)行日期，為期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格。歐式看跌期權(quán)的終邊值條件分別為，此外，美式看漲期權(quán)的終值條件為，美式看跌期權(quán)的終值條件為。然而，美式期權(quán)的價(jià)值沒有解析解，我們一般可通過數(shù)值方法（蒙特卡洛模擬、有限差分法等）求得其近似解。風(fēng)險(xiǎn)中性期權(quán)定價(jià)模型如果期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)即標(biāo)的資產(chǎn)的瞬時(shí)期望收益率取為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。同理，根據(jù)伊藤公式可以得到對(duì)數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)：設(shè)，則的密度函數(shù)為

5、根據(jù)上述公式，得到標(biāo)的資產(chǎn)的密度函數(shù)如下在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度下，歐式看漲期權(quán)定價(jià)為：接下來(lái)，求解以上風(fēng)險(xiǎn)中性期望。首先，對(duì)上式的右邊第一個(gè)廣義積分分別作變量替換和，可以得到再對(duì)等式的右邊的第二個(gè)無(wú)窮積分，令，可求得將以上的計(jì)算結(jié)果代入期望等式中，得到歐式看漲期權(quán)的價(jià)格公式為：其中，。可以看出，對(duì)于歐式看漲期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法的結(jié)果與基于資產(chǎn)復(fù)制的偏微分方程定價(jià)方法的結(jié)果是一致的?；陲L(fēng)險(xiǎn)中性的期權(quán)定價(jià)原理在于：任何資產(chǎn)在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度下，對(duì)于持有者來(lái)說都是風(fēng)險(xiǎn)偏好中性的，便可用風(fēng)險(xiǎn)中性概率求取期權(quán)的期望回報(bào)再將其進(jìn)行無(wú)風(fēng)險(xiǎn)折現(xiàn)便是初始時(shí)刻的期權(quán)價(jià)值。蒙特卡洛模擬方法就是一種基于風(fēng)險(xiǎn)中性原理的

6、期權(quán)數(shù)值定價(jià)方法。2. 蒙特卡洛模擬方法及其效率假設(shè)所求量是隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，那么近似確定的蒙特卡洛方法是對(duì)進(jìn)行n次重復(fù)抽樣，產(chǎn)生獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，并計(jì)算樣本均值。那么根據(jù)Kolmogorov強(qiáng)大數(shù)定律有。因此，當(dāng)n充分大時(shí)，可用作為所求量的估計(jì)值。由中心極限定理可得到估計(jì)的誤差。設(shè)隨機(jī)變量的方差，對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位數(shù)，有這表明，置信水平對(duì)應(yīng)的漸近置信區(qū)間是。實(shí)際上，由此可確定蒙特卡洛方法的概率化誤差邊界，其誤差為，誤差收斂速度是。不難看出，蒙特卡洛方法的誤差是由和決定的。在對(duì)同一個(gè)進(jìn)行抽樣的前提下，若想將精度提高一位數(shù)字，要么固定，將n增大100倍；要么固定n將減小10倍。若

7、兩個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，那么無(wú)論從或中抽樣均可得到的蒙特卡洛估計(jì)值。比較其誤差，設(shè)獲得的一個(gè)抽樣所需的機(jī)時(shí)為，那么在時(shí)間T內(nèi)生成的抽樣數(shù)，若使，則需使。因而，若要提高蒙特卡羅方法的效率，不能單純考慮增加模擬的次數(shù)n或是減小方差，應(yīng)當(dāng)在減小方差的同時(shí)兼顧抽取一個(gè)樣本所耗費(fèi)的機(jī)時(shí)，使方差與機(jī)時(shí)t的乘積盡量的小。3. 蒙特卡洛模擬方法為期權(quán)定價(jià)的實(shí)現(xiàn)步驟期權(quán)定價(jià)的蒙特卡洛方法的理論依據(jù)是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理：在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下，期權(quán)價(jià)格能夠表示為其到期回報(bào)的貼現(xiàn)的期望值，即，其中的表示風(fēng)險(xiǎn)中性期望，r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，T為期權(quán)的到期執(zhí)行時(shí)刻，是關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格路徑的預(yù)期收益。由此可知，計(jì)算期權(quán)價(jià)格即就是計(jì)算一

8、個(gè)期望值，蒙特卡洛方法便是用于估計(jì)期望值，因此可以得到期權(quán)定價(jià)的蒙特卡洛方法。一般地，期權(quán)定價(jià)的蒙特卡洛模擬方法包含以下幾步（以歐式看漲期權(quán)為例）:(l)在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下模擬標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格路徑將時(shí)間區(qū)間分成n個(gè)子區(qū)間，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過程的離散形式是，(2)計(jì)算在這條路徑下期權(quán)的到期回報(bào)，并根據(jù)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率求得回報(bào)的貼現(xiàn)(3)重復(fù)前兩步，得到大量期權(quán)回報(bào)貼現(xiàn)值的抽樣樣本(4)求樣本均值，得到期權(quán)價(jià)格的蒙特卡洛模擬值另外，我們還可以得到蒙特卡洛模擬值與真值的概率化誤差邊界，這也是蒙特卡洛方法為期權(quán)定價(jià)的優(yōu)勢(shì)之一。由于，m條路徑的收益均值為，m條路徑的方差為，則可得95%的置信區(qū)間為。例1：假設(shè)無(wú)紅利的

