流函數(shù)與勢函數(shù)

1、一、流函數(shù)流函數(shù)概念的提出是僅對不可壓縮流體的平面流動而言的。所謂平面流動是指流場中各點(diǎn)的流速都平行于某一固定平面，并且各物理量在此平面的垂直方向上沒有變化。由不可壓縮流體的平面流動的連續(xù)方程得(1)Su=dxdy平面流動的流線微分方程為噸皿°式(1)是式(2)成為某一函數(shù)與(兒刃的全微分的必要且充分的條件，即dx+dy=-vdx+udy于是U-6屮dydx很顯然，在流線上=或=C。每條流線對應(yīng)一個常數(shù)值,所以稱函數(shù)t為流函數(shù)。對于不可壓縮流體的平面流動，用極坐標(biāo)表示的連續(xù)方程、流函數(shù)的微分和速度分量分別為:drdO-vedr+vYrdOrOff均二一dipdr流函數(shù)具有明確的物理意

2、義：平面流動中兩條流線間單位厚度通過的體積流量等于兩條流線上的流函數(shù)常數(shù)之差。在流函數(shù)*的定義中，為保證流函數(shù)變化值d與流量增量值dqv同號，規(guī)定繞B點(diǎn)逆時針方向穿過曲線AB的流量為正，反之為負(fù)，這里的流量qv是指通過z方向?yàn)閱挝桓叨鹊闹娴捏w積流量。通過A點(diǎn)的流線的流函數(shù)值-，通過B點(diǎn)的流線的流函數(shù)值二，則通過AB柱面的體積流量為“cos仇|rm：qvVdlucos(n7)+AABTTB二Judy-vdx)./IB卩二屮2屮'A在引出流函數(shù)這個概念時，既沒有涉及流體是粘性的還是非粘性的，也沒有涉及流體是有旋的還是無旋的。所以，無論是理想流體還是粘性流體，無論是有旋流動還是無旋流動，只

3、要是不可壓縮流體的平面流動，就存在流函數(shù)，對于xoy平面內(nèi)的無旋流動，有z=°，即：dxdy也可得v即不可壓縮流體的平面無旋流動的流函數(shù)滿足拉普拉斯方程，也是調(diào)和函數(shù)。對于極坐標(biāo)系，該滿足拉普拉斯方程為二、速度勢函數(shù)對于無粘性（理想）流體的無旋流動而言，由斯托克斯定理可知，沿流場中任意封閉周線的速度線積分，即速度環(huán)量均為零。對于無旋流動，該封閉周線所包圍的速度環(huán)量為零，有BALXBL2A即曲力念二J»念十J»念二oAh呂丄2AA血B且耳A因此有J&蟲=-JV（&AIBBIA即J»念=Jj4ZjS衛(wèi)厶遲對于理想流體無旋流動，從參考點(diǎn)A到另一

4、點(diǎn)B的速度線積分與點(diǎn)A至點(diǎn)B的路徑無關(guān)，上式中ds表示連接點(diǎn)A與點(diǎn)B的任意微元曲線。也就是說，速度線積分僅僅取決于B點(diǎn)相對于A點(diǎn)的位置，具有單值勢函數(shù)的特征。曲=叫=化=°由無旋流動的充要條件可知dvdu即：云創(chuàng)0U0Wdzdxdwdvdydz上式是皿訕、'必成為某一函數(shù)gf）的全微分的必要且充分條件。函數(shù)恥亠"成為速度勢函數(shù)，簡稱速度勢當(dāng)以t作為參變量時，即流體作定常流動時，速度勢函數(shù)的全微分可寫成dxdvd<p=vdy+wdzW-如于是可以得到rrrrV-ui+y/+wk=dz形式，f+y+=grarf卩二dxdydz上式說明了速度勢函數(shù)的一個基本性質(zhì)：速

