空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

1、備考方向要明了考 什 么怎 么 考1.理解直線的方向向量與平面的法向量2.能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系3.能用向量方法證明有關(guān)直線和平面關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理)4.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題了解向量方法在研究立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用.1.高考中很少考查直線的方向向量，而平面法向量則多滲透在解答題中考查2.利用向量法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系，在高考有所體現(xiàn)，如2012年陜西T18，可用向量法證明3.高考對(duì)空間向量及應(yīng)用的考查，多以解答題形式考查，并且作為解答題的第二種方法考查，如2012年北京T16，天津T17等.歸

2、納·知識(shí)整合1兩個(gè)重要向量(1)直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線平行(或重合)的非零向量，一條直線的方向向量有無(wú)數(shù)個(gè)(2)平面的法向量直線l平面，取直線l的方向向量，則這個(gè)向量叫做平面的法向量顯然一個(gè)平面的法向量有無(wú)數(shù)個(gè)，它們是共線向量探究1.在求平面的法向量時(shí)，所列的方程組中有三個(gè)變量，但只有兩個(gè)方程，如何求法向量？提示：給其中一個(gè)變量恰當(dāng)賦值，求出該方程組的一組非零解，即可作為法向量的坐標(biāo)2空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2.l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1·n20直線l的方向向量為n，平面的法向量為ml

3、nmm·n0lnmnm平面、的法向量分別為n，m.nmnmnmn·m03.兩條異面直線所成角的求法設(shè)兩條異面直線a，b的方向向量為a，b，其夾角為，則cos |cos |(其中為異面直線a，b所成的角)4直線和平面所成的角的求法如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面的法向量為n，直線l與平面所成的角為，兩向量e與n的夾角為，則有sin |cos |.5求二面角的大小(1)如圖，AB、CD是二面角l的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小，(2)如圖，n1，n2分別是二面角l的兩個(gè)半平面，的法向量，則二面角的大小n1，n2(或n1，n2)探究2.兩向量的夾角的范圍是什么？?jī)?/p>

4、異面直線所成角呢？直線與平面所成角呢？二面角呢？提示：兩向量的夾角范圍是0，；兩異面直線所成角的范圍是；直線與平面所成角的范圍是；二面角的范圍是0，注意以上各角取值范圍的區(qū)別6點(diǎn)到平面的距離的向量求法如圖，設(shè)AB為平面的一條斜線段，n為平面的法向量，則點(diǎn)B到平面的距離d.自測(cè)·牛刀小試1(教材習(xí)題改編)兩條不重合的直線l1和l2的方向向量分別為v1(1，1,2)，v2(0,2,1)，則l1與l2的位置關(guān)系是()A平行B相交C垂直 D不確定解析：選Cv1·v21×0(1)×22×10，v1v2，從而l1l2.2若直線l的方向向量為a(1,0,2)

5、，平面的法向量為n(2，0，4)，則()Al BlCl Dl與斜交解析：選Ba(1,0,2)，n(2,0，4)n2a，即an.l.3若平面、的法向量分別為n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，則()A BC、相交但不垂直 D以上均不正確解析：選Cn1·n22×(3)(3)×15×(4)0，n1與n2不垂直，與相交但不垂直4(教材習(xí)題改編)已知兩平面的法向量分別為m(0,1,0)，n(0,1,1)，則兩平面所成的二面角的大小為_(kāi)解析：cosm，n，即m，n45°，其補(bǔ)角為135°.兩平面所成的二面角為45°或135°

6、;.答案：45°或135°5若平面的一個(gè)法向量為n(2,1,2)，直線l的一個(gè)方向向量為a(1,1,1)，則l與所成的角的正弦值為_(kāi)解析：設(shè)直線l與平面所成的角為，則sin |cosn，a|.答案：用向量法證明平行、垂直例1在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2BC，E、F、E1分別是棱AA1，BB1，A1B1的中點(diǎn)(1)求證：CE平面C1E1F；(2)求證：平面C1E1F平面CEF.自主解析以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BC1，則C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(xiàn)(1,1,1)，E1.(

