[理學(xué)]線性代數(shù)教程2chapterppt課件

1、教學(xué)要求：教學(xué)要求：1. 了解正交變換與正交矩陣的概念以及它們的了解正交變換與正交矩陣的概念以及它們的 性質(zhì)性質(zhì). .正正交交矩矩陣陣的的定定義義與與性性質(zhì)質(zhì)一一 .正交變換正交變換二二 .正正交交矩矩陣陣的的定定義義與與性性質(zhì)質(zhì)一一1. 定義定義 . , 正正交交矩矩陣陣為為則則稱(chēng)稱(chēng)滿滿足足階階方方陣陣若若AEAAAn 2. 性質(zhì)性質(zhì) ; 1 )1( A.)1, 1,(2 AAAEAA ;, )2(也是正交矩陣也是正交矩陣則則為正交矩陣為正交矩陣ABBA.)()()(EBBBAABABAB ; )3(1AAA 是是正正交交矩矩陣陣.)(EAA ; )4(也也是是正正交交矩矩陣陣是是正正交交矩

2、矩陣陣AA .)(1EAAAAAA .)( )5(量組量組向量組是正交的單位向向量組是正交的單位向行行的列的列是正交矩陣是正交矩陣方陣方陣AAProof. nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211 設(shè)設(shè)),(21n nnnnnnaaaaaaaaaA212221212111 則則 n 21EAA Enn ,2121Ennnnnn 212221212111Ennnnnn ),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111 ., 2 , 1, , 0 , 1),(njijijiji ex1. 以下矩陣是不是正交矩陣：以下矩陣是不是正交矩陣：,6222323

3、20021216521616121212121 )1( .102211403 )2( Solution.是是不是不是., . 2*也也是是正正交交矩矩陣陣則則為為正正交交矩矩陣陣若若AAexProof.,為正交矩陣為正交矩陣A. 1,1 AAA1* AAA又又 11*)( AAAAAA,AA 1 AAAA1 AAAA12 AAA.E . )1, 1, 1 , 1(,)1 , 1 , 1 , 1( . 321為前兩列的正交矩陣為前兩列的正交矩陣求以求以 exMethod1. )1 , 0 , 0 , 0(,)0 , 0 , 0 , 1(43 取取 .,4321線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)顯顯然然 正交化正交

4、化, ,)1 , 1 , 1 , 1(11 取取 ),(),(1111222 則則 ,)1, 1, 1 , 1( ),(),(),(),(222231111333 ),0 , 0 ,21,21( ),(),(),(),(),(),(33334222241111444 ).21,21, 0 , 0(4 單位化單位化, ,)21,21,21,21(1 p ,)21,21,21,21(2 p ,)0 , 0 ,22,22(3 p .)22,22, 0 , 0(4 p .2202121220212102221210222121 PMethod2.則則正正交交與與設(shè)設(shè),),(214321 xxxx 00

5、43214321xxxxxxxx 11111111A 11000011 44432221xxxxxxxx 11000011424321xxxxxx .)1, 1 , 0 , 0(,)0 , 0 , 1 , 1(43 取取單位化單位化, ,)21,21,21,21(1 p ,)21,21,21,21(2 p ,)0 , 0 ,22,22(3 p .)22,22, 0 , 0(4 p .2202121220212102221210222121 P .正交變換正交變換二二定義定義. 假設(shè)假設(shè)P為正交矩陣為正交矩陣, 那么線性變換那么線性變換y=Px稱(chēng)為正交變換稱(chēng)為正交變換. 定理定理. 正交變換不改

6、動(dòng)向量的長(zhǎng)度正交變換不改動(dòng)向量的長(zhǎng)度, 也不改動(dòng)兩向量間也不改動(dòng)兩向量間 的內(nèi)積及夾角的內(nèi)積及夾角.Proof. ,為正交變換為正交變換設(shè)設(shè)Pxy yyy , EPP 則則PxPx)( .xxxPxPx The end 教學(xué)要求：教學(xué)要求：1. 了解方陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì)了解方陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì);2. 會(huì)求方陣的特征值和特征向量會(huì)求方陣的特征值和特征向量. .義義特征值與特征向量的定特征值與特征向量的定一一 .質(zhì)質(zhì)特特征征值值與與特特征征向向量量的的性性二二 .法法特征值與特征向量的求特征值與特征向量的求三三 .義義特征值與特征向量的定特征值與特征向量的定一一. ,

7、, 的特征向量的特征向量的對(duì)應(yīng)于特征值的對(duì)應(yīng)于特征值稱(chēng)為稱(chēng)為非零向量非零向量的特征值的特征值稱(chēng)為方陣稱(chēng)為方陣這樣的數(shù)這樣的數(shù)那末那末成立成立使關(guān)系式使關(guān)系式維非零列向量維非零列向量和和如果存在數(shù)如果存在數(shù)階方陣階方陣是是設(shè)設(shè) AxAxAxxnnA 定義定義. 留意留意., 0言言的的特特征征值值問(wèn)問(wèn)題題是是對(duì)對(duì)方方陣陣而而特特征征向向量量 x .質(zhì)質(zhì)特特征征值值與與特特征征向向量量的的性性二二.)0( , . 10000的的特特征征向向量量的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于也也是是則則的的特特征征向向量量的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值是是如如果果 AkkpAp Proof. ,000pAp )()(00Apkkp

8、A )(00pk )(00kp .00的的特特征征向向量量的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于是是 Akp. )0,( , . 20212211021特特征征向向量量的的的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于也也是是不不同同時(shí)時(shí)為為則則的的兩兩個(gè)個(gè)特特征征向向量量的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值是是與與如如果果 AkkpkpkApp Proof. ,101pAp )(2211pkpkA )()(202101pkpk )(22110pkpk ,202pAp )()(2211ApkApk .02211的的特特征征向向量量的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于是是 Apkpk 推行推行:.)0,( ,012211021的的特特征征向向量量的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于也也是是不不

