第3章恒定電場(3) 恒定電場的基本方程

1、3.1 3.1 電流密度電流密度3.2 3.2 歐姆定律和焦耳定律歐姆定律和焦耳定律3.3 3.3 恒定電場的基本方程恒定電場的基本方程3.4 3.4 分界面上的邊界條件分界面上的邊界條件3.5 3.5 恒定電場與靜電場的比擬恒定電場與靜電場的比擬3.6 3.6 接地電阻接地電阻第三章第三章 恒定電場恒定電場2二、恒定電場的基本方程二、恒定電場的基本方程一、電流連續(xù)性方程一、電流連續(xù)性方程三、導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)的體積電荷三、導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)的體積電荷3二、恒定電場的基本方程二、恒定電場的基本方程3-3 一、電流連續(xù)性方程一、電流連續(xù)性方程三、導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)的體積電荷三、導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)的體積電荷4一、電流連續(xù)性方程一

2、、電流連續(xù)性方程1、積分形式、積分形式2、微分形式、微分形式3、物理意義、物理意義3-3 5一、電流連續(xù)性方程一、電流連續(xù)性方程電荷守恒定律：電荷守恒定律：在孤立系統(tǒng)中，總電荷量保持不變。在孤立系統(tǒng)中，總電荷量保持不變。 根據(jù)電荷守恒，在有電流分布的空根據(jù)電荷守恒，在有電流分布的空間做一閉合曲面，單位時(shí)間內(nèi)穿入、間做一閉合曲面，單位時(shí)間內(nèi)穿入、穿出該曲面的電量等于曲面內(nèi)電量穿出該曲面的電量等于曲面內(nèi)電量變化率的負(fù)值。變化率的負(fù)值。 JS1、積分形式、積分形式即：即：電荷既不能產(chǎn)生，也不能被消滅，它只能電荷既不能產(chǎn)生，也不能被消滅，它只能從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體，或從物體的一從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另

3、一個(gè)物體，或從物體的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分。部分轉(zhuǎn)移到另一部分。6在有電荷流動(dòng)的導(dǎo)體內(nèi)在有電荷流動(dòng)的導(dǎo)體內(nèi)任取一閉合曲面任取一閉合曲面S，nSdJS設(shè)設(shè)單位時(shí)間單位時(shí)間dt內(nèi)通過面元內(nèi)通過面元dS的的電量為電量為dq，tqIdd（3-1）亦即：亦即：tqtqdddd根據(jù)根據(jù)電荷守恒定律電荷守恒定律單位時(shí)間向外流出的電荷單位時(shí)間向外流出的電荷 應(yīng)等于應(yīng)等于此閉合曲面單位時(shí)間減少的電荷此閉合曲面單位時(shí)間減少的電荷 。qddq即即閉合曲面單位時(shí)間內(nèi)電荷的增量為閉合曲面單位時(shí)間內(nèi)電荷的增量為 。qd則通過則通過dS的電流的電流I為：為：7設(shè)設(shè)（在有電荷流動(dòng)的導(dǎo)體內(nèi)任一）（在有電荷流動(dòng)的導(dǎo)體內(nèi)任一）閉合曲

4、面閉合曲面S內(nèi)的電流體密度為內(nèi)的電流體密度為 ，閉合曲面閉合曲面S內(nèi)的電流為內(nèi)的電流為I ，nSdJSJSSdJI（3-3）根據(jù)根據(jù)SSdJIqqddqd則：則：tqtqddddddddItqtqIItqIddtqSJSddd8即：即：上式是電荷守恒定律的數(shù)學(xué)表述，上式是電荷守恒定律的數(shù)學(xué)表述，又稱又稱電流連續(xù)性方程電流連續(xù)性方程（的積分形式）（的積分形式）。VSVttqSJdddd（3-19）VSVtSJdd電流密度矢量的通量電流密度矢量的通量等于該面內(nèi)電荷減少率。等于該面內(nèi)電荷減少率。 ：運(yùn)動(dòng)電荷的體密度運(yùn)動(dòng)電荷的體密度9發(fā)出于正電荷減少的地方，發(fā)出于正電荷減少的地方，終止于正電荷增加的地

