熱學習題思考題解題指導第12節(jié)

1、第二章分子動理論的平衡態(tài)理論§ 2.1 本概念和基本要求(一)了解分子動理論的主要特點。(二)掌握概率的基本性質和求平均值和基本方法。知道什么是概率分布函數(shù)。(三)麥克斯韋速率分布(1)初步了解驗證麥克斯韋速率分布的分子射線束實驗。(2)掌握麥克斯韋速率分布函數(shù)，知道它的物理意義，知道它的分布曲線是如何的，知道它的分布曲線是如何分別隨了溫度或者氣體分子質量而改變的。(3)熟練掌握平均速率、方均根速率、最概然速率這3個公式。(四)麥克斯韋速度分布(1)理解速度空間概念。派(2)知道麥克斯韋速度分布是任一分子處在速度空間中任一體積為dvxdvydvz的小立方體中的概率。(3)掌握麥克斯韋

2、速度分布。派(4)知道如何利用麥克斯韋速度分布導出麥克斯韋速率分布。*(5)了解相對于最概然速率的麥克斯韋速度分布和速率分布。(五)了解氣體分子碰壁數(shù)及其應用。(六)外力場中自由粒子的分布玻耳茲曼分布(1)掌握等溫大氣壓強公式。(2)了解旋轉體中懸浮粒子徑向分布及其應用。X(3)了解玻耳茲曼分布。(七)能量均分定理(1)理解自由度與自由度數(shù)。(2)掌握能量均分定理，知道對于常見的雙原子分子一般都有3個平動自由度、2個轉動自由度。派(3)知道能量均分定理的局限性。§2.2解題指導和習題解答2.2.1在圖中列出某量x的值的四種不同的概率分布函數(shù)的圖線。試對1。則R解:(a)按照歸一化條件

3、，概率分布曲線下面的面積為于每一種圖線求出常數(shù)A的值，使在此值下該函數(shù)成為歸一化函數(shù)。然后計算x和x2的平均值，在圖(a)情形下還應該求出|x|平均值。a(所以概率分布函數(shù)為：a)A1,A1/2af(x)1/2aa；x-aaxf(x)dxx2f(x)dxxf(x)dxa12a12aaxdxx2dxxf(x)dxa/2(b)歸一化條件:(2a概率分布函數(shù)為：0)A1/2af(x)1/2a0x2ax0;x2a2axf(x)dx012axdx2a012a2a022a2x0xf(x)dx(c)歸一化條件為(1/2)a(a)A1概率分布函數(shù)為：12a2a0x2dxA1/a2f(x)(xa)/aax02(

4、xa)/a0xa-axaxf(x)dx0Ta2,2xaxf(x)dxa/6一,、.,2,22.2.2量x的概率分布函數(shù)具有形式f(x)Aexp(ax)4冗x,式中A和a是常數(shù)，試寫出x的值出現(xiàn)在7.9999到8.0001范圍內的概率P的近似表示式。R解1：歸一化，f(x)dx1在上述積分中考慮到f(x)是偶函數(shù)，所以有f(x)dx2°f(x)dx8冗AAa3/2/413/2_A(a/冗3/2可以知道處于7.99998.0001范圍內概率為PAe64a4冗64x0.5(a/乳平4冗64exp(64a)0.00022.3.1求0°C,0.101MPa下1.0cm3的氮氣中速率在

5、-1.一.-1500ms到501ms之間的分子數(shù)。R分析1:這是一個在麥克斯韋速率分布中求某一速率區(qū)間內分子數(shù)的問題，應該用相對于最概然速率的麥克斯韋速率分布，即使用誤差函數(shù)來求解。但是注意到,500ms-1至ij501ms-1之間僅僅差1ms-1,它要比500ms-1小得多。可以認為在500ms-1至U501ms-1范圍內麥克斯韋速率分布是不變的。它的概率等于在橫坐標為500ms-1到501ms-1之間的麥克斯韋速率分布曲線線段下面的面積(這個梯形可以看作矩形)。R解1:設00C,0.101MPa下，1.0cm3中的理想氣體分子數(shù)為253N,利用洛施密特常量n02.710m可以得到N1.01

6、062.710252.71019利用麥克斯韋速率分布可以得到速率在vvdv之間的分子數(shù)為一3/22_2Nf(v)dv4制(m/2ukT)exp(mv/2kT)vdv(1)11現(xiàn)在其中的v500ms,dv1ms,氮氣溫度T273K,而氮分子質量m281.671027kg。將它們代入(1)式即得到在500ms-1到501ms-1之間的分子數(shù)為N4.961016。2.3.2求速率在區(qū)間vp1.01Vp內的氣體分子數(shù)占總分子數(shù)的比pp率。R分析1：利用Vdj2kT/m的公式，并且令uv/v0,則可以pp把麥克斯韋速率分布表示為dNu/N(4/a)exp(u2)u2du由于vp和0.01vp的差異比vp

