第4章：連續(xù)體振動(dòng)

1、STDU DYNAMICS OF STRUCTURES Prof. Lanhe Wu Shijiazhuang Tiedao Univ.Dynamics of StructuresSTDU DYNAMICS OF STRUCTURESv第四章 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)具有連續(xù)分布的質(zhì)量和彈簧系統(tǒng)稱作連續(xù)系統(tǒng)或分布質(zhì)量系統(tǒng)。連續(xù)系統(tǒng)具有無限多個(gè)自由度，其動(dòng)力學(xué)方程為偏微分方程，只對(duì)一些簡(jiǎn)單情形才能求得精確解。對(duì)于復(fù)雜的連續(xù)系統(tǒng)則必須利用各種近似方法簡(jiǎn)化為離散系統(tǒng)求解。本章先討論以桿的縱向振動(dòng)為代表的一類振動(dòng)以及梁的橫向振動(dòng)，以掌握連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)的一般規(guī)律，然后介紹工程中常用的幾種近似方法，包括集中質(zhì)量法、假

2、設(shè)模態(tài)法、模態(tài)綜合法和有限元法。本章材料均為理想線彈性體，即材料為均勻的和各向同性的，且在彈性范圍內(nèi)服從胡克定律STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 4.1 一維波動(dòng)方程基本假設(shè):考慮圖示均質(zhì)直桿1.所有連續(xù)體均為線性彈性體2.材料均勻連續(xù)且各向同性3.體系的振動(dòng)變形都是微小變形一.動(dòng)力學(xué)方程1.桿的縱向振動(dòng)設(shè)E彈性模量為S橫截面積為 材料密度為l桿件長(zhǎng)度為假定振動(dòng)過程中各截面保持平面，并忽略因縱向振動(dòng)引起的橫向變形 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES考慮微段的平衡 一維波動(dòng)方程uFESESx d(d )FS xuFxFx 而 將上式代入動(dòng)力平衡方程整理得

3、 2ua u /aE 波速2.弦的橫向振動(dòng)討論兩端固定，以張力F拉緊的細(xì)弦的橫向振動(dòng)STDU DYNAMICS OF STRUCTURES設(shè)弦單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為l dly x ( , )p x t單位長(zhǎng)度弦上橫向的干擾力 以變形前弦的方向?yàn)閤軸振動(dòng)過程中弦的張力不變( , )y x t設(shè)橫向撓度對(duì)圖示微元體，列出22dddlyxFxp xtx /yx 將代入整理得2/lya yp 自由振動(dòng)時(shí)0p 上式化為2ya y 一維波動(dòng)方程/laF 波速STDU DYNAMICS OF STRUCTURES3.軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)設(shè)截面的二次極矩為PI材料的密度為 G剪切模量建立圖示的坐標(biāo)系( , )x t 扭轉(zhuǎn)角

4、該截面處的扭矩為 (/)PTGIx 對(duì)右圖示的微元體，列出 2222dddPPIxGIxp xtx 自由振動(dòng)時(shí) 2222ddPPIxGIxtx 化為一維波動(dòng)方程一維波動(dòng)方程2a /aG 波速STDU DYNAMICS OF STRUCTURES4.桿的剪切振動(dòng)材料的密度為 G剪切模量建立圖示的坐標(biāo)系(/)(/)SFGSyx 對(duì)右圖示的微元體，列出 桿的剪切振動(dòng)xxdxSFdSSFFxx y當(dāng)桿的長(zhǎng)度接近截面尺寸時(shí)，桿的橫向振動(dòng)主要引起剪切變形 假設(shè)振動(dòng)過程中桿的橫截面始終保持平行，稱作桿的剪切振動(dòng) 2222ddyGSyS xxtx 截面形狀系數(shù) 2ya y 一維波動(dòng)方程/()aG 波速整理得