5、方。終止于正電荷增加的地方。S線J0ddtq內(nèi)電流線：電流線：VSVttqSJdddd0ddtq內(nèi)0dSSJ0ddtq內(nèi)0dSSJJS102 2、微分形式、微分形式即：即：（3-13-19 9）VSVtSJdd積分形式積分形式微分形式微分形式SVSdAdVAVVVtVJdd0dVVtJ11（電流連續(xù)性方程的微分形式）（電流連續(xù)性方程的微分形式）0dVVtJ要使該積分對(duì)任意體積都成立，要使該積分對(duì)任意體積都成立，只有被積函數(shù)為只有被積函數(shù)為0 0，即，即0tJ（3-21）12如果閉合曲面如果閉合曲面S內(nèi)有正電荷積累起來，內(nèi)有正電荷積累起來，則流入則流入S面內(nèi)的電荷量多于流出的電荷量；面內(nèi)的電荷量

6、多于流出的電荷量；3、物理意義、物理意義反之，如果反之，如果S面內(nèi)的正電荷減少，面內(nèi)的正電荷減少，則流出的電荷量多于流入的電荷量。則流出的電荷量多于流入的電荷量。13二、恒定電場的基本方程二、恒定電場的基本方程3-3 一、電流連續(xù)性方程一、電流連續(xù)性方程三、導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)的體積電荷三、導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)的體積電荷14二、二、恒定電場的基本方程恒定電場的基本方程恒定電場恒定電場：維持恒定電流的電場。：維持恒定電流的電場。恒定電流恒定電流：不隨時(shí)間變化的電流。：不隨時(shí)間變化的電流。150t即：即：（3-3-1919）VSVtSJdd00dSSJ（3-23-22 2）0tJ（3-3-2121）0 J（3-23-

7、23 3）0160dSSJ（3-23-22 2）0 J（3-23-23 3）積分形式積分形式微分形式微分形式恒定電流的條件恒定電流的條件任意時(shí)刻：任意時(shí)刻： 流進(jìn)任意封閉面的電量，與流進(jìn)任意封閉面的電量，與 流出該封閉面的電量相等。流出該封閉面的電量相等。17恒定電流條件恒定電流條件0dtdqSSdJ0當(dāng)導(dǎo)體中任意閉合曲面滿足上式時(shí)，閉合曲當(dāng)導(dǎo)體中任意閉合曲面滿足上式時(shí)，閉合曲面內(nèi)沒有電荷被積累起來，此時(shí)通過導(dǎo)體截面內(nèi)沒有電荷被積累起來，此時(shí)通過導(dǎo)體截面的電流是恒定的面的電流是恒定的恒定電流的條件恒定電流的條件。穩(wěn)恒電流的電路必須是閉合的。穩(wěn)恒電流的電路必須是閉合的。導(dǎo)體表面電流密度矢量無法向

8、分量。導(dǎo)體表面電流密度矢量無法向分量。18電流線連續(xù)地穿過電流線連續(xù)地穿過閉合曲面包圍的體閉合曲面包圍的體積，穩(wěn)恒電流的電積，穩(wěn)恒電流的電流線不可能在任何流線不可能在任何地方中斷，永遠(yuǎn)是地方中斷，永遠(yuǎn)是連續(xù)的曲線。連續(xù)的曲線。j21jj3s2s1s3S19若節(jié)點(diǎn)處無電荷積累若節(jié)點(diǎn)處無電荷積累即：即：321III)(113322sjsjsjdtdq0ddddVSVttqSJj21jj3s2s1s3S20穩(wěn)恒電流是連續(xù)的，穩(wěn)恒電流是連續(xù)的，其電流線總是閉合曲線。其電流線總是閉合曲線。21盡管電流是電荷運(yùn)動(dòng)形成的，盡管電流是電荷運(yùn)動(dòng)形成的，但由于電荷的分布不隨時(shí)間改變，但由于電荷的分布不隨時(shí)間改變，

