流函數(shù)與勢(shì)函數(shù)

1、一、流函數(shù)流函數(shù)概念的提出是僅對(duì)不可壓縮流體的平面流動(dòng)而言的。所謂平面流動(dòng)是指流場(chǎng)中各點(diǎn)的流速都平行于某一固定平面，并且各物理量在此平面的垂直方向上沒(méi)有變化。由不可壓縮流體的平面流動(dòng)的連續(xù)方程得(1)Su=dxdy平面流動(dòng)的流線微分方程為噸皿°式(1)是式(2)成為某一函數(shù)與(兒刃的全微分的必要且充分的條件，即dx+dy=-vdx+udy于是U-6屮dydx很顯然，在流線上=或=C。每條流線對(duì)應(yīng)一個(gè)常數(shù)值,所以稱函數(shù)t為流函數(shù)。對(duì)于不可壓縮流體的平面流動(dòng)，用極坐標(biāo)表示的連續(xù)方程、流函數(shù)的微分和速度分量分別為:drdO-vedr+vYrdOrOff均二一dipdr流函數(shù)具有明確的物理意

2、義：平面流動(dòng)中兩條流線間單位厚度通過(guò)的體積流量等于兩條流線上的流函數(shù)常數(shù)之差。在流函數(shù)*的定義中，為保證流函數(shù)變化值d與流量增量值dqv同號(hào)，規(guī)定繞B點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较虼┻^(guò)曲線AB的流量為正，反之為負(fù)，這里的流量qv是指通過(guò)z方向?yàn)閱挝桓叨鹊闹娴捏w積流量。通過(guò)A點(diǎn)的流線的流函數(shù)值-，通過(guò)B點(diǎn)的流線的流函數(shù)值二，則通過(guò)AB柱面的體積流量為“cos仇|rm：qvVdlucos(n7)+AABTTB二Judy-vdx)./IB卩二屮2屮'A在引出流函數(shù)這個(gè)概念時(shí)，既沒(méi)有涉及流體是粘性的還是非粘性的，也沒(méi)有涉及流體是有旋的還是無(wú)旋的。所以，無(wú)論是理想流體還是粘性流體，無(wú)論是有旋流動(dòng)還是無(wú)旋流動(dòng)，只

3、要是不可壓縮流體的平面流動(dòng)，就存在流函數(shù)，對(duì)于xoy平面內(nèi)的無(wú)旋流動(dòng)，有z=°，即：dxdy也可得v即不可壓縮流體的平面無(wú)旋流動(dòng)的流函數(shù)滿足拉普拉斯方程，也是調(diào)和函數(shù)。對(duì)于極坐標(biāo)系，該滿足拉普拉斯方程為二、速度勢(shì)函數(shù)對(duì)于無(wú)粘性（理想）流體的無(wú)旋流動(dòng)而言，由斯托克斯定理可知，沿流場(chǎng)中任意封閉周線的速度線積分，即速度環(huán)量均為零。對(duì)于無(wú)旋流動(dòng)，該封閉周線所包圍的速度環(huán)量為零，有BALXBL2A即曲力念二J»念十J»念二oAh呂丄2AA血B且耳A因此有J&蟲(chóng)=-JV（&AIBBIA即J»念=Jj4ZjS衛(wèi)厶遲對(duì)于理想流體無(wú)旋流動(dòng)，從參考點(diǎn)A到另一

4、點(diǎn)B的速度線積分與點(diǎn)A至點(diǎn)B的路徑無(wú)關(guān)，上式中ds表示連接點(diǎn)A與點(diǎn)B的任意微元曲線。也就是說(shuō)，速度線積分僅僅取決于B點(diǎn)相對(duì)于A點(diǎn)的位置，具有單值勢(shì)函數(shù)的特征。曲=叫=化=°由無(wú)旋流動(dòng)的充要條件可知dvdu即：云創(chuàng)0U0Wdzdxdwdvdydz上式是皿訕、'必成為某一函數(shù)gf）的全微分的必要且充分條件。函數(shù)恥亠"成為速度勢(shì)函數(shù)，簡(jiǎn)稱速度勢(shì)當(dāng)以t作為參變量時(shí)，即流體作定常流動(dòng)時(shí)，速度勢(shì)函數(shù)的全微分可寫(xiě)成dxdvd<p=vdy+wdzW-如于是可以得到rrrrV-ui+y/+wk=dz形式，f+y+=grarf卩二dxdydz上式說(shuō)明了速度勢(shì)函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)：速

