現(xiàn)代控制理論P(yáng)PT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1現(xiàn)代現(xiàn)代(xindi)控制理論控制理論第一頁，共96頁。第2頁/共96頁第二頁，共96頁。uy4k111sTk122sTksTk33u11Tk11T22Tk3x 3x1x 2x 2x1x21T33Tk4ky例例1（見書）（見書）第3頁/共96頁第三頁，共96頁。圖中有三個積分環(huán)節(jié)，三階系統(tǒng)，取三個狀態(tài)變量如上圖（選擇圖中有三個積分環(huán)節(jié)，三階系統(tǒng)，取三個狀態(tài)變量如上圖（選擇(xunz)積分環(huán)節(jié)后的變量為狀態(tài)變量）：積分環(huán)節(jié)后的變量為狀態(tài)變量）：則有：則有：2131xTkx 3222221xTkxTx uTkxTxTkkx11311114311xy 寫成矩陣形式：寫成矩陣形式：uTkxxx

2、TTkkTkTTkX1132111412223300101000X001y第4頁/共96頁第四頁，共96頁。前面已經(jīng)介紹了前面已經(jīng)介紹了SISOSISO系統(tǒng)從傳遞函數(shù)求系統(tǒng)的狀態(tài)空間系統(tǒng)從傳遞函數(shù)求系統(tǒng)的狀態(tài)空間(kngjin)(kngjin)表達(dá)式表達(dá)式, ,下面將介紹其逆問題下面將介紹其逆問題, ,即怎樣從狀態(tài)空間即怎樣從狀態(tài)空間(kngjin)(kngjin)表達(dá)式求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣。表達(dá)式求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣。已知已知MIMOMIMO線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間(kngjin)(kngjin)表達(dá)式為表達(dá)式為其中(qzhng)x為n維狀態(tài)向量;u為r維輸入向量;y為m維輸

3、出向量。ABCD xxuyxu1.4 從狀態(tài)空間從狀態(tài)空間(kngjin)表達(dá)式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)表達(dá)式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)（陣）（陣）第5頁/共96頁第五頁，共96頁。對上式取拉氏變換(binhun),有)()()()()()0()(sDUsCXsYsBUsAXssXx其中X(s)、U(s)和Y(s)分別為x(t)、u(t)和y(t)的拉氏變換;x(0)為x(t)的在初始(ch sh)時刻t=0的值。由于傳遞函數(shù)陣描述的是系統(tǒng)輸入輸出間動態(tài)傳遞關(guān)系,不考慮系統(tǒng)初始(ch sh)條件的影響。因此令x(0)=0,于是由狀態(tài)方程的拉氏變換式有X(s)=(sI-A)-1BU(s)ABCD xxuyxu第6頁/

4、共96頁第六頁，共96頁。 將上述X(s)代入輸出方程(fngchng),有 Y(s)=C(sI-A)-1B+DU(s) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為 G(s)=C(sI-A)-1B+D 若對于輸入與輸出間無直接關(guān)聯(lián)項(即D=0)的系統(tǒng),則有 G(s)=C(sI-A)-1B第7頁/共96頁第七頁，共96頁。對r維輸入、m維輸出的MIMO系統(tǒng),若其輸入輸出的拉氏變換分別為U(s)和Y(s),則系統(tǒng)的輸入輸出間的動態(tài)關(guān)系可表示(biosh)為Y(s)=G(s)U(s)其中G(s)稱為傳遞函數(shù)陣,其每個元素為標(biāo)量傳遞函數(shù)。G(s)的形式為)(.)()(.)(.)()()(.)()()(212222

5、111211sGsGsGsGsGsGsGsGsGsGmrmmrr其中Gij(s)描述了第i個輸出與第j個輸入之間的動態(tài)(dngti)傳遞關(guān)系。第8頁/共96頁第八頁，共96頁。DBAsICsG1)()(DuCxyBuAxx SISO系統(tǒng)，用傳遞函數(shù)系統(tǒng)，用傳遞函數(shù)G(s)描述，描述，G(s)是一個元素；是一個元素；MIMO系統(tǒng)，多個輸入對多個輸出，故引入傳遞函數(shù)矩陣系統(tǒng)，多個輸入對多個輸出，故引入傳遞函數(shù)矩陣G(s) ，G(s)是一個矩是一個矩陣，可以表征多個輸入對系統(tǒng)輸出的影響；陣，可以表征多個輸入對系統(tǒng)輸出的影響；同一系統(tǒng)，不同同一系統(tǒng)，不同(b tn)的狀態(tài)空間表達(dá)式對應(yīng)的傳遞函數(shù)陣應(yīng)是