5、STDU DYNAMICS OF STRUCTURES二.固有頻率和模態(tài)函數(shù) 以上四種物理背景不同的振動(dòng)都?xì)w結(jié)為同一數(shù)學(xué)模型，即一維波動(dòng)方程。以桿的縱向振動(dòng)為代表，討論此數(shù)學(xué)模型，所得結(jié)果也完全適用于其它振動(dòng)問題。 現(xiàn)來求解一維波動(dòng)方程 2ua u 利用分離變量法，令 ( , )( )( )u x txq t 這個(gè)假設(shè)的實(shí)質(zhì)是:假設(shè)桿上各點(diǎn)作同步運(yùn)動(dòng) 代入波動(dòng)方程得 2( )( )( )( )q txaq tx ( )x 桿上距原點(diǎn)x處的截面縱向振動(dòng)的振幅( )q t各截面振動(dòng)隨時(shí)間的變化規(guī)律等式兩邊是互相無關(guān)的函數(shù)，因些只能等于常數(shù) STDU DYNAMICS OF STRUCTURES記

6、22( )( )( )( )q txaq tx 上式可化為如下兩個(gè)常微分方程 2( )( )0q tq t 2( )( )0 xxa 思考:為什么這個(gè)常數(shù)為非正數(shù)? 通解: ( )sin()q tat12( )sincosxxxCCaa 振動(dòng)形態(tài)(模態(tài))常數(shù) 1C2C 由桿的邊界條件確定 與有限自由度系統(tǒng)不同，連續(xù)系統(tǒng)的模態(tài)為坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，即模態(tài)函數(shù)。由于是表示各坐標(biāo)振幅的相對(duì)比值，模態(tài)函數(shù)內(nèi)可以包含一個(gè)任意常數(shù) STDU DYNAMICS OF STRUCTURES由頻率方程確定的固有頻率有無窮多個(gè) (1,2,)ii i ( )ix 一一對(duì)應(yīng)第i階主振動(dòng) ( )( , )( )sin()(

7、1,2,)iiiiiux taxti 系統(tǒng)的自由振動(dòng)是無窮多個(gè)主振動(dòng)的疊加 1( , )( )sin()iiiiiu x taxt 其中積分常數(shù)ia和i (1,2,)i 由系統(tǒng)的初始條件確定 以下討論幾種常見邊界條件下的固有頻率和模態(tài)函數(shù) 1.兩端固定 邊界條件為 (0, )(0) ( )0utq t ( , )( ) ( )0u l tl q t ( )0q t 因 (0)0 ( )0l STDU DYNAMICS OF STRUCTURES(0)0 ( )0l 將 代入 12( )sincosxxxCCaa 可得 20C 1sin0lCa 和 因?yàn)?10C 故須有 sin0la 頻率方程

8、無窮多個(gè)固有頻率 ii al (0,1,2,)i 模態(tài)函數(shù) ( )siniii xxCl (0,1,2,)i 由于模態(tài)表示的是各振幅比值,故可令這個(gè)常數(shù)等于1( )sinii xxl (0,1,2,)i 2.兩端自由 邊界條件為 (0, )(0) ( )0ESutESq t ( , )( ) ( )0ESu l tESl q t 因 (0)0 ( )0l ( )0ESq t STDU DYNAMICS OF STRUCTURES(0)0 ( )0l 將 代入 12( )sincosxxxCCaa 可得 10C 2sin0lCa 和 因?yàn)?20C 故須有 sin0la 頻率方程 無窮多個(gè)固有頻率

9、 ii al (0,1,2,)i 模態(tài)函數(shù) ( )cosiii xxCl (0,1,2,)i 亦可令這個(gè)常數(shù)為1,有( )cosii xxl (0,1,2,)i 3.一端固定另一端自由 邊界條件為 (0, )(0) ( )0utq t ( , )( ) ( )0ESu l tESl q t 因 (0)0 ( )0l ( )0ESq t STDU DYNAMICS OF STRUCTURES(0)0 ( )0l 將 代入 12( )sincosxxxCCaa 可得 20C 1cos0lCa 和 因?yàn)?10C 故須有 cos0la 頻率方程 無窮多個(gè)固有頻率 2122iial (1,2,)i 模態(tài)

