概率論附件選做習(xí)題題解

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計（三版）選做習(xí)題1.一打靶場備有5 支某種型號的槍,其中3 支已經(jīng)校正,2 支校正.使用已校正的槍目標的概率為 p1 ,使用校正的槍目標的概率為 p2 .他隨機地取一支槍進行射擊,已知他射擊了 5 次,求他使用的是已校正的槍的概率(設(shè)各次射擊的結(jié)果相互).取得的槍是已經(jīng)校正的”，則 P(C) = 3 / 5,解 以 M 表示射擊了 5 次均未”,以C 表示P(C) = 2 / 5, 又,按題設(shè) P(M | C) = (1 - p )5 , P(M | C) = (1 - p )5 ,由公式12P(MC) ,P(C | M ) =P(M )P(M | C)P(C)=P(M | C

2、)P(C) + P(M | C)P(C)(1 - p )5 315=(1 - p )5 3 + (1 - p )5 212553(1 - p)5=1.3(1 - p )5 + 2(1 - p)5122.共買了 11 只水果,其中有 3 只是二級品,8 只是一級品.隨機地將水果分給 A、B、C 三人,各人分別得到 4 只、6 只、1 只.(1) 求C 未拿到二級品的概率.(2) 已知C 未拿到二級品,求 A, B 均拿到二級品的概率.(3)求 A, B 均拿到二級品而C 未拿到二級品的概率.解 以 A，B，C 分別表示A，B，C 取到二級品,則 A，B，C 表示A，B，C 未取到二級品.(1)

3、P(C) = 8 /11.(2)就是需要求 P( AB | C).已知C 未取到二級品,這時 A, B 將 7 只一級品和 3 只二級品全部分掉.而A、B 均取到二級品,只需 A 取到 1 只至 2 只二級品,其它的為一級品.于是3 7 3 7 P( AB | C) = 1 3 + 2 2 = 4 .1010544(3) P( ABC) = P( AB | C)P(C) = 32 / 55.3.一系統(tǒng) L 由兩個只能傳輸字符 0 和 1 的工作的子系統(tǒng) L1 和 L2 串聯(lián)而成(如圖 13-1),每個子系1概率論與數(shù)理統(tǒng)計（三版）選做習(xí)題統(tǒng)輸入為 0 輸出為 0 的概率為 p(0 p 1) ;

4、而輸入為 1 輸出為 1 的概率也是 p .今在圖中a 端輸入字符 1,L 的b 端輸出字符 0 的概率.ab圖 1解 “系統(tǒng) L 的輸入為 1 輸出為 0”這一(記 L(1 0) )是兩個不相容之和,即L(1 0) = L1 (1 1)L2 (1 0) U L1 (1 0)L2 (0 0), 這里的記號“ L1 (1 1) ”表示“子系統(tǒng) L1 的輸入為 1 輸出為 1,其余 3 個記號的含義類似.子系統(tǒng)工作的性得PL(1 0) = PL1 (1 1)L2 (1 0)+ PL1 (1 0)L2 (0 0)= PL1 (1 1)PL2 (1 0) + PL1 (1 0)PL2 (0 0)= p

5、(1 - p) + (1 - p) p = 2 p(1 - p).4.甲乙二人輪流擲一,每輪擲一次,誰先擲得 6 點誰得勝,從甲開始擲,問甲、的概率各為多少?6 點”.Ai 發(fā)生,表示在前i -1次甲或,故有解 以 Ai 表示“第i 次投擲時投擲者得 6 點,而在第i 次投擲甲或6 點.因各次投擲相互 5 i-1 1= P( A ).6i6因甲為首擲,故甲擲奇數(shù)輪次,從而甲勝的概率為P甲勝 = PA1 U A3 U A5 U L= P( A1 ) + P( A3 ) + P( A5 ) +L(因A1, A2 L兩兩不相容)1 5 2 5 4=1 + + +L6 6 6 = 116 .=6 1