6、相同的。即的狀態(tài)空間表達(dá)式對應(yīng)的傳遞函數(shù)陣應(yīng)是相同的。即描述系統(tǒng)輸入與輸出間動態(tài)傳遞關(guān)系的傳遞函數(shù)陣對狀態(tài)變換具有不變性。描述系統(tǒng)輸入與輸出間動態(tài)傳遞關(guān)系的傳遞函數(shù)陣對狀態(tài)變換具有不變性。第9頁/共96頁第九頁，共96頁。 1120112012016116100010CBA，由傳遞函數(shù)矩陣由傳遞函數(shù)矩陣(j zhn)公式得：公式得：20120161161001112011)()(W11sssDBAsICs根據(jù)根據(jù)(gnj)矩陣求逆公式：矩陣求逆公式：)det()()(1AsIAsIadjAsI 第10頁/共96頁第十頁，共96頁。求得：求得： 222316116)6(6161166116161

7、161001sssssssssssssss求得傳遞函數(shù)陣為：求得傳遞函數(shù)陣為：14173525644329461161)(W222223ssssssssssss第11頁/共96頁第十一頁，共96頁。1.5 組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(mio sh)和傳遞函數(shù)矩陣和傳遞函數(shù)矩陣已知兩獨立已知兩獨立(dl)子系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述和傳遞函數(shù)如下子系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述和傳遞函數(shù)如下)(),();(),(222222111111sGDCBAsGDCBA研究研究(ynji)系統(tǒng)三種連接下的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)三種連接下的數(shù)學(xué)模型1）串聯(lián)串聯(lián)2）并聯(lián)）并聯(lián)3）反饋）反饋第12頁/共96頁第十二頁，共9

8、6頁。并聯(lián)連接組合并聯(lián)連接組合(zh)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖第13頁/共96頁第十三頁，共96頁。設(shè)兩個(lin )子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為111111)()(DBAsICsG221222)()(DBAsICsG其對應(yīng)的狀態(tài)(zhungti)空間表達(dá)式分別為1111111111uxyuxxDCBA2222222222uxyuxxDCBA第14頁/共96頁第十四頁，共96頁。從圖可知u1=u2=u y1+y2=y故可導(dǎo)出并聯(lián)(bnglin)聯(lián)結(jié)組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為uxxxx2121212100BBAAuxxuxuxy)(21212122221111DDCCDCDC第15頁/共96頁第十五頁，共96

9、頁。 )()()()()(00)(00)(2122122111112121121121212112121sGsGDBAsICDBAsICDDBBAsIAsICCDDBBAAsICCsG第16頁/共96頁第十六頁，共96頁。串聯(lián)聯(lián)接組合系統(tǒng)串聯(lián)聯(lián)接組合系統(tǒng)(xtng)方塊結(jié)構(gòu)圖方塊結(jié)構(gòu)圖設(shè)圖所示的串聯(lián)聯(lián)結(jié)的組合系統(tǒng)的兩個子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣分別和并聯(lián)(bnglin)連結(jié)的結(jié)構(gòu)相同,其對應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式也分別相同。第17頁/共96頁第十七頁，共96頁。從圖可知 u1=u u2=y1 y2=y因此可導(dǎo)出串聯(lián)組合系統(tǒng)的狀態(tài)(zhungti)空間方程為uxuxx11111111BABAuxxuxxyxu

10、xx12221121111222122222222)(DBACBDCBABABA第18頁/共96頁第十八頁，共96頁。uxxuxxuxyy1222112111122222222)(DDCCDDCDCDC相應(yīng)的輸出(shch)方程為uDBBxxACBAxx121212121210uDDxxCCDy)(1221212第19頁/共96頁第十九頁，共96頁。1112122121221111212211112122112111211122211112221211222210( )0()(ABG sD CCsID DB CAB DsIABD CCD DB DsIAB CsIAsIAD CsIABCsIAB

11、 CsIABCsIAB DD DC sIABDC s111121)( )( )IABDG s G s第20頁/共96頁第二十頁，共96頁。串聯(lián)聯(lián)結(jié)組合(zh)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為串聯(lián)系統(tǒng)各子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣的順序乘積。應(yīng)當(dāng)注意,由于矩陣不滿足乘法交換律,故在上式中G1(s)和G2(s)的位置不能顛倒,它們的順序與它們在系統(tǒng)中的串聯(lián)聯(lián)結(jié)順序一致。第21頁/共96頁第二十一頁，共96頁。反饋反饋(fnku)連接組合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖連接組合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖第22頁/共96頁第二十二頁，共96頁。其對應(yīng)的狀態(tài)(zhungti)空間模型分別為11110)()(BAsICsG2122)()(BAsICsF1111111

12、1ABCxxuyx22222222ABCxxuyx第23頁/共96頁第二十三頁，共96頁。11111111211122122222222122211111()ABABABCBABABAB CCxxuxuyxxuxxuxyxxyyx第24頁/共96頁第二十四頁，共96頁。即有1112112212211200ABCBB CACxxuxxxyx反饋反饋(fnku)聯(lián)結(jié)組合系統(tǒng)的狀態(tài)變量的維數(shù)為子系統(tǒng)的狀態(tài)變聯(lián)結(jié)組合系統(tǒng)的狀態(tài)變量的維數(shù)為子系統(tǒng)的狀態(tài)變量的維數(shù)之和。量的維數(shù)之和。Y(s)=G0(s)U1(s)=G0(s)U(s)-Y2(s)=G0(s)U(s)-F(s)Y(s) I+G0(s)F(s)