7、1)設(shè)平面C1E1F的法向量n(x，y，z)，(1,0,1)，即取n(1,2,1)(1，1,1)，n·1210，n.又CE平面C1E1F，CE平面C1E1F.(2)設(shè)平面EFC的法向量為m(a，b，c)，由(0,1,0)，(1,0，1)，即取m(1,0,1)m·n1×(1)2×01×1110，平面C1E1F平面CEF.保持例題條件不變，求證：CF平面C1EF.證明：由例題可知，E(1,0,1)，F(xiàn)(1,1,1)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)，(1,0,1)，(1,0，1)，(0,1,0) ·1×10×01&

8、#215;(1)0，·1×00×11×00.，.CFC1F，CFEF.C1FEFF，CF平面C1EF.1.向量法證明空間平行或垂直的關(guān)鍵點(diǎn)利用向量法證明空間中的平行或垂直的問(wèn)題時(shí)，建系是關(guān)鍵的一步，通常借助于幾何圖形中的垂直關(guān)系選擇坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸，并讓盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上.2.向量法證明線面平行的注意點(diǎn)用向量法證線面平行可以證明直線的一個(gè)方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線(平行)向量，也可以證明直線的方向向量與平面的某個(gè)法向量垂直，在具體問(wèn)題中可選擇較簡(jiǎn)單的解法.1(2013·安徽師大附中模擬)如圖，已知AB平面ACD，DE平面ACD，AC

9、D為等邊三角形，ADDE2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)(1)求證：AF平面BCE；(2)求證：平面BCE平面CDE.解：設(shè)ADDE2AB2a，建立如圖所示的坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)F為CD的中點(diǎn)，F(xiàn).(1)證明：，(a，a，a)，(2a,0，a)，()，AF平面BCE，AF平面BCE.(2)證明：，(a，a,0)，(0,0，2a)，·0，·0，.又CDDED，平面CDE，即AF平面CDE.又AF平面BCE，平面BCD平面CDE.利用空間向量求空間角例2如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，已知

10、AB4，AD3，AA12.E、F分別是線段AB、BC上的點(diǎn)，且EBFB1.(1)求二面角CDEC1的正切值；(2)求直線EC1與FD1所成角的余弦值自主解析(1)以A為原點(diǎn)，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)，于是(3，3,0)，EC1(1,3,2)，F(xiàn)D1(4,2,2)設(shè)n(x，y,2)為平面C1DE的法向量，則有xy1，n(1，1,2)，向量(0,0,2)與平面CDE垂直，n與AA1所成的角為二面角CDEC1的平面角或其補(bǔ)角cos ，由圖知二面角CDEC1的平面角為銳角，tan .

11、(2)設(shè)EC1與FD1所成的角為，則cos .求平面的法向量的步驟(1)設(shè)出法向量的坐標(biāo)，一般設(shè)為n(x，y，z)；(2)建立方程組，即利用平面的法向量與平面內(nèi)的兩條相交直線的方向向量垂直，建立關(guān)于x，y，z的方程組(3)消元，通過(guò)加減消元，用一個(gè)未知數(shù)表示另兩個(gè)未知數(shù)(4)賦值確定平面的一個(gè)法向量2(2012·新課標(biāo)全國(guó)卷)如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCAA1，D是棱AA1的中點(diǎn)，DC1BD.(1)證明：DC1BC；(2)求二面角A1­BD­C1的大小解：(1)證明：由題設(shè)知，三棱柱的側(cè)面為矩形由于D為AA1的中點(diǎn)，故DCDC1.又ACAA1，

