高中新課程數(shù)學(xué)(新課標人教A版)選修4-5《42用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式》

1、課前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練演練第二節(jié)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式【課標要求】1會用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式，特別是絕對值不等式、平均值不等式和柯西不等式2了解貝努利不等式，學(xué)會貝努利不等式的簡單應(yīng)用3會用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式課前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練演練【核心掃描】1利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式是本節(jié)考查的重點2本節(jié)常與不等式的性質(zhì)、放縮法等綜合考查. 課前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練演練1貝努利不等式：設(shè)x1，且x0，n為大于1的自然數(shù)，則 .2貝努利不等式的更一般形

2、式：當(dāng)為實數(shù)，并且滿足1或者0時，有(1x)1x(x1)；當(dāng)為實數(shù)，并且滿足01時，有(1x)1x(x1)自學(xué)導(dǎo)引(1x)n1nx課前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練演練1用數(shù)學(xué)歸納法證明3nn3(n3，nN)第一步應(yīng)驗證()An1 Bn2Cn3 Dn4解析由題意知n3，應(yīng)驗證n3.故選C.答案C基礎(chǔ)自測課前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練演練2對于正整數(shù)n，下列說法不正確的是 ()A3212n B0.9n10.1nC0.9n10.1n D0.1n10.9n解析由貝努利不等式(1x)n1nx，(nN，x1)，當(dāng)x2時，(12)n1

3、2n，故A正確當(dāng)x0.1時，(10.1)n10.1n，B正確，C不正確答案C課前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練演練課前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練演練解析分母是底數(shù)為2的冪，且冪指數(shù)是連續(xù)自然增加，故選A.答案A課前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練演練課前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練演練課前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練演練題型一用數(shù)學(xué)歸納法證明絕對值不等式【例1】 設(shè)x1，x2，xn為實數(shù)，證明：|x1x2xn|x1|x2

4、|xn|.思維啟迪 在nk成立證明nk1也成立時，注意應(yīng)用絕對值不等式性質(zhì)課前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練演練證明(1)|x1x2|x1|x2|，n2時命題成立(2)設(shè)命題nk (k2)時成立，即|x1x2xk|x1|x2|xk|，于是，當(dāng)nk1時，|x1x2xk1|(x1x2xk)xk1|x1x2xk|xk1|x1|x2|xk|xk1|.即當(dāng)nk1時，命題也成立由(1)(2)知，對于任意nN*命題都成立課前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練演練規(guī)律方法 使用數(shù)學(xué)歸納法要完成兩步第一步要驗證“基礎(chǔ)”；第二步要證明“遞推”，二者缺

5、一不可關(guān)鍵在于使用歸納假設(shè)進行遞推，這也是數(shù)學(xué)歸納法的靈活和魅力所在，要根據(jù)不同問題加強練習(xí)，逐步掌握課前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練演練【變式1】 證明不等式|sin n|n|sin | (nN)證明(1)當(dāng)n1時，上式左邊|sin |右邊，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk (k1)時，命題成立，即有|sin k|k|sin |.當(dāng)nk1時，|sin(k1)|sin(k)|sin kcos cos ksin |sin kcos |cos ksin |sin k|sin |k|sin |sin |(k1)|sin |.即當(dāng)nk1時不等式成立由(1)(2)可知，不等

6、式對一切正整數(shù)n均成立課前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練演練題型二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式【例2】 在數(shù)列an中，a12，an1an2n1(nN*)(1)求證an2n為等差數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列bn滿足bn2log2(an1n)課前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練演練思維啟迪 由條件第一問可通過數(shù)列的有關(guān)知識來證明進而求出an通項公式，然后求bn的通項公式，最后用數(shù)學(xué)歸納法證明要證的結(jié)論即可課前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練演練解(1)由an1an2n1得(an12n1)(an2n)1，因此an2n成

7、等差數(shù)列(2)an2n(a12)(n1)n1，即an2nn1，bn2log2(an1n)2n.課前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練演練課前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練演練課前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練演練規(guī)律方法 同用數(shù)學(xué)歸納法證明等式一樣，這類題型也通常與數(shù)列的遞推公式或通項公式有關(guān)，待證的不等式的條件可能直接給出，也可能需根據(jù)條件歸納猜想出后再證明課前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練演練課前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練

8、演練課前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練演練課前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練演練題型三數(shù)學(xué)歸納法與數(shù)列的綜合問題課前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練演練思維啟迪 由題意可得如下信息：an，bn，an1成等差數(shù)對任意n都成立n1、2時也成立即可解得第一問，并歸納出通項公式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明之第二問列出式子發(fā)現(xiàn)用裂相法與放縮法即可證明比用數(shù)字歸納法簡便課前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練演練課前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練演練課

9、前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練演練課前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練演練規(guī)律方法 這類題型通常與數(shù)列的遞推公式、通項公式有關(guān)，有時要證明的等式是直接給出，有時是根據(jù)條件從前n項入手，通過觀察、猜想，歸納出一個等式，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明課前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練演練課前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練演練課前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練演練課前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練演練方法技巧數(shù)學(xué)歸納法在不等式中的應(yīng)用課前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練演練思路分析 (1)問關(guān)鍵利用anSnSn1(n2)解決；(2)問先求出bn的通項，再結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法證明課前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練演練課前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練演練課前探究課前探究學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)課堂講練課堂講練互動互動知能達標知能達標演練演練