超聲變幅桿的設(shè)計

1、本科畢業(yè)論文(2015屆)題 目超聲變幅桿及其性能參數(shù)測試平臺設(shè)計學(xué) 院機械工程學(xué)院專 業(yè)機械設(shè)計制造及其自動化班 級學(xué) 號學(xué)生姓名指導(dǎo)教師完成日期2015年5月誠 信 承 諾我謹在此承諾：本人所寫的畢業(yè)論文超聲變幅桿及其性能參數(shù)測試平臺設(shè)計均系本人獨立完成，沒有抄襲行為，凡涉及其他作者的觀點和材料，均作了注釋，若有不實，后果由本人承擔。 承諾人(簽名)： 年 月 日摘 要本文從已知的變幅桿大小端直徑、工作頻率和材料出發(fā)，對超聲加工系統(tǒng)中的變幅桿進行了研究。本文主要包括以下研究內(nèi)容：1. 根據(jù)已有的變幅桿大小端直徑，通過波動方程理論，完成對階梯型、指數(shù)形、圓錐形三種變幅桿的外形設(shè)計計算。2.

2、利用有限元方法，借助有限元軟件ANSYS對設(shè)計出的三種變幅桿進行動力學(xué)分析。先在SolidWorks中建立三種變幅桿的三維模型，再導(dǎo)入ANSYS中進行模態(tài)分析和諧響應(yīng)分析。模態(tài)分析是指在規(guī)定超聲波發(fā)生器所產(chǎn)生的振動的頻率范圍內(nèi)，測定出變幅桿的各個固有頻率。諧響應(yīng)分析是指確定變幅桿的一個固有頻率，并在變幅桿的一個固定斷面施加一個正弦規(guī)律的振動，再測定變幅桿的自由端的振動變化。通過比較自由端和固定端的振幅大小變化，求出所設(shè)計的變幅桿的振幅放大比。3. 搭建實驗測定平臺。搭建了單獨測定變幅桿放大系數(shù)的實驗平臺，還搭建了測定超聲振動系統(tǒng)性能的實驗平臺，并對已有的變幅桿加以實驗測定。通過阻抗分析儀、激光

3、位移傳感器等得到諧振頻率、放大系數(shù)的實際測量數(shù)據(jù)，并判定了已有的超聲振動系統(tǒng)的性能。關(guān)鍵詞：超聲變幅桿；有限元；模態(tài)分析；諧響應(yīng)分析；實驗平臺ABSTRACTStarting from the known diameters of both ends of ultrasonic horn, the working frequency and the material, the horn with the ultrasonic processing system were studied. This paper mainly includes the following content

4、s:1. According to the diameters of both ends of ultrasonic, and by the theory of wave equation, complete the size calculation of tapered, exponential and stepped ultrasonic horn.2. Using the finite element method, complete the dynamics analysis of three horn by the finite element software ANSYS. Fir

5、st, we should set up 3D models of three horn in SolidWorks, and then import 3D models to ANSYS for modal analysis and harmonic response analysis. Modal analysis is in accordance with the ultrasonic generator vibration frequency range and determine each natural frequency of the horn. Harmonic respons

6、e analysis is in the determined natural frequency of a horn, and the horn of a fixed section applied a sinusoidal vibration, to determine the vibration change of the free end of the horn. By comparing the amplitude change of the free end and the fixed to get the amplification ratio of the designed h

7、orn.3. Set up the experimental test platform.The experimental platform of measuring the amplification coefficient of variable amplitude rod is established, and then the experimental platform of measuring the ultrasonic vibration system performance is established, and the existing variable ampli

8、tude rod was measured experimentally. The actual measurement data of the resonant frequency and the amplification coefficient are obtained by the impedance analyzer and laser displacement sensor, and the performance of the ultrasonic vibration system is determined.Keywords: ultrasonic horn；finite el

9、ement；modal analysis；harmonic response analysis；experimental platform目 錄第一章 緒論11.1 引言11.2 國內(nèi)外研究發(fā)展歷程1第二章 超聲波加工概述42.1 超聲波的特點42.2 超聲加工的基本原理52.3超聲加工的特點7第三章 變幅桿的設(shè)計83.1 變幅桿設(shè)計理論83.1.1 變幅桿設(shè)計概述83.1.2 變截面縱振動的波動方程83.2 指數(shù)形變幅桿的理論計算103.2.1 指數(shù)形變幅桿頻率方程和諧振長度113.2.2 指數(shù)形變幅桿的位移節(jié)點113.2.3 指數(shù)形變幅桿的放大系數(shù)123.2.4 指數(shù)形變幅桿的計算123.

10、3 圓錐形變幅桿的理論計算123.3.1 圓錐形變幅桿的頻率方程和諧振長度133.3.2 圓錐形變幅桿的位移節(jié)點143.3.3 圓錐形變幅桿的放大系數(shù)143.3.4 圓錐形變幅桿的計算143.4 階梯形變幅桿的理論計算143.4.1 階梯形變幅桿的位移節(jié)點153.4.2 階梯形變幅桿的放大系數(shù)163.4.3 階梯形變幅桿的計算16第四章 運用ANSYS對變幅桿的動力學(xué)分析174.1 有限元方法簡介174.2 有限元方法動力學(xué)分析的理論基礎(chǔ)184.2.1 模態(tài)分析的力學(xué)基礎(chǔ)184.2.2 諧響應(yīng)分析的力學(xué)基礎(chǔ)194.3 變幅桿的動力學(xué)分析214.3.1 變幅桿模型的建立214.3.2 變幅桿網(wǎng)格