9、股票A，初始價(jià)格為￥6，價(jià)格過程服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，年預(yù)期收益率為10%，收益率的波動(dòng)率為每年25%，時(shí)間步長(zhǎng)為0.01年（1年為100時(shí)間步），給定數(shù)據(jù)，以及100，用蒙特卡洛方法模擬資產(chǎn)的價(jià)格路徑如下：（1）（2）圖（1）蒙特卡洛方法模擬股票A價(jià)格路徑，圖（2）蒙特卡洛方法模擬股票B價(jià)格路徑。若無(wú)紅利的股票B、C、D，其價(jià)格均為￥6，股票B的期望收益率為0.1，波動(dòng)率為0.6；股票C的期望收益率為0.5，波動(dòng)率為0.25；股票D的期望收益率為0.5，波動(dòng)率為0.6，分別用蒙特卡洛方法模擬該三種股票在一年內(nèi)的價(jià)格路徑如下：（3）（4）圖（3）蒙特卡洛方法模擬股票C價(jià)格路徑，圖（4）蒙特卡洛方法

10、模擬股票D價(jià)格路徑。從圖中可以看出，股票C和股票D的價(jià)格上升速度較快，而股票B和股票D的價(jià)格波動(dòng)比較大。這是與股票C和股票D價(jià)格的期望收益率較高，股票B和股票D價(jià)格的波動(dòng)率較高相對(duì)應(yīng)的。歐式看漲期權(quán)，通過Black-Scholes公式計(jì)算得的精確值為，蒙特卡洛模擬的價(jià)格為，其蒙特卡洛模擬圖如下：（5）上述同樣的條件，路徑由100逐漸增加到條，對(duì)應(yīng)地分別得到的期權(quán)價(jià)值的模擬值和置信區(qū)間，結(jié)果如下表所示：各種路徑下蒙特卡洛方法模擬的95%置信區(qū)間N模擬值置信區(qū)間1004.31464.0112,4.61805004.22624.0962,4.356310004.22134.1287,4.313920

11、004.16334.0984,4.228150004.16954.1280,4.2111100004.17874.1490,4.2083500004.19604.1826,4.20944.18864.1791,4.19804.19144.1884,4.19444. 蒙特卡洛模擬方法為我國(guó)權(quán)證定價(jià)權(quán)證是一種合同，權(quán)證投資者在約定時(shí)間內(nèi)有權(quán)按約定價(jià)格向發(fā)行人購(gòu)入或者出售合同規(guī)定的標(biāo)的證券。權(quán)證發(fā)行人可以是標(biāo)的證券的發(fā)行人或其之外的第三方。權(quán)證主要具有價(jià)格發(fā)現(xiàn)和風(fēng)險(xiǎn)管理的功能，它是一種有效的風(fēng)險(xiǎn)管理和資源配置工具?，F(xiàn)選取我國(guó)認(rèn)股權(quán)證中的五糧YGC1、馬鋼CWB1、伊利CWB1為例，以2006年的價(jià)格

12、作為樣本區(qū)間模擬認(rèn)股權(quán)證的價(jià)值，并將這些權(quán)證的蒙特卡洛模擬價(jià)值和由wind數(shù)據(jù)庫(kù)給出的理論值進(jìn)行比較。本例采用一年期短期利率2.52%作為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，用這些權(quán)證的正股股票價(jià)格序列來(lái)計(jì)算波動(dòng)率。現(xiàn)實(shí)中用等時(shí)間間隔觀測(cè)股票價(jià)格序列，股票投資的連續(xù)復(fù)利收益率，（），則的樣本標(biāo)準(zhǔn)差。如果用日數(shù)據(jù)計(jì)算波動(dòng)率，則年度波動(dòng)率按下式計(jì)算：年度波動(dòng)率日波動(dòng)率*（每年的交易日數(shù)）1/2將時(shí)間區(qū)間取為2006年12月1日2006年12月29日，則由蒙特卡洛方法模擬的認(rèn)股權(quán)證價(jià)格與Black-Scholes模型的精確值和市場(chǎng)價(jià)格比較的結(jié)果如下：蒙特卡洛方法對(duì)五糧YGC1認(rèn)股權(quán)證的模擬（）日期實(shí)際值蒙特卡洛模擬值理論值

13、日期實(shí)際值蒙特卡洛模擬值理論值12-110.16410.0669.82112-1812.10013.52413.35112-410.12010.35710.12112-1912.08013.57413.40112-59.88010.63010.40112-2012.21013.77113.60112-69.39510.38610.15112-2111.90013.37613.20112-79.1479.9989.75112-2211.42012.68712.50112-89.0509.7859.53112-2512.03813.74213.57112-119.8509.2258.95112-2

14、611.97813.40613.23112-129.82510.60010.37112-2713.00114.36414.20112-139.76610.26010.02112-2813.05014.61214.45112-1410.58911.33211.12112-2914.50016.19816.05112-1510.84912.02811.831蒙特卡洛方法對(duì)馬鋼CWB1認(rèn)股權(quán)證的模擬（）日期實(shí)際值蒙特卡洛模擬值理論值日期實(shí)際值蒙特卡洛模擬值理論值12-11.1431.2440.56912-181.7751.7091.05212-41.2091.1880.51712-191.8031.