6、- (5 / 6)211同樣,的概率為P = PA2 U A4 U A6 U L= P( A2 ) + P( A4 ) + P( A6 ) +L2L2L1概率論與數(shù)理統(tǒng)計（三版）選做習(xí)題1 5 5 3 5 55=+ + +L =.6 6 6 6 11擲兩次,考慮A = “第一次擲得點數(shù) 2 或 5”, B = “兩次點數(shù)之和至少為 7”，求5.將一顆P( A), P(B), 并問A, B 是否相互.能結(jié)果,故 P( A) = 2 / 6 = 1/ 3. 設(shè)以 X i 表示第i 次擲出解 將擲一次共有 6的點數(shù),則P(B) = P(X1 + X 2 7) = 1- P(X1 + X 2 6).因

7、將擲兩次共有 36 個樣本點,其中 X1 + X 2 6 有 X1 + X 2 = 2,3,4,5,6 共 5 種情況,這 5 種情況分別含有 1,2,3,4,5 個樣本點,故P(B) = 1 - (1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 36 = 1 - 5 /12 = 7 /12.以( X1, X 2 ) 記兩次投擲的結(jié)果,則 AB 共有(2,5),(2,6),(5,2),(5,3)(5,4),(5,5),(5,6)這故P( AB) = 7 / 36.今有7 個樣本點.P( A)P(B) = (1/ 3)(7 /12) = 7 / 36 = P( AB).按定義 A, B 相互.6. A

8、，B 兩人輪流射擊,每次各人射擊一槍,射擊的次序為 A, B, A, B, AL,射擊直至兩槍為止.設(shè)各人的概率均為 p ,且各次與否相互.求的兩槍是由同一人射擊的概率.解總是在奇數(shù)輪射擊, B 在偶數(shù)輪射擊.先考慮兩槍的情況.以 A2n+1 表示“在第2n +1輪(n = 1,2,L) 射擊,射擊在此時結(jié)束”. A2n+1 發(fā)生表示“前2n 輪第二槍”（這一記為C ），同時“ B 在前2n 輪射擊n 槍而射擊n 槍但一次其中一槍,且 A 在第2n +1輪時一槍未中”(這一記為 D )，因此P( A2n+1 ) = P(CD) = P(C)P(D) n n-1= 1 p(1 - p)p(1 -

9、 p)n= np 2 (1 - p)2n-1.注意到 A3 , A5 , A7 ,L兩兩互不相容,故由仍記為 A )的概率為了兩槍而結(jié)束射擊(這一P( A) = P( U A) = P( A) = np 2 (1 - p)2n-1 n=12n+2n+11n=1n=13概率論與數(shù)理統(tǒng)計（三版）選做習(xí)題n-1= p 2 (1 - p)n(1 - p)2 n=11 - p1p 2 (1 - p)=.1 - (1 - P)2 2(2 - p)2 1(此處級數(shù)求和用到公式= 1.這一公式可自等比級數(shù) 1nxn-1, x 0,(r) = 25f0,Rr 0.若彈著點離目標不超過 5 m 時,目標被摧毀.

10、(1)求發(fā)射一枚炮彈能摧毀目標的概率.(2)為使至少有一枚炮彈能摧毀目標的概率不小于 0.94,問最少需要解 (1)所求概率為發(fā)射多少枚炮彈.552r e-r 2 / 25 dr 25PR 5 =f-(r)dr =R0= e-r / 25 52| = 1 - e= 0.632.-10(2)設(shè)發(fā)射 n 枚炮彈,則這 n 枚炮彈都不能摧毀目標的概率為 (1 - 0.632)n ,故至少有一枚炮彈能摧毀目標的概率為1 - (1 - 0.632)n .按題意需求最小的 n ,使得1 - (1 - 0.632)n 0.94.即0.368n 0.06,n (ln 0.06) /(ln 0.368) = 2