11、的劃分224.3.3 變幅桿的模態(tài)分析244.3.4 變幅桿的諧響應(yīng)分析25第五章 變幅桿性能參數(shù)測試實驗平臺的搭建305.1 實驗?zāi)康?05.2 實驗設(shè)備305.2.1 壓電式加速度傳感器305.2.2 電荷放大器325.2.3 示波器335.3 實驗測試系統(tǒng)的搭建33第六章 超聲振動系統(tǒng)實驗平臺的搭建356.1 實驗簡介356.2 主要實驗設(shè)備356.2.1 激光位移傳感器356.2.2 阻抗分析儀366.3 實驗測試系統(tǒng)的建立366.4 實驗測試過程與結(jié)果分析37第七章 總結(jié)與展望407.1 總結(jié)407.2 展望40致謝42參考文獻43第一章 緒論1.1 引言超聲波加工是一種近十幾年來新

12、興的加工技術(shù)，目前已經(jīng)在很多工業(yè)中得到了應(yīng)用。超聲波振動的使用在生產(chǎn)和生活中越來越多，例如在在生活中的超聲波清洗，還有生產(chǎn)中的超聲波焊接等方面。且已經(jīng)證明了超聲波振動在其他很多行業(yè)中有諸多優(yōu)點。這些行業(yè)包括汽車、食品加工、醫(yī)療、紡織等。通過超聲加工，以達到產(chǎn)品性能的顯著提升和質(zhì)量的改進。超聲振動的能量在加工中是通過兩種不同的方法實現(xiàn)的。超聲波加工，這種方法是基于材料去除的磨料原理。是用被連接在超聲變幅桿末端的被制成精確外形的刀具對工件進行研磨?；诔暡ㄝo助加工的傳統(tǒng)加工技術(shù)。本文主要探討的是關(guān)于第一種方法，即超聲波加工方法。超聲波加工所應(yīng)用的加工的材料和范圍十分廣闊，特別適合于加工一些難加工

13、或是需要高精度的材料，例如含碳量高的合金鋼等。反復(fù)的高頻振動沖擊模式帶來了一些獨特的性能并被改進成金屬切削工藝1，其中工件和刀具之間的相互作用被看成是一個微振動的過程。在超聲波加工系統(tǒng)中，換能器是產(chǎn)生振動的，但是它產(chǎn)生的振動的振幅一般非常小，大約只有，這種程度的振幅對于加工工件的磨料驅(qū)動是遠遠不夠的2。在這種情況下，就需要一個部件能夠放大換能器產(chǎn)生的振幅，這個零件就是變幅桿，它能有效地放大振幅。在目前的生產(chǎn)和研究中中，設(shè)計比較簡單和常見的有：指數(shù)形，階梯形還有圓錐形形狀的變幅桿。除此之外，為了得到各種不同形狀變幅桿的優(yōu)點，回避其缺點，以提高形狀因數(shù)，增大放大系數(shù)，在實際的生產(chǎn)應(yīng)用中會使用各種各

14、樣的復(fù)合型變幅桿，所謂的復(fù)合型變幅桿，實際上就是由兩種或以上的普通變幅桿連接組合形成的。由于此次課題暫不涉及到復(fù)合型變幅桿，便不多贅述。下文對三種單一的變幅桿做詳細的計算分析和研究。在研究過程中，還有對上述三種變幅桿的動力學(xué)分析部分，主要是模態(tài)分析還有諧響應(yīng)分析。動力學(xué)的分析運用了有限元分析法，運用的軟件是ANSYS。此外還設(shè)計搭建了測試變幅桿放大系數(shù)的實驗測試平臺，對現(xiàn)有的變幅桿進行了實驗測試，以論證實驗平臺的可行性。本文的主要目的是對超聲變幅桿動力學(xué)特性所需的外形及幾何尺寸的選擇提出普遍適用的結(jié)論。1.2 國內(nèi)外研究發(fā)展歷程超聲學(xué)有很多不同的研究方向，超聲波加工技術(shù)就是這許多研究方向的其中

15、之一，其發(fā)展迅速，發(fā)揮著重大作用。伴隨著超聲學(xué)的發(fā)展，超聲加工的應(yīng)用范圍越來越廣，而也正是超聲加工的發(fā)展，反過來也推動了超聲學(xué)的進步。19世紀二三十年代，超聲波加工實驗首次開始進行，當時是由美國的一些物理學(xué)家參與研究。在那時，玻璃制品的加工還是非?？嚯y，所以超聲波加工實驗的對象就是玻璃。那時還沒有涉及到超聲變幅桿這個概念，這個概念是1945年左右提出的。最開始，變幅桿的類型是縱指數(shù)形的，其目的是為了放大超聲波的功率。后來，發(fā)現(xiàn)單一指數(shù)形形狀的變幅桿不適合用于所有的生產(chǎn)情況中，在這個前提下，懸鏈形和復(fù)合型被提了出來，并運用到了實踐中。對于變幅桿的外形形狀在此之前一直沒有一個參數(shù)加以描述，直到形狀

16、因數(shù)這個概念被提出，有了這個參數(shù)概念，變幅桿的設(shè)計理論更加趨于成熟，沿桿方向分布更均勻的高斯形變幅桿被發(fā)明了出來，以此獲得了高位移的振幅。還有一個超聲加工中非常重要的零件在這時被提了出來：振動方向變換器。基于此零件，大功率超聲獲得的途徑有了更多的選擇。在此基礎(chǔ)上，另一種結(jié)構(gòu)也被提了出來：夾心彎曲換能器。此后，變幅桿的發(fā)展突飛猛進，特別是在日本，在這一領(lǐng)域有了很多新的先進的發(fā)明，這些發(fā)明進一步推動了變幅桿的發(fā)展。隨著變幅桿領(lǐng)域的快速發(fā)展，彎曲振動形的還有扭轉(zhuǎn)振動形的都在工業(yè)應(yīng)用中得到了很好的利用。除了以上所提到的常規(guī)形狀的變幅桿，在一些特殊領(lǐng)域工業(yè)中也出現(xiàn)了一些特殊形狀的變幅桿，例如變厚度的盤形