12、可得DCDC2CC，所以DC1DC.而DC1BD，DCBDD，所以DC1平面BCD.BC平面BCD，故DC1BC.(2)由(1)知BCDC1，且BCCC1，則BC平面ACC1，所以CA，CB，CC1兩兩相互垂直以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.由題意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)則(0,0，1)，(1，1,1)，(1,0,1)設(shè)n(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，則即可取n(1,1,0)同理，設(shè)m是平面C1BD的法向量，則可取m(1,2,1)從而cosn，m.故二面角A1BDC1的大小為

13、30°.利用向量法求空間距離例3在三棱錐SABC中，ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面SAC平面ABC，SASC2，M、N分別為AB、SB的中點(diǎn)，如圖所示，求點(diǎn)B到平面CMN的距離自主解答取AC的中點(diǎn)O，連接OS、OB.SASC，ABBC，ACSO，ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABCAC，SO平面ABC，又BO平面ABC，SOBO.如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則B(0,2，0)，C(2,0,0)，S(0,0,2)，M(1，0)，N(0，)(3，0)，(1,0，)，(1，0)設(shè)n(x，y，z)為平面CMN的一個(gè)法向量，則取z1，則x，y，n(，1)點(diǎn)B到平面C

14、MN的距離d.求平面外一點(diǎn)P到平面的距離的步驟(1)求平面的法向量n；(2)在平面內(nèi)取一點(diǎn)A，確定向量的坐標(biāo)；(3)代入公式d求解3已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，GC平面ABCD，且GC2.求點(diǎn)B到平面EFG的距離解：如圖所示，以C為原點(diǎn)，CB、CD、CG所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由題意知B(4,0,0)，E(4,2,0)，F(xiàn)(2,4,0)，G(0,0,2)，(0,2,0)，(4,2，2)，(2,2,0)設(shè)平面GEF的法向量為n(x，y，z)，則有即令x1，則y1，z3，n(1,1,3)點(diǎn)B到平面GEF的距離為d.2種方法用向量證平行與

15、垂直的方法(1)用向量證平行的方法線線平行：證明兩直線的方向向量共線線面平行：a.證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；b證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行面面平行：a.證明兩平面的法向量為共線向量；b轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問(wèn)題(2)用向量證明垂直的方法線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示面面垂直：證明兩個(gè)平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎?種角利用向量法求三種角的問(wèn)題在立體幾何中，涉及的角有異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等關(guān)于角的計(jì)算，

16、均可歸結(jié)為兩個(gè)向量的夾角(1)求兩異面直線a、b的夾角，須求出它們的方向向量a，b的夾角，則cos |cosa，b|.(2)求直線l與平面所成的角可先求出平面的法向量n與直線l的方向向量a的夾角則sin |cosn，a|.(3)求二面角­l­的大小，可先求出兩個(gè)平面的法向量n1，n2所成的角，則n1，n2或n1，n21個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)利用平面法向量求二面角的易錯(cuò)點(diǎn)利用平面的法向量求二面角的大小時(shí)，當(dāng)求出兩半平面、的法向量n1，n2時(shí)，要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等(一個(gè)平面的法向量指向二面角的內(nèi)部，另一個(gè)平面的法向量指向二面角的外

17、部)，還是互補(bǔ)(兩個(gè)法向量同時(shí)指向二面角的內(nèi)部或外部)，這是利用向量求二面角的難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn). 答題模板空間向量在立體幾何中的應(yīng)用典例(2012·安徽高考·滿分12分)平面圖形ABB1A1C1C如圖所示，其中BB1C1C是矩形，BC2，BB14，ABAC，A1B1A1C1，現(xiàn)將該平面圖形分別沿BC和B1C1折疊，使ABC與A1B1C1所在平面都與平面BB1C1C垂直，再分別連接A1A，A1B，A1C，得到如圖所示的空間圖形對(duì)此空間圖形解答下列問(wèn)題(1)證明：AA1BC；(2)求AA1的長(zhǎng)；(3)求二面角A­BC­A1的余弦值快速規(guī)范審題1審條件，挖解題信息