7、小得多，和上題的分析類似，可以認為(1)式中的du=0.01,u=1。鰭1:0.83%。2.3.3請說明麥克斯韋分布中，在方均根速率附近某一小的速率區(qū)間dv內的分子數(shù)隨氣體溫度的升高而減少。R解1:麥克斯韋速率分布為：,一._3/2,2,一._、2.f(v)dv4(m/2kkT)exp(mv/2kT)vdv方均根速率為vrsm.3kT/m在方均根速率附近某一小的速率區(qū)間dv內的分子數(shù)為：Nf(vrms)dv4ttN(m/2冗kT)3/2e河m(3kT/m)/2kT(3kT/m)dv它和、：m/kT成正比，所以它隨氣體溫度的升高而減少。2.3.4根據(jù)麥克斯韋速率分布律，求速率倒數(shù)的平均值(1/V

8、)。0Po:按照利用概率分布函數(shù)求平均值的公式(1/v)°(1/v)f(v)dv3/224冗(m/2：tkT)eD(mv/2kT)vdv(4/冗)(1/v)2.3.5(1)某氣體在平衡溫度T2時的最概然速率與它在平衡溫度T1時的方均根速率相等，求(T1/T2)o(2)已知這種氣體的壓強為p；密度為，試導出其方均根速率的表達式。1/2R答：(1)3/2;(2)(3p/)。2. 3.6試將麥克斯韋速率分布化為按平動動能的分布，并求出最概然動能。它是否等于mv：/2?為什么？pR分析1：對于理想氣體來說，麥克斯韋速率分布和按照平動動能的分布是完全等價的。也就是說，F(xiàn)()df(v)dv,所以

9、只要將f(v)dv中的v以平動動能來表示，就得到按平動動能的分布。R解1:麥克斯韋速率分布為3/22mmv2.f(v)dv4eexpvdv2ukT2kT因為mv2/2,dmvdv。將它們代入上式，可以得到：2_3/21/2F()d(kT)exp()d冗kT要求出最概然動能只要對上式兩邊取導數(shù)，并且命令它等于零dF()/d23/21/p、1/2.p1、(kT)exp()pexp()()0R2nkTkTkT得到最概然動能pkT/2但是由最概然速率所表示的動能2_mvp/2m(2kT/m)(1/2)kT這說明最概然動能與mvj/2不相等。前面講到麥克斯韋速率分布和按平動動能的分布是完全等價的，為什么

10、最概然動能和由最概然速率所表示的動能不相等？實際上，其差異不是來自物理上，而是來自數(shù)學上。既然F()df(v)dv而ddv,則函數(shù)形式f()f(v)。它們的導數(shù)的函數(shù)形式也不相等所以pmvj/2。pp2.3,7已知溫度為T的混合理想氣體由分子質量為m1的1摩爾分子及由分子質量為m2的2摩爾分子所組成。試求：(1)它們的速率分布；(2)平均速率。R分析1:速率分布是指其速率在vvdv范圍內的所有分子和總分子數(shù)之比。我們以前討論的是純氣體，其速率分布是和這種氣體的分子質量有關的?，F(xiàn)在是混合理想氣體，其速率分布不僅和這幾種氣體分子的質量有關，并且和每種氣體的物質的量(即mol數(shù))所占百分比有關。R解

11、1：(1)設組成混合理想氣體的兩種氣體的分子數(shù)分別為N1,N2。(或者說它們的物質的量分別為1,2)。對于分子質量為m1的1摩爾分子，它們的速率在vvdv的總分子數(shù)為dN1(v),這些分子在整個氣體分子中所占有的概率為：f1(v)dvdN1(v)/(NiN2)f1(v)dv1/(12H4冗(m1/2冗kT)3/2exp(m1V2/2kT)v2dv同理對于分子質量為m2的2摩爾分子，它們的速率在vvdv的總分子數(shù)為dNz(v),這些分子在整個氣體分子中所占有的概率為：f2(v)dv2/(12)4冗(m2/2冗kT)3/2e)p(m2V2/2kT)v2dv所有其速率在vv+dv的兩種不同質量的分子

12、占有的概率為一3/222f(v)dv1/(12H4u(m1/2ukT)exp(m1V/2kT)vdv3/22_22/(12H4冗(m2/2：tkT)exp(m2v/2kT)vdv這就是混合理想氣體的速率分布。(2)顯然，其平均速率v0f1(v)vdv0f2(v)vdvi/(i2)、8kT/m2/(12)8kT/22.3.8證明在麥克斯韋速率分布中，速率在最概然速率到與最概然速率相差某一小量的速率之間的分子數(shù)與JT成反比。處于平均速率附近某一速率小區(qū)間內的分子數(shù)也與JT成反比。R解1：最概然速率vpJ2kT/m,又其速率在vvdv范圍內的分子數(shù)為dNvvdvNf(v)dv4tN(m/2kkT)3

