第7章_梁的彎曲變形

1、第7章 梁的彎曲變形與剛度7.1 梁彎曲變形的基本概念7.1.1 撓度在線彈性小變形條件下，梁在橫力作用時(shí)將產(chǎn)生平面彎曲，則梁軸線由原來的直線變?yōu)榭v向?qū)ΨQ面內(nèi)的一條平面曲線，很明顯，該曲線是連續(xù)的光滑的曲線，這條曲線稱為梁的撓曲線（圖7-2）。梁軸線上某點(diǎn)在梁變形后沿豎直方向的位移（橫向位移）稱為該點(diǎn)的撓度。在小變形情況下，梁軸線上各點(diǎn)在梁變形后沿軸線方向的位移（水平位移）可以證明是橫向位移的高階小量，因而可以忽略不計(jì)。圖7-2 梁的撓曲線撓度 圖7-3 梁的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角切線撓曲線的曲線方程： （7-1）稱為撓曲線方程或撓度函數(shù)。實(shí)際上就是軸線上各點(diǎn)的撓度，一般情況下規(guī)定：撓度沿軸的正向（向上）為

2、正，沿軸的負(fù)向（向下）為負(fù)（圖7-4）。必須注意，梁的坐標(biāo)系的選取可以是任意的，即坐標(biāo)原點(diǎn)可以放在梁軸線的任意地方，另外，由于梁的撓度函數(shù)往往在梁中是分段函數(shù)，因此，梁的坐標(biāo)系可采用整體坐標(biāo)也可采用局部坐標(biāo)。7.1.2 轉(zhuǎn)角梁變形后其橫截面在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)相對于原有位置轉(zhuǎn)動(dòng)的角度稱為轉(zhuǎn)角（圖7-3）。轉(zhuǎn)角隨梁軸線變化的函數(shù)： （7-2）稱為轉(zhuǎn)角方程或轉(zhuǎn)角函數(shù)。由圖7-3可以看出，轉(zhuǎn)角實(shí)質(zhì)上就是撓曲線的切線與梁的軸線坐標(biāo)軸的正方向之間的夾角。所以有：,由于梁的變形是小變形，則梁的撓度和轉(zhuǎn)角都很小，所以和是同階小量，即：，于是有： （7-3）即轉(zhuǎn)角函數(shù)等于撓度函數(shù)對的一階導(dǎo)數(shù)。一般情況下規(guī)定：轉(zhuǎn)角逆

3、時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)為正，而順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)為負(fù)（圖7-4）。需要注意，轉(zhuǎn)角函數(shù)和撓度函數(shù)必須在相同的坐標(biāo)系下描述，由式（7-3）可知，如果撓度函數(shù)在梁中是分段函數(shù)，則轉(zhuǎn)角函數(shù)亦是分段數(shù)目相同的分段函數(shù)。圖7-4 梁的撓度和轉(zhuǎn)角的符號(a) 正的撓度和轉(zhuǎn)角(b) 負(fù)的撓度和轉(zhuǎn)角7.1.3 梁的變形材料力學(xué)中梁的變形通常指的就是梁的撓度和轉(zhuǎn)角。但實(shí)際上梁的撓度和轉(zhuǎn)角并不是梁的變形，它們和梁的變形之間有聯(lián)系也有本質(zhì)的差別。如圖7-5（a）所示的懸臂梁和圖7-5（b）所示的中間鉸梁，在圖示載荷作用下，懸臂梁和中間鉸梁的右半部分中無任何內(nèi)力，在第二章曾強(qiáng)調(diào)過：桿件的內(nèi)力和桿件的變形是一一對應(yīng)的，即有什么樣的內(nèi)力就有

4、與之相應(yīng)的變形，有軸力則桿件將產(chǎn)生拉伸或壓縮變形，有扭矩則桿件將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，有剪力則桿件將產(chǎn)生剪切變形，有彎矩則桿件將產(chǎn)生彎曲變形。若無某種內(nèi)力，則桿件也沒有與之相應(yīng)的變形。因此，圖示懸臂梁和中間鉸梁的右半部分沒有變形，它們將始終保持直線狀態(tài)，但是，懸臂梁和中間鉸梁的右半部分卻存在撓度和轉(zhuǎn)角！ 事實(shí)上，材料力學(xué)中所說的梁的變形，即梁的撓度和轉(zhuǎn)角實(shí)質(zhì)上是梁的橫向線位移以及梁截面的角位移，也就是說，撓度和轉(zhuǎn)角是梁的位移而不是梁的變形。回想拉壓桿以及圓軸扭轉(zhuǎn)的變形，拉壓桿的變形是桿件的伸長，圓軸扭轉(zhuǎn)變形是截面間的轉(zhuǎn)角，它們實(shí)質(zhì)上也是桿件的位移，是拉壓桿一端相對于另一端的線位移，而是扭轉(zhuǎn)圓軸一端相對

5、于另一端的角位移，但拉壓桿以及圓軸扭轉(zhuǎn)的這種位移總是和其變形共存的，即只要有位移則桿件一定產(chǎn)生了變形，反之只要有變形就一定存在這種位移（至少某段桿件存在這種位移）。但梁的變形與梁的撓度和轉(zhuǎn)角之間就不一定是共存的，這一結(jié)論可以從上面對圖7-5（a）所示的懸臂梁和圖7-5（b）所示的中間鉸梁的分析得到。(a) 懸臂梁的變形(b)中間鉸梁的變形圖7-5 撓度和轉(zhuǎn)角實(shí)質(zhì)上是梁的位移無變形無變形實(shí)際上，圖示懸臂梁和中間鉸梁右半部分的撓度和轉(zhuǎn)角是由于梁左半部分的變形引起的，因此可得如下結(jié)論：梁（或梁段）如果存在變形，則梁（或梁段）必然存在撓度和轉(zhuǎn)角。梁（或梁段）如果存在撓度和轉(zhuǎn)角，則梁（或梁段）不一定存在