17、變幅桿等，雖然外形看上去不是變幅桿的外形，但是從功能上來說也屬于變幅桿的范疇?？v觀變幅桿的發(fā)展歷史，,W.K.H.Seah在其中做出了巨大的貢獻。對變幅桿采用CNC加工就是他們提出的，事實證明，這種方法對變幅桿的加工起到了很好的促進作用。孫玉林教授對指數(shù)形超聲變幅桿展開了深入的研究，對縱振扭轉(zhuǎn)的能量還有指數(shù)衰減系數(shù)，及其具體選擇方案做了研究3。ANSYS對于變幅桿的設(shè)計優(yōu)化運用的十分靈活是在埃及科學(xué)家等提出了ANSYS軟件包對變幅桿的具體仿真過程后實現(xiàn)的，他們自己還對雙錐形變幅桿進行了仿真測試，過程中不是現(xiàn)在最常用的體單元，而是面單元，所做的這個仿真得出了變幅桿在不同截面處的振幅大小，這種仿真

18、研究為工業(yè)實踐中選擇合適外形尺寸的變幅桿提供了非常好的參考方案4。目前，有限元分析法等軟件技術(shù)已經(jīng)普遍被用來設(shè)計軸對稱形狀的變幅桿。隨著有限元軟件技術(shù)的發(fā)展，又有L.C.Lee等人運用這一類軟件測定了變幅桿的固有頻率，這在變幅桿的發(fā)展中是及其重要的一步，因為運用仿真得到了固有頻率，這樣子在設(shè)計時就能使變幅桿更好地達到固有頻率，就能達到更好的效果5。有限元技術(shù)的運用并不僅僅局限于變幅桿，它有非常廣的運用范圍，只在超聲加工領(lǐng)域，還能用于研究壓電式換能器。B.Dubus等人就運用有限元軟件對其進行了研究，并得出了一些普適結(jié)論。當變幅桿承受負載時，其一些特性又有了不一樣的結(jié)論，所以對于負載下變幅桿的特

19、性研究還是很有必要的，因為變幅桿總是在有負載下工作的，廖華麗等人就在這一方面展開了詳細的研究，且得到了很好的效果6?？v觀變幅桿的發(fā)展歷程，之前前輩們對于變幅桿的研究已經(jīng)非常的透徹，本文只是在眾多前輩的研究成果的基礎(chǔ)上，做一些在這個領(lǐng)域有關(guān)的研究。第二章 超聲波加工概述2.1 超聲波的特點超聲波，顧名思義，也是聲波的一種，聲波是一種縱波。正常聲波的頻率范圍是。高出了這個范圍，人耳便不能感受到了，這就是超聲波，不被人耳所感知的一種聲波，當然還有低于這個范圍的聲波叫做次聲波，也不能被人耳所感知，但本次課題研究中所涉及的是前者。超聲波的運用，一般有以下兩種：一是在特種加工領(lǐng)域，利用超聲波所攜帶的巨大能

20、量，在材料加工領(lǐng)域發(fā)揮其巨大的作用。二是在信息采集領(lǐng)域，利用超聲波強大的穿透能力來采集信息，且對人體幾乎無傷害。超聲波具有以下一些特性： 1)超聲波是聲波的一種，所以它和聲波的特性一樣，能在固體、液體、氣體等各種介質(zhì)中傳播，其傳播的速度和波長、介質(zhì)密度、頻率等有關(guān)。可以用下面這個公式表示 (2.1)其中，式中：超聲波的傳播速度；超聲波的波長；超聲波的頻率。 2)超聲波在傳播的過程中，其運動的軌跡可用余弦函數(shù)來表述，即以下公式： (2.2)其中，式中：質(zhì)點運動的位移；質(zhì)點振動的振幅；圓頻率；時間；振動的相位角。3)正如前面所提到的一樣，超聲加工利用的就是超聲波所攜帶的巨大的能量，所以超聲波特性之

21、下就是能夠傳遞巨大的能量。要用能量強度來表示的話，垂直于傳播方向，每平方厘米，可以高達上百瓦。這其中，九成以上能夠利用在加工之中。4)當超聲波在液體中傳播時，又會具有在其他介質(zhì)中傳播所不具有的特性，因為在液體中，超聲波的高頻率振動會帶動著液體振動，液體質(zhì)點在超聲波的帶動下，產(chǎn)生了有些區(qū)域稀疏，有些區(qū)域壓縮的現(xiàn)象。但是液體基本上是不可壓縮的，所以在稀疏區(qū)域和壓縮區(qū)域的壓力就會有正負交替變化的現(xiàn)象，這種現(xiàn)象稱為空化現(xiàn)象。空化現(xiàn)象指的就是瞬時的液體壓力增大，能夠達到幾十個大氣壓，并伴隨著液壓沖擊。就是利用超聲波在液體中的這種特性，超聲加工中刀具帶動著磨料懸浮液，使得交變的脈沖壓力作用于所要加工的工件

22、表面，破壞分散表面固體物質(zhì)，以達到加工效果。5)反射和折射是波所具有的通性，超聲波也不例外。當超聲波從一種介質(zhì)傳向另一種介質(zhì)中，就會產(chǎn)生折射，同時也伴隨著反射。但反射的量的多少，即所反射的能量的多少要取決于一個常數(shù)：波阻抗(密度與波速的乘積)。超聲波所進過的兩種介質(zhì)的波阻抗的值差距越大，超聲波所不不能通過的，即被反射的能量就越多。在變換了介質(zhì)材料狀態(tài)的情況下，這種現(xiàn)象最為明顯，即例如從固體傳向液體等類似的情況，超聲波幾乎會反射所有能量。在相鄰的固體介質(zhì)中傳播時，由于兩固體之間肯定會有縫隙，這會對超聲波的反射造成巨大的有利條件，為了減少能量的損失，改善超聲波的傳遞，往往會在兩個固體之間塞上填充物