13、/2exp(mv2/2kT)v2dv速率在最概然速率到與最概然速率相差某一小量的速率之間的分子數(shù)為dNj7Pdv4N(m/2兀kT)3/2exp(2kT/2kT)(2kT/m)dv(4N/e)(m/27ikT)1/2dv所以速率在最概然速率到與最概然速率相差某一小量的速率之間的分子數(shù)與Jt成反比。處于平均速率附近某速率小區(qū)間的分子數(shù)dNvvdv4制(m/2ukT)3/2exp(m/2kT)(8kT/m)(8kT/m)dv（8N/兀）exp（4/昉.2m/兀kTdv它也與JT成反比。2.4.1因為固體的原子和氣體分子之間有作用力，所以在真空系統(tǒng)中的固體表面上會形成厚度為一個分子直徑的那樣一個單分

14、子層，設這層分子仍可十分自由地在固體表面上滑動，這些分子十分近似地形成2維理想氣體。如果這些分子是單原子分子，吸附層的溫度為T，試給出表示分子處于速率為v到v+dv范圍內的概率f(v)dv表達式。R解1:我們知道,通常的麥克斯韋速度分布是3維的f(vx)dvxf(vy)dvyf(vz)dvz(1)其中速度在x,y,z的3個分量上的分布函數(shù)都具有如下形式：_1/22_f(vi)dvi(m/2ukT)exp(my/2kT)dvj(ix,y,z)(2)顯然，只能在XY平面上運動的2維理想氣體的麥克斯韋速度分布應該是1/2,2.f(vx)dvxf(vy)dvy(m/2ukT)exp(mvx/2kT)d

15、vx1/2,2,(m/2kkT)exp(mvy/2kT)dvy(3)這就是2維理想氣體的麥克斯韋速度分布公式。(3)式也可以寫為f(vx)f(vy)dvxdvyf(vx,vy)dvxdvy(4)其中dvxdvy實際上就是在2維速度空間中位置在vxvxdvx,Vyvydvy范圍內的正方形這一微分元的面積，而f(vx,vy)dvxdvyf(vx)dvxf(vy)dvy是氣體分子的代表點在這一微分元上的分布概率。設在2維速度空間中位置在VxVxdvx,vyvydvy范圍內的這一微分元上的分子代表點數(shù)為dNvv。顯然它被除以微分元的面積dvxdvy,就是在2維速度空x,y間中的分子代表點的數(shù)密度D(v

16、x,vy),所以D(vx,vy)dNvx,vy/dvxdvyNf(vx,vy)N(m/2ttkT)1/2expm(vjvy)/2kT(5)下面我們從速度分布導出速率分布。我們知道2維理想氣體的麥克斯韋速率分布表示了分子處在2維速度空間中，半徑為vvdv的圓環(huán)內的概率dNv/N。dNv是在半徑為vvdv的圓環(huán)內的分子代表點數(shù)。它等于圓環(huán)面積乘上分子代表點的數(shù)密度D(vx,vy)o利用(5)式可以得到dNvD(vx,vy)2Ttvdv2.N(m/2kkT)exp(mv/2kT)2wdv-2_N(m/kT)exp(mv/2kT)vdv所以分子處于速率為v到v+dv范圍內的概率f(v)dv的表達式為d

17、N、，一2_f(v)dv(m/kT)exp(mv/2kT)vdv(7)N它就是2維理想氣體的麥克斯韋速率分布。2.4.2分子質量為m的氣體在溫度T下處于平衡。若以vx,vy,vz及v分別表示分子速度的x、y、z三個分量及其速率，試求下述平均值：，八一22，八2，一、一一2(1) Vx；(2)Vx；(3)VxV；(4)vxvy；(5)(Vxbvy)。R分析1:在求上述統(tǒng)計平均值時要用到概率的基本性質，即互相排斥事件概率相加法則和相互統(tǒng)計獨立的事件概率相乘法則。另外，因為麥克斯韋速度分布函數(shù)是個偶函數(shù)，所以在積分時要區(qū)分被積函數(shù)是偶函數(shù)還是奇函數(shù)。對于偶函數(shù)，因為積分范圍是對稱區(qū)間，所以應該分區(qū)間

18、積分。R解:(1)麥克斯韋的速度的x、y、z三個分量分布可以表示為._1/22_f(Vi)(m/2ukT)exp(mvi/2kT)(ix,y,z)vxVxf(Vx)dVx_1/22_(m/2ukT)exp(mvx/2kT)VxdVx0_1/22_(m/2ukT)exp(mvx/2kT)VxdVx-1/22一o(m/2ukT)ex)(mvx/2kT)VxdVx022Vxvxf(vx)dvx2o(m/2兀kT)1/2e)p(mv2/2kT)v2dvxkT/m(3)由于vx和v4.4設氣體分子白勺總數(shù)為N，試證明速度的x分量大于某一給相互獨立，利用概率相乘法則，并且考慮到vx的平均值等于零，則有2v

19、xvvxv0(4)同樣vx,vy相互獨立，和“(3)”類似2-vxvyvxvyO(5)利用概率相加法則2/1_2222i_22(vxbvy)vx2bvxvybvyvx2bvx%bvy-2_2kT/m0bkT/m(kT/m)(1b)2.4.3證明：相對于vp的麥克斯韋速率分布函數(shù)(2.35)式。dNu/Nf(v)dv4/4eexp(u2)u2duR解:最概然速率為(2kT/m)1/2,則,.,一._3/2_2_2.f(v)dv4u(m/2ukT)ex)(mv/2kT)vdv可以變換為f(v)dv4八eexp(v2/v2)(v2/v2)d(v/vp)令v/vpu,上式可以化為定值vx的分子數(shù)為N(