15、7091.05212-51.2411.2230.54912-201.7301.7561.10312-61.3491.2230.54912-211.6411.7091.05212-71.6331.4160.74312-221.7001.5420.77812-81.7501.6180.95212-251.7071.4530.84812-111.9191.4160.74312-261.8351.5201.05212-121.8741.6180.95212-271.7761.7091.05212-131.7941.7481.09412-281.6441.8111.16312-141.7941.6330

16、.96912-291.7081.7481.09412-151.8301.6330.969蒙特卡洛方法對(duì)伊利CWB1認(rèn)股權(quán)證的模擬（）日期實(shí)際值蒙特卡洛模擬值理論值日期實(shí)際值蒙特卡洛模擬值理論值12-113.32413.53312.62912-1814.76014.81813.98812-413.25013.94713.06912-1915.47915.54114.74812-513.29613.95713.07912-2015.48716.63015.88812-612.91113.95713.07912-2115.59416.44915.69812-712.85313.28812.36912

17、-2215.16816.57315.82812-812.73412.76311.80912-2516.61615.81715.03812-1112.92012.57611.60912-2616.61917.75417.05812-1214.05912.94111.99912-2717.67317.87917.18812-1313.52814.10813.23912-2817.67319.72619.09812-1414.28113.81512.92912-2917.67319.72619.09812-1514.34914.61913.778從表可看出，由蒙特卡洛方法模擬的認(rèn)購(gòu)權(quán)證價(jià)格的模擬值比

18、由Black-Scholes公式計(jì)算的理論值更接近實(shí)際值。為了更直觀的比較，由蒙特卡洛方法模擬的認(rèn)股權(quán)證價(jià)格與Black-Scholes模型的精確值和市場(chǎng)價(jià)格比較的結(jié)果如下圖。其中SJ代表實(shí)際值，MC代表蒙特卡洛方法求得的模擬值，BS代表由Black-Scholes公式計(jì)算出的理論值。五糧YGC1價(jià)格模擬比較圖馬鋼CWB1價(jià)格模擬比較圖伊利CWB1價(jià)格模擬比較圖從圖中明顯看出，五糧YGC1和伊利CWB1的模擬結(jié)果比較好，蒙特卡洛模擬值和Black-Scholes模型的理論值均與實(shí)際值吻合；而馬鋼CWB1的實(shí)證結(jié)果不理想，但是三種結(jié)果的走勢(shì)圖有共同的趨勢(shì)。從比較分析中發(fā)現(xiàn)蒙特卡洛方法模擬的價(jià)格比

19、Black-Scholes模型更接近實(shí)際價(jià)格。對(duì)于這些認(rèn)股權(quán)證價(jià)格的模擬結(jié)果的好壞，受諸多因素影響，主要與選取的波動(dòng)率和中國(guó)權(quán)證市場(chǎng)的發(fā)展特點(diǎn)有關(guān)等等。隱含波動(dòng)率及其數(shù)值計(jì)算方法隱含波動(dòng)率是一個(gè)在市場(chǎng)上無(wú)法觀察到的波動(dòng)率，是通過Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式計(jì)算出來(lái)的波動(dòng)率。由于我們無(wú)法給出它的解析解，因此，只能借助于數(shù)值計(jì)算給出近似解。下面介紹牛頓迭代法計(jì)算隱含波動(dòng)率。牛頓迭代法是牛頓在17世紀(jì)提出的一種在實(shí)數(shù)域上近似求解方程根的方法。步驟1. 將函數(shù)在點(diǎn)附近展開成泰勒級(jí)數(shù)步驟2. 取泰勒級(jí)數(shù)的前兩項(xiàng)作為假設(shè)，求解方程，并令其解為，得，這樣得到迭代公式，經(jīng)過n次迭代后，可以求出的近似

20、解。根據(jù)牛頓迭代法，隱含波動(dòng)率的計(jì)算步驟如下：1. 假設(shè)其他變量保持不變，認(rèn)為函數(shù)是隱含波動(dòng)率的一元函數(shù)，其中的是市場(chǎng)上觀察到的期權(quán)價(jià)格。2. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3. 由迭代公式計(jì)算波動(dòng)率，直至（是期望達(dá)到的精度）。此外，為了計(jì)算隱含波動(dòng)率，經(jīng)濟(jì)學(xué)家和理財(cái)專家曾做過種種努力試圖尋找一個(gè)計(jì)算波動(dòng)率的公式。如Brenner和Subrahmanyam于1988年，Chance于1993年分別提出計(jì)算隱含波動(dòng)率的公式，雖然這些公式對(duì)于持有平價(jià)期權(quán)的波動(dòng)率的計(jì)算還算準(zhǔn)確，但是基礎(chǔ)資產(chǎn)的價(jià)格一旦偏離期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格的現(xiàn)值，其準(zhǔn)確性就會(huì)喪失。1996年，Corrado和Miller在前人研究的基礎(chǔ)上建立了如下公式，

21、大大提高了隱含波動(dòng)率的計(jì)算的準(zhǔn)確性：5. 服從跳擴(kuò)散過程的無(wú)形資產(chǎn)期權(quán)定價(jià)問題及其蒙特卡洛模擬分析服從跳擴(kuò)散過程的期權(quán)定價(jià)方法正常的波動(dòng)用幾何布朗運(yùn)動(dòng)(Brown)來(lái)描述由供需不平衡、利率變動(dòng)或整個(gè)經(jīng)濟(jì)的波動(dòng)等因素引起的。不正常的波動(dòng)用泊松過程(Poisson)來(lái)描述由未預(yù)料到的重要信息的出現(xiàn)引起的。這些信息在不連續(xù)的時(shí)間點(diǎn)出現(xiàn)，而且出現(xiàn)的時(shí)間點(diǎn)不確定，是否會(huì)出現(xiàn)也不確定。帶跳躍項(xiàng)的伊藤Ito公式：設(shè)，是二元可微函數(shù)，若隨機(jī)過程服從隨機(jī)微分方程其中，是標(biāo)準(zhǔn)維納過程，表示不可預(yù)測(cè)的跳躍，且。則帶跳躍項(xiàng)的伊藤Ito公式為其中，。上式是對(duì)跳躍項(xiàng)作如下假定得出的：1、在兩個(gè)跳躍之間保持不變，而在跳躍時(shí)

