哈爾濱工程大學(xué)課件復(fù)變函數(shù)第四章級(jí)數(shù)

1、 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換第四章第四章 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)學(xué)習(xí)要點(diǎn)學(xué)習(xí)要點(diǎn)冪級(jí)數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)的運(yùn)算和收斂性冪級(jí)數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)的運(yùn)算和收斂性將解析函數(shù)展成泰勒級(jí)數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)的將解析函數(shù)展成泰勒級(jí)數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)的方法方法復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)性質(zhì) 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換第一節(jié)第一節(jié) 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)列 ：一列有次序的復(fù)an=an+ibn,n=1,2,復(fù)數(shù)列的極限：設(shè)a=a+ib為一確定的復(fù)數(shù). 如果任意給定e0, 相應(yīng)地能找到一個(gè)正數(shù)N(e), 使|an-a|N時(shí)成立,

2、則a稱為復(fù)數(shù)列an當(dāng)n時(shí)的極限, 記作 此時(shí)也稱復(fù)數(shù)列an收斂于a.aannlim定理1. 復(fù)數(shù)列an(n=1,2,.)收斂于a的充要條件是bbaannnnlim,lim 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換11(1);(2)() ;1(3)sin.12nnnnniiinniaaa-：判定下列復(fù)數(shù)列的斂散性；如果收斂， 則求出它的極限 例解題思路：首先分解an=an+ibn ，然后分別考察an和bn的極限，再確定an的收斂性110(1)limlim1,110(3)lim sinlimlim22nnnnnnnnniniinniiineeeeniii- - 哈爾濱工程

3、大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換1+111(2)22221111, lim0,2221+lim=02nnnnnnniiii 因 此 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換52. 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 設(shè)an=an+ibn(n=1,2,.)為一復(fù)數(shù)列, 表達(dá)式121nnnaaaa111 ,lim. ,nnnnnnnnnnssssaaa和如果部分和數(shù)列收斂 則級(jí)數(shù)稱是的并且極限稱為級(jí)數(shù)的如果數(shù)列不收斂 則級(jí)數(shù)稱收斂是發(fā)散的.稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 其前面n項(xiàng)的sn=a1+a2+.+an稱為級(jí)數(shù)的部分和. 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與

4、積分變換1111 2 lim0.nnnnnnnnnnabaaa級(jí)數(shù)收斂的充要條件是級(jí)數(shù)和都收斂.定理 將復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題轉(zhuǎn)化成實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題，對(duì)收斂的實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，我們知道，其通項(xiàng)是趨于0級(jí)數(shù)收斂定理2.定理3條.的必要件是 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換1111111111|,|.|nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnabaaaaaaaa3.絕對(duì)收斂和條件收斂如果收斂 則稱級(jí)數(shù)是的.發(fā)散,而收斂,則稱級(jí)數(shù)是定義5. 絕對(duì)收斂定義6. 定理4. 推論的 絕對(duì)收斂當(dāng)且僅當(dāng)和絕對(duì)收斂。如果收斂，條件 那么也是 收斂. 收斂的。 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工

5、程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換11111(34 )(1).( 1)(2).!cos(3).(4).2nnnnnnnniinnninin-. 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性， ， ， 2 例2112111111( 1)( 1),( 1)1( 1)nnnnnnnnnnnnniinnnniabnninn-解：(1). 因?yàn)槭菞l件收斂的，是絕對(duì)收斂的，因此是條件收斂的。 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換1111111(34 )(34 )5(2).!5,!(34 ).!cos(3).limlim22cos2nnnnnnnnnnnnnnnnnniinnnnininee

6、in- 由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法知, 是收斂的故是絕對(duì)收斂的，由于， 因此是發(fā)散的 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換1111111111(cossin)(cossin)2222(4).cossin221nnnnnnnnnnnnnnnnnniiinnnnnabnniinnn，注意到和都是收斂的級(jí)數(shù)，而=是發(fā)散的， 因此是條件收斂的。 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換1111 2 lim0.nnnnnnnnnnabaaa級(jí)數(shù)收斂的充要條件是級(jí)數(shù)和都收斂.定理 將復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題轉(zhuǎn)化成實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題，對(duì)收斂的實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，我們