9、同同時(shí)時(shí)為為則則非非零零線線性性組組合合的的特特征征向向量量的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于是是如如果果 AkkpkpkpkApppssss ., , , 3.212121線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)則則向向量量依依次次是是與與之之對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征個(gè)個(gè)特特征征值值的的各各不不相相同同的的是是方方陣陣若若mmmppppppmA Proof. 使使設(shè)有常數(shù)設(shè)有常數(shù)mxxx,21. 02211 mmpxpxpx , 0 2211 mmpxpxpxA則則, 0 222111 mmmpxpxpx 即即類(lèi)推之類(lèi)推之, 有有. 0222111 mmkmkkpxpxpx 1, 2 , 1 mk把上述各式合寫(xiě)成矩陣方式，得把上述各式合

10、寫(xiě)成矩陣方式，得 mmmmmmmpxpxpx22111121121111 000于于是是有有可可逆逆從從而而該該矩矩陣陣該該行行列列式式不不等等于于不不相相等等時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)各各式式列列陣陣的的行行列列式式為為范范德德蒙蒙行行上上式式等等號(hào)號(hào)左左端端的的系系數(shù)數(shù)矩矩., 0,i ,0,0,0,2211 mmpxpxpx ., 2 , 10mjpxjj 即即, 0 jp但但 ., 2 , 10mjxj 故故.,21線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)所所以以向向量量組組mppp留意留意(1) 屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的的(2) 屬于同一特征值的特征向量的非零線性屬于同一特征值的

11、特征向量的非零線性組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量(3) 矩陣的特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征矩陣的特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征值而言的，一個(gè)特征值具有的特征向量不獨(dú)一；值而言的，一個(gè)特征值具有的特征向量不獨(dú)一；一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值 .法法特征值與特征向量的求特征值與特征向量的求三三, xAx ,)(OxAE ,解解即上述矩陣方程有非零即上述矩陣方程有非零Ox 也就是含有也就是含有n個(gè)未知數(shù)個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的方程組有非個(gè)方程的方程組有非0解解. . 0 AE 0 212222111211 nnnnnnaaaaaaaaa

12、即即由此可求得特征值由此可求得特征值.; 的的特特征征多多項(xiàng)項(xiàng)式式叫叫做做AAE ; )(的的特特征征矩矩陣陣叫叫做做AAE . 0的的特特征征方方程程叫叫做做AAE .0 )( 解解的非的非特征向量即為特征向量即為OxAE ,)( OxAEi 代入方程代入方程現(xiàn)將已求得的特征值現(xiàn)將已求得的特征值 , 01 的的解解若若求求得得一一個(gè)個(gè)非非 的的全全部部特特征征向向量量為為則則對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于i ).0( 1 kk , , 021 的解的解若求得兩個(gè)非若求得兩個(gè)非 的的全全部部特特征征向向量量為為則則對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于i ).0,( 212211不不同同時(shí)時(shí)為為kkkk .)( , 21的的一一個(gè)個(gè)基基

13、礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系就就是是且且OxAEi 求特征值與特征向量的步驟求特征值與特征向量的步驟: 0; )1( AEA 的的特特征征方方程程寫(xiě)寫(xiě)出出 ; 0 )2(iAE的的全全部部根根求求出出 . 0 , ,)( )3(的全部特征向量的全部特征向量線性組合即為對(duì)應(yīng)于線性組合即為對(duì)應(yīng)于其非其非求得一個(gè)基礎(chǔ)解系求得一個(gè)基礎(chǔ)解系代入代入將每個(gè)將每個(gè)iiOxAE . 1111111111111111 . 1量量的全部特征值與特征向的全部特征值與特征向求矩陣求矩陣 AexSolution. 1111111111111111 AE)2()2(3 ,0得得令令 AE . 2, 24321為為全全部部特特征征值值 .

14、)2(,2)1(1OxAE 有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 3111131111311113)2(AE而而 0000110010101001 44434241 xxxxxxxx從而從而 111144321xxxxx ).0( )1 , 1 , 1 , 1(21 kk的的全全部部特特征征向向量量為為對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于 .)2(,2)2(432OxAE 有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 1111111111111111)2(AE而而 0000000000001111 4433224321 xxxxxxxxxx從而從而 1001010100114324321xxxxxxx 2的全部特征向量為的全部特征向量為對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于 ).0,( )(1,0

15、,0,1)(1,0,1,0)0 , 0 , 1 , 1(321321不同時(shí)為不同時(shí)為kkkkkk .201034011 . 2的特征值和特征向量的特征值和特征向量求矩陣求矩陣 AexSolution. 的的特特征征多多項(xiàng)項(xiàng)式式為為A. 1, 2321 的的特特征征值值為為所所以以A. 0)2(,21 xAE解方程組解方程組時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 201034011 AE,)1)(2(2 001014013)2(AE 332100 xxxx從而從而.2)0(1111的的全全部部特特征征向向量量是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于所所以以 kpk . 0)(,132 xAE解方程組解方程組時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,000010001 ,1003

16、321 xxxx,100 1 p基礎(chǔ)解系為基礎(chǔ)解系為 101024012)(AE 3332312xxxxxx從而從而.1)0(32222的的全全部部特特征征向向量量是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于所所以以 kpk,000210101 ,121 2 p基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系為為,1213321 xxxx留意留意: ,)1(0的特征值的特征值是是若若A AE0 則則)(0AEr OxAE )(0 , 0, n 有非有非0解解.的的為為則則稱(chēng)稱(chēng)重重根根的的為為若若00,0)2( kkAE .代數(shù)重?cái)?shù)代數(shù)重?cái)?shù)的的稱(chēng)其為稱(chēng)其為的個(gè)數(shù)為的個(gè)數(shù)為的基礎(chǔ)解系中所含向量的基礎(chǔ)解系中所含向量得得對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于0000),( )(, AE