10、函數(shù) 21( )sin2iiixxCl (1,2,)i 亦可令這個(gè)常數(shù)為1,有(0,1,2,)i 21( )sin2iixxl STDU DYNAMICS OF STRUCTURES例例:解解:設(shè)桿的一端固定，另一端自由且有附加質(zhì)量 0m0mESlxO如圖所示,試求桿縱向振動(dòng)的固有頻率和模態(tài)邊界條件寫作 (0, )0ut 0 x lx lESum u (0)0 20( )( )ESlml 將邊界條件代入 12( )sincosxxxCCaa 得到 20C 及頻率方程0cossinESllmaaa 化作1tanllaa 0/mm mSl 其中梁的總質(zhì)量利用數(shù)值方法或作圖法可解出此方程，得到頻率

11、i STDU DYNAMICS OF STRUCTURES相應(yīng)的模態(tài)函數(shù)為( )siniixxa (1,2,)i 因?yàn)閿?shù)學(xué)模型相同，以上在各種邊界條件下導(dǎo)出的固有頻率和模態(tài)函數(shù)也完全適用于弦的橫向振動(dòng)、桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)和梁的剪切振動(dòng)。關(guān)于這類系統(tǒng)的受迫振動(dòng)本節(jié)不作討論，因?yàn)榕c下節(jié)梁的彎曲受迫振動(dòng)的分析和計(jì)算方法基本相同 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 4.2 Euler-Bernoulli梁的彎曲自由振動(dòng)一.動(dòng)力學(xué)方程考慮細(xì)直梁的彎曲振動(dòng)忽略梁的剪切變形和截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)彎曲的影響 Euler-Bernoulli梁 設(shè)梁的長(zhǎng)度為l密度為 截面積為( )S xE彈性模量為(

12、 )I x截面二次矩( , )f x t單位長(zhǎng)度梁上的橫向外力 ( , )m x t單位長(zhǎng)度梁上的外力矩 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES取一微段,其受力圖如右圖 利用達(dá)朗伯原理列出微元體沿y方向的動(dòng)力學(xué)平衡方程 22d(d )( , )dSSSFyS xFFxf x txtx 即22( , )SFyf x tSxt 再列出微元體力矩方向的平衡方程22dd(d )d( , )dd( , )d022SMxyxMxMFxf x txS xm x txxt 略去高階微量得到( , )SMFm x tx 將該式代入前面的式子得到( , )Mmf x tSy STDU DYNAMI

13、CS OF STRUCTURES由材料力學(xué)知( , )( )( , )M x tEI x yx t ( , )Mmf x tSy 代入整理得 ( , )EIySyf x tm 動(dòng)力學(xué)方程若為等截面梁,則可化為( , )EIySyf x tm 若梁上無分布力矩,則化為( , )EIySyf x t 此方程含有對(duì)坐標(biāo)的四階導(dǎo)數(shù)和對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù),故求解時(shí)必須考慮四個(gè)邊界條件和兩個(gè)初始條件二.固有頻率和模態(tài)函數(shù)考慮梁的自由振動(dòng),此時(shí)梁上無荷載,動(dòng)力學(xué)方程為 0EIySy STDU DYNAMICS OF STRUCTURES 0EIySy 仍采用分離變量法，令 ( , )( )( )y x txq

14、t 代入動(dòng)力學(xué)方程,整理得到 ( )( )( ) ( )EI xxqqS xx 該式兩邊分別為時(shí)間和坐標(biāo)的孤立函數(shù),兩者互相無關(guān),故只能等于常數(shù),記為2 導(dǎo)出兩個(gè)常微分方程2( )( )0q tq t 2( )( )( ) ( )0EI xxS xx 第一個(gè)方程的解為( )sin()q tatSTDU DYNAMICS OF STRUCTURES第二個(gè)方程為變系數(shù)微分方程,一般情況下得不到解析解考慮特殊情況,高梁為等截面梁,則第二個(gè)方程化為2( )( )0EIxSx 42SEI 令4( )( )0 xx 該方程的解可以確定梁的模態(tài)函數(shù)和固有頻率設(shè)解的一般形式為( )xxe 代入控制方程，導(dǎo)出本

