波函數(shù)與薜定諤方程薜定諤方程應(yīng)用舉例學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1波函數(shù)與薜定諤方程薜定諤方程應(yīng)用舉例波函數(shù)與薜定諤方程薜定諤方程應(yīng)用舉例第一頁(yè)，編輯于星期日：十六點(diǎn) 四十七分。2一、波函數(shù)自由粒子受力為零，動(dòng)量p和能量E 保持不變。/ ,/E hh p為常量結(jié)論：自由粒子波為單色平面波： 1.自由粒子的波函數(shù)26-1 概率波p單色波不變沿恒定方向傳播平面波)(2cos),(0 xttx2 ()()00( , )xiitEtpxx tee 波函數(shù)一般要用復(fù)數(shù)形式表示：第1頁(yè)/共43頁(yè)第二頁(yè)，編輯于星期日：十六點(diǎn) 四十七分。3最亮處最暗處亮暗間電子到達(dá)概率最大電子到達(dá)概率最小概率介于二者間波強(qiáng)度最大，波強(qiáng)度最小，波強(qiáng)介于二者之間粒子的觀點(diǎn)波動(dòng)的觀點(diǎn)二、

2、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋以電子的單縫衍射來(lái)說(shuō)明220或或大220或或小波函數(shù) 本身沒(méi)有直接的物理意義，也不能從實(shí)驗(yàn)中直接測(cè)出。只是| |2才有明確的物理意義。| |2意義？第2頁(yè)/共43頁(yè)第三頁(yè)，編輯于星期日：十六點(diǎn) 四十七分。4某時(shí)刻，粒子在空間某點(diǎn)出現(xiàn)的概率正比于該時(shí)刻該點(diǎn)處波函數(shù)的模的平方。2dwdVdV粒子在空間某體積元 dV 內(nèi)出現(xiàn)的概率波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義說(shuō)明微觀粒子的運(yùn)動(dòng)遵循的是統(tǒng)計(jì)規(guī)律，而不是經(jīng)典力學(xué)的決定性規(guī)律。2dwdV概率密度第3頁(yè)/共43頁(yè)第四頁(yè)，編輯于星期日：十六點(diǎn) 四十七分。52.波函數(shù)的歸一化條件21VwdV波函數(shù)的歸一化條件粒子在整個(gè)空間出現(xiàn)是必然事件，即任一時(shí)刻粒子在整個(gè)

3、空間出現(xiàn)的概率為13.波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件a.波函數(shù)為有限值b.波函數(shù)是連續(xù)的c.波函數(shù)是單值的由波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義所限制第4頁(yè)/共43頁(yè)第五頁(yè)，編輯于星期日：十六點(diǎn) 四十七分。6例：限制在一維空間運(yùn)動(dòng)的粒子，其狀態(tài)波函數(shù)可表示為：0(/2,/2)( , )cos()e(/2/2)iEtxaxax txAaxaa 其中A 為待定常數(shù)；E 、a為確定常數(shù)。求：1.歸一化的波函數(shù)； 2.概率密度。解：由歸一化條件得/222/2|1aadxdx第5頁(yè)/共43頁(yè)第六頁(yè)，編輯于星期日：十六點(diǎn) 四十七分。7/ 222/ 2cos ()1aaxAdxa即：2Aa歸一化的波函數(shù)：0(/2,/2)( , )2cos

4、()e(/2/2)iEtxaxax txaxaaa 概率密度：20(/2,/2)( , )2cos ()(/2/2)xaxax txaxaaa 2( , )( , )x tx t粒子不出現(xiàn)在區(qū)間(-a/2, a/2)以外。粒子在x=0處出現(xiàn)的概率最大。第6頁(yè)/共43頁(yè)第七頁(yè)，編輯于星期日：十六點(diǎn) 四十七分。8物質(zhì)波的波函數(shù) 就是薛定諤方程的解。薛定諤方程描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的方程。也就是德布羅意波函數(shù)所滿足的運(yùn)動(dòng)微分方程。定態(tài)薛定諤方程具有確定能量E和動(dòng)量p 的粒子在勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)波函數(shù) 所滿足的運(yùn)動(dòng)微分方程。在一維空間，其波函數(shù)(平面波)()0( , )iEtpxx te( )iEtx e26