7、知道，其通項(xiàng)是趨于0級(jí)數(shù)收斂定理2.定理3條.的必要件是 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換121. 基本概念 設(shè)fn(z)(n=1,2,.)為一復(fù)變函數(shù)序列,其中各項(xiàng)在區(qū)域D內(nèi)都有定義.表達(dá)式) 1 . 2 . 4()()()()(211zfzfzfzfnnn稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).前面n項(xiàng)的和 sn(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)稱為該級(jí)數(shù)的部分和.第二節(jié)第二節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換000Dz ,lim()()nnszs z如果對(duì)于 內(nèi)的某一點(diǎn)極限存在，則稱復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(4.2.1)在z

8、0收斂,（或z0 是其的收斂點(diǎn)） 而s(z0)稱為它的和，其收斂點(diǎn)的全體稱為它的收斂域。級(jí)數(shù)在其收斂域D內(nèi)處處收斂, 則它的和一定是z的一個(gè)函數(shù) s(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)+.稱之為級(jí)數(shù)(4.2.1)的和函數(shù) 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換14特殊情形:2012020120()()()()(4.2.2)(4.2.3)nnnnnnnnnnc zacc zac zac zac zcc zc zc z-或00.,(),(4.2.3)nnnnnnzac zac-這種級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)如果令則以后為了方便 今后常就的形式予以討論。 哈爾濱工程大學(xué)哈爾

9、濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換二、冪級(jí)數(shù)的斂散性質(zhì)1. 收斂域的結(jié)構(gòu)首先，我們有一個(gè)與微積分課程中有關(guān)冪級(jí)數(shù) 收斂的一個(gè)類似結(jié)果。定理一(阿貝爾Abel定理).,|,|,)0(00000級(jí)數(shù)必發(fā)散的則對(duì)滿足級(jí)數(shù)發(fā)散如果在級(jí)數(shù)必絕對(duì)收斂的則對(duì)滿足收斂在如果級(jí)數(shù)zzzzzzzzzzzcnnn 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換1600000000000000,lim0,0,|.| |,1,| |.|1,|.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnc zc zMnzzc zMzzqc zc zMqzzMqMqc zMqc zc z證

10、明：因收斂 則則存在使對(duì)所有的 都有如果則而由于為公比小于 的等比級(jí)數(shù) 故是收斂的，因此也是收斂的，從而級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的如果級(jí)數(shù)000000,| |,(,.nnnnnnnnnzzc zc zc z發(fā)散 且用反證法)假設(shè)收斂，則根據(jù)之前結(jié)論可導(dǎo)出收斂 與題設(shè)矛盾 因此發(fā)散 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換172. 收斂圓和收斂半徑 利用阿貝爾定理, 可以定出冪級(jí)數(shù)的收斂范圍, 對(duì)一個(gè)冪級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō), 它的收斂情況不外乎三種:1) 對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都是收斂的. 這時(shí), 根據(jù)阿貝爾定理可知級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂.2) 對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除z=0外都是發(fā)散的. 這時(shí), 級(jí)數(shù)

11、在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散.3) 既存在使級(jí)數(shù)收斂的正實(shí)數(shù), 也存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù). 設(shè)z=a (正實(shí)數(shù))時(shí), 級(jí)數(shù)收斂, z=b (正實(shí)數(shù))時(shí), 級(jí)數(shù)發(fā)散. 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換18RCROa ab bCa aCb bxy 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換12111111| 1(1)1nnnnnnnnnnnnnnnnnnnc zzzznnc zc zc zc z-級(jí)數(shù)在收斂區(qū)域的邊界上是否收斂?如級(jí)數(shù)和，在上的收斂性是不一樣的.問：是否存在級(jí)數(shù)在是z=4收斂的，在z=0 是發(fā)散的答：不存在證明：設(shè) 級(jí)數(shù)收斂，

12、而發(fā)散注意.，證明： 則的收斂半徑為 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換203.收斂半徑的求法10lim|()lim |(),01,200,nnnnnnnnncccc zR ：如果比值法 或根值法 ，那么級(jí)數(shù)的收斂為理半徑定 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換21例1 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換22111112122121(1).lim1,1,11limlim.11lim10,.(2).limlim1,11(1)11,(1)nnnnNnnNNnnnnnnnnnnnnn