6、變形。所以，梁的變形和梁的撓度及轉(zhuǎn)角有聯(lián)系也存在質(zhì)的差別。7.2 撓曲線的近似微分方程在上一章曾得到梁變形后軸線的曲率方程為：高等數(shù)學(xué)中，曲線的曲率公式為： 由于梁的變形是小變形，既撓曲線僅僅處于微彎狀態(tài)，則其轉(zhuǎn)角，所以，撓曲線的曲率公式可近似為： 上章也分析了曲率的正負(fù)號的問題，結(jié)論是變形后梁軸線曲率的正負(fù)號與梁彎矩的正負(fù)號一致。因此綜合上列幾式有： （7-4）上式稱為撓曲線的近似微分方程。其中，是梁截面對中性軸的慣性矩。根據(jù)式（7-4），只要知道了梁中的彎矩函數(shù)，直接進(jìn)行積分即可得到梁的轉(zhuǎn)角函數(shù)以及撓度函數(shù)，從而可求出梁在任意位置處的撓度以及截面的轉(zhuǎn)角。7.3 積分法計(jì)算梁的變形根據(jù)梁的撓

7、曲線近似微分方程式（7-4），可直接進(jìn)行積分求梁的變形，即求梁的轉(zhuǎn)角函數(shù)和撓度函數(shù)。下面分兩種情況討論。7.3.1 函數(shù)在梁中為單一函數(shù)此時(shí)被積函數(shù)在梁中不分段（圖7-6）。則可將撓曲線近似微分方程式（7-4）兩邊同時(shí)積分一次得到轉(zhuǎn)角函數(shù)，然后再積分一次得到撓度函數(shù)，注意每次積分均出現(xiàn)一待定常數(shù)。所以有：圖7-6被積函數(shù)在梁中為單一函數(shù)梁 （7-5）其中，是待定常數(shù)，可見，轉(zhuǎn)角函數(shù)和撓度函數(shù)在梁中也是單一函數(shù)。 積分常數(shù)可由梁的支承條件（又稱為約束條件或邊界條件）確定。常見的梁的支承條件如下。固定鉸支承： 移動(dòng)鉸支承： 固定端支承： 彈簧支承：彈簧 為彈簧系數(shù)拉桿支承： 拉桿 為拉桿伸長量梁支

8、承： 支承梁 為支承梁在點(diǎn)的撓度一般情況下，梁的支承條件有兩個(gè)，正好可以確定積分常數(shù)和。7.3.2 函數(shù)在梁中為分段函數(shù)此時(shí)被積函數(shù)在梁中分若干段（圖7-7）。則在每個(gè)梁段中將撓曲線近似微分方程式（7-4）兩邊同時(shí)積分一次得到該段梁的轉(zhuǎn)角函數(shù)，然后再積分一次得到該段梁的撓度函數(shù)，注意每段梁有兩個(gè)待定常數(shù)，一般情況下各段梁的積分常數(shù)是不相同的。所以有：圖7-7 被積函數(shù)在梁中為分段函數(shù)梁 （7-6）可見，梁的轉(zhuǎn)角函數(shù)和撓度函數(shù)在梁中也是分段函數(shù)。假設(shè)梁分為段（圖7-7），稱為梁的分段點(diǎn)，則共有個(gè)積分常數(shù)，梁的支承條件有兩個(gè)，另外，梁變形后軸線是光滑連續(xù)的，這就要求梁的轉(zhuǎn)角函數(shù)以及撓度函數(shù)在梁中是

9、連續(xù)的函數(shù)。這個(gè)條件稱為梁的連續(xù)性條件。因此，可列出除梁約束點(diǎn)外其它分段點(diǎn)的連續(xù)性條件為： （7-7）共有個(gè)方程，加上梁的兩個(gè)支承條件，則可確定個(gè)積分常數(shù)，從而即可求得各段梁的轉(zhuǎn)角函數(shù)以及撓度函數(shù)。注意，積分法求分段梁的變形時(shí)，可以采用局部坐標(biāo)系進(jìn)行求解，相應(yīng)的彎矩函數(shù)，抗彎剛度以及支承條件和連續(xù)性條件都必須在相同的局部坐標(biāo)系下寫出。一些常見梁的轉(zhuǎn)角函數(shù)與撓度函數(shù)以及其在特殊點(diǎn)的值見附錄B。例7-1 如圖7-8所示，懸臂梁下有一剛性的圓柱，當(dāng)至少為多大時(shí)，才可能使梁的根部與圓柱表面產(chǎn)生貼合？當(dāng)足夠大且已知時(shí)，試確定梁與圓柱面貼合的長度。圖7-8 例7-1圖(a)(b)解：欲使梁的根部與圓柱面貼