11、.81.發(fā)射 3 枚炮彈.故最少需要1 - e-0.03t , t 0,)服從指數(shù)分布,分布函數(shù)為 F (t) = 11設(shè)元件的T (以t 0.0,(1)已知元件至少工作了 30 小時,求它能再至少工作 20 小時的概率.X 20 的概(2)由 3 個工作的此種元件組成一個 2/3G系統(tǒng)(參見第 7 題),求這一系統(tǒng)的率.解 (1)由指數(shù)分布的無記憶性(參見(1) 第 56 頁)知所求概率為p = PT 50 | T 30 = PT 20= 1 - F (20) = e-0.6 = 0.5488.X 20 的概率為(2)由第 7 題知 2/3G系統(tǒng)的PX 20 = 3 p 2 (1 - p)

12、+ p3 = p 2 (3 - 2 p) = 0.5730.12.(1)已知隨量 X 的概率密度為 f (x) = 1 e- x ,- x 0,試求Y 的分布律和分= 1,X(2)已知隨量 X 的分布函數(shù)為 F (x), 另外有隨量Y-1, X 0,X布函數(shù).解 (1)由于1 ex ,- x 0,2f (x) =1X- x ,e0 x +.2當 x 0 時,分布函數(shù)xx 11FX (x) = f X (x)dx =e dx =ex,- 22-2-當 x 0 時,分布函數(shù)x0 1x 111112FX (x) = f X (x)dx =e dx + e dx =+-x- xe- x= 1 -e-

13、x .- 20 2222-故所求分布函數(shù)為1 exx 0,2F (x) =X11 -e- x ,x 0.21(2) PY = -1 = PX 0 = FX (0) = 2 ,PY = 1 = 1 - PY = -1 = 1 - 1 = 1 .22分布律為Y-11pk 1 2 1 2分布函數(shù)為y -1,- 1 y 1,y 1.01FY ( y) = 2 ,1,13.(1) X 服從泊松分布,其分布律為lk e-lPX = k =, k = 0,1,2,L,k!PX = k 為最大.問當 k 取(2) X 服從二項分布,其分布律為8概率論與數(shù)理統(tǒng)計（三版）選做習(xí)題 n PX = k = p (1

14、- p),kn-kk = 0,1,2,Ln.k PX = k 為最大.問當 k 取解 (1)由= lk e-lPX = k (k -1)!lk -1e-l當k l,PX = k -1k!l 1,= 1,k 1,知道,當 k l 時, PX = k 隨 k 增大而遞減.從而,若l 為正整數(shù),則當 k = l 時, PX = l = PX = l -1 為概率的最大值,即當 k = l或k = l -1 時概率都取到最大值.若l 不是正整數(shù),令k0 = l(即k0 是l的整數(shù)部分），則k0 l k0 + 1, 此時有PX = k0 -1 PX = k0 + 1,因此不難推得 PX = k0 = P

15、X = l 為概率的最大值. (2)由 1,當k (n + 1) p,PX = k= (n - k - 1) p = 1 + (n + 1) p - k = 1,PX = k - 1k (1 - p)k (1 - p) 1,知道,當 k (n + 1) p 時, PX = k0 隨 k 增大而遞減.從而,若(n + 1) p 為正整數(shù),則當 k = (n + 1) p 時, PX = (n + 1) p = PX = (n + 1) p -1 為概率的最大值,即當 k = (n +1) p或k = (n +1) p -1 時概率都取到最大值.若(n + 1) p 不是正整數(shù),令 k0 = (n

16、 + 1) p ,則k0 (n + 1) p k0 + 1,此時有PX = k0 -1 PX = k0 + 1,不難推得 PX = k0 = PX = (n + 1) p 為概率的最大值.14.設(shè) X U (-1,2), 求Y =解X 的概率密度為X的概率密度.9概率論與數(shù)理統(tǒng)計（三版）選做習(xí)題-1 x 0 時, FY ( y) = P X y = P- y X y= FX ( y) - FX (- y).將 FY ( y) 關(guān)于 y 求導(dǎo)可得Y 的概率密度 fY ( y) 如下:X (- y),y 0,其他.f (Y0,當0 y 1時, -1 - y 0 .因而 f X ( y) = 1/

