空間向量學案

1、3.1.1-3.1.2空間向量及其運算學案預習案11爭三川戀-1-掌握空間向量的概念，學會其運算.2.理解向量共線、共面定理.竽包重良:掌握空間向量的概念，學會其運算笑蟲住點:,掌握空間向量的概念，學會其運算任務一：空間向量的概念1 .空間向量的定義在空間中，我們把具有 和 的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長度或模.2 .空間向量的表示方法(1)幾何表示：空間向量用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的 .(2)符號表示：空間向量可用一個字母表示，如向量 a,也可用有向線段的起點、終點的字母表示,uuruuru也可用表不向量a的有向線段的起點 A和終點B表不為AB ,向量的模記為|a|或

2、|AB|.3 .幾個特殊的空間向量零向量長度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為 a相等向量方向相同且的1可量稱為相等向量4 .空間向量的加法和減法運算已知空間向量a, b,可以把它們平移到同一個平面內(nèi)，以任意點 O為起點，作向量 OA a , OB b ,類似于平面向量，可以定義空間向量的加法和減法運算uuiruuu uuuuuuuuuruuurOBOA AB (參考書85 頁圖 3.1-4), CAOAOC .(參考書85 頁圖 3.1-5)5 .空間向量的加法運算律(1)交換律：a b； ( 2)結(jié)合

3、律：(a b) c a (b c) 以上運算律對于多個空間向量的加法也是成立的.6 .空間向量的數(shù)乘運算(1)定義：與平面向量一樣，實數(shù)與空間向量a的乘積 a仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算.(2)向量 a與a的關(guān)系：如圖，當 0時，a與向量a的；當 0時， a與向量a的a的長度是向量a的長度的 倍.（3）空間向量的數(shù)乘運算律：分配律：（a b） a b；結(jié)合律：（a） （ ）a.7 .共線向量（1）定義如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相 ,則這些向量叫做共線向量或平行向量.（2）向量共線的充要條件（即共線向量定理）對于空間任意兩個向量a,b（b 0）, a，的充要條件是存在實數(shù)，使.

4、（3）共線向量定理的推論l為經(jīng)過已知點 A且平行于已知非零向量 a的直線，對空間任意一點。，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t,使op oa ta，其中向量a叫做直線l的方向向量.uuu uuu uuu uuu uur若在l上取aB a,則式可以化為OP OA tAB （1 t）OA tOB.注：共線向量定理及其推論可用來證明直線平行和空間三點共線.8.共面向量 （1）定義 平行于 的向量，叫做共面向量.（2）三個向量共面的充要條件（即共面向量定理） 如果兩個向量a , b不共線，那么向量 p與向量a , b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x, y）,使p .（3）共面向量定理的推論空

5、間一點 P位于平面 ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對（x, V）,使uuuuuuuuiruuinuuuuuu uuurAPxAByAC;或?qū)臻g任意一點。，有OPOAxAByAC.式稱為空間平面ABC的向 量表示式.由此可知，空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定.三點共線的充要條件：由共線向量定理的推論，我們可以得到空間三點共線的充要條件為uuuuuuuuuOPOAOB ,且 =1 .此結(jié)論經(jīng)常使用預習檢測1 .若a，b，C是空間任意三個向量,R,則下列關(guān)系式中，不成立的是（）A- a b b a B- （a b） a b C. （a b） c a （b c） D- b a uu

6、uv2 .已知空間四邊形ABCD中，ABa,BCb,AD c,則CD（）A. a b cB. c a bC.c a b D. abcuuuu3 .如圖所示，在正方體 ABCD ABC1D1中，下列各式中運算結(jié)果為向量AC1的是（）uuuuuiruuuruuiruuuruuuuruuruuuruuuruuruunnuuur（AB BC）CC1；（AAAD1）DC1；（ABBB）BC1 ;（AAAB1）BC1鞏固練習1 .如圖（1）所示,在平行六面體(3)C. D.A. B.ABCD-A1B1C1D1 中,？?1? ?A- ABB.?C ? D.?如圖（2）,空間四邊形ABCD中，若 E , F

