第7章剛體力學習題課

1、第第7章章 剛體力學習題課剛體力學習題課 例2. .均勻細棒均勻細棒 oA 可繞通過其一端可繞通過其一端 o 而與棒垂而與棒垂直的水平固定光滑軸轉動直的水平固定光滑軸轉動, ,如圖所示如圖所示. .今使棒從今使棒從水平位置由靜止開始自由下落水平位置由靜止開始自由下落, ,在棒擺動到豎直在棒擺動到豎直位置的過程中位置的過程中, ,下列情況哪一種說法是正確的下列情況哪一種說法是正確的? ?（ ）(D) 角速度從大到小角速度從大到小, ,角角加速度從小到大加速度從小到大. . (C) 角速度從大到小角速度從大到小, ,角角加速度從大到小加速度從大到小. .(B) 角速度從小到大角速度從小到大, ,角

2、加速度從小到大角加速度從小到大. .(A) 角速度從小到大角速度從小到大, ,角加速度從大到小角加速度從大到小. . oAA A例例3：已經(jīng)一半圓環(huán)半徑為：已經(jīng)一半圓環(huán)半徑為R，質(zhì)量為，質(zhì)量為M，求，求它的質(zhì)心位置。它的質(zhì)心位置。解：建坐標系如圖，取解：建坐標系如圖，取dl,dldm Rddl dMRdRMdm sin,cosRyRx 0 cx 002sinsinRdRMdMRMydmycyxdmod例例4. 一長為一長為2l，質(zhì)量為，質(zhì)量為3m的細棒的兩端粘有質(zhì)量分的細棒的兩端粘有質(zhì)量分別為別為2m和和m的物體，此桿可繞中心的物體，此桿可繞中心O軸在鉛直平面軸在鉛直平面內(nèi)轉動。先使其在水平位

3、置，然后靜止釋放。求：內(nèi)轉動。先使其在水平位置，然后靜止釋放。求： （1）此剛體的轉動慣量；（）此剛體的轉動慣量；（2）水平位置時的桿的）水平位置時的桿的角加速度；（角加速度；（3）通過鉛直位置時桿的角速度。）通過鉛直位置時桿的角速度。 llm2mo222242)2)(3(121mlmlmllmI 解：（解：（1）（2） ImglmglM 2lg4 （3）機械能守恒）機械能守恒22120 Imglmgl lg2 例例5. 一圓盤可繞垂直于盤面且一圓盤可繞垂直于盤面且通過盤心的中心軸通過盤心的中心軸OO以角速度以角速度 沿順時針方向沿順時針方向轉動轉動.(1) (1) 在同一水平直線以相反在同一

4、水平直線以相反方向同時射入兩顆質(zhì)量相同方向同時射入兩顆質(zhì)量相同, ,速率相等的子彈速率相等的子彈, ,并留在盤中并留在盤中, ,盤的角速度如何變化盤的角速度如何變化? ?vvOO OOFF(2)(2)兩大小相等兩大小相等, ,方向相反但不在方向相反但不在同一直線上的力沿盤面同時作用同一直線上的力沿盤面同時作用在盤上在盤上, ,盤的角速度如何變化盤的角速度如何變化? ?盤的角速度增大盤的角速度增大,因為轉盤受到同向的力矩因為轉盤受到同向的力矩盤的角速度減小盤的角速度減小,因為因為角動量角動量L=I 不變不變,但轉但轉動慣量動慣量I加大了加大了.0 M與與 同方向，同方向，00 II 0II 0

5、6.一半徑為一半徑為R質(zhì)量為質(zhì)量為m的均質(zhì)圓形平板在粗糙的均質(zhì)圓形平板在粗糙的水平桌面上，繞通過圓心且垂直于平板的的水平桌面上，繞通過圓心且垂直于平板的oo軸轉動，摩擦力對軸轉動，摩擦力對oo軸的力矩為（軸的力矩為（ ）0.;21.;.;32.DmgRCmgRBmgRA A1m2mRM,1mgm11TRM,1T2T2T2m解：解：amTgm111 （1）amT22 （2 2） IRTT )(21（3 3）221MRI 例例7.7.質(zhì)量為質(zhì)量為 m1 和和m2 兩個物體，兩個物體，跨在定滑輪上跨在定滑輪上 m2 放在光滑的放在光滑的桌面上，滑輪半徑為桌面上，滑輪半徑為 R，質(zhì)量質(zhì)量為為 M，求：