13、Y(s)=G0(s)U(s) Y(s)=I+G0(s)F(s)-1G0(s)U(s)反饋聯(lián)結(jié)組合(zh)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)=I+G0(s)F(s)-1G0(s) 或 G(s)=G0(s)I+F(s)G0(s)-1由反饋聯(lián)結(jié)組合(zh)系統(tǒng)的聯(lián)結(jié)圖可知第25頁/共96頁第二十五頁，共96頁。狀態(tài)空間模型不具有唯一性.原因: 狀態(tài)變量的不同選擇兩個問題:各種不同選擇的狀態(tài)變量之間,以及它們所對應(yīng)的狀態(tài)空間模型之間的關(guān)系如何?如何把一般形式的狀態(tài)空間模型變換成特定形式的狀態(tài)空間模型,以降低(jingd)系統(tǒng)的分析問題和設(shè)計問題的難度。1.6 狀態(tài)狀態(tài)(zhungti)向量的線性變換和狀態(tài)向量的

14、線性變換和狀態(tài)(zhungti)空間表達(dá)式的特征標(biāo)準(zhǔn)型空間表達(dá)式的特征標(biāo)準(zhǔn)型第26頁/共96頁第二十六頁，共96頁。 x x y y A(xa,ya) (xa,ya) 狀態(tài)狀態(tài)(zhungti)空間的線性變換空間的線性變換第27頁/共96頁第二十七頁，共96頁。上述狀態(tài)變量向量(xingling)x與 間的變換,稱為狀態(tài)的線性變換。由線性代數(shù)知識可知,它們之間必有如下(rxi)變換關(guān)系1212.nnxxxxxxxx x x 其中P為nn維的非奇異變換矩陣。xxxx1PP值得指出的是:變換矩陣P只有為非奇異的,才能使x和 間的變換關(guān)系是等價的、唯一的和可逆的。第28頁/共96頁第二十八頁，共96

15、頁。q兩種表達(dá)式之間存在兩種表達(dá)式之間存在(cnzi)(cnzi)什么關(guān)系什么關(guān)系? ?x x 設(shè)在狀態(tài)變量x和 下,系統(tǒng)狀態(tài)空間(kngjin)模型分別為( , ,):( , ,):ABA B C DCDABA B C DCDxxuyxuxxuyxuPPAPBxxxu將變換關(guān)系x=P 代入(A,B,C,D)的狀態(tài)方程中有第29頁/共96頁第二十九頁，共96頁。11P APP BCPDxxuyxu由于變換矩陣P非奇異(qy),因此有則有系統(tǒng)(xtng)的初始條件也必須作相應(yīng)的變換,即將上式與狀態(tài)空間模型(mxng) 比較,則線性系統(tǒng)(A, B,C,D)在線性變換矩陣P下的各矩陣具有如下對應(yīng)關(guān)系

16、( , ,)A B C D11AP APBP BCCPDD其中t0為系統(tǒng)運動的初始時刻。)(010tPtxx）第30頁/共96頁第三十頁，共96頁。系統(tǒng)特征值的不變性與系統(tǒng)的不變量系統(tǒng)特征值的不變性與系統(tǒng)的不變量由前面的討論可知由前面的討論可知,當(dāng)選擇不同的狀態(tài)變量當(dāng)選擇不同的狀態(tài)變量,則獲得不則獲得不同的狀態(tài)空間模型描述。同的狀態(tài)空間模型描述。實際上實際上,狀態(tài)空間模型只是系統(tǒng)在不同的狀態(tài)變量選擇狀態(tài)空間模型只是系統(tǒng)在不同的狀態(tài)變量選擇下對系統(tǒng)的一種描述下對系統(tǒng)的一種描述,它隨狀態(tài)變量選擇的不同而它隨狀態(tài)變量選擇的不同而不同不同,并不具有唯一性和不變性。并不具有唯一性和不變性。那么那么,到底

17、系統(tǒng)在狀態(tài)空間中有哪些描述到底系統(tǒng)在狀態(tài)空間中有哪些描述,哪些性質(zhì)是哪些性質(zhì)是不變的不變的,是不隨狀態(tài)變量的選取不同而變化的是不隨狀態(tài)變量的選取不同而變化的?線性定常系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)由特征值和特征向量所表征線性定常系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)由特征值和特征向量所表征。系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)運動的特性和行為具有重要的系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)運動的特性和行為具有重要的影響影響,決定決定(judng)了系統(tǒng)的基本特性。了系統(tǒng)的基本特性。第31頁/共96頁第三十一頁，共96頁。1. 系統(tǒng)的特征值和特征向量系統(tǒng)的特征值和特征向量狀態(tài)狀態(tài)(zhungti)空間的線性變換空間的線性變換,只是改變了只是改變了描述系統(tǒng)的角度描述系統(tǒng)