10、合，則梁根部的曲率半徑應(yīng)等于圓柱面的半徑（圖7-8（a），所以有： 得： 這就是梁根部與圓柱面貼合的最小載荷。如果： 則梁有一段是與圓柱面貼合的，假設(shè)貼合的長度為，那么貼合點(diǎn)處的曲率半徑也應(yīng)等于圓柱面的半徑（圖7-9（b），所以有：例7-2 梁以拉桿支承，載荷及尺寸如圖7-9（a）所示。已知梁的抗彎剛度為，拉桿的抗拉剛度為，試求梁中點(diǎn)的撓度以及支座處的轉(zhuǎn)角。圖7-9 例7-2圖(a)(b)解：（1）求支反力和彎矩函數(shù)由于梁是載荷對稱梁，所以處的支反力和處拉桿的拉力是相等的，為：建立圖7-9（a）所示的坐標(biāo)系，則梁中的彎矩函數(shù)函數(shù)為：（2）求轉(zhuǎn)角函數(shù)和撓度函數(shù)（3）確定積分常數(shù)約束條件為： 代入

11、撓度函數(shù)表達(dá)式得： 于是轉(zhuǎn)角函數(shù)和撓度函數(shù)為：（3）求梁中點(diǎn)的撓度以及支座處的轉(zhuǎn)角梁中點(diǎn)的撓度為： 支座處的轉(zhuǎn)角：例7-3 如圖7-10所示階梯狀懸臂梁，在自由端受集中力作用，梁長度及抗彎剛度如圖示，試求自由端的撓度以及梁中點(diǎn)截面的轉(zhuǎn)角。圖7-10 例7-3圖(a)階梯狀梁(b)梁的分段圖解：（1）求梁的彎矩函數(shù)建立圖7-10（a）所示的坐標(biāo)系，由截面法可求得梁中的彎矩函數(shù)為：由于梁分為兩段，則兩段梁的被積函數(shù)分別為： （2）求轉(zhuǎn)角函數(shù)和撓度函數(shù)轉(zhuǎn)角函數(shù)：撓度函數(shù)：（3）確定積分常數(shù)約束條件： 根據(jù)梁的分段圖可見： 連續(xù)性條件： 所以，梁的轉(zhuǎn)角函數(shù)和撓度函數(shù)為：（4）求自由端的撓度以及梁中點(diǎn)截

12、面的轉(zhuǎn)角由梁的分段圖，自由端的撓度為：梁中點(diǎn)截面的轉(zhuǎn)角為：因梁軸正方向是向左的，因此轉(zhuǎn)角為正的時(shí)候是順時(shí)針轉(zhuǎn)角。7.4 梁彎曲變形的一些重要特性7.4.1 影響梁內(nèi)力、應(yīng)力及變形的因素梁的內(nèi)力只與作用于梁上的載荷（包括支反力）有關(guān)，而與梁材料的力學(xué)性能、梁的幾何形狀以及約束類型無關(guān)。相同長度的梁只要其受力（包括支反力）情況相同，則其內(nèi)力是完全一樣的。根據(jù)梁的正應(yīng)力公式和切應(yīng)力公式可知，在線彈性小變形條件下，梁的應(yīng)力除了與梁的受力情況（包括支反力）有關(guān)外，還與梁的截面形式和形狀有關(guān)，如果截面不具有左右對稱軸，梁通常將產(chǎn)生組合變形，而梁的應(yīng)力與梁材料的種類以及梁的約束情況無關(guān)，即當(dāng)作用于梁上的外力

13、（包括支反力）和梁截面的幾何形狀和尺寸相同時(shí)，則在線彈性小變形條件下，無論梁約束類型如何，梁材料是什么材料，梁的應(yīng)力是完全相同的。從積分法計(jì)算梁變形的基本公式7-5及7-6可知，梁的變形也即梁的轉(zhuǎn)角和撓度與梁的受力情況、梁材料的力學(xué)性能、梁截面的幾何形狀和尺寸以及梁的約束情況均有關(guān)系。因此，工程中梁的剛度受諸多因素的影響。7.4.2 載荷與梁的內(nèi)力及變形的關(guān)系梁上的載荷與梁的內(nèi)力及變形的關(guān)系見表7-1。表7-1載荷與梁的內(nèi)力及變形的關(guān)系剪力彎矩轉(zhuǎn)角撓度集中力F集中力偶m分布載荷q不受影響其中，為梁的特征長度，等為作用于梁上的特征載荷，為梁的抗彎剛度。7.4.3 梁與剛性地基或平臺的接觸問題當(dāng)梁

14、有一段與剛性地基或平臺接觸時(shí)，梁的內(nèi)力以及變形有一些非常重要的性質(zhì)。如圖7-11（a）所示，一很長的梁置于剛性地基或平臺上，在梁的某一點(diǎn)用力將梁提起一段（圖7-11（b），一般情況下需要考慮梁的自重，下面分析梁的內(nèi)力和變形特點(diǎn)。圖7-11 剛性地基或平臺上的梁(a)(b)(c)(d)假設(shè)梁單位長度的重量為，梁的段從剛性地基或平臺上被提起，梁與剛性地基或平臺的接觸點(diǎn)為點(diǎn)，顯然點(diǎn)無橫向位移，而且梁的截面也無轉(zhuǎn)動(dòng)，亦即，因此，梁段的端可簡化成固定端（圖7-12（c），也可簡化為轉(zhuǎn)角為零的簡支端（圖7-11（d）。又因留置于剛性地基或平臺上的梁段始終保持為直線，其軸線上任何一點(diǎn)的曲率半徑為無窮大，由于