7、, G ,H分別為AB ,BC,CD各式中成立的（)uurruuiruuuruuuruuuunruuurunrA. EBBFEHGH0B.EBFCEHGEuuiruurunruuuruuuuuuuuuuuurC- EFFGEHGH0D.EFFBCGGH00,DA的中點，則下列2.3.如圖（3）,在三棱錐 OABC中，點D是棱AC的中點，若oaOB-uur “一OC c，則BD等于A- a b c B-一 1 ，C. - a b21 uuu4.已知。為空間任意一點，？三點不共線 若？?？OA31 .-c21 uur -OB 2D.1 uuur-OC ,則？四點（）6A. 一定不共面B.不一定共面

8、C. 一定共面D.無法判斷5.已知正方體ABCD-A'B'C'D'的中心為O,則有下列結(jié)論：（）uuu unruuir uuur OA+ OD 與OB'+ OC'是uuu uiuruuiruur對相反向量；OB-OC與OA'-OD'是一對相反向量；uuu uuru umr uuur_uur uur umr uuiruur uuu - uur uurOA+ OB+ OC + OD與OA'+ OB'+ OC'+ OD'是一對相反向重；OA'-OA與OC-OC'是一對相反向量.其中正確的有

9、A. 1個 B. 2個C. 3個D. 4個uuuuum6.已知空間四邊形 ABCD,連接AC , BD ,則AB BCuuuCD7.已知點P和不共線的三點 A,B,C,四點共面且對于空間任意一點O，者B 有？?=? 2?+?+?U 入 J.8.設(shè)e，e2是兩個不共線的空間向量，若AB2eke2，CB 3e3e2，CDkee2，且A, B,D三點共線，則實數(shù)k的值為9.已知。是空間任一點，A, B, C, D四點滿足任三點均不共線，四點共面，且uuuunrOA 2xBOuur uuur3yCO 4zDO ,則2x 3y 4z .3.1.3 空間向量的數(shù)量積運算3.1.4 空間向量的正交分解及其坐

10、標表示3.1.5 空間向量運算的坐標表示笑過目亙,：1.掌握空間向量的概念，學會其運算.2.理解向量基本定理、坐標運算.定習重點;理解向量基本定理、坐標運算美里電*理解向量基本定理、坐標運算任務一：空間向量的數(shù)量積1 .空間兩向量的夾角已知兩個非零向量 a , b ,在空間任取一點 。，作oA a , oB b ,則AOB (0 AOB )叫做向量a, b的夾角，記作 a,b .2 .空間向量的數(shù)量積已知兩個非零向量 a, b，則|5| |b|cos a,b叫做a，b的數(shù)量積，記作a b , 即 a b -類比平面向量，由此可知，零向量與任何向量的數(shù)量積為 .3 .空間向量數(shù)量積的性質(zhì)(1)若

11、a是非零向量，e是任意單位向量，則 a e | a | cos a,e .(2)若a , b是非零向量，則 a b a b 0 -(3)a a |a | a | cos a, a |a |2 -(4)若 為 a 與 b 的夾角，則 cos -注意：(1)向量a , b的數(shù)量積記為a b ,而不能表示為a b或ab.任務二：空間向量運算的坐標表示1 .空間向量基本定理類似于平面向量基本定理，有空間向量基本定理：如果三個向量a,b,c不共面，那么對空間任一向量 p ,存在有序?qū)崝?shù)組x, y,z,使彳導p .其中，a,b,c叫做空間的一個基底，a,b,c都叫做基向量.2 .空間向量基本定理的推論設(shè)O

12、 , A, B , C是不共面的四點，則對于空間任一點P ,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 x, y, z,使得uuruuu uuuuurOPxOAyOBzOC,當且僅當 時，P, A, B, C四點共面.3 .單位正交基底設(shè)ei,e2,e3為有公共起點 O的三個兩兩 的單位向量，我們稱它們?yōu)閱挝徽换?用 0, e2, q來表不'.4 .空間向量的坐標表不以e,62,e3的公共起點O為原點，分別以61,62,4的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系Oxyz.那么，對于空間任意一個向量a，一定可以把它平移，使它的起點與原點O重合，得到向量OA a-由空間向量基本定理可知，存在有序

13、實數(shù)組x, y,z,使得a .我們把x, y,z稱作向量a在單位正交基底ei,e2,e3下的坐標，記作a.注：向量的坐標由起點、終點的坐標共同決定，并不受起點位置的影響.5 .單位正交基底之間的數(shù)量積運算(1)因為單位正交基底 e,e2,e3互相垂直，所以e e2己e3 e2 e3 .(2)因為0,a，q為單位向量，所以 e1 e 62 e2 Q Q 1.6 .空間向量的坐標運算空間向量的加法、減法、數(shù)乘及數(shù)量積運算的坐標表示都可以類似平面向量的坐標運算得到.(a1,a2,a3)， b (bibh)，則(1)a b (a1bi,a2 b2,a3 b3)，(a1 bi,a2 b2,a3 b3)，