17、ranknOxAE .幾何重?cái)?shù)幾何重?cái)?shù)結(jié)論結(jié)論1. 方陣方陣A的特征值的幾何重?cái)?shù)不超越的特征值的幾何重?cái)?shù)不超越它的代數(shù)重?cái)?shù)它的代數(shù)重?cái)?shù).結(jié)論結(jié)論2. 對(duì)角陣、上三角陣、下三角陣的特征值對(duì)角陣、上三角陣、下三角陣的特征值即為其主對(duì)角線上的元素即為其主對(duì)角線上的元素.結(jié)論結(jié)論3. .的特征值相同的特征值相同與與方陣方陣AA 結(jié)論結(jié)論4. ,)(21則則有有的的特特征征值值為為階階方方陣陣設(shè)設(shè)nijaAn ; )1(221121nnnaaa . )2(21An 結(jié)論結(jié)論5. 假設(shè)假設(shè) 是矩陣是矩陣 A的特征值的特征值, x是是 A的屬于的屬于 的特征的特征向量向量, 那么那么 .)1(是任意常數(shù)是任

18、意常數(shù)的特征值的特征值是是kkAk .,)3(11的的特特征征值值是是可可逆逆時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) AA .)2(是是正正整整數(shù)數(shù)的的特特征征值值是是mAmm .,)4(*1的的特特征征值值是是可可逆逆時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)AAA .)()(,)5(的特征值的特征值是是為多項(xiàng)式函數(shù)時(shí)為多項(xiàng)式函數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)Afff Proof. ,)1(xAx ),()(xkAxk ,)()(xkxkA .的的特特征征值值是是kAk ,)2(xAx xAAxA Ax x 再繼續(xù)施行上述步驟再繼續(xù)施行上述步驟 次，就得次，就得2 mxxAmm .,征征向向量量的的特特對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩陣陣故故mmmmAxA , 0,

19、)3( 可逆時(shí)可逆時(shí)當(dāng)當(dāng)A可得可得由由xAx ,11xAAxA ),(1xAx xxA11 .,1111的的特特征征向向量量對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩陣陣故故 AxA, 0,)4( 可逆時(shí)可逆時(shí)當(dāng)當(dāng)A可得可得由由xAx ,*xAAxA ),(*xAxA ,*xAxA .,*的的特特征征向向量量對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩陣陣故故 AAxAA(5) 類(lèi)似可證類(lèi)似可證, xEaAaAaxAfnnnn)()(011 ExaxAaxAannnn011 xaxaxannnn011 xaaannnn)(011 xf)( .)()(,)()(的的特特征征向向量量對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于

20、是是且且的的特特征征值值是是矩矩陣陣故故 fAfxAff.5,5 , 2 , 1, 1 3 . 3*23EABAAABAex 與與的的特特征征值值計(jì)計(jì)算算設(shè)設(shè)矩矩陣陣的的特特征征值值為為階階矩矩陣陣已已知知Solution. , 22)1(1 A,* AA 的特征值的特征值. 1, 2 , 2 即即, 2 , 1, 1 時(shí)時(shí)的特征值為的特征值為當(dāng)當(dāng) A, 8 , 1, 1 3 的特征值為的特征值為A, 4 , 1 , 1 2的特征值為的特征值為A,12, 6, 4 的特征值為的特征值為B288)12)(6)(4( B, 3, 6, 4 )5( 的的特特征征值值為為EA.72)3)(6)(4(5

21、 EA. 0,)2( . 10,(1) . 42的的特特征征值值全全為為則則若若和和的的特特征征值值只只有有則則若若AOAAAAexk Solution. 則則對(duì)應(yīng)的特征向量為對(duì)應(yīng)的特征向量為有特征值有特征值設(shè)設(shè),xA xAx ,(1)得得左乘左乘A)(2xAxA x2 ,2AA 又又xAx2 xx2 , 0)1( x ,Ox 又又, 0)1( . 1, 0 或或,1(2)得得次左乘次左乘Ak xxAkk ,OAk ,Oxk ,Ox 又又. 0 . 0 , 0, . 5 則則若若的的特特征征值值為為方方陣陣設(shè)設(shè)AAexProof. xAx 法法1. , 0 反反設(shè)設(shè))( 1xAx 則則, 0)

22、(1 xA . 0 矛盾矛盾與與 x . 0 法法2. , 0 反反設(shè)設(shè), 0 xAx 則則, 0 x又又,00 解解有有非非則則 Ax, 0 A故故. 0 矛矛盾盾與與 A . 0 法法3. , 0 反反設(shè)設(shè), 0)1(0 AAAEn故故. 0 矛矛盾盾與與 A . 0 法法4. , 021 nA . 0 i ex6. 設(shè)設(shè)A是是 階方陣，其特征多項(xiàng)式為階方陣，其特征多項(xiàng)式為n 0111aaaAEfnnnA .的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式求求ATSolution. AEfTAT 0111aaannn TAE AE .1, 1, . 7的的特特征征值值是是證證明明已已知知AAEAAex Proof

23、. AEAEn )1(0 ? AAAAE 而而AEA)( AEA)( AEA)( AAE AE 0 AE0 AE.1的的特特征征值值是是即即A ., 0,2 , 03 :4的的一一個(gè)個(gè)特特征征值值求求滿滿足足條條件件階階方方陣陣設(shè)設(shè) AAEAAAEAT思索題思索題., 0可逆可逆故故AA ,3的的一一個(gè)個(gè)特特征征值值是是A ,162 2 EAAEAATT得得又又由由,162 A即即.34有有一一個(gè)個(gè)特特征征值值為為故故A Solution.知知由由AEAE 303 , 4 A于于是是, 4 , 0 AA因此因此但但The end 教學(xué)要求：教學(xué)要求：了解類(lèi)似矩陣的概念、性質(zhì)及類(lèi)似對(duì)角化的了解類(lèi)