15、梁軸線的連續(xù)和光滑性，接觸點(diǎn)點(diǎn)的曲率半徑也是無窮大，所以根據(jù)曲率公式，則梁的截面上的彎矩應(yīng)等于零，即。結(jié)論：當(dāng)梁有一段與剛性地基或平臺接觸時(shí)，則接觸點(diǎn)處一般可簡化為彎矩為零的固定端，也可簡化為轉(zhuǎn)角為零的簡支端。 圖7-12是幾種常見接觸問題的簡化模型。圖7-12 幾種常見接觸問題的簡化模型(a)(b)(c)7.4.4 對稱梁與反對稱梁問題在梁的內(nèi)力部分曾介紹過載荷對稱梁和載荷反對稱梁的內(nèi)力特點(diǎn)，這里所說的是嚴(yán)格意義上的對稱梁與反對稱梁，既如果梁上作用的載荷對稱，梁的約束也對稱，則梁稱為對稱梁（圖7-13）；如果梁上作用的載荷反對稱，梁的約束也反對稱，則梁稱為反對稱梁（圖7-14）。對稱梁和反對

16、稱梁是載荷對稱梁和載荷反對稱梁的特殊情況，因此，其內(nèi)力特點(diǎn)是：對稱梁的剪力圖是反對稱圖形，而彎矩圖是對稱圖形；反對稱梁的剪力圖是對稱圖形，而彎矩圖是反對稱圖形。顯然對稱梁的變形是對稱的，而反對稱梁的變形是反對稱的。圖7-13 對稱梁 圖 7-14 反對稱梁觀察圖7-15（a）所示的對稱梁的變形，根據(jù)對稱性，梁中間截面變形后仍然處于豎直狀態(tài)，即其轉(zhuǎn)角為零（7-15（b）。另外，從中間截面將梁截開，截面上的受力情況如圖7-15（c）所示，根據(jù)對稱性，只有中間截面上的剪力為零梁才對稱。因此，可得如下結(jié)論： 對稱梁中間截面的轉(zhuǎn)角為零，若梁中點(diǎn)無集中力作用時(shí)，中間截面上的剪力為零。即：，。 對稱梁從中點(diǎn)

17、截開后，中點(diǎn)可簡化為定向鉸支座（7-15（d）。 對稱梁如果中點(diǎn)受有集中力作用，則梁從中點(diǎn)截開后，集中力可平分到左右梁上（圖7-16）。圖 7-15 對稱梁中點(diǎn)的內(nèi)力和變形特點(diǎn)(a)(b)(c)(d)圖7-16 對稱梁中點(diǎn)集中力的處理(a)(b)(c)觀察圖7-17（a）所示的反對稱梁的變形，根據(jù)反對稱性，梁中間點(diǎn)變形后不動(dòng)，即其撓度為零（7-17（b）。另外，從中間截面將梁截開，截面上的受力情況如圖7-17（c）所示，根據(jù)反對稱性，只有中間截面上的彎矩為零梁才反對稱，因此，可得如下結(jié)論： 反對稱梁中點(diǎn)的撓度為零；若梁中點(diǎn)無集中力偶作用時(shí)，中間截面上的彎矩為零。即：，。 反對稱梁從中點(diǎn)截開后，

18、中點(diǎn)可簡化為移動(dòng)鉸支座（7-17（d）。 反對稱梁如果中點(diǎn)受有集中力偶作用，則梁從中點(diǎn)截開后，集中力偶可平分到左右梁上（圖7-18）。圖7-17 反對稱梁中點(diǎn)的內(nèi)力和變形特點(diǎn)(a)(b)(c)(d)圖7-18 反對稱梁中點(diǎn)集中力偶的處理(a)(b)(c)更進(jìn)一步，復(fù)雜的對稱結(jié)構(gòu)和反對稱結(jié)構(gòu)中點(diǎn)截面的內(nèi)力及位移也具有與對稱梁和反對稱梁類似的性質(zhì)。在梁的內(nèi)力一章介紹過內(nèi)力的物理性質(zhì)，即相對于截面來說，剪力是反對稱的物理量，而彎矩是對稱的物理量。如果截面上還存在扭矩和軸力，情況又將怎樣呢？如圖7-19所示，如果桿件截面上存在四種內(nèi)力，很明顯有下述結(jié)論：相對于截面來說，軸力和彎矩是對稱的物理量，而剪力

19、和扭矩是反對稱的物理量。關(guān)于復(fù)雜的對稱結(jié)構(gòu)和反對稱結(jié)構(gòu)的問題在能量法一章中介紹，這里不多贅述。圖7-19 桿件內(nèi)力的對稱性和反對稱性 另外，如圖7-20所示，如果結(jié)構(gòu)的約束既是對稱也是反對稱的約束時(shí)，則當(dāng)其受任意載荷作用時(shí)，總可以分解為一個(gè)對稱結(jié)構(gòu)和一個(gè)反對稱結(jié)構(gòu)的疊加。這一結(jié)論是材料力學(xué)問題應(yīng)用疊加原理的一個(gè)非常重要的結(jié)論，在處理一些復(fù)雜結(jié)構(gòu)時(shí)有很重要的應(yīng)用。圖 7-20 結(jié)構(gòu)分解為對稱結(jié)構(gòu)和反對稱結(jié)構(gòu)的疊加(a)(b)例7-4 如圖7-21所示的懸臂梁，梁截面為矩形截面，試問：（1）當(dāng)梁的高度增大一倍而其它條件不變時(shí)，則梁中最大正應(yīng)力減小了多少？最大撓度減小了多少？（2）如果只是梁的寬度增