18、的角度(或說坐標(biāo)系或說坐標(biāo)系),系統(tǒng)的本質(zhì)系統(tǒng)的本質(zhì)特征應(yīng)保持不變。特征應(yīng)保持不變。對于線性定常系統(tǒng)來說對于線性定常系統(tǒng)來說,系統(tǒng)的特征值系統(tǒng)的特征值(極點極點)決決定了系統(tǒng)的基本特性。定了系統(tǒng)的基本特性。特征值應(yīng)是系統(tǒng)不變的本質(zhì)特征之一。特征值應(yīng)是系統(tǒng)不變的本質(zhì)特征之一。系統(tǒng)經(jīng)狀態(tài)系統(tǒng)經(jīng)狀態(tài)(zhungti)線性變換后線性變換后,其本質(zhì)特其本質(zhì)特征之一的特征值應(yīng)保持不變征之一的特征值應(yīng)保持不變,亦即狀態(tài)亦即狀態(tài)(zhungti)線性變換不改變系統(tǒng)的基本特線性變換不改變系統(tǒng)的基本特性。性。下面先討論矩陣特征值和特征向量的定義。下面先討論矩陣特征值和特征向量的定義。第32頁/共96頁第三十二頁，

19、共96頁。定義定義1 設(shè)設(shè)v是是n維非零向量維非零向量(xingling),A是是nn矩陣。矩陣。若方程組若方程組Av=v成立成立,則稱則稱為矩陣為矩陣A的特征值的特征值,非零向量非零向量(xingling)v為為所對應(yīng)的矩陣所對應(yīng)的矩陣A的特征向量的特征向量(xingling)。將上述特征值的定義式寫為將上述特征值的定義式寫為(I-A)v=0 其中其中I為為nn的單位矩陣。的單位矩陣。因此因此,由代數(shù)方程論可知由代數(shù)方程論可知,上式有非零特征向量上式有非零特征向量(xingling)v的解的充要條件為的解的充要條件為|I-A|=0 并稱上式為矩陣并稱上式為矩陣A的特征方程的特征方程,而而|I

20、-A|為為A的特征多項式的特征多項式。 第33頁/共96頁第三十三頁，共96頁。將|I-A|展開，可得|I-A|=n+a1n-1+an-1+an=0其中ai(i=1,2,n)稱為特征多項式的系數(shù)。因此,nn維的矩陣A的特征多項式為n階多項式。若矩陣A為實矩陣,則對應(yīng)(duyng)的特征方程為一實系數(shù)代數(shù)方程,共有n個根。這n個根或為實數(shù),或為成對出現(xiàn)的共軛復(fù)數(shù)。求解矩陣特征值的方法即為求解矩陣A的特征方程。n階的特征方程的n個根1,2,n即為矩陣A的n個特征值。在得到特征值i后,由定義可求得矩陣對應(yīng)(duyng)于i的特征向量vi。第34頁/共96頁第三十四頁，共96頁。矩陣特征值的概念(gi

21、nin)可推廣至線性定常系統(tǒng)(A,B,C,D)。定義2 對于線性定常系統(tǒng)(A,B,C,D),系統(tǒng)的特征值即為系統(tǒng)矩陣A的特征值。關(guān)于系統(tǒng)特征值,幾點注記:A. 一個n維線性定常系統(tǒng)必然有n個特征值與之對應(yīng)。B. 對于物理上可實現(xiàn)的系統(tǒng),其系統(tǒng)矩陣必為實矩陣。因此,線性定常系統(tǒng)的特征多項式必為實系數(shù)多項式,即系統(tǒng)的特征值或為實數(shù),或為成對出現(xiàn)的共軛復(fù)數(shù)。第35頁/共96頁第三十五頁，共96頁。2. 系統(tǒng)特征值的不變性系統(tǒng)特征值的不變性系統(tǒng)的特征值表征了系統(tǒng)本質(zhì)的特征。系統(tǒng)的特征值表征了系統(tǒng)本質(zhì)的特征。而線性變換只是相當(dāng)于對系統(tǒng)從另外而線性變換只是相當(dāng)于對系統(tǒng)從另外(ln wi)一個角度來描述而已

22、一個角度來描述而已,并未改變系統(tǒng)的并未改變系統(tǒng)的本質(zhì)。本質(zhì)?？虅澚讼到y(tǒng)本質(zhì)特征的系統(tǒng)特征值應(yīng)不隨線性刻劃了系統(tǒng)本質(zhì)特征的系統(tǒng)特征值應(yīng)不隨線性變換而改變變換而改變,即有如下結(jié)論即有如下結(jié)論:線性定常系統(tǒng)特征值對線性變換具有不變性。線性定常系統(tǒng)特征值對線性變換具有不變性。第36頁/共96頁第三十六頁，共96頁。111| | |()| | | | |IAIP APPIA PPIAPIAA后,系統(tǒng)(xtng)矩陣為xxPAPPA1可見(kjin),系統(tǒng)經(jīng)線性變換后,其特征值不變。矩陣 的特征多項式為即證明了A的特征多項式等于的 特征多項式。A|I-A|=n+a1n-1+an-1+an=0第37頁/共9