22、間是離散和隨機(jī)的；2、有種跳躍類型，跳躍尺度為，跳躍尺度為的概率為，跳躍的發(fā)生強(qiáng)度依賴于的最終觀測(cè)值，跳躍類型和尺度都是獨(dú)立隨機(jī)的。則在時(shí)間區(qū)間內(nèi)，增量為這里表示的是至?xí)r間發(fā)生的跳躍大小的總和，表示跳躍發(fā)生的概率，為跳躍的期望值，則是不可預(yù)測(cè)的。漂移參數(shù)可看作兩個(gè)漂移的和這里表示中連續(xù)運(yùn)動(dòng)的維納過程部分，第二項(xiàng)為純跳躍部分。將Poisson過程引入到期權(quán)定價(jià)模型中，得到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格價(jià)格的跳擴(kuò)散方程如下其中，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化比率為，且與相互獨(dú)立。令，根據(jù)帶跳躍項(xiàng)的伊藤公式可得其微分形式為整理上式，得到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格公式為在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格遵循跳擴(kuò)散過程的假設(shè)下，根據(jù)上述帶跳伊藤公式可得期權(quán)價(jià)值的微分

23、形式如下構(gòu)造期權(quán)與標(biāo)的資產(chǎn)的無(wú)套利資產(chǎn)組合，其微分形式為則該無(wú)套利資產(chǎn)組合微分形式的期望如下式由于資產(chǎn)組合為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合，因此有如下等式成立兩式聯(lián)立并化簡(jiǎn)得到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格遵從跳擴(kuò)散過程的定價(jià)公式如下：若沒有發(fā)生跳躍事件，則，將其代入上式所得結(jié)果與Black-Scholes微分方程完全一致。當(dāng)期權(quán)分別為歐式看漲、歐式看跌、美式看漲和美式看跌期權(quán)時(shí)，其邊界條件和終值條件與本章第一節(jié)的終邊值條件相同。Merton假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格跳躍高度服從，從而推導(dǎo)出歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式為：其中，。另外，Harworth假設(shè)跳躍高度服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，則歐式看漲期權(quán)的解析解為其中，。例2. 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格遵從跳擴(kuò)散過程

24、如下用蒙特卡洛模擬的資產(chǎn)價(jià)格路徑如下圖所示：無(wú)形資產(chǎn)專利池的期權(quán)定價(jià)模問題專利池的市場(chǎng)價(jià)值V依賴于企業(yè)使用專利池技術(shù)前后生產(chǎn)產(chǎn)品所獲得的收益S和成本C及時(shí)間t，這三個(gè)變量均可用跳擴(kuò)散模型：通過構(gòu)造由V和它所依賴的兩個(gè)變量S、C組成的資產(chǎn)組合，利用帶跳的伊藤引理獲得V與S、C所遵循的帶跳的隨機(jī)微分方程，并根據(jù)實(shí)際情況在一些假設(shè)條件下給出該方程的終邊值條件，最終獲得V的求解公式。構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合一方面的微分的期望為：另一方面，新產(chǎn)品發(fā)明專利池的市場(chǎng)價(jià)值V所遵循的方程為期權(quán)的價(jià)格公式：20世紀(jì)90年代初,由高分子工程材料的某高校、研究所、設(shè)計(jì)院和高新技術(shù)企業(yè)等經(jīng)過兩年的開發(fā)研究，研制出新型建材鋁塑

25、復(fù)合管全套生產(chǎn)工藝，該技術(shù)已獲多項(xiàng)國(guó)家發(fā)明專利，且己具備成套設(shè)備生產(chǎn)供應(yīng)能力。當(dāng)時(shí)，該技術(shù)在國(guó)內(nèi)只此一項(xiàng)，屬新產(chǎn)品發(fā)明專利池技術(shù)。且其專利技術(shù)使用壽命長(zhǎng)達(dá)50年以上，受專利保護(hù)20年。但該技術(shù)在國(guó)外存在多家供方，不同供方在核心技術(shù)內(nèi)容、原理、流程上基本一致，同時(shí)也不排除在一段時(shí)間后出現(xiàn)其他更好技術(shù)的可能性，一方面時(shí)間越長(zhǎng)，這種可能性越大。另一方面該技術(shù)使用壽命越長(zhǎng)，這種可能性越小(l=l(t)。并且,其他同類技術(shù)的出現(xiàn)使該專利池技術(shù)的收益下降, 下降幅度為L(zhǎng)nY。因?yàn)樵O(shè)備的經(jīng)濟(jì)使用壽命是20年,根據(jù)市場(chǎng)需求,計(jì)劃建成一條年生產(chǎn)100噸的生產(chǎn)線,其20年的成本,包括設(shè)備的直接制造成本和運(yùn)營(yíng)期間的