23、，例如凡士林等，這樣既能起到固定連接的作用，也能起到減少超聲波反射而造成的能量損失。2.2 超聲加工的基本原理 在超聲加工的過程中，換能器是直接連接著電源的。換能器能轉(zhuǎn)換電能為機械能，將電震蕩轉(zhuǎn)換為同一頻率、垂直于被加工零件表面的超聲機械振動，但是換能器所產(chǎn)生的振動的振幅僅為。所以需變幅桿對其進行放大，變幅桿放大后為，放大后的振動可驅(qū)動端面刀具做超聲振動。在刀具振動的過程中，磨料懸浮液(其中包括磨料、水或煤油)在刀具的帶動下，做出高速的振動，磨粒直接快速作用到材料上，使加工區(qū)域的材料變形、開裂，一直到被加工工件表面需要去除的部分散碎成微粒，如圖2.1所示。圖2.1超聲波加工示意圖 刀具的不斷振

24、動帶動了磨料懸浮液的不斷攪動，促使了懸浮液中的磨料對工件表面進行快速打磨。在這過程中，又因為超聲波是在液體中傳播，所以伴隨著空化現(xiàn)象，這樣工件的表面就會形成液體空腔，懸浮液就會滲入到工件的縫隙中?？栈饔眠€有另外一個作用，那就是均勻了磨料懸浮液和加快了加工產(chǎn)物的排除。就是在這個反復(fù)的過程下，各個環(huán)節(jié)的不斷重復(fù)循環(huán)，實現(xiàn)了超聲加工?？偨Y(jié)為一句話，就是超聲加工是磨粒在磨料懸浮液中，在超聲振動的作用下沖擊、拋磨材料表面的過程，與此同時，也有空化現(xiàn)象和侵蝕的作用，但是這兩樣是輔助，主要還是懸浮液中磨料的振動。所以可以得出一個結(jié)論：脆性材料更適合超聲加工，因為其材料受到?jīng)_擊作用時較易被破壞。超聲加工設(shè)備

25、是對機床、超聲波發(fā)生器、超聲振動系統(tǒng)還有磨料懸浮液循環(huán)系統(tǒng)的總稱。上述中的超聲振動系統(tǒng)是以換能器為先的加上變幅桿和刀具的總稱。超聲變幅桿所起到的作用就是放大換能器所產(chǎn)生的超聲波振動的振幅，以適用于刀具對超聲加工的需要。且不同超聲振動系統(tǒng)中使用的變幅桿形狀一般是不同的，即沿變幅桿長度方向上截面面積變化情況不同。振動在通過變幅桿時，一路傳播下來，對每個截面來說，所攜帶的能量是不變的，即如果在橫截面積非常小的截面，所攜帶的能量也是一樣的，那么對于這個截面來說，能量密度就會非常大，振動幅度也會隨之提高。另外為了使得變幅桿起到放大振幅的作用，最終能夠輸出足夠大的振幅，換能器所產(chǎn)生的振動的頻率應(yīng)該近似等于

26、變幅桿的固有頻率，使兩者能夠達到共振的狀態(tài)。這就給變幅桿在設(shè)計之初就提出了一個要求，變幅桿的諧振長度應(yīng)該是等于超聲波波長的一半，或者應(yīng)該是整數(shù)倍的。2.3超聲加工的特點超聲加工非常適用于加工脆性硬性材料，例如石英等等。加工范圍也十分的廣闊，不僅僅是切割打磨而已，還有打孔等等各方各面都可以運用超聲加工。當然超聲加工也適用于加工耐熱導(dǎo)電性金屬材料，包括高碳鋼等等。目前超聲加工應(yīng)用非常廣泛，在各行各業(yè)都有其身影。目前應(yīng)用的由超聲焊接、超聲切削、超聲波清洗、超聲鉆孔等等，還包括醫(yī)學(xué)界的超聲波CT。從而可見，超聲波的應(yīng)用和前景都非常廣闊。由于超聲加工工件時，去除工件材料的原理主要是依靠磨粒瞬間局部的沖擊

27、作用，所以工件表面所受的宏觀切削力非常小，切屑應(yīng)力和切削熱也很小，故不會使被加工工件產(chǎn)生變形和燒傷，極大程度地降低了被加工工件的表面粗糙度，一般可達到，尺寸精度可達，這樣的加工精度同樣適用于加工窄縫、薄壁、低剛度的零件。超聲加工中的刀具可以使用較軟的材料，做成較復(fù)雜的形狀，且刀具和被加工工件之間不需要復(fù)雜的相對運動，就能夠加工不同的復(fù)雜的型腔和型面。所以，一般來說，超聲加工系統(tǒng)的機床結(jié)構(gòu)比較簡單，操作和維修也較數(shù)控加工中心等其他加工設(shè)備簡單。另外，超聲加工系統(tǒng)不受被加工材料是否具有導(dǎo)電性的限制。對超聲加工來說，被加工工件的材料脆性越大越容易加工，材料硬度越大，或強度韌性越大越難加工。因為超聲加

28、工加工工件時，直接接觸工件的是磨料懸浮液，而不是刀具，所以說，刀具起到的作用和普通車床上是不一樣的，因此刀具的硬度沒必要那么高，可以低于工件材料，但是和工件材料直接接觸的懸浮液中的磨粒，其硬度是必須大于工件材料的。此外，超聲加工還可以與其他多種加工方法相結(jié)合，形成各種復(fù)合加工工藝，例如生產(chǎn)中經(jīng)常應(yīng)用的超聲電火花加工，當然還有超聲電解加工、超聲振動鉆削等。第三章 變幅桿的設(shè)計3.1 變幅桿設(shè)計理論3.1.1 變幅桿設(shè)計概述超聲變幅桿的主要功能是把超聲波的振幅放大至刀具有效加工所需的大小。超聲變幅桿也可以看做是把振動能從換能器傳遞到刀具的工具。它是通過與換能器達到共振來是實現(xiàn)工作。超聲變幅桿的設(shè)計