5、度在笛卡爾直角坐標(biāo)系中三個(gè)坐標(biāo)軸x、y、z方向上的分量等于速度勢(shì)函數(shù)關(guān)于相應(yīng)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)。?那么這一性質(zhì)是否可以用于流場(chǎng)中任何方向呢？答案是肯定的，證明過(guò)程如下：流場(chǎng)中任取一點(diǎn)M的速度為,它在方向s上的分量為VS。由于流場(chǎng)中有速度勢(shì)'存在，它關(guān)于方向s的偏導(dǎo)數(shù)為:dxdydz=tlFVFWdsdsdsd(pd<pdxdpdydsdxdsdydsfifeds-Vcosx)+cos(Z,y)+cos(K,z)dsdsds-Vcos(Z3x)cos(j3x)+cosfX,y)cos(j?j)+cos(F3z)cos(j?z)=Vcos(Z5巧二匕上式中g(shù)”-工)、co"

6、9;)、心(心)和5陣口、CEt)、分別表示速度矢量爐和方向矢量'對(duì)于x、y、z軸的方向余弦在圓柱坐標(biāo)系下，徑向速度V-、切向速度5、軸向速度分別為:dq?速度勢(shì)函數(shù)僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)上的概念，沒(méi)有所對(duì)應(yīng)的物理意義。在定常流動(dòng)中速度勢(shì)與時(shí)間無(wú)關(guān)，僅是空間位置的函數(shù)。當(dāng)不可壓縮流體或可壓縮流體作無(wú)旋流動(dòng)時(shí)，總有速度勢(shì)存在，這種流動(dòng)又被稱為有勢(shì)流動(dòng)，即無(wú)旋流動(dòng)等同于有勢(shì)流動(dòng)。在有勢(shì)流動(dòng)中，沿曲線AB的切向速度線積分等于終點(diǎn)B與起點(diǎn)A的速度勢(shì)之差。r沿任一曲線AB切向速度的線積分'''可寫(xiě)成r=jj?-=j(ABudx+vdy+wdz)A在有勢(shì)流動(dòng)中，沿任一封閉周線（A、

7、B點(diǎn)重合）的速度環(huán)量為:r=J(udx+vdy+wdz)=|d(p如果速度勢(shì)是單值的和連續(xù)的，則沿任一封閉周線的速度環(huán)量等于零對(duì)于不可壓縮流體，有°，有3冷擴(kuò)卩擴(kuò)卩2dxdydz上式中dz2為拉普拉斯算子。當(dāng)不可壓縮流體作有勢(shì)流動(dòng)時(shí)，速度勢(shì)滿足拉普拉斯方程。滿足拉普拉斯方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)。由于拉普拉斯方程V次方程，該方程的不同解的疊加后仍然是該方程的解。設(shè)調(diào)和函數(shù)，則e甲亡爭(zhēng)（其中5和為任意常數(shù)）也是調(diào)和函數(shù)。因此，簡(jiǎn)單的調(diào)和函數(shù)可以疊加成復(fù)雜的調(diào)和函數(shù)，這為簡(jiǎn)單無(wú)旋流動(dòng)的疊加提供理論基礎(chǔ)。對(duì)于圓柱坐標(biāo)系，拉普拉斯方程變?yōu)関V=也+】翌+dr2rdr10Vd2(p+=r2QO2d

8、z2應(yīng)當(dāng)指出的是，速度勢(shì)函數(shù)滿足拉普拉斯方程的前提條件是不可壓縮流體的無(wú)旋流動(dòng)，而并未限制流動(dòng)是定?；蚍嵌ǔ?，速度勢(shì)函數(shù)也可以是時(shí)間的函數(shù)。三、流網(wǎng)對(duì)于不可壓縮流體的平面無(wú)旋流動(dòng)（即有勢(shì)流動(dòng)），必然同時(shí)存在速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)'。根據(jù)它們與速度分量u、v的關(guān)系，可以得到'和'之間的重要關(guān)系式：dxdip上式稱為柯西-黎曼條件。;c;c流函數(shù)線'=Ci，等，構(gòu)成一簇流線，它們和等勢(shì)線等構(gòu)成一張描述平面流動(dòng)特征的網(wǎng)，稱為流網(wǎng)。流線0C|和等勢(shì)線卩A1的交點(diǎn)為M。在等勢(shì)線卩上，有加二翌丘+翌和二0dxdyI卻由此可得等勢(shì)線的斜率為如一去一一3y的=在流線與上，有也必+也創(chuàng)=0dxdy6屮型）_氐I卻叱a屮由此可得流線的斜率為0°可得到等勢(shì)線和流線線簇的斜率的乘積d<pdip徑理I隹.瓦_(dá)1（必丿殲吐必丿蚱U翌也