5、-3 薛定諤方程第7頁(yè)/共43頁(yè)第八頁(yè)，編輯于星期日：十六點(diǎn) 四十七分。9pxiex0)(通常也稱其為定態(tài)波函數(shù)。將 (x) 對(duì)x 求二階導(dǎo)數(shù)得2222( )( )0dxpxdx與時(shí)間無(wú)關(guān)在非相對(duì)論近似下(v c)22122KpEmvm22KpmE稱振幅函數(shù)第8頁(yè)/共43頁(yè)第九頁(yè)，編輯于星期日：十六點(diǎn) 四十七分。10當(dāng)粒子在勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，設(shè)勢(shì)能為U(x)，則2222( )( )0dxpxdx( )KEEU x222( )2 ( )( )0dxm EU xxdx一維定態(tài)薛定諤方程22222222( , , )0mEU x y zxyz將上式推廣到通常的三維運(yùn)動(dòng)情況得定態(tài)薛定諤方程22KpmE第9頁(yè)

6、/共43頁(yè)第十頁(yè)，編輯于星期日：十六點(diǎn) 四十七分。11則引入拉普拉斯算符2222222zyx222()0mEU對(duì)某一勢(shì)場(chǎng)U，一般只有某些特定的E值才能使方程有解 能量量子化條件。使方程有解的E值稱為本征值（本征能量），對(duì)應(yīng)的波函數(shù) (x)稱為本征函數(shù)。上述定態(tài)薛定諤方程只適用于非相對(duì)論情形 (v 1:激發(fā)態(tài)能量子化116E19E14EE4E3E2E1E0ax第16頁(yè)/共43頁(yè)第十七頁(yè)，編輯于星期日：十六點(diǎn) 四十七分。18在兩端出現(xiàn)的概率為零。概率密度峰值的個(gè)數(shù)隨n 的增大而增多，峰值間距隨之縮小。 n，峰值個(gè)數(shù)也為無(wú)窮，峰值間距趨于零，概率密度幾乎各處均等，過(guò)渡到經(jīng)典理論的結(jié)果。2.粒子在勢(shì)阱

7、中的概率分布222sinnnxaa概率分布不均勻，具有量子化效應(yīng)。2n222324210ax1E2E3E4E第17頁(yè)/共43頁(yè)第十八頁(yè)，編輯于星期日：十六點(diǎn) 四十七分。19,0nnEnE 2212( 1)nnEnnEnn即：當(dāng)n時(shí)，En與En本身之比可以忽略， 說(shuō)明此時(shí)量子效應(yīng)已不明顯，能級(jí)分布可視為連續(xù)。3.相鄰兩能級(jí)間的相對(duì)間隔經(jīng)典理論是量子理論在n時(shí)的極限情況。第18頁(yè)/共43頁(yè)第十九頁(yè)，編輯于星期日：十六點(diǎn) 四十七分。204.相鄰能級(jí)間隔與勢(shì)阱寬度的關(guān)系2212(21)2nnnEEEnma例如電子的運(yùn)動(dòng)：(21) 37.7eVnEn當(dāng)運(yùn)動(dòng)限制在原子尺度范圍內(nèi)(a =0.1nm)，則能量

8、量子化效應(yīng)明顯。15(21) 3.77 10eV 0nEn而當(dāng)在a =10-2 m (宏觀尺度)的勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，則能量可視為連續(xù)，量子效應(yīng)消失?？梢?jiàn)當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)范圍足夠大時(shí)，量子效應(yīng)減弱。第19頁(yè)/共43頁(yè)第二十頁(yè)，編輯于星期日：十六點(diǎn) 四十七分。212an2222222nPhEnEmamP,由駐波條件勢(shì)阱寬度是粒子德布羅意波的半波長(zhǎng)的整數(shù)倍-物質(zhì)波在勢(shì)阱中形成駐波。5.勢(shì)阱中的粒子波為駐波oaUmx第20頁(yè)/共43頁(yè)第二十一頁(yè)，編輯于星期日：十六點(diǎn) 四十七分。22n2 ( )sin (0)nxxxaaa12( )sinxxaa例：在一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子的波函數(shù)為求當(dāng)粒子處于基態(tài)時(shí)，在0 a