23、6頁第三十七頁，共96頁。3. 特征向量的計算特征向量的計算如何求解特征值如何求解特征值i對應(yīng)對應(yīng)(duyng)的特征向量的特征向量?求解特征向量求解特征向量,即求如下齊次矩陣代數(shù)方程的非即求如下齊次矩陣代數(shù)方程的非零解零解(iI-A)vi=0由于由于i為為A的特征值的特征值,故故iI-A不可逆。不可逆。因此因此,由代數(shù)方程理論可知由代數(shù)方程理論可知,該方程組的解并不唯該方程組的解并不唯一。一。由特征向量的定義可知由特征向量的定義可知,我們需求解的是線性獨我們需求解的是線性獨立的特征向量。立的特征向量。實際上實際上,具體求特征向量時具體求特征向量時,可假定其特征向量的可假定其特征向量的某個或幾

24、個元素的值某個或幾個元素的值,然后再求得該特征向量然后再求得該特征向量其他元素的值。其他元素的值。第38頁/共96頁第三十八頁，共96頁。第39頁/共96頁第三十九頁，共96頁。第40頁/共96頁第四十頁，共96頁。第41頁/共96頁第四十一頁，共96頁。 當(dāng)特征方程存在重根時,線性獨立的特征向量可能不唯一。 因此,就產(chǎn)生如下(rxi)問題: 問題: 對應(yīng)于特征值i究竟有幾個獨立的特征向量? 答案: 矩陣的重特征值i所對應(yīng)的線性獨立的特征向量可能不止一個。 它的獨立特征向量的數(shù)目等價于系統(tǒng)的維數(shù)與線性方程組的線性獨立的方程數(shù)之差,即為 n-rank(iI-A) 其中rank為矩陣的秩。第42頁

25、/共96頁第四十二頁，共96頁。因此,r重的特征值可能存在1至r個線性獨立的特征向量。由此,導(dǎo)出如下問題:獨立的特征向量數(shù)到底有什么意義？它與特征值的重數(shù)之間有何關(guān)系?下面引入代數(shù)重數(shù)與幾何重數(shù)兩個(lin )概念。代數(shù)重數(shù)。由特征方程求得的特征值i的重數(shù)稱為特征值i的代數(shù)重數(shù)。幾何重數(shù)。特征值i線性獨立的特征向量數(shù)稱為特征值i的幾何重數(shù)。第43頁/共96頁第四十三頁，共96頁。0)2)(1(02121103|2AI002121103Aq 解解 1. 1. 由特征方程由特征方程| |I-A|=0I-A|=0求得系統(tǒng)求得系統(tǒng)(xtng)(xtng)的特征值。的特征值。第44頁/共96頁第四十四頁

26、，共96頁。0102111102131211vvv第45頁/共96頁第四十五頁，共96頁。解之得特征向量v1的通解(tngji)為v1=v11 v11 2v11令v11=1,解之得v1=v11 v12 v13= 1 1 23. 計算計算(j sun)重特征值重特征值2=3=2的特征向量。的特征向量。按定義有按定義有(2I-A)v2=0即即0202101101232221vvv第46頁/共96頁第四十六頁，共96頁。第47頁/共96頁第四十七頁，共96頁。4. 廣義特征向量廣義特征向量(xingling)某些重特征值的線性獨立特征向量某些重特征值的線性獨立特征向量(xingling)數(shù)數(shù)(幾何重

27、數(shù)幾何重數(shù))小于其代數(shù)重數(shù)小于其代數(shù)重數(shù),從而使得矩陣所有特從而使得矩陣所有特征值所對應(yīng)的線性獨立特征向量征值所對應(yīng)的線性獨立特征向量(xingling)數(shù)數(shù)之和小于矩陣維數(shù)。之和小于矩陣維數(shù)。為此為此,為能進(jìn)行空間的結(jié)構(gòu)分解和分析為能進(jìn)行空間的結(jié)構(gòu)分解和分析,下面引入一下面引入一組輔助的空間變換基向量組輔助的空間變換基向量(xingling)-廣義特廣義特征向量征向量(xingling)。定義定義 廣義特征向量廣義特征向量(xingling)是重特征值是重特征值i所所對應(yīng)的某個線性獨立的特征向量對應(yīng)的某個線性獨立的特征向量(xingling)vj滿足如下方程組的向量滿足如下方程組的向量(xi

28、ngling)vj,k:,.3 , 2)(1,1 ,kvvAIvvkjkjijj解上述方程組一直到無解(w ji)為止,就可求得特征值i的特征向量vj所對應(yīng)的所有廣義特征向量vj,k。第48頁/共96頁第四十八頁，共96頁。重特征值i的特征向量vj的廣義特征向量vj,1,vj,2,組成的向量鏈稱為i的特征向量vj對應(yīng)的特征向量鏈。廣義特征向量并不是矩陣的特征向量,它只是與對應(yīng)的特征向量組成該矩陣在n維線性空間(kngjin)中的一個不變子空間(kngjin)。矩陣的所有特征向量和廣義特征向量線性獨立,并且構(gòu)成n維線性空間(kngjin)的一組基底。第49頁/共96頁第四十九頁，共96頁。第50