29、制造過程需要非常小心，要校核再校核。設(shè)計不合理的超聲變幅桿會有損設(shè)備的機械加工性能，會對振動系統(tǒng)產(chǎn)生破壞并對超聲發(fā)生器造成巨大的損壞。超聲波傳播原理和簡單機械振動系統(tǒng)的振動還有質(zhì)點理論是超聲變幅桿的理論設(shè)計基礎(chǔ)2。通常，超聲變幅桿是由具有高疲勞強度和耐磨的金屬制成的。超聲變幅桿設(shè)計中最重要的環(huán)節(jié)就是對其共振頻率的確定和正確的諧振波長的確定。變幅桿的諧振長度如上文所提到的，應(yīng)該是超聲波半波長的倍數(shù)。簡單幾何形狀(圓柱形)的超聲變幅桿的諧振頻率是能夠確定的。對于復(fù)雜幾何形狀的變幅桿的諧振頻率通常通過有限元的方法來確定7。超聲變幅桿的主要性能需有由放大系數(shù)來評估 (3.1)式中 A0超聲變幅桿輸入端

30、的振幅， A1超聲變幅桿輸出端的振幅，對放大系數(shù)的基本要求 (3.2)3.1.2 變截面縱振動的波動方程在設(shè)計和應(yīng)用變幅桿的過程中，為了簡便起見，可以從理論上把變幅桿考慮成是由均勻、各向同性材料所構(gòu)成的變截面桿。并且當變幅桿的尺寸遠遠小于波長時，在不計損耗的前提下，并且縱波一定是沿著變幅桿的中心軸方向進行傳播，那么在桿的各個橫截面上應(yīng)力的分布應(yīng)該是均勻的8。圖3.1變截面桿縱振示意圖圖3.1所示的是變截面桿縱振的示意圖，圖中的軸是變幅桿的中心對稱軸，作用在微小體元(，所限定的區(qū)間)上的張應(yīng)力為，利用牛頓定律，加以推導(dǎo)，可以得處變幅桿理論的關(guān)鍵動力學(xué)方程9： (3.3)其中：桿的橫截面積函數(shù)；

31、質(zhì)點位移； 應(yīng)力函數(shù)； 桿材料的密度； 楊氏模量。 當處于簡諧振動的情況下，式(3.3)又可以改寫成(3.4) 上面這個式子就是變截面桿縱振動的波動方程，其中，為園波數(shù)，為園頻率，為縱波在細棒中的傳播速度。可以根據(jù)邊界條件來求解此方程10，利用此方程，可以求得引起和振動波產(chǎn)生共振的變幅桿的長度以及在這個長度下的振幅的變化情況。但上述公式是有適用前提的，只是在變幅桿的截面函數(shù)按照一定規(guī)律變化的情況下，例如：階梯形，指數(shù)形，圓錐形等變幅桿。對于截面函數(shù)更為復(fù)雜的或者是復(fù)合型的變幅桿，式(3.4)中的對的一階導(dǎo)數(shù)就不是常數(shù)，即所說的式(3.4)的一次項先系數(shù)不是常數(shù)，那么這個方程的求解就會變得困難。

32、本文所研究的課題的變幅桿的工作頻率為，變幅桿的截面都為圓截面，變幅桿所用的材料45鋼，縱波在變幅桿中的傳播速度為1。此次研究的課題，將對指數(shù)形、圓錐形和階梯形變幅桿進行理論設(shè)計及計算。下文將展開具體公式推導(dǎo)和計算。3.2 指數(shù)形變幅桿的理論計算圖3.2指數(shù)形變幅桿圖3.2所示的為指數(shù)形變幅桿。變幅桿在坐標原點(處)的橫截面積為，(處)的橫截面積為。而作用在變幅桿輸入端(處)以及輸出端(處)的力和縱波振動速度分別為。取指數(shù)形變幅桿的橫截面為圓截面時，圓截面半徑的函數(shù)為。其中，式中；那么這樣就可求得方程(3.4)的解為： (3.5)其中式中，。在下文中，為了方便計算，可以省略去時間因子。那么，應(yīng)變

33、分布的表達式可以寫成： (3.6)且變幅桿的邊界條件為兩端自由： (3.7)3.2.1 指數(shù)形變幅桿頻率方程和諧振長度從上文式(3.6)和邊界條件(3.7)中的可以得到以下關(guān)系式且由于，所以可以得到頻率方程 (3.8)或 (3.9) (3.10) 因為，可以得到指數(shù)形變幅桿中縱波的傳播速度 (3.11)通過上述式子可以得出結(jié)論，在指數(shù)形變幅桿中，縱波的傳播速度是和圓頻率有關(guān)系的，當滿足關(guān)系 或 時，必須按照以上公式來設(shè)計指數(shù)形超聲變幅桿，聲波在變幅桿中的傳播才能實現(xiàn)，振動能才能從變幅桿的輸入端傳到輸出端。把式(3.11)代入到式(3.10)中，結(jié)合式，就可以計算出諧振長度： (3.12)這里需

34、要注意的是，前文公式中所出現(xiàn)的和分別指的是縱波在指數(shù)形變幅桿和均勻細桿中的波長。3.2.2 指數(shù)形變幅桿的位移節(jié)點根據(jù)邊界條件(3.7)以及式(3.5)、式(3.6)，可以確定出常數(shù)，將其代入式(3.5)中，可得到質(zhì)點沿軸向的位移分布方程為 (3.13)當時，可以求出位移節(jié)點 或 (3.14)3.2.3 指數(shù)形變幅桿的放大系數(shù)根據(jù)式(3.13)可以得出 把頻率方程代入到上述式子中就可以得到放大系數(shù)為 (3.15)3.2.4 指數(shù)形變幅桿的計算根據(jù)課題所給數(shù)據(jù)，按照面積系數(shù)計算公式，求得面積系數(shù)。為了減小變幅桿尺寸，本方案采用半波長變幅桿，在公式(3.12)中，取，計算求得諧振長度，進而求得。接