17、3, f X (- y) = 1/ 3, 此時fY ( y) = 1/ 3 +1/ 3.當1 y 2 時, - 2 - y 2 時, f X ( y) = 0, f X (- y) = 0, 因而 fY ( y) = 0.故0 y 1,1 y 2,其他.2 / 3,f ( y) = 1/ 3,Y0,15.設(shè) X 的概率密度0,1x 0,0 x 1,f (x) = ,2X1, 1 x .2x 21求Y =的概率密度.X解 因函數(shù) y = g(x) = 1 嚴格單調(diào)減少,它的反函數(shù)h( y) = 1 . 當0 x 時,0 y .xy由第二章(2) 公式(2.1)得Y 的概率密度為10概率論與數(shù)理統(tǒng)

18、計（三版）選做習(xí)題 f h( y)h ( y) ,0 y ,y 0.f=XY0, 1 1,0 y ,f=X2yy0,y 0.因而0,y 0,f ( y) = 111,0 1,y2Yy 2111, 1 y .2 y 22 (1/ y)即0,y 0,0 y 1,f ( y) = 1 , 2Y1, 1 y 1 ,PX = k,Y = 1 = PY = 1 | X = kPX = k11概率論與數(shù)理統(tǒng)計（三版）選做習(xí)題= 0 (1/ 2k ) = 0.(因 X = k 1, 首次得正面是不可能的,故 PY = 1 | X = k = 0, k = 2,3,L).PX = 1,Y = 0 = PY =

19、0 | X = 1PX = 1= 0 (1/ 2) = 0(因 X = 1 必須首次得正面,故 PY = 0 | X = 1 = 0).當 k 1PX = k,Y = 0 = PY = 0 | X = kPX = k= 1 (1/ 2k ), k = 2,3,L(因 X = k 1, 必定首次得,故 PY = 0 | X = k = 1).綜上,得( X ,Y ) 的分布律及邊緣分布律如下:PX = 1,Y = 11/ 2(2) PX = 1 | Y = 1 = 1.1/ 2PY = 1PX = 1,Y = 2 = 0.PY = 2 | X = 1 =PX = 117.設(shè)隨量 X p (l),

20、 隨解X 的分布律為量Y = max( X ,2).試求 X 和Y 的聯(lián)合分布律及邊緣分布律.lk e-lPX = k =k = 0,1,2,L.,k!X 的可能值是0,1,2,L ; Y 的可能值為2,3,4,L.PX = 0,Y = 2 = PY = 2 | X = 0PX = 0 = 1 PX = 0 = e-l .12XY1234PY = j011110222324100021212PX = i111122223241概率論與數(shù)理統(tǒng)計（三版）選做習(xí)題PX = 1,Y = 2 = PY = 2 | X = 1PX = 1 = 1 PXi 2 時PX = i,Y = j = PY = j

21、| X = iPX = i= 1 = le-l .lie-l1 PX= i, j = i, j = i,j i,= = j = 2,3,4,Li!0 PX = i, j i0,即得 X ,Y 的聯(lián)合分布律及邊緣分布律為18,一等邊三角形 ROT (如圖 13-2)的邊長為三角形 ROT 內(nèi)均勻分布).1,在三角形內(nèi)隨機地取點Q( X ,Y ) (意指隨機點( X ,Y ) 在yRQ( X ,Y )0(1) 寫出隨量( X ,Y ) 的概率密度.xT圖 2(2) 求點Q 的底邊OT 的距離的分布密度.解 (1)因三角形 ROT 的面積為 3 / 4 ,故( X ,Y ) 的概率密度為13XY01

22、2345PY = j234M-l-ll2 e-lele0002!l3e-l000003!l4 e-l000004!MMMMMMM2 li e-li=0i!l3e -l3!l4 e -l4!MPX = i-l-ll2 e-ll3e -ll4 e -lele2!3!4!1概率論與數(shù)理統(tǒng)計（三版）選做習(xí)題f (x, y) = 4 /3,0 y 3x,0 y - 3(x -1),其他.0,（2）點Q( X ,Y ) 到底邊OT 的距離就是Y ,因而求Q 到OT 的距離的分布函數(shù),就是求( X ,Y ) 關(guān)于Y 的邊緣分布函數(shù),現(xiàn)在4 1 - 2 y 3 ,2(x, y)dx =3,0 y 3y / 3