14、(2)a/b|a|(3)(a1,a2, a3),a1bia2b2b a1b1, a2b2,a3cosa, b在空間直角坐標系中，已知點A(x(, y1, z1),b a b 0a1ha2b2a1b1a2b2a3b3a； a2 a；，b12 b2 b2 'B(x2,y2,Z2),則A, B兩點間的距離da300,|AB|222d(K x2) (y1 y2) (z1 z?).般按照右手系建系注：進行向量運算時，在能建系的情況下盡量建系，將向量運算轉(zhuǎn)化為坐標運算, 預習檢測1 .已知 |a| 3，|b| 4， a,b 120，則 12a b|A. 2 B. 76C. 2719D. 42 .若

15、非零向量a，b滿足|a|b|, (2a b) b 0，則a與b的夾角為A. 30 B. 60C. 120 D. 1503 .下列各組向量中，可以作為基底的是A-e'(0,0)©(1, 2)B-0( 1,2),號(5,7)13、C.e(3,5),e2(6,10)D.e,(2, 3)e(-,-)鞏固練習1 .在空間四邊形 ABCD中,?？?拿？?？?羯？?聚Q?A. 0B.C. 1 D.無法確定2.已知a,b是異面直線，A,B a,C,D b,ACb, BD b,且AB 2,CD 1,則a與b所成的角是A. 30 B. 45C. 60 D. 903 .在空間四邊形0Hse中，OB

16、OC ,乙4。3 =乙4。=三，則ua必藍)等于1 6I八A.B.C. -D.2 223,已知A(1, 2,0)和向量a ( 3,4,12)，且AB 2：，則點B的坐標為A. ( 7,10,24) B. (7, 10, 24) C. ( 6,8,24) D. ( 5,6, 24)4 .已知 a (m,2, 4)，b (3, 4,n)，且 a/b，則 m，n 的值分別為333一 ，、A. ?= - 2,?= 8 B. ?= 2,?= 8 C. ?= - - ,?= -8 D.無法確定* 5 .已知空間向量a (1,1,0), b ( 1,0,2),則與向量a b方向相反的單位向量的坐標是、.5

17、2 >552.5A. (0,1,2) B. (0,-1,-2) C. (0, 5 , 5 ) D. (0,5 ,5 )6.若向量a,b的坐標滿足a b(2, 1,2)，a b (4, 3, 2)，則 I bA. 5B. -5C. 7D. -17.已知A(2,5,1), B(2,-uuu-uo ,2,4) , C(1, 4,1),則AC與AB的夾角為A. 30 B. 45C. 60 D. 908 .已知點A在基底a,b,c下的坐標為(8,6,4),其中a i j,b j k,c k i ,則點A在基底i, j,k下的坐標是C. (14,12,10) D. (4,3,2)A. (12,14,

18、10) B. (10,12,14)9.已知向量 a ( 2, 3,1),b (2,0,4),c(4, 6,2),則下列結(jié)論正確的是A . a c,b cB . a / b, a cC. a/c,a b D.以上都不對10.在如圖所示的空間直角坐標系中則點F的坐標為M.一 1A. (2,4,0)B. (2,3,0)3C. (2,2,0)D. (2,3,0)311.已知向量(1,1,0),b(1,0,2)，且 kab與2ab互相垂直，則k的值為A. 1D.12.已知向量i, j, k是一組單位正交向量,m 8j3k,n i 5jB. -20C. 28D. 1113.在棱長為1的正方體ABCDuuuu uuimABCD 中，AD BC，正方體？?？?？的棱長為2,?為正方體的棱？?勺中點，？為I?的一點，且/?= 9014.已知空間向量a , b滿足|a|4, |b| 8，a與 b 的夾角為 150 ,則(a 2b) (2a b)15 .已知向量 a ( 1,2,1),b (2,2,0),則a在b方向上的投影為16 .在平面直角坐標系中，已知點？(1,2,0),?(?3,-1), ?(4,?2),若？? ? ?五點共線，則？?+ ?=.17 .若向量 a (4,2, 4),b (6