24、似矩陣的概念、性質(zhì)及類(lèi)似對(duì)角化的 充要條件充要條件. .相似矩陣的定義與性質(zhì)相似矩陣的定義與性質(zhì)一一 .矩陣的對(duì)角化矩陣的對(duì)角化二二 .相似矩陣的定義與性質(zhì)相似矩陣的定義與性質(zhì)一一1. 定義定義 ., ,1相相似似與與或或說(shuō)說(shuō)矩矩陣陣的的相相似似矩矩陣陣是是則則稱(chēng)稱(chēng)使使若若有有可可逆逆矩矩陣陣階階方方陣陣都都是是設(shè)設(shè)BAABBAPPPnBA . BA記記為為. ,1的相似變換矩陣的相似變換矩陣變成變成稱(chēng)為把稱(chēng)為把可逆矩陣可逆矩陣進(jìn)行相似變換進(jìn)行相似變換稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)為對(duì)進(jìn)行運(yùn)算進(jìn)行運(yùn)算對(duì)對(duì)BAPAAPPA 2. 性質(zhì)性質(zhì); )1(AA.)(1AAEE ;, )2(ABBA則則若若,(1BAPP ,1

25、APBP .)(111ABPP 即即;, )3(CACBBA則則若若,(1BAPP ,1CBQQ ,11CAPQPQ .)()( 1CPQAPQ 即即 );)()4(2111211PAPPAPPAAP ;)5(21211122111PAPkPAPkPAkAkP .,21是是任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中kk;, )6(BABA 則則若若,(1BAPP .)11APAPAPPB ;, )7(mmBABA則則若若,(1BAPP APPAPPAPPBm111 .)1PAPm ;, )8(11 BABA則則若若,(1BAPP .)111PAPB ;),()(, )9(為為多多項(xiàng)項(xiàng)式式函函數(shù)數(shù)其其中中則則若若

26、fBfAfBA ;, )10(的的特特征征值值相相同同與與則則若若BABA,(1BAPP APPEBE1 11APPEPP )(1PAEP .)AE 反之不一定成立反之不一定成立!.10111001 與與如如 ;, ),( )11(2121個(gè)特征值個(gè)特征值的的是是則則若若nAdiagAnn nAE 1( )()(1n .),01的的特特征征值值是是得得令令A(yù)AEn ., . 1相似相似與與證明證明可逆可逆如果如果BAABAexProof. ,)(1BAAABA .相相似似與與BAAB .矩陣的對(duì)角化矩陣的對(duì)角化二二 .,可可對(duì)對(duì)角角化化則則稱(chēng)稱(chēng)即即相相似似與與對(duì)對(duì)角角陣陣若若AAA ., 1對(duì)

27、對(duì)角角化化這這就就稱(chēng)稱(chēng)為為把把方方陣陣為為對(duì)對(duì)角角陣陣使使若若可可找找到到可可逆逆矩矩陣陣階階方方陣陣對(duì)對(duì)AAPPPAn 定理定理1.)(個(gè)個(gè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量有有能能對(duì)對(duì)角角化化即即與與對(duì)對(duì)角角陣陣相相似似階階方方陣陣nAAAnProof. ,),(21相相似似與與設(shè)設(shè)ndiagA .,1 APPP 使使則存在可逆陣則存在可逆陣 . PAP則則 .,21npppPP 用其列向量表示為用其列向量表示為把把 nnnppppppA 212121,即即 .,2211nnppp nnApApAppppA,2121 nnppp ,2211 ., 2 , 1 nipApiii 于于是是有

28、有.,的的特特征征向向量量的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值就就是是的的列列向向量量而而的的特特征征值值是是可可見(jiàn)見(jiàn)iiiApPA ,可逆可逆又又P. 0 P.,21線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)nppp.立立反反推推回回去去即即得得充充分分性性成成. ; .,1的特征值的特征值的對(duì)角線上的元素是的對(duì)角線上的元素是對(duì)角矩陣對(duì)角矩陣作為列構(gòu)成作為列構(gòu)成個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量的的由由陣陣的最簡(jiǎn)單形式為對(duì)角矩的最簡(jiǎn)單形式為對(duì)角矩的的滿足滿足可見(jiàn)可見(jiàn)AnAPBBAPP 留意留意P與與的對(duì)應(yīng)寫(xiě)法的對(duì)應(yīng)寫(xiě)法!結(jié)論結(jié)論1. 假設(shè)假設(shè)n階矩陣階矩陣A有有n個(gè)互不相等的特征值個(gè)互不相等的特征值, 那么那么A與對(duì)角

29、陣類(lèi)似與對(duì)角陣類(lèi)似.闡明闡明假設(shè)假設(shè) 的特征方程有重根，此時(shí)不一定有的特征方程有重根，此時(shí)不一定有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，從而矩陣個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，從而矩陣 不一定能不一定能對(duì)角化，但假設(shè)能找到對(duì)角化，但假設(shè)能找到 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量， 還是能對(duì)角化還是能對(duì)角化AAnnA結(jié)論結(jié)論2.重重?cái)?shù)數(shù)的的幾幾何何重重?cái)?shù)數(shù)等等于于其其代代數(shù)數(shù)的的每每個(gè)個(gè)特特征征值值與與對(duì)對(duì)角角陣陣相相似似階階矩矩陣陣iAAn 結(jié)論結(jié)論3. 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣一定可對(duì)角化實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣一定可對(duì)角化. ., , 1, 2 , 1 , 0 . 2BEABnnAnex 求求相相似似與與且且方方陣陣個(gè)個(gè)特特征征值值

30、有有階階方方陣陣設(shè)設(shè)Solution.!321nnBE ex3. 判別以下實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣？判別以下實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣？ 242422221)1(A 201335212)2(ASolution.AE 由由)1( 722 0 242422221 . 7, 2321 得得 有有代代入入將將, 0221 xAE 442442221)2(AE 000000221 213)2(3 221 AEr的幾何重?cái)?shù)為的幾何重?cái)?shù)為 =其代數(shù)重?cái)?shù)其代數(shù)重?cái)?shù).因此因此A可對(duì)角化可對(duì)角化. 有有代代入入將將, 073 xAE 542452228)7(AE 000110452 1)7(3 73 AEr的幾何重?cái)?shù)為的幾