26、管理費(fèi)、工資等。若在期初計(jì)劃投資1000萬(wàn),以后20年每年的生產(chǎn)量不變,生產(chǎn)成本按每年的通貨脹率 10%遞增。假設(shè)在初期預(yù)計(jì)該項(xiàng)技術(shù)20年總收益為4000萬(wàn),其收益率為25%,方差為20%。新產(chǎn)品發(fā)明專利池的市場(chǎng)價(jià)值 V=8050在一次付清許可費(fèi)用情況下的價(jià)格模型：新產(chǎn)品發(fā)明專利池的價(jià)格P所遵循的方程為：在一次付清許可費(fèi)用情況下的新產(chǎn)品發(fā)明專利池的價(jià)格為：在一次付清許可費(fèi)用情況下新產(chǎn)品發(fā)明專利池的價(jià)格 P=5450。在首付加每期按收益固定比率支付許可費(fèi)用情況下的價(jià)格模型新產(chǎn)品發(fā)明專利池技術(shù)產(chǎn)生的收益S遵循模型引進(jìn)新產(chǎn)品發(fā)明專利池技術(shù)后的成本 C 遵循模型構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合一方面的微分的期望為新

27、產(chǎn)品發(fā)明專利池的價(jià)格 P 所遵循的方程為：另一方面，的微分及其期望為:新產(chǎn)品發(fā)明專利池的價(jià)格 P 所遵循的方程為：期權(quán)的價(jià)格公式：在首付加每期按收益固定比率支付許可費(fèi)用情況下新產(chǎn)品發(fā)明專利池的價(jià)格P=855。6. 最小二乘蒙特卡洛模擬與美式期權(quán)定價(jià)運(yùn)用最小二乘蒙特卡洛模擬方法為美式期權(quán)定價(jià)的基本原理與蒙特卡洛模擬方法基本相同，并且用最小二乘回歸同時(shí)還可解決各樣本時(shí)點(diǎn)上繼續(xù)持有期權(quán)價(jià)值的確定和各樣本路徑的最優(yōu)停時(shí)的確定。其基本思路是：在期權(quán)的有效期內(nèi)，將其標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過程離散化，隨機(jī)模擬出標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的多條樣本路徑，從而得到每個(gè)時(shí)刻資產(chǎn)價(jià)格的截面數(shù)據(jù)。選取以某時(shí)刻資產(chǎn)價(jià)格為變量的一組基函數(shù)作為解

28、釋變量，下一時(shí)刻期權(quán)價(jià)值的貼現(xiàn)值作為被解釋變量，進(jìn)行最小二乘法回歸求得該時(shí)刻期權(quán)的持有價(jià)值，并與該時(shí)刻期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值作比較，若后者較大，則應(yīng)該立即執(zhí)行期權(quán)，否則，就應(yīng)繼續(xù)持有期權(quán)。最小二乘蒙特卡洛模擬方法定價(jià)的基本實(shí)現(xiàn)步驟：首先，隨機(jī)生成標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的多條樣本路徑；然后，從到期時(shí)刻逆向求解，比較期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值與持有價(jià)值，確定出各時(shí)刻期權(quán)價(jià)值和每條樣本路徑的最優(yōu)停時(shí)；最后，將所有樣本的的期權(quán)價(jià)值求取按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的算數(shù)平均值便是模擬的期權(quán)價(jià)值。下面，我們運(yùn)用最小二乘蒙特卡洛模擬方法對(duì)單個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，其算法實(shí)現(xiàn)步驟如下：第一步：隨機(jī)生成標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過程的多條樣本路徑現(xiàn)設(shè)一單個(gè)

29、標(biāo)的資產(chǎn)美式看跌期權(quán)的持有到期日為，期權(quán)的執(zhí)行時(shí)刻為，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格為，期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為。在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，該期權(quán)的初始時(shí)刻價(jià)值為：其中，為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的路徑，是在最優(yōu)執(zhí)行時(shí)刻的期權(quán)價(jià)值。上式定義的便是將要運(yùn)用最小二乘蒙特卡洛方法進(jìn)行模擬的期權(quán)價(jià)值。將期權(quán)的存續(xù)區(qū)間均分為個(gè)子區(qū)間，則每個(gè)子區(qū)間的長(zhǎng)度為，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過程的離散形式：其中，隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。因此，利用生成隨機(jī)數(shù)模擬得到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的一條樣本路徑，重復(fù)執(zhí)行次模擬，我們可得到資產(chǎn)價(jià)格的總樣本。第二步：計(jì)算各個(gè)樣本的最優(yōu)停時(shí)及各時(shí)刻的期權(quán)價(jià)值對(duì)于美式看跌期權(quán)，在期權(quán)的有效時(shí)刻，樣本路徑上的內(nèi)在價(jià)值為，持有價(jià)值為。由于美式期權(quán)在有效

30、期的任何時(shí)候都可行權(quán)，所以必須比較該時(shí)刻期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值與持有價(jià)值的大小，以確定該時(shí)刻的期權(quán)價(jià)值以及是否執(zhí)行期權(quán)，即由期權(quán)的持有價(jià)值表達(dá)式可知它依賴于下一步期權(quán)決策的價(jià)值，需通過逆向求解這個(gè)期望價(jià)值，這正是普通的蒙特卡洛模擬法為美式期權(quán)定價(jià)的難點(diǎn)所在。最小二乘蒙特卡洛模擬方法通過建立一個(gè)當(dāng)前時(shí)刻標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與下一時(shí)刻期權(quán)價(jià)值貼現(xiàn)值的線性回歸計(jì)量模型：上述模型以所有樣本路徑在時(shí)刻的價(jià)格和作為解釋變量，對(duì)應(yīng)的下一時(shí)刻期權(quán)價(jià)值的現(xiàn)值作為被解釋變量。采用普通最小二乘法進(jìn)行回歸，求得回歸系數(shù)的估計(jì)值和樣本回歸方程；再將各個(gè)資產(chǎn)價(jià)格樣本代入到回歸方程分別可以得到其期權(quán)的持有價(jià)值估計(jì)值，根據(jù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的理論，