35、著判定是否成立，滿足要求，說明設(shè)計出的此尺寸變幅桿能夠傳遞聲波。再根據(jù)式(3.14)計算出位移節(jié)點，根據(jù)式(3.15)計算出放大系數(shù)。3.3 圓錐形變幅桿的理論計算圖3.3圓錐形變幅桿圖3.3所示的為圓錐形變幅桿。假設(shè)作用在此圓錐形變幅桿兩端的力和振動速度分別為,和，且變幅桿在坐標原點()處的直徑為，在另一端部()處的直徑為，可得到函數(shù)的關(guān)系式為 其中，式中 此時，波動方程(3.4)的解為 (3.16) (3.17)3.3.1 圓錐形變幅桿的頻率方程和諧振長度通過式(3.17)和邊界條件可以得到頻率方程 (3.18)或 (3.19)通過式(3.18)可以求出根，將其代入下式便可求出圓錐形變幅桿

36、的諧振長度 (3.20)3.3.2 圓錐形變幅桿的位移節(jié)點根據(jù)式(3.16)和式(3.17)，運用邊界條件 可以確定出常數(shù) 把代入到式(3.16)中可以得到質(zhì)點的位移表達式為 (3.21)在式(3.21)中，令，可計算出位移節(jié)點： (3.22)3.3.3 圓錐形變幅桿的放大系數(shù)放大系數(shù)的計算公式為 (3.23)3.3.4 圓錐形變幅桿的計算根據(jù)式(3.19)，先求出。求得，再根據(jù)式(3.20)求得諧振長度。然后求位移節(jié)點，求出，根據(jù)式(3.22)，求出位移節(jié)點。最后根據(jù)式(3.23)求出放大系數(shù)。3.4 階梯形變幅桿的理論計算圖3.4階梯形變幅桿如圖3.4所示為階梯形變幅桿。階梯形變幅桿分為兩

37、段，兩段均為圓柱體，但其半徑大小不一樣。通過式(3.4)可以寫出兩段均勻截面桿的波動方程。寫出其解： (3.24)通過邊界條件 得到 (3.25)另外，通過邊界條件計算可得又由公式(3.28)得 即 (3.26)3.4.1 階梯形變幅桿的位移節(jié)點把式(3.25)，式(3.26)代入到式(3.24)中得到質(zhì)點位移為 (3.27)令，得到位移位移節(jié)點 當?shù)臅r候，節(jié)點位置，即節(jié)點處于中心位置。3.4.2 階梯形變幅桿的放大系數(shù)在階梯形變幅桿的中間截面越變位置處，即處，應(yīng)力和振動變化情況復(fù)雜。當大小截面的面積之比不大時(小于5)，則可以近似地認為力是連續(xù)的11，即基于以上公式和式(3.24)，得 (3

38、.28)把式(3.25)、式(3.26)代入到式(3.28)中，得放大系數(shù)： (3.29)從上面的公式中可以看出，當時，放大系數(shù)達到最大。 (3.30)3.4.3 階梯形變幅桿的計算階梯形變幅桿的頻率方程近似為，所以變幅桿的長度。而，所以。根據(jù)式(3.27)，位移節(jié)點位于中心位置，即。根據(jù)式(3.30)，計算放大系數(shù)。第四章 運用ANSYS對變幅桿的動力學(xué)分析4.1 有限元方法簡介 有限元方法(finite element method)是解數(shù)理方程的一種數(shù)值計算方法，有限元法的運用使得工程中的大量計算問題得以解決，體現(xiàn)出了高效能。在科學(xué)計算等領(lǐng)域，經(jīng)常需要計算各種各類的微分方程，但很多微分方

39、程的解一般是很難求得的。但可以使用有限元法就可以將微分方程離散化，在編制求解程序，運用計算機輔助求解。有限元法是在早期的編分原理的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，其廣泛應(yīng)用于以Laplace方程和Poisson方程所描述的各類物理場中(這類場和泛函的極值問題有著密切的聯(lián)系)12。 有限元法的中心思想就是離散。其原理是將一個連續(xù)的物體看做是很多個單元體的組合，每個單元體只與其有接觸的相鄰的單元體只有有相互作用力，每個單元體有獨自的函數(shù)表達式，從而用多個函數(shù)來表達這個連續(xù)物體。在物理力學(xué)領(lǐng)域，其基本思想是：把一個連續(xù)的物體離散化。把求解的區(qū)域看做是一個數(shù)量有限的、大小有限的單元構(gòu)成的集合體。這些假設(shè)的單元只有在

40、所謂的節(jié)點處才相互連接和制約，這樣，這種變換了的結(jié)構(gòu)體系就近似代替了原來的真實的連續(xù)體。之后，就可以采用標準的結(jié)構(gòu)分析處理方法來對這個被離散后的連續(xù)體進行分析。通過離散，復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題化繁為簡，自然地歸結(jié)為求解方程組的問題。 有限元法是物理上的近似方法，這與通常應(yīng)用的差分法是不同的，后者是在物理的基礎(chǔ)上，對其數(shù)學(xué)表達式采取一個近似的方法，而有限元法和之前的經(jīng)典近似法相比要有優(yōu)勢，因為其在數(shù)學(xué)上是十分精確的。例如經(jīng)典里茲法的近似是需要選取單一的一個函數(shù)來近似地對整個求解區(qū)域的位移進行描述，而且是在滿足邊界條件的前提下，在這種情況下，要想保證精度，是十分困難的；但是有限元法，采用的則是近似分塊的方

41、法，所以只需要考慮單元之間的連續(xù)性即可。在有限元中，單元的分塊是十分靈活的，不同形狀，不同大小，都能加以利用，基于以上特點，在每個單元體中用獨自的函數(shù)來描述，這是更合理的，且更容易實現(xiàn)。有限元的劃分單元法更加的適合實際工業(yè)中所碰到的各種各樣外形的零件，和各種各樣的不同的材料加上復(fù)雜的邊界。在作用載荷有突變的結(jié)構(gòu)中，有限元法更加顯出其優(yōu)勢。再加上有限元法目前已有巨大且成熟的軟件系統(tǒng)支持，使得有限元法成為一種極為受歡迎和廣泛應(yīng)用的數(shù)值計算方法。 有限元法在我國的發(fā)展也非常迅速，我國目前引進的有限元程序主要有：SAPS5，SUPER，SAP，ANSYS，ASKA，MSC/NASTRAN等。這些有限元