6、求：m1 下落的加速度，下落的加速度，和繩子的張力和繩子的張力 T1、T2。 Ra （4 4）聯(lián)立方程，求解得：聯(lián)立方程，求解得：2/211Mmmgma2/)2/(21211MmmgMmmT2/21212MmmgmmT當當 M= =0 時：時：212121mmgmmTT1m2mRM,9例例8. 一個半徑為一個半徑為 R 的半球固定在地面上，在它的的半球固定在地面上，在它的頂部有一半徑為頂部有一半徑為 r 的球從靜止只滾不滑地開始滾的球從靜止只滾不滑地開始滾下，問：小球滾到何處恰好脫離大球面？下，問：小球滾到何處恰好脫離大球面？RrfNgm根據(jù)質(zhì)心運動定律，有 解：當小球滾至任一角解：當小球滾至

7、任一角度度 時，其受力為時，其受力為Nfgm和和支支撐撐力力，摩摩擦擦力力重重力力 1cos2rRvmNmgc 10 以小球和大球為系統(tǒng)，外力以小球和大球為系統(tǒng)，外力 不做功機不做功機械能守恒，取地面為重力勢能零點，則有械能守恒，取地面為重力勢能零點，則有fN, 2211cos222ccmg Rrmg RrmvI由題意為純滾動，所以由題意為純滾動，所以開始脫離時有開始脫離時有聯(lián)立（聯(lián)立（1）、（）、（2）、（）、（3）、（）、（4）、（）、（5）解得：解得： 3 rvc 50 N 1710arccos,1710cos 即即252mrIc (4)例例9.如圖所示，如圖所示，A、B 兩圓盤可分別繞

8、兩圓盤可分別繞 ， 軸無摩軸無摩擦地轉動。重物擦地轉動。重物 C 系在繩上（繩不伸長），且與圓系在繩上（繩不伸長），且與圓盤邊緣之間無相對滑動。已知盤邊緣之間無相對滑動。已知 A、B 的半徑分別為的半徑分別為R1 ，R2 ，A 、B、C 的質(zhì)量分別為的質(zhì)量分別為 m1，m2 ，m，求：重物，求：重物 C 由靜止下降由靜止下降 h時的速度時的速度 v 。1O2O解一：應用機械能守解一：應用機械能守恒定律恒定律ABC2O1O11,Rm22,Rmmh0PE2222112212121 IImvmgh 不打滑：有不打滑：有2211RRv考慮到：考慮到：222221112121RmIRmI 得得mmmmg

9、hv22212222112212121 IImvmgh ABC2O1O11,Rm22,Rmmh 解二：應用牛頓第二定律和轉動定律解二：應用牛頓第二定律和轉動定律1T1T2T2TgmA： （1） 1111 IRT B： （2）222122 IRTRT C： （3）maTmg2不打滑，有不打滑，有 （4）2211 RRa 聯(lián)立（聯(lián)立（1）、（）、（2）、（）、（3）、（）、（4）解得：）解得：mmmmga2221mmmmghahv2222115xymgcaN) 1 (, 02LcmmaFmgN)2(231mLIoAFoLoA32解：建立圖示坐標系，據(jù)題意，桿解：建立圖示坐標系，據(jù)題意，桿受力及運動