20、大一倍，結(jié)果如何？（3）當(dāng)梁的長度增加一倍而其它條件不變時(shí)，結(jié)果又如何？圖 7-21 例7-4圖解：梁的最大彎矩在固定端，而最大撓度在梁的自由端。原梁的最大正應(yīng)力為：最大撓度由表7-1可知，有： 即：當(dāng)梁的高度增大一倍而其它條件不變時(shí)，最大正應(yīng)力為： 即梁中的最大正應(yīng)力減小到原來的四分之一，減小了最大撓度為：即梁的最大撓度減小到原來的八分之一，減小了。當(dāng)只是梁的寬度增大一倍時(shí)，最大正應(yīng)力為：即梁中的最大正應(yīng)力減小到原來的二分之一，減小了最大撓度為：即梁的最大撓度也減小到原來的一半，減小了。當(dāng)梁的長度增大一倍而其它條件不變時(shí)，即梁中的最大正應(yīng)力增大到原來的兩倍。最大撓度為：即梁的最大撓度增大到原

21、來的8倍。例7-5 如圖7-22（a）所示，一長梁置于剛性平臺上，梁單位長度的重量為，伸出平臺的部分長度為，梁截面為的矩形截面，今在梁端用力將梁提起，求梁中的最大正應(yīng)力。圖7-22 例7-5圖(a)(b)(C)(d)解：如圖7-22（b）所示，假設(shè)梁與平臺的接觸點(diǎn)為點(diǎn)，從平臺上提起的長度為。則梁段可簡化為圖7-22（c）所示的懸臂梁。根據(jù)：有：梁中的剪力函數(shù)和彎矩函數(shù)分別為： 由有： 所以，最大彎矩在梁中間截面上，也即在平臺邊緣的截面上，為；所以梁中的最大正應(yīng)力為：例7-6 計(jì)算圖7-23（a）所示梁中點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角，梁的抗彎剛度為。圖 7-23 例7-6圖(a)(b)(c)(d)解：圖7-2

22、3（a）所示梁可分解成圖7-23（b）和圖7-23（c）所示的對稱梁和反對稱梁的疊加。因?qū)ΨQ梁中點(diǎn)截面的轉(zhuǎn)角為零，而反對稱梁中點(diǎn)的撓度為零。所以，原梁中點(diǎn)的撓度就是圖7-23（b）所示對稱梁中點(diǎn)的撓度，該梁是受均布載荷作用的簡支梁，查附錄2，可得該梁中點(diǎn)的撓度為： （向下）此即原梁中點(diǎn)的撓度。原梁中間截面的轉(zhuǎn)角就是圖7-23（c）所示反對稱梁中點(diǎn)的轉(zhuǎn)角，由于反對稱梁中點(diǎn)的撓度為零，中間截面的彎矩為零，所以，將梁從中點(diǎn)截開后，中點(diǎn)相當(dāng)于一個(gè)移動(dòng)鉸支座，故圖7-23（c）所示反對稱梁的左半部相當(dāng)于受均布載荷作用的簡支梁，如圖7-23（d）所示，其點(diǎn)的轉(zhuǎn)角就是反對稱梁中間截面的轉(zhuǎn)角，也即是原梁中間截

23、面的轉(zhuǎn)角。查附錄2，可得點(diǎn)的轉(zhuǎn)角為： （逆時(shí)針）此即原梁中間截面的轉(zhuǎn)角。例7-7 計(jì)算圖7-24（a）所示梁中點(diǎn)的撓度和支座處截面的轉(zhuǎn)角，梁的抗彎剛度為。圖7-24 例7-7圖(a)(b)(c)(d)解：圖7-24（a）所示梁可分解成圖7-24（b）和圖7-24（c）所示的對稱梁和反對稱梁的疊加。因反對稱梁中點(diǎn)的撓度為零，所以原梁中點(diǎn)的撓度就是圖7-24（b）所示對稱梁中點(diǎn)的撓度，該梁是受均布載荷作用的簡支梁，查附錄2，可得該梁中點(diǎn)的撓度為：（向下）此即原梁中點(diǎn)的撓度。原梁在支座處截面的轉(zhuǎn)角等于圖7-24（b）和圖7-24（c）所示的對稱梁和反對稱梁在處轉(zhuǎn)角和的疊加， 圖7-24（b）所示的對

24、稱梁在處的轉(zhuǎn)角查附錄2可得： （逆時(shí)針）由于反對稱梁的中點(diǎn)相當(dāng)于一個(gè)移動(dòng)鉸支座，故圖7-24（c）所示反對稱梁的右半部相當(dāng)于受三角分布載荷作用的簡支梁，實(shí)際上就是將原梁的載荷和梁長縮小一半的情況，如圖7-24（d）所示。假設(shè)原梁在支座處截面的轉(zhuǎn)角為，而圖7-24（d）所示梁在支座處截面的轉(zhuǎn)角為。根據(jù)表7-1有： 若：（逆時(shí)針） ，為比例常數(shù)，則有：由于：所以：（逆時(shí)針）7.5 疊加法計(jì)算梁的變形用積分法計(jì)算梁的變形是相當(dāng)煩瑣的，特別是梁分段很多的情況下，需要用截面法寫出各段梁的彎矩函數(shù)，還需要確定出各段梁的積分常數(shù)，這一過程十分復(fù)雜和煩瑣。因此，有必要尋求更簡單的方法計(jì)算梁的變形，在工程中，很