31、這個(gè)估計(jì)值就是在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格下的期權(quán)持有價(jià)值的無(wú)偏估計(jì)值。另外，本例中選取基函數(shù)作為解釋變量，根據(jù)實(shí)際情況中也可以選取其他形式的基函數(shù)：。作為解釋變量?，F(xiàn)在，我們從到期日開始倒推計(jì)算求解每條樣本路徑上的最優(yōu)停時(shí)和每個(gè)樣本點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值。在到期日，執(zhí)行看跌期權(quán)的價(jià)值為。接著，判斷在時(shí)刻是否行權(quán)。若期權(quán)處于實(shí)值狀態(tài)，即，則與繼續(xù)持有期權(quán)的價(jià)值相比較，若內(nèi)在價(jià)值大于持有價(jià)值，則應(yīng)立即執(zhí)行期權(quán)；否則，繼續(xù)持有期權(quán)。考慮在該時(shí)刻期權(quán)處于實(shí)值的樣本子集，近似期權(quán)持有價(jià)值的回歸方程為：其中，是時(shí)刻所有期權(quán)處于實(shí)值狀態(tài)的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格樣本集。在時(shí)刻的資產(chǎn)價(jià)格信息下，比較內(nèi)在價(jià)值與繼續(xù)持有期權(quán)的價(jià)值就可做出是否執(zhí)行

32、期權(quán)的決策。同理，我們可倒推繼續(xù)求得時(shí)刻的期權(quán)持有價(jià)值。對(duì)于每條樣本路徑，期權(quán)或是在最優(yōu)停時(shí)執(zhí)行，或是永不執(zhí)行。具體設(shè)計(jì)程序時(shí)，令初值，在時(shí)刻，如果繼續(xù)持有期權(quán)，則不變；如果執(zhí)行期權(quán)，則，依此類推。每個(gè)樣本上就只有一個(gè)最優(yōu)停時(shí)，每次更新，最后便求得每條樣本路徑上的最優(yōu)停時(shí)。第三步：對(duì)各條樣本路徑上的期權(quán)價(jià)值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)并求其均值經(jīng)過次模擬后，得到條標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的樣本路徑，以及每條樣本路徑上的最優(yōu)停時(shí)和在該時(shí)刻的期權(quán)價(jià)值：由于每條樣本路徑上的最優(yōu)執(zhí)行時(shí)間不同，期權(quán)價(jià)值的貼現(xiàn)因子也不同，所以應(yīng)分別進(jìn)行貼現(xiàn)求均值，最終得到初始時(shí)刻期權(quán)價(jià)值的最小二乘蒙特卡洛模擬值：例3：已知股票價(jià)格為50，美式看

33、跌期權(quán)執(zhí)行價(jià)為50到期日為5個(gè)月，股票年收益率的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10%，用最小二乘蒙特卡洛模擬其價(jià)格。編制最小二乘蒙特卡洛模擬的MATLAB程序如下：function price=AmericanOptLSM(S0,K,r,T,sigma,N,M)dt=T/N;R=exp(r-sigma2/2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(N,M);S=cumprod(S0*ones(1,M);R);ExTime=N*ones(M,1);CF=zeros(size(S);CF(end,:)=max(K-S(end,:),0);for ii=N:-1:2 Idx=find(S(i

34、i,:)C; nIdx=setdiff(1:M),Idx(Jdx); CF(ii,Idx(Jdx)=max(K-X(Jdx),0); ExTime(Idx(Jdx)=ii; CF(ii,nIdx)=exp(-r*dt)*CF(ii+1,nIdx);endPrice=mean(CF(2,:)*exp(-r*dt)% 繪制標(biāo)的股票價(jià)格模擬圖 %x1=0:N;y1=S;y2=mean(S);subplot(2,1,1)plot(x1,y1)subplot(2,1,2)plot(x1,y2)xlabel(期權(quán)存續(xù)期間)ylabel(股價(jià)的模擬路徑)% 繪制期權(quán)價(jià)值模擬圖 %figure;x2=1:N;

35、y3=CF(2:end,:);for i=1:M y4(i)=y3(i,ExTime(i);endplot(x2,y3,ExTime,y4,*)xlabel(期權(quán)的最優(yōu)停止時(shí)間)ylabel(期權(quán)價(jià)值的模擬路徑)模擬的美式看跌期權(quán)的價(jià)格路徑如下圖所示：模擬的期權(quán)價(jià)值路徑及其最優(yōu)停時(shí)如下圖：本例中的美式看跌期權(quán)價(jià)格為：price=AmericanOptLSM(50,50,0.1,5/12,0.4,50,)Price=4.26547. 改進(jìn)蒙特卡洛方法計(jì)算效率的常用幾種方差減少技術(shù)方差減少技術(shù)的共性是利用模型特點(diǎn)，調(diào)整或修正模擬的輸出變量，從而降低估計(jì)值的方差。在采用方差減少技術(shù)時(shí)，要具體問題具體

