余弦定理(公開課)PPT

1、一、實際應用問題一、實際應用問題BCA5km8km60某隧道施工隊為了開鑿一條山地隧道，需要測算隧道通過某隧道施工隊為了開鑿一條山地隧道，需要測算隧道通過這座山的長度。工程技術人員先在地面上選一適當位置這座山的長度。工程技術人員先在地面上選一適當位置A A，量，量出出A A到山腳到山腳B B、C C的距離，分別是的距離，分別是AC=5kmAC=5km，AB=8km AB=8km ，再，再利用經(jīng)緯儀（測角儀）測出利用經(jīng)緯儀（測角儀）測出A A對山腳對山腳BCBC的張角，的張角， 最最后通過計算求出山腳的長度后通過計算求出山腳的長度BCBC。60BAC思考思考：你能求出上圖中山腳的長度你能求出上圖

2、中山腳的長度BCBC嗎？嗎？二、化為數(shù)學問題二、化為數(shù)學問題已知三角形的兩邊及它們的夾角，求第三邊。已知三角形的兩邊及它們的夾角，求第三邊。例：在ABC中，已知BC=a，AC=b，BCA=C求：c（即AB）ACBbac=?CBAcab探探 究究： 在在ABCABC中，已知中，已知CB=a,CACB=a,CA=b=b，CBCB與與CA CA 的夾角為的夾角為CC， 求邊求邊c.c.cABbCAaCB,設設)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量減法的三角形法則得由向量減法的三角形法則得Cbabacos222bac三、證明問題三、證明問題CBAc

3、abAbccbacos2222)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量減法的三角形法則得由向量減法的三角形法則得Cbabacos222bac探探 究究： 若若ABCABC為任意三角形，已知角為任意三角形，已知角C C， BC=a,CABC=a,CA=b,=b,求求AB AB 邊邊 c.c.cABbCAaCB,設設CBAcabBaccabcos2222Abccbacos2222)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量減法的三角形法則得由向量減法的三角形法則得Cbabacos222探探 究究：

4、若若ABCABC為任意三角形，已知角為任意三角形，已知角C C， BC=a,CABC=a,CA=b,=b,求求AB AB 邊邊 c.c.cABbCAaCB,設設bac同理：同理：A AB BC Cb bc ca aDbcosCbsinCa-bcosC222( sin)(cos)cbCabC22222sin2coscosbCaabCbC2222cosababCBaccabcos2222同理：同理：2222cosabcbcCABC當是直角三角形、鈍角三角形呢？探探 究究： 在在ABCABC中，已知中，已知CB=a,CACB=a,CA=b=b，CBCB與與CA CA 的夾角為的夾角為CC， 求邊求邊

5、c.c.CBAcab(0，0)(a,0)xy(bcosC,bsinC)22)0sin()cos(CbaCbcCbaCabCb22222sincos2cosCababcos222坐標法坐標法Baccabcos2222Abccbacos22222222coscababC則同理：同理：余余 弦弦 定定 理理C CB BA Ab ba ac cCabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222acbcaB2222cosabcbaC2cos222推論：推論： 角對邊的平方等于兩邊平方的和減去這兩邊角對邊的平方等于兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦

6、的積的兩倍。與它們夾角的余弦的積的兩倍。Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222余余 弦弦 定定 理理 三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。C CB BA Ab ba ac c剖析余弦定理：（1）本質(zhì)：揭示的是三角形三條邊與某一角的關系， 從 方程的角度看，已知三個量，可以求出第四個量；（2）余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例；（3）主要解決兩類三角形問題：已知三邊求三角；已知兩邊及它們的夾角，求第三邊；（4）余弦定理的優(yōu)

7、美形式和簡潔特征：給定一個三角形任意一個 角都可以通過已知三邊求出；三個式子的結(jié)構(gòu)式完全一致的。題型一、已知三角形的兩邊及夾角求解三角形的值和邊、求角中，已知在例aCBAcb,30, 32, 3ABC. 1Abccbacos2222解：由余弦定理知，3a得由正弦定理BbAasinsin233213sinBsinaAb2232 32 3 2 3cos303 C CA AB Ba ab bc c60,Bcb90180CBA解決實際應用問題解決實際應用問題BCA5km8km60某隧道施工隊為了開鑿一條山地隧道，需要測算隧道通過某隧道施工隊為了開鑿一條山地隧道，需要測算隧道通過這座山的長度。工程技術人

8、員先在地面上選一適當位置這座山的長度。工程技術人員先在地面上選一適當位置A A，量，量出出A A到山腳到山腳B B、C C的距離，分別是的距離，分別是AC=5kmAC=5km，AB=8km AB=8km ，再，再利用經(jīng)緯儀（測角儀）測出利用經(jīng)緯儀（測角儀）測出A A對山腳對山腳BCBC的張角，的張角， 最最后通過計算求出山腳的長度后通過計算求出山腳的長度BCBC。60BAC4960cos85258222BC解：7BC例例2.2.在在ABCABC中，已知中，已知a= ,b=2,c= , a= ,b=2,c= , 解三角形解三角形( (依次求解依次求解A A、B B、C).C).解：由余弦定理得解

9、：由余弦定理得22222223161222 231()()cos()bcaAbc 60A45B180180604575CAB 631題型二、已知三角函數(shù)的三邊解三角形22) 13(622) 13()6(2cos222222acbcaBC CA AB Ba ab bc c3,1,2,_ABCabcA變式訓練：在三角形中，若則60例3、在ABC中,若a=4、b=5、c=6（1)試判斷角C是什么角？（2）判斷ABC的形狀題型三、判斷三角形的形狀題型三、判斷三角形的形狀解：由余弦定理得：0815426542cos1222222abcbaC）（是銳角C是銳角三角形中的最大角是根據(jù)大邊對大角，是銳角，）知

10、：）由（ABCABCCC12變式訓練：在ABC中，若，則ABC的形狀 為（）222cba、鈍角三角形、直角三角形、銳角三角形、不能確定AbcacbA2cos222推論：推論：C CB BA Ab ba ac c提煉：設提煉：設a是最長的邊，則是最長的邊，則ABC是鈍角三角形0222acbABC是銳角三角形0222acbABC是直角三角形0222acb思考思考在解三角形的過程中，求某一個角有時在解三角形的過程中，求某一個角有時既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，兩種方法有既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，兩種方法有什么利弊呢？什么利弊呢？在已知三邊和一個角的情況下：求另一個角在已知三邊和一個角的情況下：求另一個角余弦定理正弦定理用余弦定理推論，解唯一用余弦定理推論，解唯一,可以免去判斷舍取。可以免去判斷舍取。用正弦定理，計算相對簡單，但解不唯一，要進行判斷舍取用正弦定理，計算相對簡單，但解不唯一，要進行判斷舍取小結(jié)小結(jié): :222co s2bcaAb c222cos2cabBca222cos2abcCab 余弦定理可以解決的有關三角形的問題：1 1、已知兩邊及其夾角，求第三邊和其他兩個角。、已知兩邊及其夾角，求第三邊和其