15、征方程440 本征根為, i 對(duì)應(yīng)于4個(gè)線性獨(dú)立的特解 i-i,xxxxeeee coshsinhxexx icosisinxexx 因?yàn)?STDU DYNAMICS OF STRUCTUREScosh,sinh,cos,sinxxxx亦可將作為基本解于是原方程的通解為1234( )cossincoshsinhxCxCxCxCx 積分常數(shù)(1,2,3,4)jCj 及參數(shù) 應(yīng)滿足的頻率方程由梁的邊界條件確定可解出無窮多個(gè)固有頻率及模態(tài)函數(shù)i ( )ix (1,2,)i 構(gòu)成系統(tǒng)的主振動(dòng)( )( , )( ) sin()iiiiiyx taxt (1,2,)i 系統(tǒng)的自由振動(dòng)是無窮多個(gè)主振動(dòng)的線性

16、疊加1( , )( ) sin()iiiiiy x taxt STDU DYNAMICS OF STRUCTURES其中,積分常數(shù)iia 和和由初始條件確定常見的約束狀況與邊界條件有以下幾種：l固定端00()0,()0 xx 00()0,()0y xy x 即0（0）xl 或或l簡(jiǎn)支端00()0,()0 xx 00()0,()0y xM x 即l自由端00()0,()0 xx 00()0,()0SM xFx 即STDU DYNAMICS OF STRUCTURES以下若無特殊說明,均假設(shè)梁為等截面梁例例:解解:求兩端簡(jiǎn)支梁的固有頻率和模態(tài)(0)0,(0)0( )0,( )0ll 1234( )

17、cossincoshsinhxCxCxCxCx 已知梁的邊界條件為代入得130CC130CC1234cossincoshsinh0ClClClCl 130CC 1234cossincoshsinh0ClClClCl 由前二式可解得代入后二式有2424sinsinh0sinsinh0ClClClCl STDU DYNAMICS OF STRUCTURESsinh0l 因?yàn)?424sinsinh0sinsinh0ClClClCl 故由式可解得40C 于是得頻率方程及2sin0Cl 而20C sin0l 解得iil 22iEIiEISlS 得固有頻率(1,2,)i (1,2,)i 1234( )co

18、ssincoshsinhxCxCxCxCx 將130CC40C 及i 代入得相應(yīng)的模態(tài)函數(shù)2( )siniixCxl 由于模態(tài)表示各點(diǎn)振幅之間的比值,故可取21C (1,2,)i STDU DYNAMICS OF STRUCTURES得模態(tài)函數(shù)( )siniixxl (1,2,)i 其前幾階模態(tài)的形狀如下第一階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài)第四階模態(tài)沒有節(jié)點(diǎn)一個(gè)節(jié)點(diǎn)二個(gè)節(jié)點(diǎn)三個(gè)節(jié)點(diǎn)STDU DYNAMICS OF STRUCTURES例例:解解:求懸臂梁的固有頻率和模態(tài)(0)0,(0)0( )0,( )0ll 1234( )cossincoshsinhxCxCxCxCx 已知梁的邊界條件為代入得13

19、24,CC CC 1212(coscosh)(sinsinh)0(sinsinh)(coscosh)0CllCllCllCll 以及因?yàn)?2,C C不能全為零,故有coscoshsinsinh0sinsinhcoscoshllllllll 展開化簡(jiǎn)后，得到頻率方程 coscosh10ll STDU DYNAMICS OF STRUCTURES該方程為超越方程,不能求得精確解,可用作圖法或者數(shù)值法求得其近似解 11.875l 24.694l 37.855l 212iil (3,4,)i 對(duì)應(yīng)的各階頻率為 24iiEIlSl (1,2,)i 相應(yīng)的各階模態(tài)函數(shù)為( )coscosh(sinsinh

20、)iiiiiixxxxx(1,2,)i coscoshsinsinhiiiiillll 其中其前三階模態(tài)圖如下STDU DYNAMICS OF STRUCTURES第一階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài)例例:解解:求兩端自由梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)(0)0,(0)0( )0,( )0ll 已知梁的邊界條件為利用前面相同的步驟可以導(dǎo)出頻率方程coscosh1ll 00l 27.853l 212iil (3,4,)i 14.730l 解得STDU DYNAMICS OF STRUCTURES相應(yīng)的各階模態(tài)函數(shù)為( )coscosh(sinsinh)iiiiiixxxxx(0,1,2,)i coscoshsi