20、vx)(N/2)1erf(ux)其中uxvx/vpdNu/Nf(v)dv4/.uexp(u2)u2duR解:已經(jīng)知道速度的x分量分布為f(vx)dvx(m/2kkT)1/2exo(mv£/2kT)dvx速度的x分量在(0vx)范圍內的分子數(shù)為VxN(0vx)0Nf(vx)dvx命令v/vpu,N(0vx)N/8°xexp(x2)dx(N/2)erf(x)以得到速度的x分量在0之間的分子數(shù)為N/2,所以N(vx)N/2N(0vx)(N/2)1erf(Ux)2.4.5求麥克斯韋速度分布中速度分量vx大于2Vp的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。R提示1：利用2.4.4題證明的結果，現(xiàn)在e

21、rf(ux)erf(2)0.9953。R答1：0.00235。2.4.6若氣體分子的總數(shù)為N,求速率大于某一給定值v的分子數(shù)。設(1)vvp；(2)v2vp。R提示1:利用相對于vp的麥克斯韋速率分布，在0v范圍內的分子數(shù)為N(0v)Nerf(u)(2/%,'/)uexp(u2)速率大于v的分子數(shù)為：NN(0v)。R答1：(1)0.573N;(2)0.046N。.2.5.1一容積為1升的容器，盛有溫度為300K,壓強為30104Pa的僦氣，僦的摩爾質量為0.040kg。若器壁上有一面積為1.0X10-3cm2的小孔，僦氣將通過小孔從容器內逸出，經(jīng)過多長時間容器里的原子數(shù)減少為原有原子數(shù)

22、的1/e?R分析1:這是一個瀉流問題，可以應用氣體分子碰壁數(shù)來解。應該注意，容器內的分子數(shù)(或者說容器內的分子數(shù)密度)是隨時間而減少的，所以是個變量。或者說相等時間內流出去的分子數(shù)是不相等的，應該建立微分方程?？紤]在t到t出時間內，容器內的分子數(shù)由于瀉流從N變化為NdN,其中dN就是在dt時間內瀉流流出去的分子數(shù)，列出dN和dt之間的關系，這就是解本題所需要的微分方程。經(jīng)過分離變量積分，就可以得到所需要的結果。0Po:在dt時間內在面積為A的小孔中流出的分子數(shù)為-dNnvAdt/4,所以在上0至ijt之間式中加一負號?，F(xiàn)在在上式兩邊都除以容器體積V,并且在其中n為氣體分子數(shù)密度。考慮到氣體的流

23、出使得分子數(shù)減少進行積分n2(vA/4V)dtni(1/n)dn(vA/4V)tln(n2/n1)現(xiàn)在要求容器中的原子數(shù)最后減少到n2n1/e,1/e,即ln(n2/n1)tJV_也卜MmAVA8RT100s1：2冗MmRT即：經(jīng)過100s容器內原子數(shù)減為原來的1/e。.2.5.2一容器被一隔板分成兩部分，其中氣體的壓強分別為Pi,p2。兩部分氣體的溫度均為T,摩爾質量均為Mm。試證明：如果隔板上有面積為A的小孔，則每秒通過小孔的氣體質量為dmdtMmm(PiP2)AV2tRTR分析1:容器被隔板分成兩部分以后，隔板左右兩邊的氣體都可以通過小孔從一邊流向另一邊，和上一題一樣利用氣體分子碰壁數(shù)來

24、解。R解1:利用平均速率公式可以把氣體分子碰壁數(shù)公式變換為p/v12冗mkT現(xiàn)在分別用下標1,2分別表示隔板左、右氣體的各個物理量。在時間內通過單位面積小孔，隔板左邊凈增加的分子數(shù)為dtp1p2(1/，2兀mkT)在dt內通過小孔的氣體質量為dmdt丫2冗kTPiP2AMmPiP2A2.5.3處于低溫下的真空容器器壁可吸附氣體分子，這叫做“低溫泵”，它是提高真空度的一種簡便方法?？紤]一半徑為0.1m的球形容器，器壁上有一面積為1cm2的區(qū)域被冷卻到液氮溫度(77K)，其余部分及整個容器均彳持300Ko初始時刻容器中的水蒸氣壓強為1.33Pa,設每個水分子碰到這一小區(qū)域上均能被吸附或被凝結在上面