18、觀察條件：四邊形BB1C1C是矩形，面ABC面BB1C1C，面A1B1C1面BB1C1CDD1，B1D1，A1D1兩兩垂直2審結(jié)論，明確解題方向觀察結(jié)論：(1)證明：AA1BC，(2)求AA1的長(zhǎng)，(3)求二面角ABCA1的余弦值轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算解決3建聯(lián)系，找解題突破口D1D，D1B1，D1A1兩兩垂直，BC2，BB14，ABAC，A1B1A1C1建立空間直角坐標(biāo)系(1)證明·0，(2)計(jì)算AA1|，(3)求平面法向量的夾角得相應(yīng)結(jié)論準(zhǔn)確規(guī)范答題坐標(biāo)系建立不當(dāng)，不能準(zhǔn)確地推證ADA1D1，導(dǎo)致點(diǎn)A的坐標(biāo)求錯(cuò). (1)證明：取BC，B1C1的中點(diǎn)分別為D和D1，連接A1D1，DD1，A

19、D.由BB1C1C為矩形知，DD1B1C1.因?yàn)槠矫鍮B1C1C平面A1B1C1，所以DD1平面A1B1C1.(1分)又由A1B1A1C1知，A1D1B1C1.(2分)故以D1為坐標(biāo)原點(diǎn)，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D1xyz.(3分)由題設(shè)， 可得A1D12，AD1.由以上可知AD平面BB1C1C，A1D1平面BB1C1C，于是ADA1D1.(4分)所以A(0，1,4)，B(1,0,4)，A1(0,2,0)，C(1,0,4)，D(0,0，4)，故(0,3，4)，(2,0,0)，·0，(5分)因此，即AA1BC.(6分)求出cosn1，n2后，不判斷二面角大小直接得出結(jié)論從而失誤.

20、(2)因?yàn)?0,3，4)，所以|5，即AA15.(8分)(3)設(shè)平面A1BC的法向量為n1(x1，y1，z1)，又因?yàn)?1，2,4)，(1，2,4)，(9分)所以(10分)即令z11，則n1(0,2,1)又因?yàn)槠矫鍭BCz軸，所以取平面ABC的法向量為n2(0,0,1)，不注意條件“z軸平面ABC”的應(yīng)用，增大運(yùn)算量.則cosn1，n2，(11分)所以二面角ABCA1的余弦值為.(12分)答題模板速成利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的一般步驟：第一步理清題意利用條件分析問(wèn)題，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系第二步確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合建系過(guò)程與圖形，準(zhǔn)確地寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)第三步確立平面的法向量利用點(diǎn)的坐標(biāo)求

21、出相關(guān)直線的方向向量和平面的法向量，若已知某直線垂直某平面，可直接取直線的一個(gè)方向向量為該平面的法向量第四步轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，空間角轉(zhuǎn)化為向量的夾角問(wèn)題去論證，求解第五步問(wèn)題還原結(jié)合條件與圖形，作出結(jié)論(注意角的范圍)第六步反思回顧回顧檢查建系過(guò)程、坐標(biāo)是否有錯(cuò)及是否忽視了所求角的范圍而寫(xiě)錯(cuò)結(jié)論一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1如圖，在ABC中，ABC60°，BAC90°，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC90°.(1)證明：平面ADB平面BDC；(2)設(shè)E為BC的中點(diǎn)，求與夾角的余弦值解：(1)證明：折起前

22、AD是BC邊上的高，當(dāng)ABD折起后，ADDC，ADDB，又DBDCD，AD平面BDC，AD平面ABD，平面ABD平面BDC.(2)由BDC90°及(1)知DA，DB，DC兩兩垂直，不妨設(shè)|DB|1，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，A(0,0，)，E，(1,0,0)，與夾角的余弦值為cos，.2(2013·孝感模擬)如圖所示，四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDAB2，E、F、G分別為PC、PD、BC的中點(diǎn)(1)求證：PAEF；(2)求二面角DF