21、nsinhiiiiillll 其中例例:解解:圖示懸臂梁的自由端有彈性支承,試列出其頻率方程固定端的邊界條件化為21( )( ),( )( )EIlklEIlkl (0)0,(0)0 梁右端的邊界條件為:梁端的剪力和彎矩分別等于直線彈簧的反力和卷簧的反力矩,即:21( , )( , ),( , )( , )EIyl tk y l tEIy l tk y l t 化為STDU DYNAMICS OF STRUCTURES1324-,-CC CC 由固定端條件解得由彈性支承端條件并考慮上式得1121(coscosh)(sinsinh)(sinsinh)(coscosh)0C EIllkllC EI

22、llkll 312322(sinsinh)(coscosh)(coscosh)(sinsinh)0C EIllkllC EIllkll 因不全為零1C2C和導(dǎo)出頻率方程1coscosh1(cossinhsincosh)kllllllEI 2(0)k 23coscosh1(cossinhsincosh)kllllllEI 1(0)k 或若全為零1k2k和則退化為懸臂梁的頻率方程STDU DYNAMICS OF STRUCTURES例例:解解: 固定端的邊界條件為懸臂梁的自由端有附加質(zhì)量 ,試列出其頻率方程0m(0)0,(0)0 自由端應(yīng)有0( , )( , ),( , )0IEIyl tFm y

23、 l tEIyl t 化為20( )( ),( )0EIlmlEIl 利用與上例相同的方法可提頻率方程coscosh1(sincoshcossinh)lllllll 其中0/mm mSl 說明說明: 上述分析沒有考慮梁的剪切變形和梁截面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性,因而只適用于細(xì)長(zhǎng)梁/5l h 若不滿足此條件,宜用Timoshenko梁模型,剪切變形和梁截面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性都會(huì)使梁的固有頻率減小STDU DYNAMICS OF STRUCTURES三. 模態(tài)函數(shù)的正交性討論細(xì)長(zhǎng)梁，不限于等截面情形,設(shè) i ( )ix j ( )jx 2( ) ( )( ) ( )(1)iiiEI xxS xx 它們必滿足 2( )(

24、 )( )( )(2)jjjEI xxS xx 對(duì)第(1)式,兩邊乘以 ( )jx 并沿桿長(zhǎng)積分 200 dd(3)lljiiijEIxAx 左邊利用分部積分有 0000 ddlllljijijijiEIxEIEIEIx STDU DYNAMICS OF STRUCTURES0000 ddlllljijijijiEIxEIEIEIx 對(duì)于梁的簡(jiǎn)單邊界條件,其撓度和剪力中必有一個(gè)為零,轉(zhuǎn)角和彎矩中也必有一個(gè)為零,因而上式中的前兩項(xiàng)必定等于零,故有00 ddlljijiEIxEIx 代入(3)式得200dd(4)lljiiijEIxSx 同理, 對(duì)第(2)式,兩邊乘以 ( )ix 并沿桿長(zhǎng)積分 得

25、200dd(5)lljijijEIxSx (4)式減去(5)式得220()d0lijijSx 如果ij 22ij 則0d0lijSx 再代回(4)式得0d0ljiEIx STDU DYNAMICS OF STRUCTURES0d0lijSx 0d0lijEIx 主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性主振型關(guān)于剛度的正交性四.主質(zhì)量和主剛度ij ij 以上主振型的正交性條件要求ij 當(dāng)ij 時(shí)定義2P0( ) ( ) dliiMS xxx 2P0( ) ( ) dliiKEI xxx 第i階主質(zhì)量第i階主剛度200ddlljiiijEIxSx 由式知PPiiiKM STDU DYNAMICS OF STRUCT