23、從而2 y 4321 -,330 y ,f ( y) = Y0,其他.Y 的分布函數(shù)為0,y 0,F ( y) = 43y - 4 y 2 ,33 ,20 y 0, y 0,其他.f (x, y) = 0,(1) 求邊緣概率密度 f X (x), fY ( y).(2) 求條件概率密度 f X |Y (x | y), fY | X ( y | x).解 (1)當 x 0 時,xe- x( y+1) dy = e- x (e- xy )0y = y =0= e-x ,f (x) =X當 y 0 時,- xe- x( y+1)1fY ( y) = 0 xey + 1 0- x( y+1)dx =x

24、= x=0+- x( y+1)xedxy + 1= - xe- x( y+1)1x= x=0=( y + 1)2 .( y + 1)2故邊緣概率密度分別是14概率論與數(shù)理統(tǒng)計（三版）選做習(xí)題1y 0,e-x ,x 0,f (x) =f ( y) = ( y + 1)2XY0,其他.0,其他.(2)條件概率密度:當 x 0 時, xe- x( y+1)y 0,y取其他值.f( y | x) = ,e- xY | X0,- xyy 0,y取其他值.xe,=0,當 y 0 時,xe- x( y+1)x 0,1/( y + 1)2f(x | y) = X |Y0,x取其他值.x( y + 1) e2

25、- x( y+1)x 0,x取其他值.,=0,20.設(shè)有隨量U 和V ，它們都僅取1， - 1兩個值已知PU = 1 = 1/ 2,PV = 1 | U = 1 = 1/ 3 = PV = -1 | U = -1.(1) 求U 和V 的聯(lián)合分布密度.(2) 求 x 的方程 x2 + Ux + V = 0 至少有一個實根的概率.(3)求 x 的方程 x 2 + (U + V )x + +U + V = 0 至少有一個實根的概率.解 (1) PU = 1,V = 1 = PV = 1 | U = 1PU = 1 = (1/ 3)(1/ 2) = 1/ 6.PU = -1,V = -1 = PV =

26、 -1 | U = -1PU = -1= (1/ 3) 1 - PU = 1 = (1/ 3)(1/ 2) = 1/ 6.PU = 1,V = -1 = PV = -1 | U = 1PU = 1= 1 - PV = 1 | U = 1PU = 1 = (2 / 3)(1/ 2) = 1/ 3.PU = -1,V = 1 = PV = 1 | U = -1 PU = -1= 1 - PV = -1 | U = -1PU = -1 = (2 / 3) (1/ 2) = 1/ 3.15概率論與數(shù)理統(tǒng)計（三版）選做習(xí)題U ,V 的聯(lián)合分布密度為(2) 方程 x2 + Ux + V = 0 當且僅當在

27、D = U 2 - 4V 0 時至少有一實根,因而所求的概率為PD 0 = PU 2 - 4V 0 = PV = -1 = 1/ 2.(3) 方程 x 2 + (U + V )x + +U + V = 0 當且僅當在D = (U + V )2 - 4(U + V ) 0 時至少有一實根,因而所求的概率為PD 0 = PU = -1,V = -1 + PU = -1,V = 1 + PU = 1,V = -1 = 5 / 6.一天的讀者人數(shù) X p (l) ,任一讀者借書的概率為 p ,各讀者借書與否相互21.某.記一天讀者借書的人數(shù)為Y ,求 X 與Y 的聯(lián)合分布律.解 讀者借書人數(shù)的可能值為