36、分析，針對(duì)不同期權(quán)類型的特點(diǎn)應(yīng)用相關(guān)的方差減少技術(shù)，從而取得效率的最大改進(jìn)。對(duì)偶變量(Antithetic variates)技術(shù)對(duì)偶變量技術(shù)是最簡(jiǎn)單和最常用的方差減少技術(shù)。以標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)為例，其標(biāo)準(zhǔn)蒙特卡洛估計(jì)值為標(biāo)的股票的股價(jià)終值抽樣為由概率論的知識(shí)可知也是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中相互獨(dú)立的抽樣值，那么用代替得到的也是股票價(jià)格終值的抽樣，從而由的平均值也能得到期權(quán)價(jià)格的無(wú)偏估計(jì)量。因此，由對(duì)偶變量技術(shù)得到的期權(quán)價(jià)格蒙特卡洛估計(jì)值為。對(duì)偶變量技術(shù)的有效性：由于，所以；并且，令，對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)，是單調(diào)遞增函數(shù)。由不等式，可知，從而，對(duì)偶變量技術(shù)有效。顯然，標(biāo)準(zhǔn)歐式看跌期權(quán)和亞式期權(quán)對(duì)應(yīng)的必也是

37、單調(diào)函數(shù)，所以對(duì)偶變量技術(shù)對(duì)這兩種期權(quán)也適用，而障礙期權(quán)和回望期權(quán)則反之。對(duì)偶變量技術(shù)置信區(qū)間的估計(jì)：由于并不獨(dú)立，而才是獨(dú)立同分布的抽樣，故采用n個(gè)而非2n個(gè)來(lái)計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差。以上對(duì)偶變量技術(shù)采用的輸入變量Z服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，實(shí)際上使用更廣泛的輸入變量是隨機(jī)數(shù)。顯然，與具有相同分布且兩者負(fù)相關(guān)，從而只要輸入變量與輸出變量存在單調(diào)關(guān)系，對(duì)應(yīng)的輸出變量與對(duì)應(yīng)的輸出變量也存在負(fù)相關(guān)關(guān)系，對(duì)偶變量技術(shù)有效?？刂谱兞?Control variates)技術(shù)一元控制變量：若是期權(quán)到期回報(bào)貼現(xiàn)的n次獨(dú)立模擬值，那么期權(quán)價(jià)格的蒙特卡羅估計(jì)值是。假設(shè)得到的同時(shí)能得到另一個(gè)輸出變量且己知，獨(dú)立同分布，則對(duì)于確定

38、的數(shù)b有期權(quán)價(jià)格的控制變量估計(jì)值即為所謂的“控制”是指。由下式可知控制變量估計(jì)值是無(wú)偏估計(jì)量。若令，則有對(duì)上式關(guān)于b求導(dǎo)數(shù)，解得能夠使最小化的b值應(yīng)為。因此，。由此可見，只要X與Y的相關(guān)性越強(qiáng)，那么控制變量估計(jì)的方差減少越顯著，所以控制變量技術(shù)的關(guān)鍵是選擇與Y關(guān)系密切且期望值已知的控制變量。另外，由于計(jì)算的兩個(gè)量和未知，故實(shí)踐中采用的是的估計(jì)值。多元控制變量：控制變量技術(shù)也可以推廣到多元情形，假設(shè)得到的同時(shí)能得到d維向量并且已知，獨(dú)立同分布，的協(xié)方差矩陣為是矩陣，是矩陣，且是非奇異矩陣。則對(duì)于確定的向量b有。多元控制變量估計(jì)值為。由于經(jīng)過推導(dǎo)可知最優(yōu)控制系數(shù)向量，相應(yīng)的最小化方差為，其中。下面

39、介紹在一種特殊情形下的推導(dǎo)過程：若多元控制變量之間彼此獨(dú)立，即，則有由多元函數(shù)的極值理論，可解得使最小化的向量的第i個(gè)分量應(yīng)為將代入可得。關(guān)于偏差的討論：由于未知，實(shí)踐中采用的是其估計(jì)值，由與的相關(guān)性，可知控制變量估計(jì)值將是有偏的，并且也將是有偏的。解決如上問題的方法有兩個(gè)：一是增加模擬的次數(shù)，當(dāng)n增大時(shí)，偏差的響將會(huì)變小；另一個(gè)方法是將模擬分為兩個(gè)部分，先用次模擬得到結(jié)果生成，再用次模擬的結(jié)果計(jì)算，這樣得到的估計(jì)值將是無(wú)偏。不過，現(xiàn)實(shí)情形下，的偏差并不大，從而采用復(fù)雜的分步運(yùn)算獲取無(wú)偏估的作法并不吸引人。控制變量的類型：期權(quán)定價(jià)中常采用的三種控制變量有標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格、定價(jià)已解決的期權(quán)以及為模擬

40、標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格所需的正態(tài)隨機(jī)變量。（1）標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在期權(quán)定價(jià)的蒙特卡羅模擬中，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格是來(lái)源最廣的一類控制變量。在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下，假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)r，資產(chǎn)價(jià)格的貼現(xiàn)為鞅，即。而待定價(jià)的期權(quán)價(jià)格是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的函數(shù)，兩者具有相關(guān)性，因此可以采用標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格(或其貼現(xiàn))作為控制變量。若待定價(jià)的是標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)，那么將作為控制變量，相應(yīng)的控制變量估計(jì)值為實(shí)驗(yàn)證明，當(dāng)K=0時(shí)，控制變量與Y的相關(guān)性最強(qiáng)，從而方差減少效果顯著，而當(dāng)K很大時(shí)情況相反。若待定價(jià)的是亞式期權(quán)，N為一年中交易的總天數(shù)，那么可將作為控制變量，由于相應(yīng)的控制變量估計(jì)值為（2）定價(jià)己解決的期權(quán)如果兩種期權(quán)的回報(bào)函數(shù)具有相似性