31、何重?cái)?shù)為 =其代數(shù)重?cái)?shù)其代數(shù)重?cái)?shù).201335212 )2( AE 31 . 1321 的的特特征征值值為為所所以以A 有有代代入入把把, 01 xAE .31)(3 1代代數(shù)數(shù)重重?cái)?shù)數(shù)的的幾幾何何重重?cái)?shù)數(shù)為為 AEr 故故 不能化為對(duì)角矩陣不能化為對(duì)角矩陣.A 101325213AE 000110101,163053064 . 4 Aex設(shè)設(shè) A能否對(duì)角化？假設(shè)能對(duì)能否對(duì)角化？假設(shè)能對(duì)角化角化,那么求出可逆矩陣那么求出可逆矩陣P, .1為為對(duì)對(duì)角角陣陣使使APP Solution.163053064 AE 212 . 2, 1321 的的全全部部特特征征值值為為所所以以A 0121得得方方程

32、程組組的的系系數(shù)數(shù)陣陣為為代代入入將將 xAE 063063063)(AE 000000021 3322212xxxxxx得根底解系得根底解系,0121 .1002 10001232321xxxxx , 023得得方方程程組組的的系系數(shù)數(shù)陣陣為為代代入入將將 xAE 363033066)2(AE 000110101 333231xxxxxx.1113 .,321線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)由由于于 ,110101102,321 P令令 .200010001 1 APP則則有有所以所以 可對(duì)角化可對(duì)角化.A 1113321xxxx得根底解系得根底解系留意留意 , ,213 P若若令令111 012 100.

33、 1 APP則則有有00 00002 11即矩陣即矩陣 P 的列向量和對(duì)角矩陣中特征值的位置的列向量和對(duì)角矩陣中特征值的位置要相互對(duì)應(yīng)要相互對(duì)應(yīng),1111321 . 5 xxAex設(shè)設(shè)且知且知A有一特征值為有一特征值為1, 求求x的的值及值及A的其它特征值的其它特征值, 并判別并判別A能否能與對(duì)角陣類(lèi)似？能否能與對(duì)角陣類(lèi)似？ Solution. 0 , 1 AEA有有特特征征值值xxAE 11110320 而而)2)(12( xx.21 2 xx或或,211112321,2 Ax時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)211112321 AE)4)(1)(1( . 4, 1, 1 321 特特征征值值為為.,2可對(duì)角化可對(duì)角

34、化時(shí)時(shí)且當(dāng)且當(dāng)Ax ,21111121321,21 Ax時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)21111121321 AE)52)(1(212 .25, 1, 1 321 特特征征值值為為.,21可可對(duì)對(duì)角角化化時(shí)時(shí)且且當(dāng)當(dāng)Ax .,340430241 . 6100AAex求求設(shè)設(shè) Solution.)5)(5)(1( AE. 5, 5, 1321 的的特特征征值值為為A.)1 , 2, 1( ,)2 , 1 , 2( ,)0 , 0 , 1( 321 ppp可分別求得特征向量可分別求得特征向量,120210121 P存在存在.500050001 1 APP使使得得,5152057510301 1 P而而1100100 P

35、PA,5152057510301500050001120210121100100 .5000501501100100100 The end 教學(xué)要求：教學(xué)要求：掌握實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)掌握實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì);2. 掌握用類(lèi)似變換化實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣為對(duì)角矩陣的掌握用類(lèi)似變換化實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣為對(duì)角矩陣的 方法方法. .特特征征向向量量的的性性質(zhì)質(zhì)實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)矩矩陣陣的的特特征征值值與與一一 .實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化二二 .特特征征向向量量的的性性質(zhì)質(zhì)實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)矩矩陣陣的的特特征征值值與與一一1.1.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值為實(shí)數(shù)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值為實(shí)數(shù). .Proof. ,的特征值的特征值為為設(shè)設(shè)A .

36、 0, xxAx 則則, 的的表表示示用用 共共軛軛復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)xAxA 則則 Ax ,1的的共共軛軛向向量量表表示示xxxxn .1為對(duì)應(yīng)的特征向量為對(duì)應(yīng)的特征向量 nxxx)( xxxx )(Axx xxA )( . xx xAx xxxx )(0)( xx 即即 nnxxxxxx11 而而011 nnxxxx . ., 0,0)( , 以取實(shí)向量以取實(shí)向量從而對(duì)應(yīng)的特征向量可從而對(duì)應(yīng)的特征向量可系系知必有實(shí)的基礎(chǔ)解知必有實(shí)的基礎(chǔ)解由由是實(shí)系數(shù)方程組是實(shí)系數(shù)方程組線性方程組線性方程組所以齊次所以齊次為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)的特征值的特征值由于對(duì)稱(chēng)矩陣由于對(duì)稱(chēng)矩陣 AExAEAiii 2.2.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特

37、征向量為實(shí)向量實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征向量為實(shí)向量. .3.3.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A A對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征 向量是正交的向量是正交的. .Proof. ,21222111 且且pAppAp, ,AAA 對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)于是于是212pp . 02121 pp ,21 .21正交正交與與即即pp. 021 pp21App 21)(pAp 4.4.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的每個(gè)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的每個(gè)特征值的代數(shù)重?cái)?shù) 與幾何重?cái)?shù)相等與幾何重?cái)?shù)相等. .221pp 21pAp 211)(pp .211pp .實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化二二., ),( ,111的的特特征征值值是是其其