9、因而由分布電荷產(chǎn)生的因而由分布電荷產(chǎn)生的庫侖場庫侖場 必定同必定同 靜電場靜電場具有相同的性質(zhì)，具有相同的性質(zhì)，即也是保守場（無旋的）。即也是保守場（無旋的）。所以，在電源以外，恒定電場滿足：所以，在電源以外，恒定電場滿足：由以上分析可知：由以上分析可知：0dClE0E（3-24）（3-25）22因此，恒定電場也可以用電位梯度表示：因此，恒定電場也可以用電位梯度表示：E（3-23-26 6）23EJ（歐姆定律的微分形式）（歐姆定律的微分形式）電源以外的恒定電場的電位滿足電源以外的恒定電場的電位滿足拉普拉斯方程拉普拉斯方程。推導(dǎo)：推導(dǎo)：0 J（3-23）)( EJ即：即：02對(duì)于均勻媒質(zhì)，對(duì)于均

10、勻媒質(zhì)， 為常量為常量E2)(（3-26）0E（3-27）24靜電場的基本方程：靜電場的基本方程：qSDlESCd0d積積分分形形式式DE0微微分分形形式式恒定電場的基本方程：恒定電場的基本方程：0d0dSCSJlE）或（E00JE）或（E(電源外電源外)(電源外電源外)25二、恒定電場的基本方程二、恒定電場的基本方程3-3 一、電流連續(xù)性方程一、電流連續(xù)性方程三、導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)的體積電荷三、導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)的體積電荷26三、三、導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)的體積電荷導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)的體積電荷恒定電場中恒定電場中不均勻的導(dǎo)電媒質(zhì)不均勻的導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)有可能積累電荷，內(nèi)有可能積累電荷，其體積密度其體積密度 為：為：JJJJED)()

11、()()(恒定電場恒定電場0J)(（3-29）27J)(（3-29） ：導(dǎo)電媒質(zhì)的介電常數(shù)，導(dǎo)電媒質(zhì)的介電常數(shù)， ：導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率。導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率。在不均勻在不均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中，由于導(dǎo)電媒質(zhì)中，由于 、 是坐標(biāo)變量的函數(shù)是坐標(biāo)變量的函數(shù)（只要（只要 / 不是處處為常數(shù)），體積電荷一般不為不是處處為常數(shù)），體積電荷一般不為0。在均勻在均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中，由于導(dǎo)電媒質(zhì)中，由于 、 處處為常數(shù)，處處為常數(shù)，故故 =0，體積電荷為，體積電荷為0，即媒質(zhì)中沒有體積電荷的堆積。，即媒質(zhì)中沒有體積電荷的堆積。0)(28在沒有達(dá)到穩(wěn)恒狀態(tài)之前，當(dāng)電流剛進(jìn)入導(dǎo)體時(shí)，在沒有達(dá)到穩(wěn)恒狀態(tài)之前，當(dāng)電流剛進(jìn)入導(dǎo)體時(shí)，即便是均勻?qū)w，其體積電荷也不為即便是均勻?qū)w，其體積電荷也不為0。根據(jù)根據(jù)電流連續(xù)性方程電流連續(xù)性方程，有有)()()(DDDEJt均勻媒質(zhì)均勻媒質(zhì)0t29t 積分得：積分得： Ct lnttCtCteeeee00)0(0teC的初始值，是稱為馳豫時(shí)間。，的將減至秒，即經(jīng)過，是時(shí)間常數(shù)，e/10t30對(duì)大多數(shù)金屬導(dǎo)體，對(duì)大多數(shù)金屬導(dǎo)體， = 0， 純金屬純金屬的電阻率的電阻率 ：10-8W W .m 1 電導(dǎo)率電導(dǎo)率 ：108W W-1 .m-1 )(10101085. 8198120s馳豫時(shí)間例如銅的例如銅的 =10-19s。這說明電流一進(jìn)入導(dǎo)體