41、，并且其中一種期權(quán)的定價(jià)公式已知，那么可將此期權(quán)作為控制變量為另一種期權(quán)定價(jià)。最著名的例子是Kemna和Vorst使用幾何平均亞式期權(quán)作為控制變量為算術(shù)平均亞式期權(quán)定價(jià)，顯然這兩種期權(quán)的回報(bào)具有很強(qiáng)的相關(guān)性，從而方差減少效果顯著。再比如仍是對(duì)算術(shù)平均資產(chǎn)價(jià)亞式期權(quán)定價(jià)，由于與其具有相同到期日與敲定價(jià)格的標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)的價(jià)格可以由B-S公式得到，故可將作為控制變量。（3）正態(tài)隨機(jī)變量模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格路徑要用到正態(tài)隨機(jī)變量，因此可考慮將正態(tài)隨機(jī)變量(或其線性組合)作為控制變量。比如為算術(shù)平均執(zhí)行價(jià)亞式期權(quán)定價(jià)，模擬的過程需要獨(dú)立的、均值為、方差為的正態(tài)隨機(jī)變量，從而將作為多元控制變量可得相應(yīng)的控

42、制變量估計(jì)值為。矩匹配(Moment Matching)技術(shù)為了模擬標(biāo)的資產(chǎn)樣本路徑需要從正態(tài)分布中抽樣，考慮最簡(jiǎn)單的情形，標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲股票期權(quán)的蒙特卡洛估計(jì)值需要m個(gè)獨(dú)立且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的抽樣。由于的樣本矩不一定與總體矩匹配，故而矩匹配技術(shù)的思想就是對(duì)這些樣本進(jìn)行調(diào)整，使其一階矩、二階矩乃至高階矩與總體矩匹配，再利用調(diào)整后的樣本得到蒙特卡洛估計(jì)值。定義是樣本均值，通過如下調(diào)整可達(dá)到一階矩匹配，由生成的股票價(jià)格終值為，從而期權(quán)到期回報(bào)貼現(xiàn)的一次模擬值為，利用矩匹配技術(shù)得到的蒙特卡洛估計(jì)量為。和對(duì)偶變量技術(shù)一樣，應(yīng)用矩匹配技術(shù)會(huì)給置信區(qū)間的估計(jì)帶來(lái)變化，因?yàn)椴⒉华?dú)立，導(dǎo)致也不獨(dú)立，所以不能直接

43、應(yīng)用中心極限定理估計(jì)誤差。一個(gè)解決方案是將抽樣分隔為不同批次，對(duì)每個(gè)批次分別應(yīng)用矩匹配技術(shù)得到彼此獨(dú)立的期權(quán)價(jià)格估計(jì)，再將批均值作為蒙特卡羅估計(jì)值，由批方差得到誤差估計(jì)。例如可采用10000個(gè)相互獨(dú)立的批次，每個(gè)批次對(duì)100個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布抽樣應(yīng)用矩匹配技術(shù)，即總共采用100萬(wàn)個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布抽樣。如果定義為樣本標(biāo)準(zhǔn)，通過如下的調(diào)整可達(dá)到前兩階矩匹配：。需注意由上式得到的不再服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，故相應(yīng)的將是期權(quán)價(jià)格的有偏估計(jì)。這個(gè)偏差在極端情況下可能會(huì)很大，由此致的復(fù)雜性使得矩匹配技術(shù)的效率改進(jìn)沒有一個(gè)通用的量化標(biāo)準(zhǔn)。如果待匹配的抽樣其總體均值，總體方差，作如下變換可分別達(dá)到一階矩匹配和前兩階矩匹配

44、：其中與的定義同上。仍以標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲股票期權(quán)為例，若股價(jià)服從風(fēng)險(xiǎn)中性的幾何布朗運(yùn)動(dòng)，則股價(jià)終值的均值與方差已知，故可采用上式對(duì)運(yùn)用矩匹配技術(shù)。分層抽樣(Stratified Sampling)技術(shù)分層抽樣技術(shù)使樣本的經(jīng)驗(yàn)概率與理論概率相一致，其本質(zhì)是為了使輸入變量分布得更為均勻，這一點(diǎn)與對(duì)偶變量技術(shù)相同?？紤]簡(jiǎn)單情形下分層樣本的獲取。在計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)的價(jià)格時(shí)，需要標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中m個(gè)相互獨(dú)立的抽樣，其經(jīng)驗(yàn)分布不會(huì)完全與總體分布相吻合，尤其是尾部表現(xiàn)可能較差。通過下述分層抽樣方法可以對(duì)樣本的經(jīng)驗(yàn)分布加以改進(jìn)。是在0，1上均勻分布的隨機(jī)數(shù)，以的長(zhǎng)度對(duì)區(qū)間進(jìn)行分層，可以得到n個(gè)分層區(qū)間段，令。顯然，落在第j層上，從而落在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位數(shù)與上分位數(shù)之間，故由可得標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的一個(gè)分層抽樣。需要注意的是的高度相關(guān)性使得標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計(jì)復(fù)雜化，為此用批處理的方法對(duì)其進(jìn)行估計(jì)，具體過程同上一節(jié)介紹。在高維情形下，采用拉丁超立方抽樣技術(shù)(Latin Hypercube Sampling)較為簡(jiǎn)便。假設(shè)是上均勻分布隨機(jī)向量序列，是d個(gè)獨(dú)立抽取的上的隨機(jī)排列。令其中是第k個(gè)排列的第j個(gè)元素。那么由得到的仍然是上服勻分布的隨機(jī)向量，并且的第k個(gè)坐標(biāo)落入第k個(gè)0，l區(qū)間的m個(gè)不同分層內(nèi)，從而也是一種分層抽樣樣本。同樣地，由于不