25、多時(shí)候并不需要求出整個(gè)梁的轉(zhuǎn)角函數(shù)和撓度函數(shù)，而是只需要求出某些特殊點(diǎn)處的轉(zhuǎn)角和撓度，也即往往只需要求出梁中最大的轉(zhuǎn)角和撓度，也就可以進(jìn)行梁的剛度計(jì)算了。所以，下面介紹的疊加法就是一種計(jì)算梁某些特殊點(diǎn)處的轉(zhuǎn)角和撓度的簡便方法。疊加原理：在線彈性小變形條件下，任何因素引起的結(jié)構(gòu)中的內(nèi)力、應(yīng)力和應(yīng)變以及變形和位移等都是可以疊加的。這一原理稱為線彈性體的疊加原理。如圖7-25所示的桿件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，在任何因素影響下，只要滿足線彈性小變形條件，則結(jié)構(gòu)中的內(nèi)力，應(yīng)力以及變形等就等于每種因素在結(jié)構(gòu)中引起的內(nèi)力，應(yīng)力以及變形的疊加。即： （7-8）圖7-25 線彈性小變形桿件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)材料力學(xué)的研究對象是桿件或桿

26、件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，所以材料力學(xué)中主要考慮的問題是桿件的內(nèi)力、應(yīng)力以及變形等的疊加問題，而所考慮的影響因素主要是機(jī)械載荷以及結(jié)構(gòu)支承等因素，也涉及少量的溫度應(yīng)力問題。本教材對疊加原理不予證明，讀者可參閱相關(guān)教材和專著?；诏B加原理，疊加法計(jì)算梁變形的原理是：在線彈性小變形條件下，任何因素引起的梁的變形（也即轉(zhuǎn)角和撓度）都是可以疊加的。即： （7-9）疊加法是計(jì)算結(jié)構(gòu)特殊點(diǎn)處轉(zhuǎn)角和撓度的簡便方法，其先決條件是必須預(yù)先知道一些簡單梁的結(jié)果。附錄B給出的就是一些常見和簡單梁的轉(zhuǎn)角和撓度計(jì)算公式。疊加法的主要操作手段或技巧是：將實(shí)際情況下的梁分解或簡化為若干簡單梁的疊加。 7.5.1 常見情況疊加法的應(yīng)用下面

27、就一些常見的引起梁變形的因素以實(shí)例的形式應(yīng)用疊加法計(jì)算梁在一些特殊點(diǎn)處的轉(zhuǎn)角或撓度。(1) 多個(gè)載荷作用在梁上的情況此種情況下只需將每個(gè)載荷引起的梁的變形進(jìn)行疊加即可。例7-8 求圖7-26（a）所示梁中點(diǎn)的撓度，梁的抗彎剛度為。(a)(b)(c)(d)圖 7-26 例7-8圖解：原梁可分解為圖7-26（b），（c），（d）所示三個(gè)簡單梁的疊加，每根梁只有單一的載荷作用。下面分別計(jì)算各梁在中點(diǎn)處的撓度。圖7-26（b）所示梁在中點(diǎn)的撓度就是簡支梁受均布載荷的情況，由附錄B可查得： （向下） 圖7-26（c）所示梁，無論集中力偶作用在外伸段的什么地方，其在梁中點(diǎn)產(chǎn)生的撓度都是相同的。所以圖7-2

28、6（c）所示梁在中點(diǎn)的撓度就是簡支梁在支座處受集中力偶作用的情況，由附錄B可查得： （向下） 圖7-26（d）所示梁，計(jì)算梁中點(diǎn)的撓度時(shí)，可將外伸端的集中力等效移動(dòng)到支座處，而作用在支座處的集中力不會(huì)引起梁的變形，所以圖7-6（d）所示梁在中點(diǎn)的撓度就是簡支梁在支座處受集中力偶作用的情況，由附錄B可查得：（向上） 由疊加法，原梁在中點(diǎn)的撓度為：（向下）例7-9 如圖7-27(a)所示簡支梁受均布載荷作用，梁與其下面的剛性平臺間的間隙為，梁的抗彎剛度為，求梁與剛性平臺的接觸長度以及梁支座處的支反力。圖 7-27 例7-9圖（a）（c）（b）解：由附錄B，簡支梁受均布載荷作用時(shí)，梁中點(diǎn)的撓度最大且

29、為：所以，當(dāng)也即載荷 時(shí)，梁最多只有中點(diǎn)與剛性平臺接觸，此時(shí)梁與剛性平臺的接觸長度為零，而支座處的支反力為。當(dāng)也即時(shí)，梁將有一段與剛性平臺接觸，假設(shè)接觸點(diǎn)為點(diǎn)，接觸長度為，根據(jù)對稱性，對稱，其到左右支座的距離均為。根據(jù)前述接觸問題的分析，考慮段梁，其相當(dāng)于一懸臂梁受均布載荷和自由端受集中力作用的情況，如圖7-27（b）（c）所示，且有條件： （向上）因： 得： 由附錄B，懸臂梁受均布載荷和自由端集中力作用時(shí)，自由端的撓度可由疊加法得： 所以有： 于是，梁與剛性平臺的接觸長度為：梁支座處的支反力為：(2) 梁支承為彈性支承的情況 當(dāng)梁的支承為彈性支承時(shí)，梁在支承點(diǎn)將存在位移。此種情況下應(yīng)將彈性支