25、，試問要使容器的壓強減小為1.33104Pa,需多少時間？0P0：設t時刻分子數(shù)密度為n(t),則dt時間內碰在A面積上的分子數(shù)為dn(t)翳小出利用p=nkT公式，它可以化為dp(t)dn(t)P(t)dt經(jīng)過積分，可以得到，v,、P(t)P0e)P(At)4VvAdt4VP0exP(ARTV12冗Mt)P(t)/ARTexP(,t)P0Vv2ttM4_1.3310Pa1.33Pa4Vln1027tMA.RT2.60s2.5.4有人曾用瀉流法測量石墨的蒸汽壓。他們測得在2603K的溫度下有0.648103kg的碳在3.5h內通過3.25mm2的小孔。假定碳的蒸汽分子是單原子的，試估計石墨在2

26、603K時的蒸汽壓強。R分析1:即使在2603K的溫度下，碳的蒸汽壓強并不大，可以認為它是理想氣體。pnkT和氣體分子碰壁數(shù)公式都適用。另外，因為在溫度一定的情況下，飽和蒸汽壓強是不變的，所以可以利用透過小孔瀉流的分子數(shù)來確定石墨的蒸汽壓強。R答:5.3102Pa。2. 5.5若使氫分子和氧分子的Vrms等于它們在地球表面上的逃逸速率，各需多高的溫度？若使氫分子和氧分子的vrms等于月球表面上的逃逸速率，各需多高的溫度？已經(jīng)知道月球的半徑為地球半徑的0.27倍，月球的重力加速度為地球的0.165倍。R分析1:在離地球中心距離為R的高層大氣中，必有某些氣體分子的速率大于從該處脫離地球引力而逃逸的

27、最小速率Vmin（它稱為逃逸速率），這些分子向上運動時，只要不和其它分子碰撞，就可以逃逸出大氣層。其逃逸速率滿足2GMEm/Rmvmin,E/2在忽略重力加速度隨高度的變化的情況下，可以用地球表面的數(shù)據(jù)替代，則Vmin,E2GMe/Re2REgE（1）其中gE是地球重力加速度，Me是地球質量，Re是地球半徑。同樣，在月球表面上也有逃逸速率Vmin,M。和（1）式類似，有如下表達式Vmin,Mv:2GMm/Rm、甌藐（2）其中下標M表示月球的各物理量。R答:氫分子和氧分子的vrms分別等于地球表面上的逃逸速率時的氫氣和氧氣的溫度分別為Th,e1.0104K,TO,E1.6105K.氫分子和氧分子

28、的Vrms分別等于它們在月球表面上的逃逸速率時的氫氣和氧氣溫度分別為Th,m4.6102K,To,m7.4103K2、2.5.6氣體的溫度T273K,壓強p1.0110Pa,密度331.24103kgm3。試求：（1）氣體的摩爾質量，并確定它是什么氣體；(2)氣體分子的方均根速率。R提示1:把理想氣體方程變換為求密度的公式，從而確定氣體的摩爾質量。R答1：(1)28103kg,N2或者CO;；(2)4,94102ms-1。2.5.7當液體與其飽和蒸汽共存時，氣化率與凝結率相等。設所有碰到液面上的蒸汽分子都能凝結為液體，并假定當把液面上的蒸汽迅速抽去時，液體的氣化率與存在飽和蒸汽時的氣化率相同。

29、已知水銀在00c時的飽和蒸汽壓為0.0246Nm-2,氣化熱為336kJkg-1,問每秒通過每平方厘米液面有多少克水銀向真空中氣化。R答1:6.7109kg。2.5.8一帶有小孔(小孔面積為A)的固定隔板把容器分為體積均為V的兩部分。開始時，左方裝有溫度為T0、壓強為p0的單原子分子理想氣體，右方為真空。由于孔很小，因而雖然板兩邊分子數(shù)隨時間變化，但仍可假定任一時刻近似是平衡態(tài)。又整個容器被溫度為T0的熱源包圍。試求：(1)在t到t+dt時間內從左方穿過小孔到達右方的分子；(2)左方壓強的具體表達式(它是時間的函數(shù))；(3)最后達到平衡時氣體與熱源一共交換了多少熱量？解:(1)左方和右方容器都

30、有分子穿過小孔到達對方容器。設t時刻左方和右方容器中的分子數(shù)密度分別為n1(t),n2(t)。由于左方、右方容器體積相等，并且開始時刻右方容器壓強為零，所以n1(t)也n0(其中n°p°/kT)(1)按照氣體分子碰壁數(shù)公式，在t到t+dt時間內，從左方穿過小孔到達右方的分子數(shù)為dN1nvAdt/4n?vAdt/4(2)(2)利用(1)、(2)兩式可以得到dn1(A/4V)v(2n1n0)dt分離變量積分，并且利用pnkT公式。得到左方壓強的具體表達式為p1(t)(p0/2)1exp：vAt/2V(3)由于左、右方容器溫度始終為T0,系統(tǒng)和外面的溫度始終相等,所以最后達到平衡