23、GE的余弦值解：(1)證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0,0,0)，A(0,2,0)，C(2,0,0)，P(0,0,2)，E(1,0，1)，F(xiàn)(0,0,1)，G(2,1,0)(1)(0,2，2)，(1,0,0)，·0，PAEF.(2)易知(0,0,1)，(2,1，1)設(shè)平面DFG的法向量為m(x1，y1，z1)，則即令x11，得m(1,2,0)是平面DFG的一個(gè)法向量同理可得n(0,1,1)是平面EFG的一個(gè)法向量，cosm，n，由圖可知二面角DFGE為鈍角，二面角DFGE的余弦值為.3.如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，點(diǎn)D是A1B

24、1的中點(diǎn)，點(diǎn)E在A1C1上且DEAE.(1)證明：平面ADE平面ACC1A1；(2)求直線AD和平面ABC1所成角的正弦值解：(1)證明：由正三棱柱ABCA1B1C1的性質(zhì)知AA1平面A1B1C1，又DE平面A1B1C1，所以DEAA1.而DEAE，AA1AEA，所以DE平面ACC1A1.又DE平面ADE，故平面ADE平面ACC1A1.(2)如圖所示，設(shè)O是AC的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系不妨設(shè)AA1，則AB2，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(0，1,0)，B(，0,0)，C1(0,1，)，D.易知(，1,0)，(0,2，)，.設(shè)平面ABC1的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，則有解得xy，zy.

25、故可取n(1，)所以，cosn，.由此即知，直線AD和平面ABC1所成角的正弦值為.4(2012·江西高考)如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABACAA1，BC4，點(diǎn)A1在底面ABC的投影是線段BC的中點(diǎn)O.(1)證明在側(cè)棱AA1上存在一點(diǎn)E，使得OE平面BB1C1C，并求出AE的長(zhǎng)；(2)求平面A1B1C與平面BB1C1C夾角的余弦值解：(1)證明：連接AO，在AOA1中，作OEAA1于點(diǎn)E，因?yàn)锳A1BB1，所以O(shè)EBB1.因?yàn)锳1O平面ABC，所以A1OBC.因?yàn)锳BAC，OBOC，得AOBC，所以BC平面AA1O，所以BCOE，所以O(shè)E平面BB1C1C，又AO1，

26、AA1，得AE.(2)如圖，分別以O(shè)A，OB，OA1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0，2,0)，A1(0,0,2)，由得點(diǎn)E的坐標(biāo)是，由(1)得平面BB1C1C的法向量是，設(shè)平面A1B1C的法向量n(x，y，z)，由得令y1，得x2，z1，即n(2,1，1)，所以cos，n，即平面BB1C1C與平面A1B1C的夾角的余弦值是.5如圖所示，在多面體ABCDA1B1C1D1中，上，下兩個(gè)底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1底面ABCD，AB2A1B12DD12a.(1)求異面直線AB1與DD1所成角的余弦值；(2)已知

27、F是AD的中點(diǎn)，求證：FB1平面BCC1B1；(3)在(2)的條件下，求二面角FCC1B的余弦值解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2a,0,0)，B(2a,2a,0)，C(0,2a,0)，D1(0,0，a)，F(xiàn)(a,0,0)，B1(a，a，a)，C1(0，a，a)(1)(a，a，a)，(0,0，a)，|cos，|，所以異面直線AB1與DD1所成角的余弦值為.(2)(a，a，a)，(2a,0,0)，(0，a，a)，F(xiàn)B1BB1，F(xiàn)B1BC.BB1BCB，F(xiàn)B1平面BCC1B.(3)由(2)知，為平面BCC1B1的一個(gè)法向量設(shè)