26、URES與多自由度系統(tǒng)類似，也可以實(shí)現(xiàn)模態(tài)函數(shù)的簡(jiǎn)正化 記 1/2( )( )iiPxx M 若采用簡(jiǎn)正模態(tài)函數(shù),則必有 20( ) ( ) d1liS xxx 220( ) ( ) dliiEI xxx 簡(jiǎn)正模態(tài)函數(shù)模態(tài)的正交條件可寫為0dlijijSx 20dlijijiEIx (1,2,)i ij 為克羅內(nèi)克符號(hào)STDU DYNAMICS OF STRUCTURES當(dāng)梁的端部為簡(jiǎn)支、固定或自由以外的其它復(fù)雜情形時(shí)，則以上對(duì)正交性條件的推導(dǎo)和結(jié)論應(yīng)作相應(yīng)的改變。對(duì)于一維波動(dòng)方程描述的桿的縱向振動(dòng)或軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)等情形，也可以導(dǎo)出類似的正交性條件。注: 4.3 Euler-Bernoulli梁

27、的受迫振動(dòng)根據(jù)模態(tài)函數(shù)的正交性，可將多自由度系統(tǒng)的模態(tài)疊加法思想應(yīng)用于連續(xù)系統(tǒng)。即將彈性體的振動(dòng)表示為各階模態(tài)的線性組合，用于計(jì)算系統(tǒng)在激勵(lì)作用下的響應(yīng)問題 梁的動(dòng)力學(xué)方程為 ( , )EIySyf x tm 設(shè) 1( , )( )( )jjjy x tx q t 代入動(dòng)力方程得 11( )( )( )( )( )( )( , )( , )jjjjjjS xx q tEI xxq tf x tm x t STDU DYNAMICS OF STRUCTURES11( , )( , )jjjjjjSqEIqf x tm x t 簡(jiǎn)寫為 方程兩邊同時(shí)乘以 ,i 并沿桿長(zhǎng)積分00011dd ( , )

28、( , ) dllljjijjiijjqSxqEIxf x tm x tx 利用模態(tài)的正交性,得到無窮多個(gè)完全解耦的方程 2iiiiqqQ 其中0( ) ( , )( , ) ( )dliiQ tf x tm x txx (1,2,)i 第i個(gè)正則坐標(biāo)方程第i個(gè)廣義力設(shè)梁的初始條件為1( ,0)( )y xfx 2( ,0)( )y xfx 將此初始位移亦看作是各階模態(tài)的疊加STDU DYNAMICS OF STRUCTURES兩式分別乘以iS 并沿桿長(zhǎng)積分得11( ,0)( )( )(0)jjjy xfxx q 21( ,0)( )( )(0)jjjy xfxx q 100(0)( ) (

29、,0) ( )d( )( ) ( )dlliiiqS x y xxxS x fxxx200(0)( ) ( ,0) ( )d( )( ) ( )dlliiiqS x y xxxS x fxxx (1,2,)i 此二式即為廣義坐標(biāo)的初始條件系統(tǒng)廣義坐標(biāo)的響應(yīng)為初始條件確定的自由振動(dòng)和激勵(lì)力產(chǎn)生的響應(yīng)的疊加。由杜哈梅積分公式及單自由度結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)的解得到STDU DYNAMICS OF STRUCTURES0(0)1( )( )sin()d(0)cossintiiiiiiiiiqq tQtqtt (1,2,)i 原來系統(tǒng)物理坐標(biāo)的的響應(yīng)為1( , )( ) ( )iiiy x tx q t 如果作

30、用的梁上的不是分布力和分布力矩，而是集中力和集中力矩，如圖所示作用力可表示為01( , )( )()f x tF tx 02( , )( )()m x tMtx 廣義作用力為01020( )( ) ()( )() ( )dliiQ tF txMtxxx STDU DYNAMICS OF STRUCTURES01020( )( ) ()( )() ( )dliiQ tF txMtxxx 010200( ) () ( )d( )() ( )dlliiF txxxMtxxx 01020( ) ()( )( )d ()liiF tMtxx 01020200( ) ()( ) ( ) ()( )( )

