微積分B版-上冊-講義-3-3泰勒公式

1、北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系3.3 泰勒公式泰勒公式北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系1 1. .設(shè)設(shè))(xf在在0 x處處連連續(xù)續(xù), ,則則有有2 2. .設(shè)設(shè))(xf在在0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo), ,則則有有例例如如, , 當(dāng)當(dāng)x很很小小時時, , xex 1 , , xx )1ln( )()(0 xfxf )()()()(0000 xxoxxxfxfxf （如下圖）（如下圖）)()(0 xfxf )()()(000 xxxfxfxf 一、問題的提出北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系xey xy 1oxey oxy )1ln(xy 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系不足不足:問題問

2、題:尋找函數(shù)尋找函數(shù))(xP, ,使得使得)()(xPxf 誤誤差差 )()()(xPxfxR 可可估估計(jì)計(jì)1、精確度不高；、精確度不高； 2、誤差不能估計(jì)、誤差不能估計(jì).設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在含含有有0 x的的開開區(qū)區(qū)間間),(ba內(nèi)內(nèi)具具有有直直到到)1( n階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,)(xP為為多多項(xiàng)項(xiàng)式式函函數(shù)數(shù)nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 誤差誤差 )()()(xPxfxRnn 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系二二、nP和和nR的的確確定定0 x)(xfy oxy分析分析:)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2.

3、若有相同的切線若有相同的切線3.若彎曲方向相同若彎曲方向相同近似程度越來越好近似程度越來越好1.若在若在 點(diǎn)相交點(diǎn)相交0 x北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系假設(shè)假設(shè) nkxfxPkkn, 2 , 1)()(0)(0)( ),(00 xfa 代代入入)(xPn中中得得nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 得得 ), 2 , 1 , 0()(!10)(nkxfkakk ),(101xfa )(! 202xfa ,)(!0)(xfannn 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系三、泰勒三、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定

4、理北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系 nkkknxxkxfxP000)()(!)()(稱稱為為)(xf按按)(0 xx 的的冪冪展展開開的的 n n 次次近近似似多多項(xiàng)項(xiàng)式式 nknkkxRxxkxfxf000)()()(!)()(稱稱為為)(xf按按)(0 xx 的的冪冪展展開開的的 n n 階階泰泰勒勒公公式式北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系拉格朗日形式的余項(xiàng)拉格朗日形式的余項(xiàng) 1010)1()(!1)(!1)()( nnnnxxnMxxnfxR )()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf )()(!1)()(010)1(之間之間與與在在xxxxnfxRnnn 皮亞

5、諾形式的余項(xiàng)皮亞諾形式的余項(xiàng)0)()(lim00 nnxxxxxR及及.)()(0nnxxoxR 即即北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系注意注意: :1 1. . 當(dāng)當(dāng)0 n時時, ,泰泰勒勒公公式式變變成成拉拉氏氏中中值值公公式式 )()()()(000之間之間與與在在xxxxfxfxf 2.2.取取00 x, , 在在0與與x之間之間, ,令令)10( x 則余項(xiàng)則余項(xiàng) 1)1()!1()()( nnnxnxfxR 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系)(!)0(! 2)0()0()0()()(2nnnxOxnfxfxffxf ) 10()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1

6、)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麥克勞林麥克勞林(Maclaurin)(Maclaurin)公式公式北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系四、簡單的應(yīng)用四、簡單的應(yīng)用30( )ln1f xxxx例1：寫出在處的泰勒公式200000(3)(4)(5)34500000()( )()()()()2!()()( )()()()3!4!5!fxf xf xfxxxxxfxfxfxxxxxx解：322(3)(4)(5)2( )ln ,( )3ln,( )6 ln566( )6ln11,( ),( )f xxx fxxxxfxxxxfxxfxfxxx 32342251166ln(1)(1)(

7、1)(1)(1)2!3!4!5!xxxxxxx北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()( nffffxnexf )()1(注意到注意到代入公式代入公式,得得).10()!1(! 2112 nxnxxnenxxxe北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系由公式可知由公式可知! 212nxxxenx 估計(jì)誤差估計(jì)誤差)0( x設(shè)設(shè)!1! 2111, 1nex 取取.)!1(3 n其誤差其誤差)!1( neRn).10()!1()!1()(11 nxnxnxnexnexR北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系e練習(xí)：求的近似值2323111