30、座移動(dòng)引起的梁的轉(zhuǎn)角和撓度與載荷所引起的梁的轉(zhuǎn)角和撓度進(jìn)行疊加。例7-10 求圖7-29（a）所示梁中點(diǎn)的撓度和支座處的轉(zhuǎn)角，梁的抗彎剛度為，彈簧系數(shù)為。圖7-29 例7-10圖(a)(b)(c)解：梁的變形可認(rèn)為是分兩步完成的（圖7-29（b），第一步是支座產(chǎn)生一個(gè)豎向位移，從而引起了梁中點(diǎn)的撓度為（向下），同時(shí)還引起了梁所有截面轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度（順時(shí)針）；第二步是載荷引起梁中點(diǎn)的撓度為，梁支座處的轉(zhuǎn)角分別為，。因此，原梁可以看成如圖7-29（c）所示的兩梁的疊加，即支座存在豎向位移的無載荷空梁和在中點(diǎn)受集中力作用的簡支梁疊加。梁的支反力為：空梁：支座的豎向位移（向下）梁中點(diǎn)的撓度為（向下）梁支

31、座處的轉(zhuǎn)角為：（順時(shí)針）簡支梁：梁中點(diǎn)的撓度為：（向下）梁支座處的轉(zhuǎn)角為：（順時(shí)針）（逆時(shí)針）由疊加法，原梁中點(diǎn)的撓度為：（向下）梁支座處的轉(zhuǎn)角為：（順時(shí)針）梁支座處的轉(zhuǎn)角為：（逆時(shí)針）例7-11 用疊加法計(jì)算積分法中的例7-2。解：根據(jù)與上例相同的分析，例7-2中的梁（圖7-9，7-31(a)）相當(dāng)于圖7-30(b)(c)兩梁的疊加。圖7-30 例7-11圖(a)(b)(c)梁的支反力為：桿中的軸力為： 所以：（向下） （順時(shí)針）查附錄B可得：（向下） （順時(shí)針）故由疊加法，原梁中點(diǎn)的撓度為：（向下）原梁支座處截面的轉(zhuǎn)角為：（順時(shí)針）與例7-2中的結(jié)果完全一樣，可見，求梁在某些特殊點(diǎn)處的撓度

32、和轉(zhuǎn)角采用疊加法比采用積分法要簡單方便得多。例7-12 求圖7-31(a)所示中間鉸梁點(diǎn)處的撓度以及中間鉸處梁截面轉(zhuǎn)角的突變值，梁的抗彎剛度為。圖7-31 例7-12圖(a)(b)(c)解：將梁在中間鉸處拆開，左梁為簡支梁受均布載荷作用但支座存在豎向位移，右梁為懸臂梁在自由端受集中力作用?？紤]左梁的平衡，其支反力為：所以右梁點(diǎn)的撓度為：（向下）這即是原梁在中間鉸處的撓度。右梁截面的轉(zhuǎn)角為： （逆時(shí)針）根據(jù)前幾例的分析方法，左梁可分解為支座存在豎向位移的空梁以及受均布載荷作用的簡支梁的疊加。所以由疊加原理，點(diǎn)的撓度為：（向下）截面的轉(zhuǎn)角為： （逆時(shí)針）于是，在中間鉸處梁截面轉(zhuǎn)角的突變值為：其中，

33、。注意：在具體使用疊加法時(shí)，為了方便起見和避免書寫麻煩，一般不采用前述的撓度和轉(zhuǎn)角的正負(fù)號規(guī)定，可視情況而定其正方向，求解完畢后注明其方向即可。例題7-12就是一例，撓度采用的是向下為正，而轉(zhuǎn)角依然采用的是逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?3) 多種因素引起所考察點(diǎn)變形的情況此種情況下應(yīng)將各種因素引起的所考察點(diǎn)的轉(zhuǎn)角和撓度進(jìn)行逐項(xiàng)疊加。例7-13 求圖7-32(a)所示懸臂梁自由端的撓度和轉(zhuǎn)角，梁的抗彎剛度為。圖7-32 例7-13圖(a)(b)解：明顯梁段中沒有內(nèi)力，因此該段梁沒有變形，但是段梁的變形將引起段梁產(chǎn)生撓度和轉(zhuǎn)角。如圖7-32(b)所示，所考察點(diǎn)點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角是由于段梁的變形所引起，點(diǎn)的撓度由段

34、梁的兩種變形因素引起，即點(diǎn)的撓度引起的點(diǎn)的撓度為，截面的轉(zhuǎn)角引起的點(diǎn)的撓度為，所以有：（向下）（向下）（向下）由于段梁始終保持為直線，所以截面的轉(zhuǎn)角就等于截面的轉(zhuǎn)角，所以有：（順時(shí)針）例7-14 求圖7-33(a)所示懸臂梁任意點(diǎn)處的撓度和轉(zhuǎn)角，梁的抗彎剛度為。圖7-33 例7-14圖(a)(b)解：考察距固定端距離為的點(diǎn)，將梁在點(diǎn)處截開，只考慮左段梁，其受力情況如圖7-33(b)所示，即受均布載荷作用，同時(shí)在自由端受集中力和集中力偶的作用，則點(diǎn)的撓度和截面的轉(zhuǎn)角由這三種載荷引起。由右段梁的平衡有： 所以由疊加法，點(diǎn)的撓度為：（向下）截面的轉(zhuǎn)角為：（順時(shí)針）可見，影響點(diǎn)的撓度和截面的轉(zhuǎn)角的因素