31、()dlliiiF tM txxM txxx 01020( ) ()( )( ) ()dliiF tMtxxx 0102( ) ()( )()iiF tMt (1,2,)i STDU DYNAMICS OF STRUCTURES例例:解解:設(shè)等截面簡(jiǎn)支梁受到初始位移 3434( ,0)2xxxy xAlll 的激勵(lì)，求梁的響應(yīng)我們已知該梁的模態(tài)函數(shù)為( )siniixxl (1,2,)i 計(jì)算其主質(zhì)量22P00( ) ( ) dsind2lliii xmMS xxxSxl 其簡(jiǎn)正模態(tài)為2( )sinii xxml 其中mSl 為梁的質(zhì)量STDU DYNAMICS OF STRUCTURES2i

32、iEIlS 梁的固有頻率為由于梁沒有初速度，也沒有干擾力，而只有初位移廣義坐標(biāo)的初位移為0(0)( ) ( ,0) ( )dliiqS x y xxx 3434022sindlxxxi xSAxlllml 5482(1,3,5,)()0(2,4,6,)Amiii 廣義坐標(biāo)的響應(yīng)為548( )(0)cos2cos()iiiiAq tqtmti (1,3,5,)i STDU DYNAMICS OF STRUCTURES系統(tǒng)物理坐標(biāo)的響應(yīng)為1( , )( ) ( )iiiy x tx q t 51,3,5,248sin2cos()iii xAmtmli 51,3,5,96sincos()iiAi x

33、til 例例:解解:設(shè)等截面簡(jiǎn)支梁上通過一輛以速度 勻速駛過的車，若忽略車輛的慣性，可以看作集中力 勻速沿橋梁移動(dòng) vF設(shè)梁上橋瞬時(shí)0t 梁的初位移和初速度皆為零Fvxxy、E IlO求梁的響應(yīng)集中力荷載用脈沖函數(shù)表示為 ()(0/ )( , )0(/ )Fxvttl vf x ttl v STDU DYNAMICS OF STRUCTURES簡(jiǎn)支梁的固有頻率和簡(jiǎn)正模態(tài)函數(shù)為 2( )sinii xxml 2iiEIlS 022( )()sindsinlii xi vQ tFxvtxFtmlml 求出與廣義坐標(biāo)相對(duì)應(yīng)的廣義力 (0/ )tl v 將廣義力和零初始條件代入杜哈梅積分0(0)1(

34、)( )sin()d(0)cossintiiiiiiiiiqq tQtqtt 01( )sin()dtiiiQt 012sinsin()dtiii vFtml STDU DYNAMICS OF STRUCTURES2221sinsin(/ )iiiiFi vi vttm i v lll (0/ )tl v 梁的響應(yīng)為1( , )( ) ( )iiiy x tx q t 2212sinsinsin(/ )iiiiiFi vi vi xttmi v llll (0/ )tl v 其中括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)為車輛載荷激起的受迫振動(dòng)，第二項(xiàng)為伴生自由振動(dòng) 當(dāng)固有頻率i 與激勵(lì)頻率/i v l 相等的時(shí)候?qū)a(chǎn)生第

35、i階共振，對(duì)應(yīng)的車速為/ivl i 這時(shí)梁的振幅將隨時(shí)間增長(zhǎng)，直到車輛離開橋梁 STDU DYNAMICS OF STRUCTURES當(dāng) /tl v 后 梁作自由振動(dòng) 其廣義坐標(biāo)的初位移和初速度為 ( / )iq l v( / )iq l v 和其振動(dòng)的響應(yīng)可參考上例求得,此處略去例例:圖示等截面簡(jiǎn)支梁0sinMt 中點(diǎn)處受集中力偶求梁的響應(yīng)解解:簡(jiǎn)支梁的固有頻率和簡(jiǎn)正模態(tài)函數(shù)為 2( )sinii xxml 2iiEIlS 力偶荷載用脈沖函數(shù)表示為 0( , )(/2)m x tMxl STDU DYNAMICS OF STRUCTURES廣義坐標(biāo)的動(dòng)力學(xué)方程為 202cossin2iiiiiiqqQMtlm 其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 02212cossin2iiiiqMtlm 因此有1( , )( ) ( )iiiy x tx q t 0221212sincossin2iii xiiMtmllm 02212cos