8、1()2!3!11 11 11 11( )( )( )22! 23! 2! 2xnnnexxxxo xnen 因?yàn)椋?2311.5;21.645833;31.648698;1.648721npnpnpe當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系( )xf xxe練習(xí)：求的帶有皮亞諾型余項(xiàng)的n階麥克勞林公式211()()1 ()()2!(1)!nxnxxexo xn 解：312( 1)()2!(1)!nnxnxxxexxo xn北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系sinyxn證明函數(shù)的 階麥克勞林公式( )( )( )( )sin( )sin()(0,1,2)20,2(0),0,1,

9、2,( 1) ,21kkkmkfxxxkkmfmkm證明：因?yàn)閯t 1)sin( )3!5!(21)!sin(21)2( )(01)(21)!mmmmmxxxxxRxmxmRxxm故，cosyxn練習(xí)，證明函數(shù)的 階麥克勞林公式北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系( )ln(1)0f xxx證明在點(diǎn)處的帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式(1)( )1( 1)(1)!( ),( ),2,3,1(1)kkkkfxfxknxx證明：( )(1)(0)0,(0)1,(0)( 1)(1)!,2,3,kkfffkkn 則，231ln(1)( 1)()23nnnxxxxxo xn 即，北京理工大

10、學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系113yxx練習(xí)求在處的泰勒展開式1111132(1)212yxxx解211()1nnxxxo xx 因?yàn)椋?2231111111()()() 2222211(1)(1)(1) 2222nnnnnxxxxoxxxo x北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系例例 2 2 計(jì)算計(jì)算 403cos2lim2xxexx . .解解)(! 2114422xoxxex )(! 4! 21cos542xoxxx )()! 412! 21(3cos2442xoxxex 4440)(127limxxoxx 原式原式.127 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大

11、學(xué)數(shù)學(xué)系1212124.( )( , )( )01,( , ),()( ()()22f xa bfxxxx xa bff xf x例 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)二階可導(dǎo)，且，求證，有1202000021( )()()()( )()2!xxxf xf xfxxxfxx證明：令,由泰勒公式：21001011022002022001102201()()()()( )() ;2!1()()()()()()2!f xf xfxxxfxxf xf xfxxxfxxxxxxxx則有其中， 介于 與 之間， 介于 與 之間,介于 與 之間北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系120212121212,21()()2 ()(

12、 )()()222xxxxxxxf xf xfff利用得：12121212( )0,1()()2 ()() ()()222fxxxxxf xf xfff xf x因?yàn)橛校罕本├砉ご髮W(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系xy xysin 播放播放五、小結(jié)1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似計(jì)計(jì)算算中中的的應(yīng)應(yīng)用用; ;北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系播放播放2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系思考題思考題利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限30)1(sinlimxxxxexx 北

13、京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系思思考考題題解解答答)(! 3! 21332xoxxxex )(! 3sin33xoxxx 30)1(sinlimxxxxexx3333320)1()(! 3)(! 3! 21limxxxxoxxxoxxxx 33330)(! 3! 2limxxoxxx .31 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系xy xysin 五、小結(jié)1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似計(jì)計(jì)算算中中的的應(yīng)應(yīng)用用; ;北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系xy xysin ! 33xxy o五、小結(jié)1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在

14、在近近似似計(jì)計(jì)算算中中的的應(yīng)應(yīng)用用; ;北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系xy xysin ! 33xxy o! 5! 353xxxy 五、小結(jié)1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似計(jì)計(jì)算算中中的的應(yīng)應(yīng)用用; ;北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系xy xysin ! 33xxy ! 5! 353xxxy !7! 5! 3753xxxxy o五、小結(jié)1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似計(jì)計(jì)算算中中的的應(yīng)應(yīng)用用; ;北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系xysin !11! 9!7! 5! 3119753xxxxxxy o五、小結(jié)

15、1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似計(jì)計(jì)算算中中的的應(yīng)應(yīng)用用; ;播放播放北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局

16、部逼近局部逼近. .北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系2 2. .T Tay