29、頁/共96頁第五十頁，共96頁。 5 維線性空間 3 重特征值 2 重特征值 1 個獨立特征向量+1 個廣義特征向量 1 個獨立特征向量 1 個獨立特征向量+1 個廣義特征向量 2 維獨立、不變的特征子空間 2 維獨立、不變的特征子空間 1 維獨立、不變的特征子空間 第51頁/共96頁第五十一頁，共96頁。 5 維線性空間 3 重特征值 2 重特征值 1 個獨立特征向量+2 個廣義特征向量 1 個獨立特征向量 3 維獨立、不變的特征子空間 1 維獨立、不變的特征子空間 1 維獨立、不變的特征子空間 1 個獨立特征向量 第52頁/共96頁第五十二頁，共96頁。111201634A第53頁/共96

30、頁第五十三頁，共96頁。0211211633131211vvv第54頁/共96頁第五十四頁，共96頁。第55頁/共96頁第五十五頁，共96頁。)(2/ 1211211633121112112, 1vvvvv因此,根據(jù)方程(fngchng)的可解性,存在廣義特征向量的特征向量v1中的v11和v12滿足v11=-3v123倍關(guān)系(gun x)第56頁/共96頁第五十六頁，共96頁。第57頁/共96頁第五十七頁，共96頁。第58頁/共96頁第五十八頁，共96頁。線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的特征規(guī)范型線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的特征規(guī)范型以特征值表征的標(biāo)準(zhǔn)型以特征值表征的標(biāo)準(zhǔn)型1、對角線規(guī)范型、對角線規(guī)范型對

31、角線規(guī)范形是指系統(tǒng)矩陣對角線規(guī)范形是指系統(tǒng)矩陣A為對角線矩陣的一類為對角線矩陣的一類狀態(tài)空間模型。狀態(tài)空間模型。對于對于(duy)該類狀態(tài)空間模型該類狀態(tài)空間模型,由于在系統(tǒng)分析和由于在系統(tǒng)分析和綜合時綜合時,清晰直觀清晰直觀,使問題得以簡化使問題得以簡化該類系統(tǒng)可簡化成該類系統(tǒng)可簡化成n個一階慣性環(huán)節(jié)的并聯(lián)個一階慣性環(huán)節(jié)的并聯(lián)故在狀態(tài)空間分析法中是較重要的一類特殊狀態(tài)故在狀態(tài)空間分析法中是較重要的一類特殊狀態(tài)空間模型?？臻g模型。任何具有任何具有n個線性獨立特征向量的狀態(tài)空間模型一個線性獨立特征向量的狀態(tài)空間模型一定能經(jīng)狀態(tài)變換變換成對角線規(guī)范形。定能經(jīng)狀態(tài)變換變換成對角線規(guī)范形。第59頁/共

32、96頁第五十九頁，共96頁。q 結(jié)論(jiln) 已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為ABxxu其中系統(tǒng)(xtng)矩陣uxxBA 若A的n個特征值1,2,n所對應(yīng)的特征向量線性獨立,則必存在變換矩陣P,使其進(jìn)行狀態(tài)變換 x=P 后為對角線規(guī)范(gufn)形,即系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 x為對角線矩陣,并且變換矩陣P可取為P=p1 p2 pn其中pi為矩陣A對應(yīng)于特征值i的特征向量。112diag ,.,nAP AP 第60頁/共96頁第六十頁，共96頁。.diag.00.0.00.0.2121212211nnnnnPpppppp第61頁/共96頁第六十一頁，共96頁。112diag ,.,nAP AP Px

33、x即證明(zhngmng)了結(jié)論。對原狀態(tài)方程進(jìn)行(jnxng)線性變換 后,可得第62頁/共96頁第六十二頁，共96頁。例例：關(guān)于非奇異：關(guān)于非奇異(qy)變換陣和狀態(tài)方程的非唯一性變換陣和狀態(tài)方程的非唯一性 30,02,3120 CBA考慮考慮(kol)系統(tǒng)系統(tǒng) 為：為： ),(CBA非奇異非奇異(qy)變換后變換后 ),(CBA1）若選擇非奇異變換陣）若選擇非奇異變換陣T為：為： 0226T311021T1 06,10,3210 CBA結(jié)論結(jié)論：不同的非奇異變換陣，對應(yīng)不同的狀態(tài)方程，：不同的非奇異變換陣，對應(yīng)不同的狀態(tài)方程，非唯一性非唯一性2）若選擇非奇異變換陣）若選擇非奇異變換陣T為

34、：為： 1112T2111T1 33,22,2001 CBA第63頁/共96頁第六十三頁，共96頁。BuAxx 327,120010112BA當(dāng)當(dāng) 時，時， 2)確定確定(qudng)非奇異矩陣非奇異矩陣P 21 0203001200301103121213121312111vvvvvvvv 1, 1, 2112120010112321 AI1)求其特征值求其特征值:第64頁/共96頁第六十四頁，共96頁。為為任任意意常常數(shù)數(shù)113121, 0vvv 0011v取取: 0220302200001133222322212322212vvvvvvvv當(dāng)當(dāng) 時，時，12 0,123222 vvv取取