10、情況如圖所示。受力及運動情況如圖所示。由質(zhì)心運動定理：由質(zhì)心運動定理： 由轉動定理：由轉動定理： 聯(lián)立（聯(lián)立（1），（），（2）得：）得：, 0 ixF TmgFiy 2)(1212)(2LamLLTmTmgacycy轉動定理轉動定理質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理 mgFgacy4143例例11.11.如圖所示如圖所示, ,一長為一長為L L質(zhì)量為質(zhì)量為m m的勻質(zhì)細棒的勻質(zhì)細棒AB,AB,用用細線拴住其兩端細線拴住其兩端, ,水平懸于空中水平懸于空中, ,若將若將A A端懸線剪斷端懸線剪斷, ,試求剪斷的瞬間桿的質(zhì)心的加速度和試求剪斷的瞬間桿的質(zhì)心的加速度和B B端懸線對桿的端懸線對桿的拉力拉力.

11、 . 解得解得: :解解: :在剪斷的瞬間在剪斷的瞬間: : 例例12.如圖如圖,知知A: m,l,質(zhì)量均勻質(zhì)量均勻,開始時水平靜止開始時水平靜止mOABlmB:m , , A豎直時被碰豎直時被碰,然后然后滑行距離滑行距離S.求求 :碰后碰后A的質(zhì)心可達高度的質(zhì)心可達高度h.解解: :A由水平下擺至垂直由水平下擺至垂直, ,機械能守恒機械能守恒. .以地面為零勢能點以地面為零勢能點mglImgl212121 A與與B碰撞對碰撞對O點點角動量守恒角動量守恒.21mvlII B向右滑動向右滑動, ,根據(jù)根據(jù)動能定理動能定理：.mgSmv212 A向上擺動向上擺動機械能守恒機械能守恒mghIlmg

12、222121 可解得可解得: :2)61(2121lsllh 例例13如圖所示，一質(zhì)量為如圖所示，一質(zhì)量為m的勻質(zhì)細桿的勻質(zhì)細桿AB，A端靠在光滑的豎直墻壁上，端靠在光滑的豎直墻壁上，B端置于粗糙水端置于粗糙水平地面上而靜止桿身與豎直方向成平地面上而靜止桿身與豎直方向成 角，則角，則A端對墻壁的壓力大小為端對墻壁的壓力大小為 （ ） 。DmgCmgBmgA不不能能確確定定.,sin.,tan21.,cos41. A R B R B例例14.一質(zhì)量為一質(zhì)量為 m 的子彈丸，穿過如圖所示的擺錘的子彈丸，穿過如圖所示的擺錘 后，速率由后，速率由 v 減少到減少到 。若擺錘的質(zhì)量為。若擺錘的質(zhì)量為 M

13、，擺桿的質(zhì)量也為擺桿的質(zhì)量也為 M（均勻細桿），長度為（均勻細桿），長度為 l，如果，如果擺錘能在垂直平面內(nèi)完成一個完全的圓擺錘能在垂直平面內(nèi)完成一個完全的圓周運動，彈丸的速度的最小值應為多少？周運動，彈丸的速度的最小值應為多少？2vMMl,mv2v 解：解：取擺錘、地球和子彈為取擺錘、地球和子彈為系統(tǒng)，子彈穿過擺錘過程中，系系統(tǒng)，子彈穿過擺錘過程中，系統(tǒng)對轉軸的角動量守恒：統(tǒng)對轉軸的角動量守恒： 321111IIII 即即得擺錘開始轉動的角速度為：得擺錘開始轉動的角速度為：擺錘開始轉動后機械能守恒，設擺錘在垂直位置為擺錘開始轉動后機械能守恒，設擺錘在垂直位置為勢能零點，有勢能零點，有 222

14、2312MlMllvmllvmlMlmv83 232221232lMglMglMgII lg29 得：得：lgMlmv2983 則：則：glmMv24 即：即：例例15.設某機器上的飛輪的轉動慣量為設某機器上的飛輪的轉動慣量為 I，其在制動，其在制動力矩力矩 的作用下，角速度由的作用下，角速度由 減小到減小到 ，問此過程所需的時間和制動力矩所作，問此過程所需的時間和制動力矩所作的功各為多少？的功各為多少？常量KKM020M解：解：由轉動定律：由轉動定律：移項后兩邊積分：移項后兩邊積分： KdtdIM dtIKdt 0200 再由轉動動能定理得：再由轉動動能定理得：020208321221 II