28、n(x1，y1，z1)為平面FCC1的法向量，(0，a，a)，(a,2a,0)，得令y11，則x12，z11，n(2,1,1)，cos，n，即二面角FCC1B的余弦值為.6(2013·聊城模擬)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，BAD60°，Q為AD的中點(diǎn)(1)若PAPD，求證：平面PQB平面PAD；(2)設(shè)點(diǎn)M在線段PC上，求證：PA平面MQB；(3)在(2)的條件下，若平面PAD平面ABCD，且PAPDAD2，求二面角MBQC的大小解：(1)連接BD，四邊形ABCD菱形，BAD60°，ABD為正三角形，又Q為AD中點(diǎn)，ADBQ.PAPD，Q為AD

29、的中點(diǎn)，ADPQ，又BQPQQ，AD平面PQB，AD平面PAD.平面PQB平面PAD. (2)連接AC交BQ于點(diǎn)N，如圖(1)：由AQBC可得，ANQCNB，.又，.PAMN.MN平面MQB，PA平面MQB， 圖(1)PA平面MQB.(3)由PAPDAD2，Q為AD的中點(diǎn)，則PQAD.又平面PAD平面ABCD，PQ平面ABCD.以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以QA、QB、QP所在的直線為x，y，z軸，建立如圖(2)所示的坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,0,0)，B(0，0)，Q(0,0,0)，P(0,0，)設(shè)平面MQB的法向量n(x，y,1)，可得 圖(2)PAMN，解得n(，0,1)取平面ABCD的法向量

30、m(0,0,1)cosm，n.故二面角MBQC的大小為60°.7(2012·福建高考)如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E為CD中點(diǎn)(1)求證：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由；(3)若二面角AB1EA1的大小為30°，求AB的長(zhǎng)解：(1)證明：以A為原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)設(shè)ABa，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a，0,1)，故(0,1,1)，(a,0,1)，.·

31、5;01×1(1)×10，B1EAD1.(2)假設(shè)在棱AA1上存在一點(diǎn)P(0,0，z0)，使得DP平面B1AE，此時(shí)(0，1，z0)又設(shè)平面B1AE的法向量n(x，y，z)n平面B1AE，n，n，得取x1，則y，za，得平面B1AE的一個(gè)法向量n.要使DP平面B1AE，只要n，有az00，解得z0.又DP平面B1AE，存在點(diǎn)P，滿足DP平面B1AE，此時(shí)AP.(3)連接A1D，B1C，由長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1及AA1AD1，得AD1A1D.B1CA1D，AD1B1C.又由(1)知B1EAD1，且B1CB1EB1，AD1平面DCB1A1，是平面A1B1E的一個(gè)法向量，

32、此時(shí)(0,1,1)設(shè)與n所成的角為，則cos .二面角AB1EA1的大小為30°，|cos |cos 30°，即，解得a2，即AB的長(zhǎng)為2.1直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90°，D、E分別為AB、BB的中點(diǎn)(1)求證：CEAD；(2)求異面直線CE與AC所成角的余弦值解：(1)設(shè)a，b，c，根據(jù)題意，|a|b|c|且a·bb·cc·a0，bc，cba.·c2b20.，即CEAD.(2)ac，bc，|a|，|a|.·(ac)·(bc)c2|a|2，cos，.即異面直線CE與AC所成角的余弦值

33、為.2如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB60°，AB2AD，PD底面ABCD.(1)證明：PABD；(2)設(shè)PDAD，求二面角APBC的余弦值解：(1)證明：因?yàn)镈AB60°，AB2AD，由余弦定理得BDAD.從而B(niǎo)D2AD2AB2，故BDAD.又PD底面ABCD，可得BDPD.所以BD平面PAD.故PABD.(2)如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(1,0,0)，B(0，0)，C(1，0)，P(0,0,1)(1，0)，(0，1)，(1,0,0)設(shè)平面PAB的法向量為n(x，y，z)，則 即因此可取n(，1，)設(shè)平面PBC的法向量為m(x1，y1，z1)，則可取m(0，1，)，