31、的過程中氣體與熱源沒有熱量交換。2.5.9容器中某一器壁面是由有很多能穿透分子的小孔的膜構成。容器內的氣體可穿過小孔逸出到容器外面的、始終維持高真空的大容器中。若容器內充滿溫度為室溫、壓強為p0的氨氣，則一小時后容器內壓強將降為p/2。已知容器內裝的是壓強為po的氨氣與窟氣所組成的混合理想氣體，且氨氣與窟氣的百分比相等，試問經(jīng)一小時后氨氣、窗氣的分子數(shù)密度之比He/ONe是多少？試以氨氣與速氣的摩爾質量之比MHe/MNe表示之。試問為什么要先用純氨氣測一下容器中壓強降低一半所需的時間？R分析1：由于平均速率和分子質量的平方根成反比，所以混合理想氣體穿過小孔瀉流到容器外面的真空中時，質量小的分子

32、穿過小孔的概率大，利用這一性質可以用來分離氨、窟氣體。R解1:設原純氨氣的分子數(shù)密度為n,則氨、就混合前后其各自分子數(shù)密分別為n/2,n1和n/2,n2。對純氨氣利用氣體分子碰壁數(shù)公式，可以有nto(nvHe/4)AdtVdn°(vHe/4V)Adt；(1/n)dnAvHeto/4VIn2(1)其中to1小時。實際上，利用(1)式就可以確定A/V(應該注意到膜中所有小孔的總面積A是不能直接測定出的)。下面分別求出氨氣、窗氣的數(shù)密度隨時間的變化關系。對于混合理想氣體中的氮氣有n一exp2AVHet4V(2)tVHeAdtn11dnAVHet1nd,nIn04Vn/2n4Vn/22nl利

33、用(1)式，并且令t0=1小時，則可以知道,經(jīng)一小時后氨氣分子數(shù)密度(n/2)expln2n/4(3)同理，對于窟氣有:n2n2exPAVNet4V(4)經(jīng)一小時后就氣的分子數(shù)密度為由此可求得0HenNen2nn2n2exPVNen/4(n/2)2ln2VNe/VHeNe_n2京2(142VNe(5)(1MHe/MNe)先用純氨氣測出氨氣在容器中壓強降為一半的時間，目的是通過比較可以消去A/V這一無法確定的系數(shù)。2.5.10試證分子束中的氣體分子的平均速率及方均根速率分別為4kTR分析1：由于分子束是借助容器中氣體透過小孔瀉流出來的分子去穿過準直狹縫而制得。瀉流分子與容器內氣體分子的不同在于，

34、前者是動態(tài)的，它的平均速度(注意是平均速度而不是平均速率)不為零，因而有宏觀遷移；而后者是靜態(tài)的，其平均速度為零。反映在速率分布上，后者是麥克斯韋速率分布，其概率分布函數(shù)正比于V2exp(mV2/2kT)；而前者是動態(tài)的，速率大的分子逸出小孔的概率大些，所以概率分布函數(shù)正比于V3exp(mV2/2kT)請注意：這里是V3,而不是V2。所以分子束的速率分布函數(shù)可以寫為F(V)dVAv3exp(mV2/2kT)dV其中A為歸一化系數(shù).通過歸一化可以求得Am2/2(kT)2這說明分子束的速率分布為F(v)dvm2/2(kT)2v3exp(mv2/2kT)dvR解1:利用分子束的速率分布可求得分子束的

35、平均速率及速率的平方平均值分別為：.22.3,2,v束0m/2(kT)vvexp(mv/2kT)dvv19小丁/8m22_2232_v束om2/2(kT)2v2v3exp(mv2/2kT)dv4kT/m方均根速率為：v2v14kT/m2.5.11從一容器壁的狹縫射出一分子束，(1)試求該分子束中分子的最概然速率vp和最概然能量po(2)求得的vp和p與容器內的2.Vp和p是否相同，為什么？(3)p是否等于(mvp/2),為什么？R解1：(1)由上題的分子束的速率分布函數(shù)_2_232_F(v)dvm/2(kT)vexp(mv/2kT)dv可以得到分子束中分子的最概然速率vp:pd_2_2_32_

36、m2/2(kT)2v3exp(mv2/2kT)vv0dvpvp.3kT/mp把分子束的速率分布函數(shù)化為分子束按照能量分布的函數(shù)：_2_24F()d1/2(kT)exo(/kT)d(mv/4)_2_21/2(kT)exp(/kT)d2/2(kT)exp()dkTdF()d2/2(kT)2exp(/kT)0得到最概然能量pkT(2)我們看到，求得的分子束的vp1和p1與容器內氣體分子的vp2和p2不同。容器內氣體是處于靜態(tài)的，而分子束中的氣體分子是處于動態(tài)的，所以容器內氣體速率分布不同于分子束中分子的速率分布。(3)我們也看到vp13kT/m.2kT/mvp2,pikTkT/2p2,也是因為分子束

37、中的氣體分子是處于動態(tài)的，而容器內氣體是處于靜態(tài)的。2.5.12暴露在分子質量為m、分子數(shù)密度為n、溫度為T的理想氣體中干凈的固體表面以某一速率吸收氣體分子(其單位為分子數(shù)/秒。米2)。若固體對撞擊到表面上的，其速度法向分量小于vr的分子的吸收概率為零，而對大于Vr的分子的吸收概率為1,試求吸收速率的表達式。0Po:若以固體表面的法向定為X方向，按照題義，所有速度分量Vy,Vz為任意，而法向分量Vx大于Vr的分子撞擊到表面上都能夠被吸收，但是其速度法向分量小于Vr的分子的吸收概率為零。我們從氣體分子碰壁數(shù)公式的推導過程中就可以知道其總的吸收概率為：VrF(Vx)dVxvnf(Vx)VxdVxr