38、中中使使則則必必有有正正交交矩矩陣陣階階實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)矩矩陣陣為為設(shè)設(shè)AdiagAPPPnAnn 定理定理.利用正交矩陣將實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)角化利用正交矩陣將實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)角化, ,其詳細(xì)步驟為：其詳細(xì)步驟為： ;, 0 )2(1niAxAE 的的特特征征向向量量求求出出由由 ; )1(iA 的的特特征征值值求求;, )3(11nnpp 單位化得單位化得正交化正交化將將 ).,( ),( )4(111nndiagAPPppP 則則令令利用可逆矩陣將實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)角化利用可逆矩陣將實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)角化, ,其詳細(xì)步驟為：其詳細(xì)步驟為： ;, 0 )2(1niAxAE 的的特特征征向向量量求求出出由由 ; )1(

39、iA 的的特特征征值值求求).,( ),( )3(111nndiagAPPP 則則令令 . 0111101111011110 . 11為對(duì)角陣為對(duì)角陣使使求一正交矩陣求一正交矩陣已知已知APPPAex Solution.)3()1(3 AE3, 14321 特特征征值值為為有有代代入入將將, 0)(11 xAE 1111111111111111AE 0000000000001111 4433224321xxxxxxxxxx求得根底解系求得根底解系,00111 ,01012 .10013 正交化正交化,)0 , 0 , 1 , 1(1 ,)0 , 1 ,21,21(2 .)1 ,31,31,31

40、(3 單位化單位化,)0 , 0 ,21,21(1 p,)0 ,62,61,61(2 p.)123,121,121,121(3 p有有代代入入將將, 0)(34 xAE 31111311113111133AE 0000110010101001 44434241xxxxxxxx求得根底解系為求得根底解系為)1 , 1, 1, 1(4 單位化單位化,)21,21,21,21(4 p,211230021121620211216121211216121 P令令.3000010000100001 1 APP則則 ., . 22OAOAAex 則則若若為為實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)矩矩陣陣設(shè)設(shè)Proof. ,為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩

41、陣為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A故存在正交矩陣故存在正交矩陣Q使使 ),(11ndiagAQQ 11),( QQdiagAn 從而從而(*)12212),( QQdiagAn 12可可逆逆得得與與及及由由 QQOAOQAQdiagn 21221),( , 02 i ), 2 , 1( 0nii . (*)OA 可得可得再由再由 . 1 1 . 3 或或的特征值為的特征值為試證實(shí)對(duì)稱(chēng)的正交矩陣試證實(shí)對(duì)稱(chēng)的正交矩陣AexProof. ,為實(shí)對(duì)稱(chēng)正交矩陣為實(shí)對(duì)稱(chēng)正交矩陣AEAAAAA 2 故故又由又由A為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣, 故存在正交矩陣故存在正交矩陣Q使使 ),(11ndiagAQQ 11),( QQdia

42、gAn 從而從而EQQdiagAn 12212),( EQQdiagn 1221),( 故故, 12 i . 1 i . 1 , . 4 EAnAex證證明明其其特特征征值值全全為為非非負(fù)負(fù)數(shù)數(shù)階階實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)矩矩陣陣為為設(shè)設(shè)Proof. ,為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A故存在正交矩陣故存在正交矩陣Q使使 ),(11ndiagAQQ 11),( QQdiagAn 從而從而11)1 , 1( QQdiagQQE11)1, 1( QQdiagEAn 11)1, 1( QQdiagEAn . 1)1()1(1 n . 0 i 不不妨妨設(shè)設(shè)ex5. 見(jiàn)見(jiàn)P95/例例4.4.2,例例4.4.3 思索題思索題

43、1.,111111111 A.00100100 nB.,是是否否相相似似判判斷斷下下列列兩兩矩矩陣陣BASolution.,)(1 nnAE . 0,21 nnA 的的特特征征值值為為使使得得存存在在可可逆逆矩矩陣陣是是實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)矩矩陣陣又又,1PA),0 , 0 ,(111ndiagPAP ,)(1 nnBE 又又.有相同的特征值有相同的特征值與與即即AB,1, 02特征向量特征向量個(gè)線性無(wú)關(guān)的個(gè)線性無(wú)關(guān)的有有對(duì)應(yīng)特征值對(duì)應(yīng)特征值 nn 使使得得故故存存在在可可逆逆矩矩陣陣,2P, 212 PBP, 212111BPPAPP 從從而而, 121112BPAPPP 即即.相似相似與與故故BA

44、,)()( 1211121BPPAPP 即即The end 思索題思索題2. .2,2的值的值試求行列式試求行列式的秩為的秩為且且滿足滿足階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣設(shè)設(shè)AErAAAAn Solution. , 0 1 2或或的的特特征征值值為為可可得得由由AAA .,000 1-階單位陣階單位陣是是其中其中rEEAPPrr 1122 PPPPAE E2 rnrEE200det.2rn 使使得得故故存存在在可可逆逆陣陣且且秩秩為為是是實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)陣陣又又,PrAThe end 一、內(nèi)容小結(jié)一、內(nèi)容小結(jié)1. 正交矩陣的定義與性質(zhì)正交矩陣的定義與性質(zhì)3. 類(lèi)似矩陣的定義與性質(zhì)類(lèi)似矩陣的定義與性質(zhì)4.

