存在性問(wèn)題專題

1、存在性問(wèn)題專題一、概述1 .概述：存在性問(wèn)題是指判斷滿足某種條件的事物是否存在的問(wèn)題，這類問(wèn)題的知識(shí)覆蓋面較廣，綜合性較強(qiáng)，題意構(gòu)思非常精巧，解題方法靈活，對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力要求較高，是近幾年來(lái)各地中考的“熱點(diǎn)”。這類題目解法的一般思路是：假設(shè)存在一推理論證一得出結(jié)論。若能導(dǎo)出合理的結(jié)果，就做出“存在”的判斷，導(dǎo)出矛盾，就做出不存在的判斷。由于“存在性”問(wèn)題的結(jié)論有兩種可能，所以具有開(kāi)放的特征，在假設(shè)存在性以后進(jìn)行的推理或計(jì)算，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)，基本技能提出了較高要求，并具備較強(qiáng)的探索性，正確、完整地解答這類問(wèn)題，是對(duì)我們知識(shí)、能力的一次全面的考驗(yàn)。2 .分類：存在性問(wèn)題按定性可分為：肯

2、定性存在問(wèn)題(2)否定性存在問(wèn)題(3)討論性存在問(wèn)題二、例題分析例1若關(guān)于x的一元二次方程x2-3(m+1)x+m2-9m+20=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，又已知a、b、c分別是ABC的/A、/B、/C的對(duì)邊，/C=90,且cosB=3,5b-a=3,是否存在整數(shù)m,使上述一元二次方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于RtABC的斜邊c的平方？若存在，求出滿足條件的m的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。分析：這個(gè)題目題設(shè)較長(zhǎng)，分析時(shí)要抓住關(guān)鍵，假設(shè)存在這樣的m,滿足的條件有m是整數(shù)，一元二次方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于RtMBC斜邊c的平方，隱含條件判別式AR等，這時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)先抓彳RtzBC的斜邊為c這個(gè)突破口，利用題設(shè)條件，

3、運(yùn)用勾股定理并不難解決在RtAABC中，/C=90，:cosB=3解：5.,設(shè)a=3k,c=5k,則由勾股定理有b=4k,b-a=3,：4k-3k=3,：k=3.a=9,b=12,c=15設(shè)一元二次方程x23(m+1)x+m29m+20=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1,x2則有：x1x2=3(m1),x1x2=m2-9m20x2x2=(x1x2)2-2x1x2=3(m1)2-2(m29m20)2=7m36m-31由x2x2=c2,c=15有7m236m-31-225,即7m236m-256=0,64.m1=4,m2=7mu-64不是整數(shù)，應(yīng)舍去，7當(dāng)m=4時(shí)，0存在整數(shù)m=4,使方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等

4、于RtzABC的斜邊c的平方。如圖：已知在同一坐標(biāo)系中，直線y=kx+2-與y軸交于點(diǎn)P,拋物例2.2線y=x2-2(k+1)x+4k與x軸交于A(x1,0),B(x2,0)兩點(diǎn)，C是拋物線的頂點(diǎn)初二十班王文周存在性問(wèn)題專題(1)求二次函數(shù)的最小值(用含k的代數(shù)式表示)(2)若點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，且x1x20,一y最小值434k-4(k1)242-(k-1)2(2)由y=x22(k+1)x+4k,得:y=(x-2)(x-2k)當(dāng)y=0時(shí)，x1=2,x2=2k點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè),.A(2k,0),B(2,0),x1x2,又x1x20,x10k.1k4將B(2,0)代入直線y=kx+2得：2k+2=0,

5、：k=223:當(dāng)k=-4時(shí)，直線過(guò)B點(diǎn)3(2)過(guò)點(diǎn)C作CDLAB于點(diǎn)D則CD十(k-1)2|=(k-1)2kkk.直線y=kx+2-k父丫軸于P(0,2-),.OP=22221-1ko右54abp=SAabc,則-AB2OP=AB2CD-2=(k1)222.OP=CD211解得：k1=_1，k2=2由圖象知，k0,.取k=22，1r,.當(dāng)k=一時(shí)，SAABP=SAABC此時(shí),拋物線解析式為：y=x2-x-2例3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系OXY中，正方形OABC的邊長(zhǎng)為2cm，點(diǎn)A、C分別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和B,且12a+5c=0。(1)求拋物線的解

6、析式；(2)如果點(diǎn)P由點(diǎn)A沿AB邊以2cm/秒的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊以1cm/秒的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，那么：移動(dòng)開(kāi)始后第t秒時(shí)，設(shè)S=PQ2(cm2),試寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；當(dāng)S取最小值時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)R,使得以P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，i苛求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：(1)根據(jù)題意，A(0,-2),B(2,-2)5a=60.6-2=c-5根據(jù)題目：$2=4a+2b+c色=一一312a+5c=0c卜c=一2(2)移動(dòng)開(kāi)始后第t秒時(shí)，AP=2t,BQ=t.P(2t,-2),Q(2,t-2).S=PQ2,.

7、S=(2t2)2+(2t+2)2即S=5t2yR拋物線的解析式為：y=-x2-x-263-8t+4(0t1)當(dāng)S取得最小值時(shí)，t=45.P(8,2),Q(2,-)55假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)R,使彳導(dǎo)以P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,若以PR為一條對(duì)角線，使四邊形PBRQ為平行四邊形BP=2-5 .22=512126 R(一，一一)，55經(jīng)檢驗(yàn)R(12,56)在拋物線上,5若為PB為一條對(duì)角線，使四邊形PRBQ為平行四邊形一4一 .BQ=t=-=PR5 .245141414),經(jīng)檢驗(yàn)R(8,14-)不在拋物線上綜上所述，當(dāng)S最小時(shí)，拋物線上存在點(diǎn)R(空，-),使得以P、B、Q、R55為頂

8、點(diǎn)的四邊形是平行四邊形例5如圖：二次函物=x2+bx+c的圖象與軸相交甘、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在原點(diǎn)左邊，點(diǎn)B在原點(diǎn)右邊，點(diǎn)P(1,m)在拋物線上，AB=2,tan/PAO=25(1)求m的值;B/Hx(2)求二次函數(shù)的解析式;(3)在x軸下方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)D,是否存在點(diǎn)D,使ADAO的面積等于4PAO的面積？若存在，求出D點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。解：(1)作PHx軸于H,在RtzPAH中PHvtan/PAO=AH2vPH=m,AH55=_m2P(1,m)在拋物線上，m=1+b+c設(shè)A(%,0),B(x2,0),.AB=2|x2x1|=2v(x1+x2)2-4x1x2=2令y=0,得：x2bxc=0x1x2;-b,x1x2;c,-bxb2-4c-x二-b2且x1x2,x1-b-2-b2.OH=1,.AHAO=1vAH5=一m,AO=-x224由:得:254(2)yb=12,b2-4c252125b=-4(舍去)24254x52125假設(shè)在x軸下方的拋物線上存在點(diǎn)D(x0,y0)使SADAO=SAPAO|y0bSAPAO121Ao121PH1.|y0|=|PH|=m2425.y=_24,代入y=x2.4x021,得：255524212431X0-X0XiX2552555,滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)：32