波函數(shù)與薜定諤方程薜定諤方程應(yīng)用舉例學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1波函數(shù)與薜定諤方程薜定諤方程應(yīng)用舉例波函數(shù)與薜定諤方程薜定諤方程應(yīng)用舉例第一頁，編輯于星期日：十六點 四十七分。2一、波函數(shù)自由粒子受力為零，動量p和能量E 保持不變。/ ,/E hh p為常量結(jié)論：自由粒子波為單色平面波： 1.自由粒子的波函數(shù)26-1 概率波p單色波不變沿恒定方向傳播平面波)(2cos),(0 xttx2 ()()00( , )xiitEtpxx tee 波函數(shù)一般要用復(fù)數(shù)形式表示：第1頁/共43頁第二頁，編輯于星期日：十六點 四十七分。3最亮處最暗處亮暗間電子到達(dá)概率最大電子到達(dá)概率最小概率介于二者間波強度最大，波強度最小，波強介于二者之間粒子的觀點波動的觀點二、

2、波函數(shù)的統(tǒng)計解釋以電子的單縫衍射來說明220或或大220或或小波函數(shù) 本身沒有直接的物理意義，也不能從實驗中直接測出。只是| |2才有明確的物理意義。| |2意義？第2頁/共43頁第三頁，編輯于星期日：十六點 四十七分。4某時刻，粒子在空間某點出現(xiàn)的概率正比于該時刻該點處波函數(shù)的模的平方。2dwdVdV粒子在空間某體積元 dV 內(nèi)出現(xiàn)的概率波函數(shù)的統(tǒng)計意義說明微觀粒子的運動遵循的是統(tǒng)計規(guī)律，而不是經(jīng)典力學(xué)的決定性規(guī)律。2dwdV概率密度第3頁/共43頁第四頁，編輯于星期日：十六點 四十七分。52.波函數(shù)的歸一化條件21VwdV波函數(shù)的歸一化條件粒子在整個空間出現(xiàn)是必然事件，即任一時刻粒子在整個

3、空間出現(xiàn)的概率為13.波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件a.波函數(shù)為有限值b.波函數(shù)是連續(xù)的c.波函數(shù)是單值的由波函數(shù)的統(tǒng)計意義所限制第4頁/共43頁第五頁，編輯于星期日：十六點 四十七分。6例：限制在一維空間運動的粒子，其狀態(tài)波函數(shù)可表示為：0(/2,/2)( , )cos()e(/2/2)iEtxaxax txAaxaa 其中A 為待定常數(shù)；E 、a為確定常數(shù)。求：1.歸一化的波函數(shù)； 2.概率密度。解：由歸一化條件得/222/2|1aadxdx第5頁/共43頁第六頁，編輯于星期日：十六點 四十七分。7/ 222/ 2cos ()1aaxAdxa即：2Aa歸一化的波函數(shù)：0(/2,/2)( , )2cos

4、()e(/2/2)iEtxaxax txaxaaa 概率密度：20(/2,/2)( , )2cos ()(/2/2)xaxax txaxaaa 2( , )( , )x tx t粒子不出現(xiàn)在區(qū)間(-a/2, a/2)以外。粒子在x=0處出現(xiàn)的概率最大。第6頁/共43頁第七頁，編輯于星期日：十六點 四十七分。8物質(zhì)波的波函數(shù) 就是薛定諤方程的解。薛定諤方程描述微觀粒子運動規(guī)律的方程。也就是德布羅意波函數(shù)所滿足的運動微分方程。定態(tài)薛定諤方程具有確定能量E和動量p 的粒子在勢場中運動時波函數(shù) 所滿足的運動微分方程。在一維空間，其波函數(shù)(平面波)()0( , )iEtpxx te( )iEtx e26

5、-3 薛定諤方程第7頁/共43頁第八頁，編輯于星期日：十六點 四十七分。9pxiex0)(通常也稱其為定態(tài)波函數(shù)。將 (x) 對x 求二階導(dǎo)數(shù)得2222( )( )0dxpxdx與時間無關(guān)在非相對論近似下(v c)22122KpEmvm22KpmE稱振幅函數(shù)第8頁/共43頁第九頁，編輯于星期日：十六點 四十七分。10當(dāng)粒子在勢場中運動，設(shè)勢能為U(x)，則2222( )( )0dxpxdx( )KEEU x222( )2 ( )( )0dxm EU xxdx一維定態(tài)薛定諤方程22222222( , , )0mEU x y zxyz將上式推廣到通常的三維運動情況得定態(tài)薛定諤方程22KpmE第9頁