42、軟件不僅具有分析的功能，而且都具有強大的前處理和后處理功能。這不僅僅提高了求解的速度，而且更人性化地方便了使用者。而這其中，ANSYS是業(yè)界占有率第一的通用型軟件，其是現(xiàn)代機械工程中的重要工具，設(shè)計、測試、評價等各個方面都發(fā)揮出ANSYS的巨大作用。強大的內(nèi)在功能和簡單易學(xué)的操作界面使其深受用戶們的青睞。4.2 有限元方法動力學(xué)分析的理論基礎(chǔ)如前文所提到的，變幅桿的外形和尺寸對于整個超聲加工系統(tǒng)的性能是十分重要的。在超聲波加工中，只有當變幅桿穩(wěn)定可靠的工作時，才能保證加工出來的零件的精度，同時也能保證加工效率。變幅桿要想達到穩(wěn)定可靠地工作，那么變幅桿必須要具有良好的動態(tài)特性，因此，有必要對變幅

43、桿的動力學(xué)進行分析研究。這樣的動力學(xué)分析主要包括兩個方面：變幅桿固有振動特性分析及其諧響應(yīng)特性分析13。前者的主要工作是要完成在變幅桿固有頻率的測定，測定的過程要在無阻尼，自由振動的前提下。固有頻率屬于固有振動，固有振動還包括振動應(yīng)力。諧響應(yīng)分析是對響應(yīng)分析而言的，諧響應(yīng)分析所要做的是在換能器輸出振動的頻率和變幅桿的固有頻率相同時，測定出變幅桿的響應(yīng)位移和響應(yīng)應(yīng)力。進行諧響應(yīng)分析的原因是因為變幅桿的要想獲得實際大的放大倍數(shù)，必須要使其工作頻率是在其固有頻率附近才能實現(xiàn)盡可能的放大。這也就是為什么在諧響應(yīng)分析之前一定要有一個步驟，那就是對變幅桿進行模態(tài)分析，先確定其固有頻率。但是每一個變幅桿在不

44、同的頻率范圍內(nèi)有多個固有頻率，需要注意的是只需要求得在先前確定的大致的工作頻率附近的固有頻率即可。4.2.1 模態(tài)分析的力學(xué)基礎(chǔ)設(shè)計出的確定的變幅桿被劃分為有限個單元，因為變幅桿的上質(zhì)點的位移是和時間有關(guān)系的，所以用表示單元上的節(jié)點位移列向量。這個函數(shù)是時間的函數(shù)，利用位移插值方式，可以將單元中的任一點的位移用下面這個矩陣方程來表示14： (4.1) 形狀函數(shù)矩陣在單元上的應(yīng)變向量為： (4.2) 幾何矩陣(聯(lián)系應(yīng)變于節(jié)點位移的矩陣)在單元上的應(yīng)力為： (4.3) 彈性矩陣因此在單元上的元素的剛度矩陣為： (4.4)此外，還需要注意到一種情況，那就是無阻尼的無外載荷的自由振動的情況。對于這一類

45、情況，要描述其動力問題，需要用到下面這個公式： (4.5) 質(zhì)量矩陣 剛度矩陣彈性體的自由振動是十分復(fù)雜的，很難用單一的方程加以描述，所以可以將其分解，分解為若干和簡諧心動。在上述分解的基礎(chǔ)上，測定彈性體自由振動就需要討論這若干個簡諧振動了： (4.6) 振幅列向量 位移 固有頻率把式(4.6)反代到式(4.5)中，自然會消去，得到以下方程： (4.7)在矩陣方程(4.7)的求解過程中，所得到的和稱作為廣義特征值和廣義特征向量。最終可以求得彈性體的固有頻率，而就是這個彈性體所對應(yīng)的振型。由上述分析可知，在動力學(xué)問題中其固有頻率和主振型的分析計算可以演繹歸納為求相應(yīng)特征方程的特征值和特征向量問題

46、上來。固有頻率的特點：固有頻率永遠都是正的，這對任何結(jié)構(gòu)都適用。沒有剛體運動的結(jié)構(gòu)其固有頻率必大于零。對有剛體運動的結(jié)構(gòu)，固有頻率可能會出現(xiàn)是零的情況，而且零的個數(shù)和剛體的自由度相等。主振型的特點：當結(jié)構(gòu)的固有頻率無重復(fù)時，各個主振型有正交性，即其對應(yīng)的特征向量為正交特征向量；當結(jié)構(gòu)的固有頻率有重復(fù)時，則各主振型不具有正交性。當結(jié)構(gòu)的固有頻率為零時，其對應(yīng)的主振型為結(jié)構(gòu)的剛性位移。計算結(jié)構(gòu)的頻率時，其結(jié)果與計算過程中所選取的坐標系無關(guān)。4.2.2 諧響應(yīng)分析的力學(xué)基礎(chǔ)對于周期性的載荷，結(jié)構(gòu)都會給其一個周期性的響應(yīng)，這個響應(yīng)就被稱為諧響應(yīng)，材料中任何非線性特性(塑性及接觸單元)即使被定義也會被軟

47、件自動略去。進行諧響應(yīng)分析的目的在于得出其響應(yīng)值(一般為位移)對應(yīng)的頻率曲線，進一步從這些曲線中找到“峰值”響應(yīng)然后求解其對應(yīng)的應(yīng)力。運動方程： (4.8)由于方程中的力和位移為簡諧運動其圓頻率為 (4.9) (4.10)式中 表示位移的幅值， 表示角位移相位， 表示力的幅值， 表示力相位(單位為)其中式(4.9)和式(4.10)可進一步改寫為以下形式： (4.11) (4.12)式中 ， ， ， 將式(4.11)和式(4.12)回代入式(4.8)中，即可得到諧響應(yīng)分析的運動方程式： (4.13) 求解上述簡諧運動的方程(諧響應(yīng)分析)可以大致采用3種方法：Full Method(完全法)、Re