45、矩陣可對(duì)角化的條件矩陣可對(duì)角化的條件2. 特征值特征向量的定義與性質(zhì)特征值特征向量的定義與性質(zhì)5. 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣特征值特征向量的性質(zhì)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣特征值特征向量的性質(zhì)二、題型與方法二、題型與方法2. 判別矩陣能否可對(duì)角化，判別矩陣能否可對(duì)角化， 找可逆矩陣使其與對(duì)角陣類(lèi)似找可逆矩陣使其與對(duì)角陣類(lèi)似1. 求特征值特征向量求特征值特征向量3. 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化可逆變換與正交變換實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化可逆變換與正交變換., ,4000000512422421.yxyxA求求相似相似與與設(shè)方陣設(shè)方陣一一 Solution.5242424254 xAE由由52424290931 xrr12444200913 x

46、cc)4(9x , 0 . 4 x得得124242421 AE由由12424250531 rr124242101)5( 324442001)5(13 cc8)3)(4)(5( )20)(5(2 )4)(5)(5( , 0 . 4, 5321 得得. 5 y; 321可可得得或或由由 A. 332211321可得可得或由或由aaa ., )2 , 1, 2( , )1 , 2, 2(, )2 , 2 , 1( ; 1, 0, 13.321321ApppA求求方方陣陣特特征征向向量量依依次次為為對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的的的特特征征值值為為階階方方陣陣設(shè)設(shè)二二 Solution 1.,212122221),(3

47、21 pppP取取,1000000011 APP則有則有11212122221 P又又 636366663271,21212222191 1 PPA 21212222191100000001212122221 21212222120210220191.06663060391 或者或者 ),(),(332211321ppppppA ), 0 ,(31pp A1212122221202102201 A 21212222191202102201.06663060391 .,)1 , 1 , 1( 6, 3 , 3 , 63.1ApA求求矩矩陣陣的的特特征征向向

48、量量為為對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)與與特特征征值值的的特特征征值值為為階階實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)矩矩陣陣設(shè)設(shè)三三 Solution 1., ),(3321 xxxx對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量為為設(shè)設(shè)特特征征值值, 0321 xxx則則有有 10101121kkx.)1 , 0 , 1(,)0 , 1 , 1( 332 pp的特征向量為的特征向量為故對(duì)應(yīng)特征值故對(duì)應(yīng)特征值,101011111),(321 pppP取取,3000300061 APP則有則有,121211111311 P又又1 PPA,12121111131300030006101011111 .411141114 Solution 2. ),(),(332

49、211321ppppppA .),(1332211 PpppA Solution 3., ),(3321 xxxx對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量為為設(shè)設(shè)特特征征值值, 0321 xxx則則有有 10101121kkx. )1 , 0 , 1(, )0 , 1 , 1( 321 的的特特征征向向量量為為故故對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)特特征征值值:, 21正交化得正交化得將將 ,)0 , 1 , 1(11 ,)1 ,21,21(),(),(1112122 :, 211單位化得單位化得將將 p,)31,31,31(1 ,)0 ,21,21(2 ,)62,61,61(3 ,62031612131612131),(321

50、P取取,626161021213131311 PP從而從而1 PPA.411141114 .56)(,122221212.8910AAAAA 設(shè)設(shè)四四Solution.0)1)(1)(5(122221212 AE由由, 1, 1, 5321 得得,)1 , 1 , 1( 511 p的的特特征征向向量量為為對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng) , )0 , 1 , 1( 122 p的的特特征征向向量量為為對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng) , )2, 1 , 1( 133 p的的特特征征向向量量為為對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng) ,),(1321 APPpppP使得使得存在可逆陣存在可逆陣,1 PPA則則,100010005 且且 3161613267613131311

51、P891056)(AAAA 181911056 PPPPPP18910)56( PP1)1(000)1(000)5( PP 3161613267613131311200000000201111113 422000000201111113.844422422 The end 一、內(nèi)容小結(jié)一、內(nèi)容小結(jié)2. 類(lèi)似矩陣的定義與性質(zhì)類(lèi)似矩陣的定義與性質(zhì)3. 矩陣可對(duì)角化的條件矩陣可對(duì)角化的條件1. 特征值特征向量的定義與性質(zhì)特征值特征向量的定義與性質(zhì)4. 正交矩陣的定義與性質(zhì)正交矩陣的定義與性質(zhì)5. 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣特征值特征向量的性質(zhì)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣特征值特征向量的性質(zhì)1. 特征值特征向量的定義與性質(zhì)特征值特征向

52、量的定義與性質(zhì). , , 的特征向量的特征向量的對(duì)應(yīng)于特征值的對(duì)應(yīng)于特征值稱(chēng)為稱(chēng)為非零向量非零向量的特征值的特征值稱(chēng)為方陣稱(chēng)為方陣這樣的數(shù)這樣的數(shù)那末那末成立成立使關(guān)系式使關(guān)系式維非零列向量維非零列向量和和如果存在數(shù)如果存在數(shù)階方陣階方陣是是設(shè)設(shè) AxAxAxxnnA 定義定義. (1) 屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的(2) 屬于同一特征值的特征向量的非零線性屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量(3) 矩陣的特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征矩陣的特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征值而言的，一個(gè)特征值具

53、有的特征向量不獨(dú)一；值而言的，一個(gè)特征值具有的特征向量不獨(dú)一；一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值; 的的特特征征多多項(xiàng)項(xiàng)式式叫叫做做AAE ; )(的的特特征征矩矩陣陣叫叫做做AAE . 0的的特特征征方方程程叫叫做做AAE ,)1(0的特征值的特征值是是若若A AE0 則則)(0AEr OxAE )(0 , 0, n 有非有非0解解.的的為為則則稱(chēng)稱(chēng)重重根根的的為為若若00,0)2( kkAE .代數(shù)重?cái)?shù)代數(shù)重?cái)?shù)的的稱(chēng)其為稱(chēng)其為的個(gè)數(shù)為的個(gè)數(shù)為的基礎(chǔ)解系中所含向量的基礎(chǔ)解系中所含向量得得對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于0000),( )(, AEranknOxAE .幾何重?cái)?shù)幾何重

54、數(shù)結(jié)論結(jié)論1. 方陣方陣A的特征值的幾何重?cái)?shù)不超越的特征值的幾何重?cái)?shù)不超越它的代數(shù)重?cái)?shù)它的代數(shù)重?cái)?shù).結(jié)論結(jié)論2. 對(duì)角陣、上三角陣、下三角陣的特征值對(duì)角陣、上三角陣、下三角陣的特征值即為其主對(duì)角線上的元素即為其主對(duì)角線上的元素.結(jié)論結(jié)論3. .的特征值相同的特征值相同與與方陣方陣AA 結(jié)論結(jié)論4. ,)(21則則有有的的特特征征值值為為階階方方陣陣設(shè)設(shè)nijaAn ; )1(221121nnnaaa . )2(21An 結(jié)論結(jié)論5. 假設(shè)假設(shè) 是矩陣是矩陣 A的特征值的特征值, x是是 A的屬于的屬于 的特征的特征向量向量, 那么那么 .)1(是任意常數(shù)是任意常數(shù)的特征值的特征值是是kkAk