6、/共43頁第十頁，編輯于星期日：十六點 四十七分。11則引入拉普拉斯算符2222222zyx222()0mEU對某一勢場U，一般只有某些特定的E值才能使方程有解 能量量子化條件。使方程有解的E值稱為本征值（本征能量），對應(yīng)的波函數(shù) (x)稱為本征函數(shù)。上述定態(tài)薛定諤方程只適用于非相對論情形 (v 1:激發(fā)態(tài)能量子化116E19E14EE4E3E2E1E0ax第16頁/共43頁第十七頁，編輯于星期日：十六點 四十七分。18在兩端出現(xiàn)的概率為零。概率密度峰值的個數(shù)隨n 的增大而增多，峰值間距隨之縮小。 n，峰值個數(shù)也為無窮，峰值間距趨于零，概率密度幾乎各處均等，過渡到經(jīng)典理論的結(jié)果。2.粒子在勢阱

7、中的概率分布222sinnnxaa概率分布不均勻，具有量子化效應(yīng)。2n222324210ax1E2E3E4E第17頁/共43頁第十八頁，編輯于星期日：十六點 四十七分。19,0nnEnE 2212( 1)nnEnnEnn即：當(dāng)n時，En與En本身之比可以忽略， 說明此時量子效應(yīng)已不明顯，能級分布可視為連續(xù)。3.相鄰兩能級間的相對間隔經(jīng)典理論是量子理論在n時的極限情況。第18頁/共43頁第十九頁，編輯于星期日：十六點 四十七分。204.相鄰能級間隔與勢阱寬度的關(guān)系2212(21)2nnnEEEnma例如電子的運動：(21) 37.7eVnEn當(dāng)運動限制在原子尺度范圍內(nèi)(a =0.1nm)，則能量

8、量子化效應(yīng)明顯。15(21) 3.77 10eV 0nEn而當(dāng)在a =10-2 m (宏觀尺度)的勢阱中運動，則能量可視為連續(xù)，量子效應(yīng)消失?？梢姰?dāng)粒子運動范圍足夠大時，量子效應(yīng)減弱。第19頁/共43頁第二十頁，編輯于星期日：十六點 四十七分。212an2222222nPhEnEmamP,由駐波條件勢阱寬度是粒子德布羅意波的半波長的整數(shù)倍-物質(zhì)波在勢阱中形成駐波。5.勢阱中的粒子波為駐波oaUmx第20頁/共43頁第二十一頁，編輯于星期日：十六點 四十七分。22n2 ( )sin (0)nxxxaaa12( )sinxxaa例：在一維無限深勢阱中運動的粒子的波函數(shù)為求當(dāng)粒子處于基態(tài)時，在0 a

9、/3區(qū)間發(fā)現(xiàn)粒子的概率.解：22112( )sin () xxaa概率密度由題意知：n=1，對應(yīng)波函數(shù)為21oax第21頁/共43頁第二十二頁，編輯于星期日：十六點 四十七分。23212( )sin ()xdwx dxdxaa30212 sin0.19624axxaa粒子出現(xiàn)在dx區(qū)間的概率23102( ) sin () axwx dxdxaa可見粒子在出現(xiàn)在前1/3區(qū)間的概率不到1/5.粒子出現(xiàn)在0 a/3 區(qū)間的概率21oax第22頁/共43頁第二十三頁，編輯于星期日：十六點 四十七分。24UaxIIIIIIo0U二、勢壘貫穿（隧道效應(yīng)）在經(jīng)典力學(xué)中，若粒子總能E U0，則粒子不可能越過I

10、I區(qū)，它只能在 I 區(qū)中運動.該問題可由量子力學(xué)，通過解定態(tài)薛定諤方程來給出答案。00(0,)( )(0)xxaU xUx a 設(shè)勢能曲線這種勢能曲線稱為“勢壘”。E但實驗證實粒子可以到達(dá)III區(qū)。第23頁/共43頁第二十四頁，編輯于星期日：十六點 四十七分。2522112( )( )0 (0)dxkxxdx222122( )( )0(0)dxkxxadx22332( )( ) 0 ()dxkxxadx利用薛定諤方程，運算后得出三個區(qū)間滿足的微分方程分別為UaxIIIIIIo0UE第24頁/共43頁第二十五頁，編輯于星期日：十六點 四十七分。261( )(0)ikxikxxeRex據(jù)此可得出各

11、區(qū)域的解：2( )(0)kxkxxAeBexa3( )()ikxxCexa分析：粒子從 I 區(qū)入射，故 I 區(qū)中同時存在入射波和反射波；粒子穿過勢壘進(jìn)入III 區(qū)，故在III區(qū)只有透射波；粒子在x=0 處的概率應(yīng)大于在x =a處的概率。三個區(qū)域均存在不為零的波函數(shù)，說明粒子可能穿過勢壘II而出現(xiàn)在III區(qū)。UaxIIIIIIo0U第25頁/共43頁第二十六頁，編輯于星期日：十六點 四十七分。27在 EU0 的情況粒子也可以越過勢壘而到達(dá)右邊的區(qū)域。這在經(jīng)典物理中是難以理解的。只能假想為在能量高坡中挖空了一條隧道，故稱“隧道效應(yīng)”.Uaxo0UIIIIII第26頁/共43頁第二十七頁，編輯于星期