13、ncRczzzzzzzzcnRcnzznnzn-解：當(dāng)| |=1時(shí),則故發(fā)散當(dāng)|=1時(shí),則故是絕對(duì)收斂的 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換231112222!(3).limlim0,.(1)!(4).limlimmax,max,()2max,max,1max,nnnnnnnnnnnnnnncnRcncaiba ba baba ba bRa b 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換244. 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì) 12000000001 1012001( ),( ),.( )( )(), |;( ) ( )()|.min( , );(

14、)( )nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnf za zRrg zb zRrf zg za zb zab zzRf z g za zb za baba b zzRRr rf zaa zag z-設(shè)；那么，20120100 011 10 122 01 10 2,nnnzcc zc zbb za zab cabcb cab cbcb c其中， 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換25注：加減乘除后得到的新級(jí)數(shù)的收斂半徑可能與 都無(wú)關(guān)。還有更重要的運(yùn)算：復(fù)合運(yùn)算，它在求解函數(shù)的展開式中有著廣泛的應(yīng)用。1212min( , )rrRr r， 和00(

15、)|,|( )|( )|,|, ( ) ( ) .nnnnnnf za zzrzRg zg zrzRf g za g z：設(shè)并且在內(nèi)解析且滿足則當(dāng)時(shí)命題 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換2600001001100.( )() ,( )(1)(2)( )(),(3)( )d()1( )d() d|4,|nnnnnnznnannnnCCf zc zzzzRf zzzRfzc n zzzzRcfzanf zzczazCzaR-設(shè)那么和函數(shù)在其收斂圓內(nèi)具有如下性質(zhì):是解析函數(shù)；可逐項(xiàng)微分：可逐項(xiàng)積理分： 定或 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與

16、積分變換27第三節(jié)第三節(jié) 泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)一、泰勒定理一、泰勒定理定理1(泰勒展開定理) 設(shè) f (z)在區(qū)域D內(nèi)解析, z0為D內(nèi)的一點(diǎn), d為z0到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離, 則當(dāng)|z-z0|d 時(shí), ( )01,(),0,1,2,!nncfznn成立且是唯一的 其中.稱該式是f (z)在z0的泰勒展開式, 它右端的級(jí)數(shù)稱為 f (z)在z0處的泰勒級(jí)數(shù).00( )()nnnf zc zz- 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換證明：設(shè)函數(shù) f (z)在區(qū)域D內(nèi)解析, 而|z-z0|=r為D內(nèi)以z0為中心的任何一個(gè)圓周, 它與它

17、的內(nèi)部全含于D, 把它記作K, 又設(shè)z為K內(nèi)任一點(diǎn).z0Kzr 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換按柯西積分公式, 有1( )( )d ,2Kff ziz-且且000000010001111()()1,()11,()nnnzzzzzzzzKzKzzzzzzz-由于積分變量取在圓周 上 點(diǎn) 在 的內(nèi)部所以101000101( )d( )()2()1( )()d .2()NnnnKnnn NKff zzzizfzziz-z0Kzr 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換由解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式,上式可寫成( )1000010()( )()(

18、 )!1( )( )()2()nNnNnnNnn NKfzf zzzRznfRzzzdiz-其中( )000lim( )0,()( )()!NNnnnRzKfzf zzzn-如果能證明在 內(nèi)成立 則在K內(nèi)成立, 即 f (z)可在K內(nèi)用冪級(jí)數(shù)表達(dá).000zzzzqzr-令，這里q與積分變量無(wú)關(guān), 且0q1.z0Kzr 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換K含于D, f (z) 在D內(nèi)解析, 在K上連續(xù), 在K上有界, 因此在K上存在正實(shí)數(shù) M 使| f (z) | M.01221d| )(|21d)()()(21| )(|000010 - NNNnnKNnnKNn

19、nnNqMqrqrMszzzzfszzzfzR因此, 下面的公式在K內(nèi)成立:( )000()( )()!nnnfzf zzzn- 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換32利用逐項(xiàng)積分，展開式的唯一性是容易驗(yàn)證的. 注： 1.如果 f (z)在z0解析, 則使 f (z)在z0的泰勒展開式成立的圓域的半徑 R等于從z0到 f (z)的距z0最近一個(gè)奇點(diǎn)a 的距離, 即R=|a-z0|.2.函果 f (z)在z0處解析的充要條件是f (z) 在 z0的某個(gè)鄰域內(nèi)有泰勒展開式 。 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換33二、一些初等函數(shù)的泰

