-定積分的換元法與分部積分法

1、返回第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積分第七節(jié)第七節(jié) 定積分的換元法與分部積分法定積分的換元法與分部積分法一、定積分的換元法一、定積分的換元法二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法三、小結(jié)三、小結(jié)返回第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積分定理定理 假假設(shè)設(shè)（1 1）)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)；（2 2）函函數(shù)數(shù))(tx 在在, 上上是是單單值值的的且且有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)；（3 3）當(dāng)）當(dāng)t在區(qū)間在區(qū)間, 上變化時(shí)，上變化時(shí)，)(tx 的值的值在在,ba上變化，且上變化，且a )( 、b )( ， 則則 有有dtttfdxxfba )()()(. .

2、一、定積分的換元法一、定積分的換元法返回第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積分證證),()()(aFbFdxxfba ),()(tFt dtdxdxdFt )()()(txf ),()(ttf ),()()()( dtttf)(t 是是)()(ttf 的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù).返回第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積分a )( 、b )( ,)()( )()( FF ),()(aFbF )()()(aFbFdxxfba )()( .)()(dtttf 注注意意 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)，換換元元公公式式仍仍成成立立.返回第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積分應(yīng)

3、用換元公式時(shí)應(yīng)注意應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意:（1）（2）返回第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積分例例1 1 計(jì)算計(jì)算.sincos205 xdxx解解令令,cosxt 2 x, 0 t0 x, 1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t .61 ,sin xdxdt 返回第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積分例例2 2 計(jì)算計(jì)算解解.sinsin053 dxxxxxxf53sinsin)( 23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxd

4、x 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x.54 返回第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積分例例3 3 計(jì)算計(jì)算解解.)ln1(ln43 eexxxdx原式原式 43)ln1(ln)(lneexxxd 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex .6 返回第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積分例例4 4 計(jì)算計(jì)算解解 aadxxax022)0(.1令令,sintax ax ,2 t0 x, 0 t,costdtadx 原式原式 2022)sin1(sincosdttat

5、ata 20cossincosdtttt 20cossinsincos121dttttt 20cossinln21221 tt.4 返回第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積分證證,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中中令令tx ,返回第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積分 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf)(xf為為奇奇函函數(shù)數(shù)，則則),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 返回第

6、三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積分奇函數(shù)奇函數(shù)例例6 6 計(jì)算計(jì)算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函數(shù)偶函數(shù) 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 單位圓的面積單位圓的面積返回第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積分例例 7 7 若若)(xf在在1 , 0上連續(xù)，證明上連續(xù)，證明（1） 2200)(cos)(sindxxfdxxf;（2） 00)(sin2)(sindxxfdxxxf. 由此計(jì)算由此計(jì)算 02cos1si

7、ndxxxx.證證（1）設(shè)）設(shè)tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x, 0 t返回第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積分 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf（2）設(shè)）設(shè)tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft返回第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積分 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxx

8、x 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 0)(sindxxxf返回第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積分 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xu、)(xv在在區(qū)區(qū)間間 ba,上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則有有 bababavduuvudv. .定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式推導(dǎo)推導(dǎo) ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababavduuvudv二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法返回第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積分例例1 1

9、計(jì)算計(jì)算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 則則返回第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積分例例2 2 計(jì)算計(jì)算解解.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 40secln218 x.42ln8 返回第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積分例

10、例3 3 計(jì)算計(jì)算解解.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 返回第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積分例例4 4 設(shè)設(shè) 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 102)(21xfx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx返回第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積分

11、21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf 10)(dxxxf)1(21f 102)(21dxxfx 102sin221dxxx 1022sin21dxx 102cos21x ).11(cos21 , 0sin)1(11 dtttf返回第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積分例例5 5 證明定積分公式證明定積分公式 2200cossinxdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 為正偶數(shù)為正偶數(shù)為大于為大于1的正奇數(shù)的正奇數(shù)證證 設(shè)設(shè),sin1xun ,sin xdxdv ,cossin)1(2xdxxndun ,c