35、: 1102v1013v同理當(dāng)同理當(dāng) 時，時， 得得:13 第65頁/共96頁第六十五頁，共96頁。110010111T,110010101T1321并求得所以有vvv522327110010111T100010002110010101120010112110010111TT11BBAABA,3）求）求uxx 522100010002對角線標(biāo)準(zhǔn)型為：對角線標(biāo)準(zhǔn)型為：第66頁/共96頁第六十六頁，共96頁。2、約旦規(guī)范形、約旦規(guī)范形若系統(tǒng)存在重特征值且線性獨立特征向量數(shù)小若系統(tǒng)存在重特征值且線性獨立特征向量數(shù)小于該特征值的重數(shù)時于該特征值的重數(shù)時,則系統(tǒng)矩陣則系統(tǒng)矩陣A不能變換不能變換成對角線矩

36、陣。成對角線矩陣。在此種情況下在此種情況下,A可變換成約旦矩陣可變換成約旦矩陣,系統(tǒng)表達(dá)式系統(tǒng)表達(dá)式可變換成約旦規(guī)范形?？勺儞Q成約旦規(guī)范形。下面將分別討論下面將分別討論(toln)約旦塊和約旦矩陣約旦塊和約旦矩陣約旦規(guī)范形及其計算約旦規(guī)范形及其計算第67頁/共96頁第六十七頁，共96頁。1） 約旦塊和約旦矩陣約旦塊和約旦矩陣(j zhn)矩陣矩陣(j zhn)的約旦塊的定義為的約旦塊的定義為由l個約旦塊Ji組成的塊對角的矩陣(j zhn)稱為約旦矩陣(j zhn),如J=block-diagJ1 J2 Jl1.0001.000.0.100.01immiiiimJii第68頁/共96頁第六十八頁

37、，共96頁。30000100011000011000110001100002上述第一個約旦矩陣(j zhn)有兩個約旦塊,分別為11維的特征值2的約旦塊和33維的特征值-1的約旦塊;第二個約旦矩陣(j zhn)有三個約旦塊,分別為11維的特征值3的約旦塊以及11維和22維的特征值-1的兩個約旦塊。對角線矩陣(j zhn)可視為約旦矩陣(j zhn)的特例,其每個約旦塊的維數(shù)為11。第69頁/共96頁第六十九頁，共96頁。2) 約旦規(guī)范形及其計算約旦規(guī)范形及其計算定義定義 系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣A為約旦矩陣的狀態(tài)空間模型稱為為約旦矩陣的狀態(tài)空間模型稱為約旦規(guī)范形。約旦規(guī)范形。與對角線規(guī)范形一樣與對角線

38、規(guī)范形一樣,約旦規(guī)范形也是線性定常系約旦規(guī)范形也是線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析統(tǒng)的狀態(tài)空間分析(fnx)中一種重要的狀態(tài)空中一種重要的狀態(tài)空間模型。間模型。下面討論一般狀態(tài)空間模型與約旦規(guī)范形之間的下面討論一般狀態(tài)空間模型與約旦規(guī)范形之間的線性變換的計算問題。線性變換的計算問題。對于任何有重特征值且其線性獨立特征向量數(shù)小對于任何有重特征值且其線性獨立特征向量數(shù)小于其維數(shù)的矩陣于其維數(shù)的矩陣,雖然不能通過相似變換化成對雖然不能通過相似變換化成對角線矩陣角線矩陣,但但可經(jīng)相似變換化為約旦矩陣?？山?jīng)相似變換化為約旦矩陣。第70頁/共96頁第七十頁，共96頁。一般(ybn)狀態(tài)空間表達(dá)式對角線規(guī)范(gu

39、fn)形約旦規(guī)范形n個獨立特征向量代數(shù)重數(shù)=幾何重數(shù)代數(shù)重數(shù)幾何重數(shù)n個獨立特征向量與廣義特征向量特例線性變換第71頁/共96頁第七十一頁，共96頁。若將對角線矩陣視為約旦矩陣的特例的話,則任何矩陣皆可經(jīng)相似變換化為約旦矩陣。相應(yīng)地,任何狀態(tài)空間模型都可經(jīng)狀態(tài)變換變換成約旦規(guī)范形。對角線矩陣：各狀態(tài)變量間是完全解耦的。約當(dāng)型矩陣：各狀態(tài)變量間最簡單的耦合形式，每個變量至多和下一個變量有關(guān)聯(lián)(gunlin)。任何矩陣都可變換成約旦矩陣,但能變換成有幾個約旦塊的約旦矩陣,則與系統(tǒng)的特征向量有關(guān)。對此有如下結(jié)論:矩陣所變換成的約旦矩陣的約旦塊數(shù)等于該矩陣的線性獨立特征向量數(shù)(即幾何重數(shù))。第72頁/