38、1/2Vrm2ukTexp2mvxvxdvx2kT1m22TtkT2kTmexp2mv而VrkTexp(mv.2kT，2.6.1試證若認為地球的大氣是等溫的，則把所有大氣分子壓縮為一層環(huán)繞地球表面的、壓強為一個大氣壓的均勻氣體球殼，這層球殼厚度就是大氣標高。R分析1:在離地高為zzdz的范圍內的球殼體積為，一、2.dV(z)4XREz)dz(1)說明：這是因為地球大氣標高只有8km,它比地球半徑Re要小得多，所以那一層球殼相對于地球來講相當于一層“紙”。而“紙”的體積就等于球面面積再乘以“紙”的高度。當然，我們也可以如下更清楚地求出：4_3_3_dV(z)”zdzRe)(zRe)4_2_23(

39、zRe)dz3(zRe)dzdz3忽略dz的二次方和三次方項，同樣有_2dV(z)4KzRe)dzR解1:若設在海平面處的氣體分子數(shù)密度為n(0),在球殼體積dV(z)范圍內的分子數(shù)_2dN(z)dV(z)n(z)4XzRe)dzn(0)exp(Mmgz/RT)Nn(0)°4/22zRERE2)exp(Mmgz/RT)dz令RT/MmgH稱為大氣標高，設在海平面處的氣體分子數(shù)密度為n(0),所有大氣的總分子數(shù)為N,則：N4如(0)°z2exp(z/H)dz2RE°ze>p(z/H)dz2,Re0exp()dzHn(0)4冗旦Re2mg12kT2kT2,_2(

40、)2mgRemgRE(2)現(xiàn)在來估計kT/mgR的數(shù)量級。設地球大氣為平均溫度T=273K的等溫大氣，而且Re6.4106km,m291.671027kgkTmgR231.3810273291.6710279.86.41060.00124(3)利用(3)式可以看到，(2)式的方括號中的第二項比第一項小3個數(shù)量級，第三項又比第二項小3個數(shù)量級。我們完全可以忽略其中的第二項和第三項。顯然，用近似方法進行計算要簡便得多。這時2kT2Nn(0)47tRf(一)n(0)4uRfHmg其中H為大氣標高。由此看來，把地球的所有大氣分子壓縮為一層環(huán)繞地球表面的、壓強為一個大氣壓的均勻氣體球殼，這層球殼厚度就是

41、大氣標高。92.6.2試估計質量為10kg的砂粒能像地球大氣一樣分布的等溫大氣溫度的數(shù)量級。R分析1：(1)我們知道，布朗粒子和分子之間沒有本質區(qū)別，僅不過布朗粒子的質量比一般的分子大幾個數(shù)量級。從能量均分定理可以知道，2222.mvx/2mvv/2mvx/2kT/2mv/6人y人若布朗粒子和分子分別處于相同溫度的系統(tǒng)中，則布朗粒子的均方速率要比分子的均方速率小好幾個數(shù)量級。同樣，砂粒和布朗粒子之間也沒有本質區(qū)別，也僅不過砂粒的質量比一般的布朗粒子大十幾個數(shù)量級，相應地其均方速率要小十幾個數(shù)量級。當砂粒的均方速率小到如此情況，它在1秒內的均方位移也要比砂粒本身的大小還要小數(shù)個數(shù)量級時，其宏觀位

42、移根本測量不出，則砂粒的布朗運動(或者說無規(guī)運動)可以不必考慮。可以估計到，當溫度上升的足夠高時，砂粒也會像分子那樣作熱運動的。(2)布朗粒子或者砂粒在地球重力作用下能夠像地球大氣一樣分布的條件是它們的大氣標高kT/mg應該都相同。R答:1018K。2.6.3若認為大氣是溫度為273K的等溫大氣，試估計地球大氣的總分子數(shù)及總質量。0Po:解法一：由2.6.1題的解中已經(jīng)得到所有大氣的總分子數(shù)N的表達式kT22kTkT21Nn(0)4lRe12()mgmgRemgRe由于上式的方括號中第二項比第一項小3個數(shù)量級，第三項又比第二項小3個數(shù)量級，完全可以忽略其中的第二項和第三項。利用2。6。1題得到

43、的地球大氣標高公式3HkT/mg0.00124Re7.9103m以及標準狀況下的理想氣體分子數(shù)密度n(0)2.71025m-3,就可以近似求得地球大氣的總分子數(shù)及總質量分別為_2_44Nn(0)4uRE(kT/mg)1.110MNmNMm/NA5.31018kg解法二：由于大氣分子數(shù)密度是按指數(shù)曲線衰減的，地球大氣標高H=Mmg/RT=8km,說明從海平面到高度h=H處大氣分子數(shù)密度已減少為n(0)/e。我們知道，若把整個大氣分子壓縮為一層覆蓋在地球表面的、其密度與海平面處大氣密度相等的均勻大氣層，則其厚度也是H。故大氣總分子數(shù)244N4uReHn(0)1.110其中n(0)為標準狀況下理想氣

