D104對面積曲面積分35084實用教案

1、定義定義(dngy):設 為光滑(gung hu)曲面,“乘積(chngj)和式極限” 都存在,的曲面積分其中 f (x, y, z) 叫做被積據(jù)此定義, 曲面形構件的質量為曲面面積為f (x, y, z) 是定義在 上的一 個有界函數(shù),記作或第一類曲面積分.若對 做任意分割和局部區(qū)域任意取點, 則稱此極限為函數(shù) f (x, y, z) 在曲面 上對面積函數(shù), 叫做積分曲面.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第1頁/共27頁第一頁，共28頁。則對面積的曲面(qmin)積分存在. 對積分(jfn)域的可加性.則有 線性性質(xngzh).在光滑曲面 上連續(xù), 對面積的曲面積分與對弧長的曲線積分

2、性質類似. 積分的存在性. 若 是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第2頁/共27頁第二頁，共28頁。oxyz定理(dngl): 設有光滑曲面f (x, y, z) 在 上連續(xù)(linx),存在(cnzi), 且有二、對面積的曲面積分的計算法二、對面積的曲面積分的計算法 則曲面積分證明: 由定義知nk 1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第3頁/共27頁第三頁，共28頁。0limnk 1),(,(kkkkzf而(光滑(gung hu)機動 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結束 第4頁/共27頁第四頁，共28頁。說明(shumng):可有類似(li s)的公式

3、.1) 如果曲面(qmin)方程為2) 若曲面為參數(shù)方程, 只要求出在參數(shù)意義下dS 的表達式 ,也可將對面積的曲面積分轉化為對參數(shù)的二重積分. (見本節(jié)后面的例4, 例5) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第5頁/共27頁第五頁，共28頁。例例1. 計算計算(j sun)曲面積分曲面積分其中(qzhng)是球面被平面(pngmin)截出的頂部.解: :oxzyha機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第6頁/共27頁第六頁，共28頁。思考思考(sko):若 是球面(qimin)被平行(pngxng)平面 z =h 截出的上下兩部分,則hhoxzy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第7頁/

4、共27頁第七頁，共28頁。例例2. 計算計算(j sun)其中(qzhng) 是由平面坐標(zubio)面所圍成的四面體的表面. ozyx111解: 設上的部分, 則與 原式 = 分別表示 在平面 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第8頁/共27頁第八頁，共28頁。xozy例例3. 設計算(j sun)解: 錐面與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間的部分(b fen), 它在 xoy 面上(min shn)的投影域為則 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第9頁/共27頁第九頁，共28頁。1d)(22SyxIxozy1yxD機動(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考(sko): 若

5、例3 中被積函數(shù)改為),(zyxf,22yx ，0計算結果如何(rh) ? 第10頁/共27頁第十頁，共28頁。例例4. 求半徑為求半徑為R 的均勻的均勻(jnyn)半球半球殼殼 的重心的重心.解: 設 的方程(fngchng)為利用(lyng)對稱性可知重心的坐標而用球坐標思考題: 例 3 是否可用球面坐標計算 ?例3 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第11頁/共27頁第十一頁，共28頁。例例5. 計算計算(j sun)解: 取球面(qimin)坐標系, 則機動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結束 第12頁/共27頁第十二頁，共28頁。例例6. 計算計算(j sun)其中(qzhng)

6、是球面利用(lyng)對稱性可知解: 顯然球心為半徑為利用重心公式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第13頁/共27頁第十三頁，共28頁。zzd例例7. 計算計算(j sun)其中(qzhng) 是介于平面之間的圓柱面.222Ryx分析: 若將曲面分為(fn wi)前后(或左右)則Hxyz解: 取曲面面積元素兩片,則計算較繁. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第14頁/共27頁第十四頁，共28頁。oyxzL例例8. 求橢圓柱面求橢圓柱面位于 xoy 面上(min shn)方及平面 z = y 下方(xi fn)那部分柱面 的側面積 S . 解: 取機動 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結

7、束 第15頁/共27頁第十五頁，共28頁。例例9. 設有一顆地球同步(tngb)軌道通訊衛(wèi)星, 距地面高度 h = 36000 km,機動 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結束 運行的角速度與地球(dqi)自轉角速度相同, 試計算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比. (地球半徑 R = 6400 km )解: yzxo建立坐標系如圖, 覆蓋曲面 的半頂角為 ,利用球坐標系, 則衛(wèi)星覆蓋面積為第16頁/共27頁第十六頁，共28頁。機動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結束 故通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球(dqi)表面積的比為由以上結果可知(k zh), 衛(wèi)星覆蓋了地球 以上的面積, 故使用三顆

8、相隔角度的通訊衛(wèi)星就幾乎可以覆蓋地球全表面. 說明: 此題也可用二重積分求 A (見下冊P109 例2) . yzxohR R第17頁/共27頁第十七頁，共28頁。內容內容(nirng)小結小結1. 定義(dngy):2. 計算(j sun): 設則Szyxfd),(yxdd(曲面的其他兩種情況類似) 注意利用球面坐標、柱面坐標、對稱性、重心公式簡化計算的技巧. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第18頁/共27頁第十八頁，共28頁。思考思考(sko)與練習與練習P158 題1；3；4(1) ; 7 解答(jid)提示:P158 題1.P158 題3. 設則P184 題2機動(jdng) 目

9、錄 上頁 下頁 返回 結束 第19頁/共27頁第十九頁，共28頁。P158 題題4(1).oyxz2 在 xoy 面上(min shn)的投影域為這是 的面積(min j) !2xyD機動(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第20頁/共27頁第二十頁，共28頁。P159 題題7. 如圖所示, 有zyx機動 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結束 第21頁/共27頁第二十一頁，共28頁。P184 題題2. 設設一卦限中的部分(b fen), 則有( ).( 2000 考研(ko yn) )機動(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第22頁/共27頁第二十二頁，共28頁。作業(yè)(zuy)

10、 P158 4(3); 5(2); 6(1), (3), (4); 8第五節(jié) 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結束 第23頁/共27頁第二十三頁，共28頁。備用備用(biyng)題題 1. 已知曲面殼已知曲面殼求此曲面(qmin)殼在平面 z1以上部分 的的面密度質量(zhling) M . 解: 在 xoy 面上的投影為 故機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第24頁/共27頁第二十四頁，共28頁。2. 設設 是四面體是四面體面, 計算(j sun)解: 在四面體的四個面上(min shn)1zyx11o同上平面方程Sd投影域機動 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結束 第25頁/共27頁第二十五頁，共28頁。機動(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第26頁/共27頁第二十六頁，共28頁。感謝您的欣賞(xnshng)！第27頁/共27頁第二十七頁，共28頁。NoImage內容(nirng)總結定義(dngy):。設 為光滑曲