余弦定理(公開(kāi)課)PPT

1、一、實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題一、實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題BCA5km8km60某隧道施工隊(duì)為了開(kāi)鑿一條山地隧道，需要測(cè)算隧道通過(guò)某隧道施工隊(duì)為了開(kāi)鑿一條山地隧道，需要測(cè)算隧道通過(guò)這座山的長(zhǎng)度。工程技術(shù)人員先在地面上選一適當(dāng)位置這座山的長(zhǎng)度。工程技術(shù)人員先在地面上選一適當(dāng)位置A A，量，量出出A A到山腳到山腳B B、C C的距離，分別是的距離，分別是AC=5kmAC=5km，AB=8km AB=8km ，再，再利用經(jīng)緯儀（測(cè)角儀）測(cè)出利用經(jīng)緯儀（測(cè)角儀）測(cè)出A A對(duì)山腳對(duì)山腳BCBC的張角，的張角， 最最后通過(guò)計(jì)算求出山腳的長(zhǎng)度后通過(guò)計(jì)算求出山腳的長(zhǎng)度BCBC。60BAC思考思考：你能求出上圖中山腳的長(zhǎng)度你能求出上圖

2、中山腳的長(zhǎng)度BCBC嗎？嗎？二、化為數(shù)學(xué)問(wèn)題二、化為數(shù)學(xué)問(wèn)題已知三角形的兩邊及它們的夾角，求第三邊。已知三角形的兩邊及它們的夾角，求第三邊。例：在ABC中，已知BC=a，AC=b，BCA=C求：c（即AB）ACBbac=?CBAcab探探 究究： 在在ABCABC中，已知中，已知CB=a,CACB=a,CA=b=b，CBCB與與CA CA 的夾角為的夾角為CC， 求邊求邊c.c.cABbCAaCB,設(shè)設(shè))()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量減法的三角形法則得由向量減法的三角形法則得Cbabacos222bac三、證明問(wèn)題三、證明問(wèn)題CBAc

3、abAbccbacos2222)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量減法的三角形法則得由向量減法的三角形法則得Cbabacos222bac探探 究究： 若若ABCABC為任意三角形，已知角為任意三角形，已知角C C， BC=a,CABC=a,CA=b,=b,求求AB AB 邊邊 c.c.cABbCAaCB,設(shè)設(shè)CBAcabBaccabcos2222Abccbacos2222)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量減法的三角形法則得由向量減法的三角形法則得Cbabacos222探探 究究：

4、若若ABCABC為任意三角形，已知角為任意三角形，已知角C C， BC=a,CABC=a,CA=b,=b,求求AB AB 邊邊 c.c.cABbCAaCB,設(shè)設(shè)bac同理：同理：A AB BC Cb bc ca aDbcosCbsinCa-bcosC222( sin)(cos)cbCabC22222sin2coscosbCaabCbC2222cosababCBaccabcos2222同理：同理：2222cosabcbcCABC當(dāng)是直角三角形、鈍角三角形呢？探探 究究： 在在ABCABC中，已知中，已知CB=a,CACB=a,CA=b=b，CBCB與與CA CA 的夾角為的夾角為CC， 求邊求邊

5、c.c.CBAcab(0，0)(a,0)xy(bcosC,bsinC)22)0sin()cos(CbaCbcCbaCabCb22222sincos2cosCababcos222坐標(biāo)法坐標(biāo)法Baccabcos2222Abccbacos22222222coscababC則同理：同理：余余 弦弦 定定 理理C CB BA Ab ba ac cCabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222acbcaB2222cosabcbaC2cos222推論：推論： 角對(duì)邊的平方等于兩邊平方的和減去這兩邊角對(duì)邊的平方等于兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦

6、的積的兩倍。與它們夾角的余弦的積的兩倍。Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222余余 弦弦 定定 理理 三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。C CB BA Ab ba ac c剖析余弦定理：（1）本質(zhì)：揭示的是三角形三條邊與某一角的關(guān)系， 從 方程的角度看，已知三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量；（2）余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例；（3）主要解決兩類三角形問(wèn)題：已知三邊求三角；已知兩邊及它們的夾角，求第三邊；（4）余弦定理的優(yōu)