12、os xv 返回第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積分 dxxxnxxInnn 2202201cossin)1(cossinx2sin1 0dxxndxxnInnn 22002sin)1(sin)1( nnInIn)1()1(2 21 nnInnI積分積分 關(guān)于下標(biāo)的遞推公式關(guān)于下標(biāo)的遞推公式nI4223 nnInnI,直到下標(biāo)減到直到下標(biāo)減到0或或1為止為止返回第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積分,214365223221202ImmmmIm ,3254761222122112ImmmmIm ), 2 , 1( m,2200 dxI, 1sin201 xdx

13、I,221436522322122 mmmmIm.325476122212212 mmmmIm于是于是返回第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積分幾個(gè)特殊積分、定積分的幾個(gè)等式幾個(gè)特殊積分、定積分的幾個(gè)等式定積分的換元法定積分的換元法dxxfba )(dtttf )()(三、小結(jié)三、小結(jié)定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式 . bababavduuvudv（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別）（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別）返回第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積分思考題思考題指指出出求求 2221xxdx的的解解法法中中的的錯(cuò)錯(cuò)誤誤，并并寫(xiě)寫(xiě)出出正正確確的的解

14、解法法.解解 令令,sectx ,4332: t,sectantdttdx 2221xxdxtdtttttansectansec14332 dt 4332.12 返回第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積分思考題思考題設(shè)設(shè))(xf 在在 1 , 0上連續(xù)，且上連續(xù)，且1)0( f，3)2( f，5)2( f，求，求 10)2(dxxfx.返回第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積分思考題解答思考題解答 10)2(dxxfx 10)2(21xfxd 1010)2(21)2(21dxxfxfx 10)2(41)2(21xff )0()2(4125ff . 2 返回第三章

15、第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積分思考題解答思考題解答計(jì)算中第二步是錯(cuò)誤的計(jì)算中第二步是錯(cuò)誤的.txsec ,43,32 t, 0tan t.tantan12ttx 正確解法是正確解法是 2221xxdxtxsec tdtttttansectansec14332 dt 4332.12 返回第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積分二、二、 計(jì)算下列定積分：計(jì)算下列定積分：1 1、 edxx1)sin(ln； 2 2、 eedxx1ln；練練 習(xí)習(xí) 題題返回第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積分三三、已已知知xxf2tan)( , ,求求 40)()(d

16、xxfxf. .四四、若若 ,0)(在在xf 連連續(xù)續(xù)，,1)(,2)0( ff證證明明：3sin )()(0 xdxxfxf .返回第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積分一、一、1 1、! !)!1(nn ； 2 2、2! !)!1( nn； 3 3、e21 ； 4 4、)1(412 e； 5 5、23ln21)9341( . .二、二、1 1、211cos1sin ee； 2 2、)11(2e ；練習(xí)題答案練習(xí)題答案 3 3、 為奇數(shù)為奇數(shù)為偶數(shù)為偶數(shù)1,531)1(642,2642)1(531)(2mmmmmmmJ；返回第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積

17、分返回第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積分一、一、 填空題：填空題：1 1、 3)3sin(dxx_；2 2、 03)sin1(d_；3 3、 2022dxx_ _；4 4、 2121221)(arcsindxxx_；5、 55242312sindxxxxx_ .練練 習(xí)習(xí) 題題返回第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積分二、二、 計(jì)算下列定積分：計(jì)算下列定積分：1 1、 203cossin d； 2 2、 31221xxdx；3 3、 14311xdx； 4 4、 223coscosdxxx；5 5、 02cos1dxx； 6 6、 224cos4 dx；7 7、 112322)11(dxxxxx；8 8、 203,maxdxxx；9 9、 20dxxx （為參數(shù)為參數(shù) ）. .返回第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)微積分微積分返回第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)