55、.)2(是是正正整整數(shù)數(shù)的的特特征征值值是是mAmm .,)3(11的的特特征征值值是是可可逆逆時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) AA .,)4(*1的的特特征征值值是是可可逆逆時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)AAA .)()(,)5(的特征值的特征值是是為多項(xiàng)式函數(shù)時(shí)為多項(xiàng)式函數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)Afff 2. 類(lèi)似矩陣的定義與性質(zhì)類(lèi)似矩陣的定義與性質(zhì) ., ,1相相似似與與或或說(shuō)說(shuō)矩矩陣陣的的相相似似矩矩陣陣是是則則稱(chēng)稱(chēng)使使若若有有可可逆逆矩矩陣陣階階方方陣陣都都是是設(shè)設(shè)BAABBAPPPnBA . BA記記為為; )1(AA;, )2(ABBA則則若若;, )3(CACBBA則則若若 );)()4(2111211PAPPAPPAAP ;)5(21

56、211122111PAPkPAPkPAkAkP .,21是是任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中kk;, )6(BABA 則則若若 ;, )7(mmBABA則則若若 ;, )8(11 BABA則則若若 ;),()(, )9(為為多多項(xiàng)項(xiàng)式式函函數(shù)數(shù)其其中中則則若若fBfAfBA ;, )10(的的特特征征值值相相同同與與則則若若BABA ;, ),( )11(2121個(gè)特征值個(gè)特征值的的是是則則若若nAdiagAnn 3. 矩陣可對(duì)角化的條件矩陣可對(duì)角化的條件定理定理1.)(個(gè)個(gè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量有有能能對(duì)對(duì)角角化化即即與與對(duì)對(duì)角角陣陣相相似似階階方方陣陣nAAAn結(jié)論結(jié)論1. 假設(shè)假設(shè)

57、n階矩陣階矩陣A有有n個(gè)互不相等的特征值個(gè)互不相等的特征值, 那么那么A與對(duì)角陣類(lèi)似與對(duì)角陣類(lèi)似.結(jié)論結(jié)論2.重重?cái)?shù)數(shù)的的幾幾何何重重?cái)?shù)數(shù)等等于于其其代代數(shù)數(shù)的的每每個(gè)個(gè)特特征征值值與與對(duì)對(duì)角角陣陣相相似似階階矩矩陣陣iAAn 結(jié)論結(jié)論3. 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣一定可對(duì)角化實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣一定可對(duì)角化. 4. 正交矩陣的定義與性質(zhì)正交矩陣的定義與性質(zhì) . , 正正交交矩矩陣陣為為則則稱(chēng)稱(chēng)滿滿足足階階方方陣陣若若AEAAAn ; 1 )1( A ;, )2(也是正交矩陣也是正交矩陣則則為正交矩陣為正交矩陣ABBA ; )3(1AAA 是是正正交交矩矩陣陣 ; )4(也也是是正正交交矩矩陣陣是是正正交交矩矩陣陣A

58、A .)( )5(量組量組向量組是正交的單位向向量組是正交的單位向行行的列的列是正交矩陣是正交矩陣方陣方陣AA假設(shè)假設(shè)P為正交矩陣為正交矩陣, 那么線性變換那么線性變換y=Px稱(chēng)為正交變換稱(chēng)為正交變換. 正交變換不改動(dòng)向量的長(zhǎng)度正交變換不改動(dòng)向量的長(zhǎng)度, 也不改動(dòng)兩向量間也不改動(dòng)兩向量間的內(nèi)積及夾角的內(nèi)積及夾角.5. 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣特征值特征向量的性質(zhì)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣特征值特征向量的性質(zhì)(1) (1) 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值為實(shí)數(shù)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值為實(shí)數(shù). .(2) (2) 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征向量為實(shí)向量實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征向量為實(shí)向量. .(3) (3) 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A A對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征對(duì)應(yīng)于不

59、同特征值的特征 向量是正交的向量是正交的. .(4) (4) 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的每個(gè)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的每個(gè)特征值的代數(shù)重?cái)?shù) 與幾何重?cái)?shù)相等與幾何重?cái)?shù)相等. ., ),( ,111的的特特征征值值是是其其中中使使則則必必有有正正交交矩矩陣陣階階實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)矩矩陣陣為為設(shè)設(shè)AdiagAPPPnAnn 定理定理.二、題型與方法二、題型與方法2. 判別矩陣能否可對(duì)角化，判別矩陣能否可對(duì)角化， 找可逆矩陣使其與對(duì)角陣類(lèi)似找可逆矩陣使其與對(duì)角陣類(lèi)似1. 求特征值特征向量求特征值特征向量3. 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化可逆變換與正交變換實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化可逆變換與正交變換利用可逆矩陣將實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)角化利用可逆矩

60、陣將實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)角化, ,其詳細(xì)步驟為：其詳細(xì)步驟為： ;, 0 )2(1niAxAE 的的特特征征向向量量求求出出由由 ; )1(iA 的的特特征征值值求求).,( ),( )3(111nndiagAPPP 則則令令利用正交矩陣將實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)角化利用正交矩陣將實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)角化, ,其詳細(xì)步驟為：其詳細(xì)步驟為： ;, 0 )2(1niAxAE 的的特特征征向向量量求求出出由由 ; )1(iA 的的特特征征值值求求;, )3(11nnpp 單位化得單位化得正交化正交化將將 ).,( ),( )4(111nndiagAPPppP 則則令令1. 求特征值特征向量求特征值特征向量.201034011