15、IW 2lnKIt 得：得：解：桿解：桿 地球系統(tǒng)，地球系統(tǒng)， 只有重力作功，只有重力作功，E 守恒。守恒。例例16.16.已知：均勻直桿質(zhì)量為已知：均勻直桿質(zhì)量為m m，長為長為l l, ,初始時水平初始時水平靜止，軸光滑，靜止，軸光滑，AO=AO=l l/4/4，求桿下擺，求桿下擺角后，角速度角后，角速度為多少？為多少？初始：初始：E Ek1k1=0=0令令E Ep1=p1=0 0末態(tài)：末態(tài)：2221 IEk sin42lmgEp 0sin42120 lmgI則：則： (1)由平行軸定理由平行軸定理22220487)4(121mllmmlmdIIc (2)由由(1)(1) 、(2),(2)

16、,得：得：71sin62 g 彈性碰撞，動能守恒，彈性碰撞，動能守恒，解：解： 對棒和球系統(tǒng)，角動量守恒，對棒和球系統(tǒng)，角動量守恒，例例17.17.一根長為一根長為l l ，質(zhì)量為質(zhì)量為m m的均勻直棒靜止在一光的均勻直棒靜止在一光滑水平面上。它的中點有一豎直光滑固定軸，一個滑水平面上。它的中點有一豎直光滑固定軸，一個質(zhì)量為質(zhì)量為 的小球以水平速度的小球以水平速度 v v0 0垂直于棒沖擊其一垂直于棒沖擊其一端發(fā)生彈性碰撞。求端發(fā)生彈性碰撞。求: :碰撞后球的速度碰撞后球的速度 和棒的角和棒的角速度速度 。vm 例例18. .一輕繩跨過兩個質(zhì)量為一輕繩跨過兩個質(zhì)量為 m、半徑為、半徑為 r 的

17、均勻圓盤狀定滑輪的均勻圓盤狀定滑輪, ,繩的兩端分別掛著質(zhì)繩的兩端分別掛著質(zhì)量為量為 2m 和和 m 的重物的重物, ,如圖所示如圖所示, ,繩與滑輪繩與滑輪間無相對滑動間無相對滑動, ,滑輪軸光滑滑輪軸光滑, ,兩個定滑輪的兩個定滑輪的轉動慣量均為轉動慣量均為 mr2 2/ /2, , 將由兩個定滑輪以及將由兩個定滑輪以及質(zhì)量為質(zhì)量為 2m 和和 m 的重物組成的系統(tǒng)從靜的重物組成的系統(tǒng)從靜止釋放止釋放, ,求重物的加速度和兩滑輪之間繩內(nèi)求重物的加速度和兩滑輪之間繩內(nèi)的張力。的張力。mm2rm,rm,解：,4/ga得3Tmg2TT2T31Tmg2T1 ra mamgT3 rTTmr23221

18、)( rTTmr22121)( maTmg2218/mg11T2 例例19. .質(zhì)量為質(zhì)量為 m1、長為、長為 l 的均勻細桿的均勻細桿, ,靜止平放在滑動摩擦系數(shù)為靜止平放在滑動摩擦系數(shù)為 的水平的水平桌面上桌面上, ,它可繞過其端點它可繞過其端點 o 且與桌面垂且與桌面垂直的固定光滑軸轉動直的固定光滑軸轉動, ,另有一水平運動另有一水平運動的質(zhì)量的質(zhì)量 m2為的小滑塊為的小滑塊, ,從側面垂直與從側面垂直與桿的另一端桿的另一端 A 相碰撞相碰撞, ,設碰撞時間極短設碰撞時間極短, ,已知小滑塊在碰撞前后的速度分別為已知小滑塊在碰撞前后的速度分別為 v1 和和 v2 , ,方向如圖所示方向如圖所示,