28、Y = 0,1,2,L,Y X , PX = k,Y = i = PY = i | X = kPX = klk e-lk = 1,2,L k k -i= p (1 - p)i,k!i = 1,2,L, k.i 量 X 和 Y 相互22.設(shè)隨,且都服從 U(0,1),求兩變量之一至少為另一變量之值兩倍的概率.解 按題意知,(X,Y)在區(qū)域: G = (x, y) | 0 x 1,0 y 1服從均勻分布,其概率密度為f (x, y) = 1, 0 x 1,0 y 2X + PX 2Y= f (x, y)dxdy + f (x, y)dxdyG1G2=G1 的面積+G2 的面積=1/2,G1 ,G2

29、 見圖 13-3.yG1 y=2xy=x/2 G2Ox圖 323.設(shè) X N (0,s),Y N (0,s ) 且 X ,Y 相互212,求概率216UV-11-111/62/62/61/6概率論與數(shù)理統(tǒng)計（三版）選做習(xí)題P0 s 2 X - s1Y 2s1s 2.解 因 X ,Y,其線性組合s 2 X - s1Y 仍為正態(tài)變量,而E(s 2 X - s1Y ) = s 2 E( X ) - s1E(Y ) = 0D(s X - s Y ) = s D( X ) + s D(Y ) = 2s s2222212112s X - s Y N (0,2s s ).22故2112P0 s 2 X -

30、s1Y 2s1s 2= P0 0,其他- xxe,2f X (x) = 0,測量誤差 YU( - e ,e ),X,Y 相互,求 Z=X+Y 的概率密度 f Z (z) ,并驗證 1 2e2e2PZ e =解 (1)Y 的概率密度為-u / 2edu0( y) = 12e , - e y 0x 0僅當即時上述積分的- e z - x ez - e x z + exx=z+Oyx=z+圖 4被積函數(shù)不等于零,參考圖 4,即得17概率論與數(shù)理統(tǒng)計（三版）選做習(xí)題 1 z +e- x1 2xedx, - e z e22e0f Z (z) = 1 z +e- x1 2xedx, z e，22ez -e

31、 10,其他，- ( z +e12)1 - e- e z e = e f Z (z)dz1- 1 ( z -e )2- 1 ( z+e )2= edz - edz222e記成ee12e+- 1 ( z-e )2 dz 令z - e = u- 1 u 2其中=eedu,2 2e0令z + e = u- 1 ( z +e )2- 1 u 2- edu= -edz22e2e112e- 1 u 2于是 PZ e =+=edu22e2e0的讀者借閱甲種圖書的概率為 p ,借閱乙種圖書的概率為a ,設(shè)每人借閱甲、乙圖書的25.設(shè)行動相互，讀者之間的行動也相互.(1)某天恰有 n 個讀者,、種圖書中至少借閱

32、一種的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望.解 (1)以 X 表示某天讀者中借閱甲種圖書的人數(shù)，因各人借閱甲種圖書的概率均為 p,且由題設(shè)各,故 X b(n, p),因此E( X ) = np .“讀者借閱甲種圖書”,以 B 表示P( A U B) = P( A) + P(B) - P( AB).人是否借閱相互(2)以 A 表示“讀者借閱乙種圖書”,則就讀者而言,有借閱兩種圖書的行動相互,故 P( A B) = P( A) + P(B) - P( A)P(B) = p + a - pa .以 Y 表示至少借閱一種圖書的人數(shù),由題設(shè)各人是否借閱相互,知Y b(n, p + a - pa ) ,故E(Y ) = n( p + a - pa ).1, 若第i位讀者至少借閱甲、乙兩種圖書的一種,也可這樣做.引入隨量: Zi = 0, 若第i位讀者不借閱甲、種圖書的任一種.i = 1,2,L, n18概率論與數(shù)理統(tǒng)計（三版）選做習(xí)題nnnY = Zi , E(Y ) = E Zi = E(Zi ) = n( p + a - pa ) .i=1i=1i=1這里不需假設(shè)讀者之間的行動相互.26.某種鳥在某時間區(qū)間(0, t0 下蛋數(shù)為15 只,下 r 只蛋的概率與 r 成正比.一個收集鳥蛋的人在t0時去收集鳥蛋,但他僅當鳥窩多于 3 只蛋時他從中取走一只蛋.在