7、美形式和簡(jiǎn)潔特征：給定一個(gè)三角形任意一個(gè) 角都可以通過(guò)已知三邊求出；三個(gè)式子的結(jié)構(gòu)式完全一致的。題型一、已知三角形的兩邊及夾角求解三角形的值和邊、求角中，已知在例aCBAcb,30, 32, 3ABC. 1Abccbacos2222解：由余弦定理知，3a得由正弦定理BbAasinsin233213sinBsinaAb2232 32 3 2 3cos303 C CA AB Ba ab bc c60,Bcb90180CBA解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題BCA5km8km60某隧道施工隊(duì)為了開(kāi)鑿一條山地隧道，需要測(cè)算隧道通過(guò)某隧道施工隊(duì)為了開(kāi)鑿一條山地隧道，需要測(cè)算隧道通過(guò)這座山的長(zhǎng)度。工程技術(shù)人

8、員先在地面上選一適當(dāng)位置這座山的長(zhǎng)度。工程技術(shù)人員先在地面上選一適當(dāng)位置A A，量，量出出A A到山腳到山腳B B、C C的距離，分別是的距離，分別是AC=5kmAC=5km，AB=8km AB=8km ，再，再利用經(jīng)緯儀（測(cè)角儀）測(cè)出利用經(jīng)緯儀（測(cè)角儀）測(cè)出A A對(duì)山腳對(duì)山腳BCBC的張角，的張角， 最最后通過(guò)計(jì)算求出山腳的長(zhǎng)度后通過(guò)計(jì)算求出山腳的長(zhǎng)度BCBC。60BAC4960cos85258222BC解：7BC例例2.2.在在ABCABC中，已知中，已知a= ,b=2,c= , a= ,b=2,c= , 解三角形解三角形( (依次求解依次求解A A、B B、C).C).解：由余弦定理得解

9、：由余弦定理得22222223161222 231()()cos()bcaAbc 60A45B180180604575CAB 631題型二、已知三角函數(shù)的三邊解三角形22) 13(622) 13()6(2cos222222acbcaBC CA AB Ba ab bc c3,1,2,_ABCabcA變式訓(xùn)練：在三角形中，若則60例3、在ABC中,若a=4、b=5、c=6（1)試判斷角C是什么角？（2）判斷ABC的形狀題型三、判斷三角形的形狀題型三、判斷三角形的形狀解：由余弦定理得：0815426542cos1222222abcbaC）（是銳角C是銳角三角形中的最大角是根據(jù)大邊對(duì)大角，是銳角，）知

10、：）由（ABCABCCC12變式訓(xùn)練：在ABC中，若，則ABC的形狀 為（）222cba、鈍角三角形、直角三角形、銳角三角形、不能確定AbcacbA2cos222推論：推論：C CB BA Ab ba ac c提煉：設(shè)提煉：設(shè)a是最長(zhǎng)的邊，則是最長(zhǎng)的邊，則ABC是鈍角三角形0222acbABC是銳角三角形0222acbABC是直角三角形0222acb思考思考在解三角形的過(guò)程中，求某一個(gè)角有時(shí)在解三角形的過(guò)程中，求某一個(gè)角有時(shí)既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，兩種方法有既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，兩種方法有什么利弊呢？什么利弊呢？在已知三邊和一個(gè)角的情況下：求另一個(gè)角在已知三邊和一個(gè)角的情況下：求另一個(gè)角余弦定理正弦定理用余弦定理推論，解唯一用余弦定理推論，解唯一,可以免去判斷舍取?？梢悦馊ヅ袛嗌崛　Ｓ谜叶ɡ?，計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單，但解不唯一，要進(jìn)行判斷舍取用正弦定理，計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單，但解不唯一，要進(jìn)行判斷舍取小結(jié)小結(jié): :222co s2bcaAb c222cos2cabBca222cos2abcCab 余弦定理可以解決的有關(guān)三角形的問(wèn)題：1 1、已知兩邊及其夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角。、已知兩邊及其夾角，求第三邊和其