12、日：十六點 四十七分。28定義粒子穿過勢壘的貫穿系數(shù)：221221|( )|exp( 2)|(0)|exp( 2 0)aTk aPTk02exp2 ()am UE當(dāng) 、勢壘的寬度為50nm 以上時，貫穿系數(shù)會小于10-6以上，隧道效應(yīng)已無實際意義。從量子化概念過渡到經(jīng)典問題。05eVUE產(chǎn)生隧道效應(yīng)的限制UaxIIIIIIo0U隧道效應(yīng)第27頁/共43頁第二十八頁，編輯于星期日：十六點 四十七分。29隧道效應(yīng)為大量實驗所證實。半導(dǎo)體中的各種隧道器件就是以此理論為基礎(chǔ)制成的。利用掃描隧道顯微鏡（STM）已能看清大個的原子。使人類能夠?qū)崟r地觀測單個原子的排列以及表面電子的行為。掃描隧道顯微鏡在表面

13、科學(xué)、材料科學(xué)和生命科學(xué)中有著廣泛的意義和前景。賓尼和羅雷爾因制造這種顯微鏡而獲得諾貝爾獎。后來利用光學(xué)中的受抑全反射理論，又研制成功光子掃描隧道顯微鏡（PSTM）。它可用于不導(dǎo)電樣品的觀察等。第28頁/共43頁第二十九頁，編輯于星期日：十六點 四十七分。30掃描隧道顯微鏡掃描隧道顯微鏡（STM）是20世紀(jì)80年代初期出現(xiàn)的一種新型表面分析工具。其基本原理是基于量子力學(xué)的隧道效應(yīng)和三維掃描。它是用一個極細(xì)的尖針（針尖頭部為單個原子）去接近樣品表面，當(dāng)針尖和樣品表面靠得很近，小于1納米時，針尖頭部的原子和樣品表面原子的電子云發(fā)生重疊。此時若在針尖和樣品之間加一個偏壓，電子便會穿過針尖和樣品之間的

14、勢壘而形成納安級（10-9A）的隧道電流。通過控制針尖與樣品表面間距的恒定，并使針尖沿表面進(jìn)行精確的三維移動，就可將表面形貌和表面電子態(tài)等有關(guān)表面信息記錄下來。 第29頁/共43頁第三十頁，編輯于星期日：十六點 四十七分。31掃描隧道顯微鏡具有很高的空間分辨率，橫向可達(dá)納米，縱向可優(yōu)于納米。它主要用來描繪表面三維的原子結(jié)構(gòu)圖，在納米尺度上研究物質(zhì)的特性。利用掃描隧道顯微鏡還可以實現(xiàn)對表面的納米加工，如直接操縱原子或分子，完成對表面的剝蝕、修飾以及直接書寫等。目前掃描隧道顯微鏡取得了一系列新進(jìn)展，出現(xiàn)了原子力顯微鏡（AFM）。彈道電子發(fā)射顯微鏡（BEEM）、光子掃描隧道顯微鏡（PSTM），以及掃

15、描近場光學(xué)顯微鏡（SNOM）等。 第30頁/共43頁第三十一頁，編輯于星期日：十六點 四十七分。32隧道電流I對針尖與樣品表面之間的距離s極為敏感，如果 s 減小，隧道電流就會增加一個數(shù)量級。 s以10-1nm為單位 psIUe金屬表面與針尖的電子云圖探針樣品表面第31頁/共43頁第三十二頁，編輯于星期日：十六點 四十七分。33STM工作原理圖第32頁/共43頁第三十三頁，編輯于星期日：十六點 四十七分。34IxoGUzxozxoGUzxo恒高度工作模式恒電流工作模式第33頁/共43頁第三十四頁，編輯于星期日：十六點 四十七分。35硅表面77重構(gòu)圖 第34頁/共43頁第三十五頁，編輯于星期日：十六點 四十七分。36硅表面硅原子的排列 第35頁/共43頁第三十六頁，編輯于星期日：十六點 四十七分。37硅表面硅原子的排列 第36頁/共43頁第三十七頁，編輯于星期日：十六點 四十七分。38吸附在鉑單晶表面上的碘原子33陣列STM圖象 第37頁/共43頁第三十八頁，編輯于星期日：十六點 四十七分。39石墨樣品表面的假彩色圖像 第38頁/共43頁第三十九頁，編輯于星期日：十六點 四十七分。40被移動的單個氙原子圖 第39頁/共43頁第四十頁，編輯于星期日：十六點