40、共96頁第七十二頁，共96頁。)(AIrankn 由線性代數(shù)矩陣的對角化由線性代數(shù)矩陣的對角化(jio hu)可知，此時，仍能變換成可知，此時，仍能變換成對角線標(biāo)準(zhǔn)型。對角線標(biāo)準(zhǔn)型。1)(AIrank 這種情況下，不能變換成對角線標(biāo)準(zhǔn)型。故引入這種情況下，不能變換成對角線標(biāo)準(zhǔn)型。故引入約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。2)(AIrank 第73頁/共96頁第七十三頁，共96頁。結(jié)論結(jié)論 已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x=Ax+Bux=Ax+Bu若若A A的共有的共有p(pn)p(pn)個互異的特征值個互異的特征值,l(p,l(pl ln)n)個線性獨立特個線性獨立特征向量征向量

41、pipi及相應(yīng)的廣義特征向量及相應(yīng)的廣義特征向量pi,j(i=1,2,l;j=1,2,mi),pi,j(i=1,2,l;j=1,2,mi),則必存在變換矩陣則必存在變換矩陣P,P,使其進(jìn)行使其進(jìn)行(jnxng)(jnxng)狀態(tài)變換狀態(tài)變換x=P x=P 后后為約旦規(guī)范形為約旦規(guī)范形, ,即系統(tǒng)的狀態(tài)方程為即系統(tǒng)的狀態(tài)方程為AB xxu其中系統(tǒng)矩陣為約旦矩陣,并且(bngqi)變換矩陣P可取為P=P1 P2 Pl變換(binhun)矩陣 P=P1 P2 Pl中的Pi為矩陣A對應(yīng)于線性獨立特征向量pi的特征向量鏈組成的分塊矩陣x 第74頁/共96頁第七十四頁，共96頁。2110002000002

42、0031511 1000 xxuyxq例 試將下列狀態(tài)空間模型(mxng)變換為約旦規(guī)范形第75頁/共96頁第七十五頁，共96頁。解解 1. 先求先求A的特征值。由特征方程可求得特征值為的特征值。由特征方程可求得特征值為1=2=3=2 4=-12. 求特征值所對應(yīng)的特征向量。求特征值所對應(yīng)的特征向量。求得特征值求得特征值2由如下由如下(rxi)兩個線性獨立特征向量兩個線性獨立特征向量P1,1=1 1 -1 1/3 P2,1=1 0 0 -1p2,1的廣義特征向量為的廣義特征向量為P2,2=1 1 0 -1特征值特征值-1的特征向量為的特征向量為P3,1=0 0 0 1第76頁/共96頁第七十六

43、頁，共96頁。3. 取取A的特征向量和廣義特征向量組成變換的特征向量和廣義特征向量組成變換(binhun)矩陣矩陣P并求逆陣并求逆陣P-1,即有即有14/3010110001101001111/300010101011111 , 32 , 21 , 21 , 1PppppP第77頁/共96頁第七十七頁，共96頁。 0111 1000100002000120000211CPCBPBAPPA4. 計算計算(j sun)各矩陣各矩陣xyuxx 0111 10001000020001200002第78頁/共96頁第七十八頁，共96頁。n ,21 112112222121111nnnnnnP 第79頁/

44、共96頁第七十九頁，共96頁。11.1.00.0.10aaaAnn其特征多項式為|I-A|=n+a1n-1+an-1+an即該類矩陣的最后(zuhu)一行與特征多項式的系數(shù)一一對應(yīng)。該類特殊系統(tǒng)矩陣A稱為友矩陣。單位(dnwi)矩陣第80頁/共96頁第八十頁，共96頁。1.1 niiipiiniiiniiiniinnipaaaAp12111.1.1.1.00.0.10該結(jié)論(jiln)可由下式證明。即pi為友矩陣的特征值i對應(yīng)(duyng)的特征向量。第81頁/共96頁第八十一頁，共96頁。1121121.1.11nnnnnP010000100236 100 xxuyxq 例 試將下列狀態(tài)空間

45、(kngjin)模型變換為對角線規(guī)范形第82頁/共96頁第八十二頁，共96頁。1/21/201201/23/214102101111PP第83頁/共96頁第八十三頁，共96頁。 111 36320001000011CPCBPBAPPA000301060023 111 xxuyx4. 系統(tǒng)在新的狀態(tài)變量下的狀態(tài)空間系統(tǒng)在新的狀態(tài)變量下的狀態(tài)空間(kngjin)模型為模型為第84頁/共96頁第八十四頁，共96頁。 如果系數(shù)矩陣如果系數(shù)矩陣(j zhn)A是友矩陣是友矩陣(j zhn) 如果其特征值如果其特征值 是是m重根，重根， 是兩兩相異的，則將系是兩兩相異的，則將系統(tǒng)狀態(tài)方程化為統(tǒng)狀態(tài)方程化為Jordan約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的非奇異矩陣約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的非奇異矩陣(j zhn)T，其，其形式為：形式為：1 l 32,1121)!1() 1()2)(1(3322222312)2)(1(2111121311211000110) 1(331201001Tnlnmnmmnnnlllnnnnnn第85頁/共96頁第八十五頁，共96頁。BuAxx 1579,212100010BA 1122121001det AI1, 1, 2321 第86頁/共96頁第八十六頁，共96頁。61213121213131123222132110T,11411211111