9、/3區(qū)間發(fā)現(xiàn)粒子的概率.解：22112( )sin () xxaa概率密度由題意知：n=1，對(duì)應(yīng)波函數(shù)為21oax第21頁(yè)/共43頁(yè)第二十二頁(yè)，編輯于星期日：十六點(diǎn) 四十七分。23212( )sin ()xdwx dxdxaa30212 sin0.19624axxaa粒子出現(xiàn)在dx區(qū)間的概率23102( ) sin () axwx dxdxaa可見(jiàn)粒子在出現(xiàn)在前1/3區(qū)間的概率不到1/5.粒子出現(xiàn)在0 a/3 區(qū)間的概率21oax第22頁(yè)/共43頁(yè)第二十三頁(yè)，編輯于星期日：十六點(diǎn) 四十七分。24UaxIIIIIIo0U二、勢(shì)壘貫穿（隧道效應(yīng)）在經(jīng)典力學(xué)中，若粒子總能E U0，則粒子不可能越過(guò)I

10、I區(qū)，它只能在 I 區(qū)中運(yùn)動(dòng).該問(wèn)題可由量子力學(xué)，通過(guò)解定態(tài)薛定諤方程來(lái)給出答案。00(0,)( )(0)xxaU xUx a 設(shè)勢(shì)能曲線這種勢(shì)能曲線稱為“勢(shì)壘”。E但實(shí)驗(yàn)證實(shí)粒子可以到達(dá)III區(qū)。第23頁(yè)/共43頁(yè)第二十四頁(yè)，編輯于星期日：十六點(diǎn) 四十七分。2522112( )( )0 (0)dxkxxdx222122( )( )0(0)dxkxxadx22332( )( ) 0 ()dxkxxadx利用薛定諤方程，運(yùn)算后得出三個(gè)區(qū)間滿足的微分方程分別為UaxIIIIIIo0UE第24頁(yè)/共43頁(yè)第二十五頁(yè)，編輯于星期日：十六點(diǎn) 四十七分。261( )(0)ikxikxxeRex據(jù)此可得出各

11、區(qū)域的解：2( )(0)kxkxxAeBexa3( )()ikxxCexa分析：粒子從 I 區(qū)入射，故 I 區(qū)中同時(shí)存在入射波和反射波；粒子穿過(guò)勢(shì)壘進(jìn)入III 區(qū)，故在III區(qū)只有透射波；粒子在x=0 處的概率應(yīng)大于在x =a處的概率。三個(gè)區(qū)域均存在不為零的波函數(shù)，說(shuō)明粒子可能穿過(guò)勢(shì)壘II而出現(xiàn)在III區(qū)。UaxIIIIIIo0U第25頁(yè)/共43頁(yè)第二十六頁(yè)，編輯于星期日：十六點(diǎn) 四十七分。27在 EU0 的情況粒子也可以越過(guò)勢(shì)壘而到達(dá)右邊的區(qū)域。這在經(jīng)典物理中是難以理解的。只能假想為在能量高坡中挖空了一條隧道，故稱“隧道效應(yīng)”.Uaxo0UIIIIII第26頁(yè)/共43頁(yè)第二十七頁(yè)，編輯于星期

12、日：十六點(diǎn) 四十七分。28定義粒子穿過(guò)勢(shì)壘的貫穿系數(shù)：221221|( )|exp( 2)|(0)|exp( 2 0)aTk aPTk02exp2 ()am UE當(dāng) 、勢(shì)壘的寬度為50nm 以上時(shí)，貫穿系數(shù)會(huì)小于10-6以上，隧道效應(yīng)已無(wú)實(shí)際意義。從量子化概念過(guò)渡到經(jīng)典問(wèn)題。05eVUE產(chǎn)生隧道效應(yīng)的限制UaxIIIIIIo0U隧道效應(yīng)第27頁(yè)/共43頁(yè)第二十八頁(yè)，編輯于星期日：十六點(diǎn) 四十七分。29隧道效應(yīng)為大量實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。半導(dǎo)體中的各種隧道器件就是以此理論為基礎(chǔ)制成的。利用掃描隧道顯微鏡（STM）已能看清大個(gè)的原子。使人類能夠?qū)崟r(shí)地觀測(cè)單個(gè)原子的排列以及表面電子的行為。掃描隧道顯微鏡在表面