5、度在笛卡爾直角坐標(biāo)系中三個坐標(biāo)軸x、y、z方向上的分量等于速度勢函數(shù)關(guān)于相應(yīng)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)。?那么這一性質(zhì)是否可以用于流場中任何方向呢？答案是肯定的，證明過程如下：流場中任取一點(diǎn)M的速度為,它在方向s上的分量為VS。由于流場中有速度勢'存在，它關(guān)于方向s的偏導(dǎo)數(shù)為:dxdydz=tlFVFWdsdsdsd(pd<pdxdpdydsdxdsdydsfifeds-Vcosx)+cos(Z,y)+cos(K,z)dsdsds-Vcos(Z3x)cos(j3x)+cosfX,y)cos(j?j)+cos(F3z)cos(j?z)=Vcos(Z5巧二匕上式中g(shù)”-工)、co"

6、9;)、心(心)和5陣口、CEt)、分別表示速度矢量爐和方向矢量'對于x、y、z軸的方向余弦在圓柱坐標(biāo)系下，徑向速度V-、切向速度5、軸向速度分別為:dq?速度勢函數(shù)僅僅是一個數(shù)學(xué)上的概念，沒有所對應(yīng)的物理意義。在定常流動中速度勢與時間無關(guān)，僅是空間位置的函數(shù)。當(dāng)不可壓縮流體或可壓縮流體作無旋流動時，總有速度勢存在，這種流動又被稱為有勢流動，即無旋流動等同于有勢流動。在有勢流動中，沿曲線AB的切向速度線積分等于終點(diǎn)B與起點(diǎn)A的速度勢之差。r沿任一曲線AB切向速度的線積分'''可寫成r=jj?-=j(ABudx+vdy+wdz)A在有勢流動中，沿任一封閉周線（A、

7、B點(diǎn)重合）的速度環(huán)量為:r=J(udx+vdy+wdz)=|d(p如果速度勢是單值的和連續(xù)的，則沿任一封閉周線的速度環(huán)量等于零對于不可壓縮流體，有°，有3冷擴(kuò)卩擴(kuò)卩2dxdydz上式中dz2為拉普拉斯算子。當(dāng)不可壓縮流體作有勢流動時，速度勢滿足拉普拉斯方程。滿足拉普拉斯方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)。由于拉普拉斯方程V次方程，該方程的不同解的疊加后仍然是該方程的解。設(shè)調(diào)和函數(shù)，則e甲亡爭（其中5和為任意常數(shù)）也是調(diào)和函數(shù)。因此，簡單的調(diào)和函數(shù)可以疊加成復(fù)雜的調(diào)和函數(shù)，這為簡單無旋流動的疊加提供理論基礎(chǔ)。對于圓柱坐標(biāo)系，拉普拉斯方程變?yōu)関V=也+】翌+dr2rdr10Vd2(p+=r2QO2d

8、z2應(yīng)當(dāng)指出的是，速度勢函數(shù)滿足拉普拉斯方程的前提條件是不可壓縮流體的無旋流動，而并未限制流動是定?；蚍嵌ǔ＃俣葎莺瘮?shù)也可以是時間的函數(shù)。三、流網(wǎng)對于不可壓縮流體的平面無旋流動（即有勢流動），必然同時存在速度勢函數(shù)和流函數(shù)'。根據(jù)它們與速度分量u、v的關(guān)系，可以得到'和'之間的重要關(guān)系式：dxdip上式稱為柯西-黎曼條件。;c;c流函數(shù)線'=Ci，等，構(gòu)成一簇流線，它們和等勢線等構(gòu)成一張描述平面流動特征的網(wǎng)，稱為流網(wǎng)。流線0C|和等勢線卩A1的交點(diǎn)為M。在等勢線卩上，有加二翌丘+翌和二0dxdyI卻由此可得等勢線的斜率為如一去一一3y的=在流線與上，有也必+也創(chuàng)=0dxdy6屮型）_氐I卻叱a屮由此可得流線的斜率為0°可得到等勢線和流線線簇的斜率的乘積d<pdip徑理I隹.瓦_(dá)1（必丿殲吐必丿蚱U翌也