44、體分子數(shù)密度。解法三：我們知道，地球表面的大氣壓強是因為地球對地面以上所有的大氣分子的重力作用而產(chǎn)生的。海平面上的大氣壓強是標準大氣壓強p0,地球的表面積是4TtR2,所以地球大氣分子的總質量為Mp0/4uRfg5.31018kg2.6.4試估計大氣中水汽的總質量的數(shù)量級?？烧J為大氣中水汽全部集中于緊靠地面的對流層中，對流層平均厚度為10km,對流層中水汽平均分壓為665PaR解力：設地球大氣平均溫度為273K,利用p=nkT公式可以得到大氣中水汽分子總質量的數(shù)量級為M4uRfh(p/kT)m2.71016kg2.6.5已知超速離心機以角速度轉動，膠體密度為，溶劑密度0,測得與離心機的軸相距為

45、2及1處質點濃度之比為。試問膠體分子的摩爾質量Mm是多少？R分析：在膠體溶液中，質量為m、體積為V的膠體分子受到重力和浮力的共同作用.*fmg0Vgmgm的膠體分.*其中mm(10/)稱為有效質量。也就是說，在重力場中的膠體溶液中，質量為一»一.一一*子相當于在真仝王景中的質重為m的氣體分子。按照定軸旋轉系統(tǒng)的粒子空間分布公式可以知道，在作定軸旋轉溶劑中懸浮的膠體微粒的分布有如下關系：m(1n(r)n(0)exp22o/)r2kT及r=0處粒子的數(shù)密度。設其中n(r)和n(0)分別為r=rn(2)/n(ri),則m(10/)巡2kT膠體分子的摩爾質量Mm2RTln2722(10/)(

46、r2ri)2.6.6拉薩海拔約為3600m,設大氣溫度300K處處相等。（1）當海平面上氣壓為1.01105Pa時，拉薩的氣壓是多少？（2）某人在海平面上每分鐘呼吸17次，他在拉薩應呼吸多少次才能吸人相同質量的空氣。R答：（1）0.67105Pa；25.6次。2.6.7若把太陽大氣層看作溫度為T日5500K的等溫大氣，其重力加速度g日2.7106.9已知溫度為T的理想氣體在重力場中處于平衡狀態(tài)時的分布ms2可視為常量，太陽粒子平均摩爾質量3.Mm日1.510kg,試問太陽大氣標圖是多少？R答:1.13105m。2.6.8在等溫大氣模式中，設氣溫為5°C,同時測得海平面的大氣壓和山頂?shù)?/p>

47、氣壓分別為1.00105Pa和0.78105Pa,試問山頂海拔為多少？R答:2.010函數(shù)為m。3/2Am2ukTexp2mvmgzdddvxdvydvzdxdydz其中z為由地面算起的高度。(1)試求出系數(shù)Ao(2)試寫出一個分子其x、y坐標可任意取，其z軸坐標處于zzdz,而其速度矢量處于vxvxdvx，vy-vydvy,vzvzdvz間的概率。(3)寫出一個分子其x、v、z坐標及vy,vz均可任意取值，但vx處于vxvxdvx間的概率。(4)一個分子的vx，vy,vz及x、y坐標均可任意取，其高度處于zzdz的概率是多少？m2ukT3/2exp2mv2kTmgzdvxdvydvzdxdy

48、dzR分析1:顯然m2#T3/2exp2mvmgzdvxdvydvzAexpdxdydz上式中等式后面的前一因子是麥克斯韋速度分布，它是歸一化的。而后一因子是沿z方向的重力場分布。它也應該滿足是歸一化條件Aexpmgzdxdydz1kT在這一積分中，考慮到把整個大氣分子壓縮為其密度與海平面的密度相同的均勻大氣層時，其大氣層厚度為大氣標高Ho對于地球大氣它大約是8km。顯然H大大小于地球半徑Ro=6400km。我們看到，這一均勻大氣層好像是覆蓋在球面上的一張“紙”。把這張“紙”展開可以近似看為面積為地球表面積4tRe的一個平面。所以在上述積分中，z是從0積分到無窮大，而x,y應該積分遍及整個地球表面。R解：(1)考慮如下積分mgz,kT一expdzH(1)0kTmg所以Aexomzdxdydz4%曜H1RT124uReHmg-7_24uREkT(2)求出A以后，題目中所給分布公式可以寫為Mmg4uRERT322mmvexp2ukT2kTmgzdvxdvydvzdxdydz(3)kT要求出一個分子其x、y坐標可任意取，其z軸坐標處于zzdz,而其速度矢量處于vxvxdvx,vyvydvy.VzVzdWz間的概率，mgmkT2ukT322mvexo2k