13、科學(xué)、材料科學(xué)和生命科學(xué)中有著廣泛的意義和前景。賓尼和羅雷爾因制造這種顯微鏡而獲得諾貝爾獎(jiǎng)。后來(lái)利用光學(xué)中的受抑全反射理論，又研制成功光子掃描隧道顯微鏡（PSTM）。它可用于不導(dǎo)電樣品的觀察等。第28頁(yè)/共43頁(yè)第二十九頁(yè)，編輯于星期日：十六點(diǎn) 四十七分。30掃描隧道顯微鏡掃描隧道顯微鏡（STM）是20世紀(jì)80年代初期出現(xiàn)的一種新型表面分析工具。其基本原理是基于量子力學(xué)的隧道效應(yīng)和三維掃描。它是用一個(gè)極細(xì)的尖針（針尖頭部為單個(gè)原子）去接近樣品表面，當(dāng)針尖和樣品表面靠得很近，小于1納米時(shí)，針尖頭部的原子和樣品表面原子的電子云發(fā)生重疊。此時(shí)若在針尖和樣品之間加一個(gè)偏壓，電子便會(huì)穿過(guò)針尖和樣品之間的

14、勢(shì)壘而形成納安級(jí)（10-9A）的隧道電流。通過(guò)控制針尖與樣品表面間距的恒定，并使針尖沿表面進(jìn)行精確的三維移動(dòng)，就可將表面形貌和表面電子態(tài)等有關(guān)表面信息記錄下來(lái)。 第29頁(yè)/共43頁(yè)第三十頁(yè)，編輯于星期日：十六點(diǎn) 四十七分。31掃描隧道顯微鏡具有很高的空間分辨率，橫向可達(dá)納米，縱向可優(yōu)于納米。它主要用來(lái)描繪表面三維的原子結(jié)構(gòu)圖，在納米尺度上研究物質(zhì)的特性。利用掃描隧道顯微鏡還可以實(shí)現(xiàn)對(duì)表面的納米加工，如直接操縱原子或分子，完成對(duì)表面的剝蝕、修飾以及直接書寫等。目前掃描隧道顯微鏡取得了一系列新進(jìn)展，出現(xiàn)了原子力顯微鏡（AFM）。彈道電子發(fā)射顯微鏡（BEEM）、光子掃描隧道顯微鏡（PSTM），以及掃

15、描近場(chǎng)光學(xué)顯微鏡（SNOM）等。 第30頁(yè)/共43頁(yè)第三十一頁(yè)，編輯于星期日：十六點(diǎn) 四十七分。32隧道電流I對(duì)針尖與樣品表面之間的距離s極為敏感，如果 s 減小，隧道電流就會(huì)增加一個(gè)數(shù)量級(jí)。 s以10-1nm為單位 psIUe金屬表面與針尖的電子云圖探針樣品表面第31頁(yè)/共43頁(yè)第三十二頁(yè)，編輯于星期日：十六點(diǎn) 四十七分。33STM工作原理圖第32頁(yè)/共43頁(yè)第三十三頁(yè)，編輯于星期日：十六點(diǎn) 四十七分。34IxoGUzxozxoGUzxo恒高度工作模式恒電流工作模式第33頁(yè)/共43頁(yè)第三十四頁(yè)，編輯于星期日：十六點(diǎn) 四十七分。35硅表面77重構(gòu)圖 第34頁(yè)/共43頁(yè)第三十五頁(yè)，編輯于星期日：十六點(diǎn) 四十七分。36硅表面硅原子的排列 第35頁(yè)/共43頁(yè)第三十六頁(yè)，編輯于星期日：十六點(diǎn) 四十七分。37硅表面硅原子的排列 第36頁(yè)/共43頁(yè)第三十七頁(yè)，編輯于星期日：十六點(diǎn) 四十七分。38吸附在鉑單晶表面上的碘原子33陣列STM圖象 第37頁(yè)/共43頁(yè)第三十八頁(yè)，編輯于星期日：十六點(diǎn) 四十七分。39石墨樣品表面的假彩色圖像 第38頁(yè)/共43頁(yè)第三十九頁(yè)，編輯于星期日：十六點(diǎn) 四十七分。40被移動(dòng)的單個(gè)氙原子圖 第39頁(yè)/共43頁(yè)第四十頁(yè)，編輯于星期日：十六點(diǎn)