35、是：左段梁上的載荷以及右段梁作用在左段梁上的載荷和。實(shí)質(zhì)上和也就是圖7-33(a)所示懸臂梁的撓曲線函數(shù)和轉(zhuǎn)角函數(shù)。這說明有些簡單梁的撓曲線函數(shù)及轉(zhuǎn)角函數(shù)也可由疊加法求得。例7-15 求圖7-34(a)所示矩形截面懸臂梁自由端的撓度和轉(zhuǎn)角，已知溫升沿梁高度方向的變化規(guī)律為，梁的抗彎剛度為，材料的熱膨脹系數(shù)為。圖7-34 例7-15圖解：梁自由端的撓度和轉(zhuǎn)角由兩種因素引起，一是均布載荷所引起的，為：（向下） （順時(shí)針）二是由溫度引起的，可如下計(jì)算。梁上緣的溫升為零，所以其固定端到任意位置處的伸長。下緣的溫升為：，其固定端到任意位置處的伸長為：所以梁任意位置處截面的轉(zhuǎn)角為：（逆時(shí)針）梁任意位置處的

36、撓度為： 因： 所以： 則：（向上）于是梁自由端因溫度引起的轉(zhuǎn)角和撓度為：（逆時(shí)針） （向上）根據(jù)疊加法，梁自由端的撓度和轉(zhuǎn)角為：（向下）（順時(shí)針）7.5.2 疊加法的常用技巧為了利用一些簡單梁的結(jié)果，在不改變梁的變形的情況下可以將梁簡化為一些簡單梁的疊加，所以疊加法的常用技巧就是如何簡化實(shí)際的梁。除了前面介紹的剛性地基或平臺上的梁以及對稱梁和反對稱梁的簡化技巧外，還可以采用下面的一些方法簡化實(shí)際的梁。(1) 載荷的分解與重組在不改變梁的變形條件下，可以將梁上載荷進(jìn)行分解或重組，從而將原梁簡化為幾個(gè)簡單梁的疊加。例7-16 求圖7-35(a)所示懸臂梁自由端的撓度，梁的抗彎剛度為。圖7-35

37、例7-16圖(a)(b)(c)(d)解：原梁的變形等價(jià)于圖7-35(b)所示的梁，即將梁上的分布載荷加滿到固定端，然后在左半邊梁加上反方向的分布載荷。所以原梁可分解為圖7-35(c)，（d) 所示兩梁的疊加。（向下）（向上）（向上）所以：（向下）(2) 逐段剛化法欲求梁某點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角，可將梁分為若干段，分別考慮各段梁的變形對所考察點(diǎn)引起的撓度和轉(zhuǎn)角，然后進(jìn)行疊加，這種方法稱為逐段剛化法。如圖7-36（a）所示，今欲求梁自由端點(diǎn)的撓度，可先將梁分為和兩段，點(diǎn)的撓度是由和兩段梁的變形引起的，所以計(jì)算段梁變形引起的點(diǎn)的撓度時(shí)，可將段梁剛化（圖7-36（b），而計(jì)算段梁變形引起的點(diǎn)的撓度時(shí)，可將段梁

38、剛化（圖7-37（c），注意計(jì)算段梁變形時(shí)，要考慮作用于其上的所有載荷的影響（圖7-36（d），然后將兩段梁引起的點(diǎn)的撓度疊加，就可求得點(diǎn)的撓度。實(shí)際上原梁就是圖7-36（b）和圖7-37（c）兩梁的疊加，因此逐段剛化法實(shí)質(zhì)上就是考慮梁的逐段變形然后進(jìn)行疊加。注意：逐段剛化法是計(jì)算梁某點(diǎn)變形的非常有力的方法。它可以處理階梯狀梁，復(fù)雜的外伸梁以及剛架等問題。圖7-36 逐段剛化法(b)(c)(d)(a)剛化剛化例7-17 求圖7-37(a)所示階梯狀簡支梁中點(diǎn)的撓度和支座處的轉(zhuǎn)角。中間段梁的抗彎剛度為，兩邊段梁的抗彎剛度為。圖7-37 例7-17圖(a)(b)(c)(d)剛化剛化(e)(f)解：

39、根據(jù)對稱性，只考慮右半部分梁。由前面的分析（圖7-37(b)），原梁可簡化為圖7-37(c)所示的梁，而圖7-37(c)所示的梁又等價(jià)于圖7-37(d)所示的懸臂梁，圖中點(diǎn)向上的撓度也就是原梁中點(diǎn)向下的撓度。即：采用逐段剛化法求解，先剛化段梁（圖7-37(e)），則：（向上）再剛化段梁（圖7-37(f)），段梁的受力情況是在點(diǎn)受集中力及集中力偶的作用。則由疊加法，有：（向上）其中分別是集中力及集中力偶在點(diǎn)產(chǎn)生的撓度。（向上）其中分別是集中力及集中力偶在點(diǎn)產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角。所以，由疊加法原梁中點(diǎn)的撓度為：（向下）此亦即梁中的最大撓度。如果梁是抗彎剛度為的等截面梁，由附錄2，其中點(diǎn)的撓度也即梁中的最大撓度為：因：可見，采用圖7-37(a)所示階梯狀形式