48、duced method (縮減法)、Mode Superposition method(模態(tài)疊加法)。完全法不需要考慮如何選取主自由度和振型，是最容易的方法，而且使用完整的結(jié)構(gòu)矩陣，不涉及質(zhì)量矩陣的近似問題，允許非對稱矩陣，允許施加各種類型的載荷(節(jié)點力、外加的約束、單元載荷)。所以，本文中，選用完全法完成諧響應(yīng)分析。4.3 變幅桿的動力學(xué)分析4.3.1 變幅桿模型的建立雖然在ANSYS中也能夠建立模型，但是在ANSYS中建模過程復(fù)雜，操作不便。在計算機輔助設(shè)計(CAD)快速發(fā)展的今天，興起了許多的二維三維建模軟件，這些軟件操作簡單，界面友好直觀，且功能強大，能夠建立各種復(fù)雜模型，不單單能建

49、立單一零件的三維模型，還能對建立的多個零件模型進行裝配。強大的功能使這類軟件迅速占領(lǐng)了工程設(shè)計師的桌面。更重要的一點是，很多CAD軟件已經(jīng)實現(xiàn)了和ANSYS等有限元軟件的對接，即在CAD軟件中建模，然后將模型導(dǎo)入有限元軟件中分析。這樣既發(fā)揮了CAD軟件強大的建模功能，有發(fā)揮了有限元軟件強大的分析功能。這樣的操作過程是現(xiàn)代工程研究中的首選過程。此次研究選用SolidWorks進行三種變幅桿的三維建模，再將建好的模型導(dǎo)入ANSYS進行動力學(xué)分析。在SolidWorks中完成三種變幅桿模型如圖4.1、圖4.2、圖4.3所示。圖4.1指數(shù)形變幅桿3D模型圖4.2圓錐形變幅桿3D模型圖4.3階梯形變幅桿

50、3D模型完成三種變幅桿的模型建立后，將其保存為.x_t文件，等待導(dǎo)入到ANSYS中。4.3.2 變幅桿網(wǎng)格的劃分將保存好的三個模型的文件導(dǎo)入到ANSYS中，變幅桿的材料使用是45鋼，所以在ANSYS中劃分網(wǎng)格時將材料定義為Solid45單元。接著定義材料各個參數(shù)：楊氏彈性模量、泊松比、材料密度。劃分時采用自由劃分，劃分結(jié)果如下：圖4.4指數(shù)形變幅桿的網(wǎng)格劃分圖4.5圓錐形變幅桿的網(wǎng)格劃分圖4.6階梯形變幅桿的網(wǎng)格劃分4.3.3 變幅桿的模態(tài)分析劃分完網(wǎng)格后，進行模態(tài)分析，求出變幅桿的固有頻率。首先選定分析類型，選用模態(tài)分析，然后設(shè)置模態(tài)提取方法，本次仿真采用分塊蘭索斯法(Block Lancz

51、os)法，接下來制定模態(tài)提取頻率范圍為，選取待提取模態(tài)個數(shù)為10個。接下來使用Solve進行求解計算。將模態(tài)擴展的結(jié)果導(dǎo)入到結(jié)構(gòu)分析結(jié)果的文件中后，就可以觀察得到固有頻率，即模態(tài)分析的結(jié)果。在分析時所指定的區(qū)域內(nèi)得到三種變幅桿的固有頻率如圖4.7、圖4.8、圖4.9所示。圖4.7指數(shù)形變幅桿在一定范圍內(nèi)的固有頻率圖4.8圓錐形變幅桿在一定范圍內(nèi)的固有頻率圖4.9階梯形變幅桿在一定范圍內(nèi)的固有頻率4.3.4 變幅桿的諧響應(yīng)分析在上文中已提出，本文的諧響應(yīng)分析是采用完全法(Full法)，這種方法是采用完整的系統(tǒng)矩陣來計算響應(yīng)。分析的過程分為三個步驟：建立模型、加載荷及求解還有觀察結(jié)果。模型的建立和

52、模態(tài)分析中是一樣的，也要定義單元類型及各種常數(shù)，但這其中需要注意的是：在諧響應(yīng)分析過程中，非線性行為是無效的。如果存在非線性單元，那么它也將被當做線性單元處理。不可忽略彈性模量EX和密度DENS，即某種形式的質(zhì)量和某種形式的質(zhì)量。材料的特性可以取線性、各向同性，也可以是各向異性的。在模態(tài)分析中，已經(jīng)求得了在附近的固有頻率。所以在諧響應(yīng)分析中，就研究以這個固有頻率數(shù)值大小的激振所得到的響應(yīng)特性，取其幅值大小為，在變幅桿的固定端面(即大端)施加隨正弦變化的周期載荷，求得自由端面(即小端)的響應(yīng)。在諧響應(yīng)分析中，變幅桿會產(chǎn)生一個在其固有頻率下的各截面沿軸向的位移分布?？梢钥吹某觯谕唤孛鎯?nèi)，位移隨半徑的增大是由微小的變化的，但是在同一截面半徑相同處，位移是相同的。所以，方便起見，對同一截面內(nèi)的位移取徑向的平均值。1) 指數(shù)形變幅桿諧響應(yīng)分析結(jié)果指數(shù)形變幅桿在固有頻率為時，沿軸向的位移分布情況如表4.1所示。通過有限元分析法得到的指數(shù)形變幅桿的放大系數(shù)大約為4.96。位移分布曲線如圖4.10所示。表4.1指數(shù)形變幅桿各截面位移分布數(shù)