20、勒展開式二、一些初等函數(shù)的泰勒展開式基本方法：1.直接展開法：2.間接展開法：借助一些已知函數(shù)的展開式, 利用變量替換、逐項(xiàng)微（積）分、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算、待定系數(shù)法等方法, 得出函數(shù)在指定點(diǎn)附件的泰勒展開式( )01() (0,1,2,)!nncfznn公式 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換例1.求 ez 在 z = 0處的泰勒展開式, 由于(ez)(n)|z=0 = 1 (n=0,1,2,.) ， 故有2e1.2!nzzzzzn 因?yàn)閑z在復(fù)平面內(nèi)處處解析, 上式在復(fù)平面內(nèi)處處成立, 收斂半徑為+.同樣, 可求得sin z與cos z在z=0的泰勒展開式:352

21、1242sin( 1)3!5!(21)!cos1( 1)2!4!(2 )!nnnnzzzzzznzzzzzn- - - - 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換350035210sinzz011( )()sin(ee)22!( 1)3!5!(21)!nniziznnnnnizizziinnzzzzzn- .用間接展開法求在的泰勒展開式2解：例 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換3622221121 z=0(1+ )z1,11, z.(1+ )11( 1),| 1.11123( 1),| 1.(1)nnnnzzzzzzzzzznzzz

22、- - - - - -. 求函數(shù)在處的泰勒展開式.解:由于函數(shù)有一奇點(diǎn)而在內(nèi)處處解析 所以可在該區(qū)域內(nèi)展開成 的冪級(jí)數(shù)因?yàn)?將上式兩邊求導(dǎo)得例3 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換37例4 求對(duì)數(shù)函數(shù)的主值分支ln(1+z)在z=0處的泰勒展開式.解： ln(1+z)在從-1向左沿負(fù)實(shí)軸剪開的平面內(nèi)是解析的, -1是它的奇點(diǎn), 所以可在|z|1內(nèi)展開.01ln(1)( 1),1nnnzzz-因?yàn)橹痦?xiàng)積分得0001dd( 1)d,1zzznnz-231ln(1)( 1)| 1.231nnzzzzzzn- -即 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函

23、數(shù)與積分變換38 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換39ln(1)ln(1)201212(1) ()( ),(0)10( )1,| 1.( )(1)( )( )1( )(1),2!zznnzf zefzf zrzfzez fzf zzf zcc zc zc zccaaaaaaa aa-.求函數(shù)為復(fù)數(shù) 的主值分支在處的泰勒展開式.解：由于在從向左沿負(fù)實(shí)軸剪開的復(fù)平面內(nèi)解析，所以它在原點(diǎn)處泰勒展開式的收斂半徑收斂區(qū)域， 設(shè)，例求的6可(1)(1)!nncna aa- 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換404 洛朗級(jí)數(shù)洛朗級(jí)數(shù)一、洛朗級(jí)

24、數(shù)定義1 形如10010()()()nnnnnczzczzczz-0100()()nncc zzczz-00010()()()nnnnnnnnnc zzczzc zz-的級(jí)數(shù)稱為，為其，為其，當(dāng)這兩部分都收斂洛朗級(jí)數(shù)解析部分主要部分時(shí)，則稱洛朗級(jí)數(shù)是收斂的. 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換z0R1R2例如級(jí)數(shù)10110(),1,| |,| |.| | | | |.nnnnnnnnnnnnnnazabzbaaazzzzzabzbabazbab與 為復(fù)常數(shù)中的負(fù)冪項(xiàng)級(jí)數(shù)當(dāng)即時(shí)收斂 而正冪項(xiàng)級(jí)數(shù)則當(dāng)時(shí)收斂 所以當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)在圓環(huán)域收斂;當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)處處發(fā)散 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換定理1 (洛朗展開式定理)設(shè) f (z)在圓環(huán)域 R1 |z-z0| R2內(nèi)解析, 則0( )()nnnf zc zz-C為在圓環(huán)域內(nèi)繞z0的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線.二、環(huán)形區(qū)域上解析函數(shù)的洛朗展開二、環(huán)形區(qū)域上解析函數(shù)的洛朗展開101( )d . (0, 1, 2,)2()nnCfcniz -其中 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換在收斂圓環(huán)域內(nèi)也具有. 例如, 可以證明, 上述級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)其和函數(shù)是解析的, 而且可以逐項(xiàng)求積和逐項(xiàng)求導(dǎo).現(xiàn)在反問, 在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是