微積分研究對(duì)象

1、大學(xué)文科數(shù)學(xué)大學(xué)文科數(shù)學(xué)福建師范大學(xué)數(shù)計(jì)學(xué)院 什么是數(shù)學(xué)？什么是數(shù)學(xué)？ 數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)（恩格斯）形式的一門科學(xué)（恩格斯） 數(shù)學(xué)的地位？數(shù)學(xué)的地位？ 數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后（高斯）數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后（高斯） 數(shù)學(xué)的分支數(shù)學(xué)的分支 算術(shù)、高等代數(shù)、歐式幾何等算術(shù)、高等代數(shù)、歐式幾何等25個(gè)分支個(gè)分支1 微積分的基礎(chǔ)微積分的基礎(chǔ) 牛頓的流數(shù)法牛頓的流數(shù)法 變量變量 - “流量流量” 變量的微小變化變量的微小變化- “瞬瞬” 認(rèn)為認(rèn)為“瞬瞬”是非零增量，又認(rèn)為被它所是非零增量，又認(rèn)為被它所乘的那些項(xiàng)可以算作沒(méi)有。乘的那些項(xiàng)可以算作沒(méi)有。332

2、2()33xoxxxooo 極限、實(shí)數(shù)、集合在微積分中的作用極限、實(shí)數(shù)、集合在微積分中的作用 柯西創(chuàng)建柯西創(chuàng)建“極限理論極限理論”+魏爾斯特拉斯魏爾斯特拉斯 無(wú)窮小無(wú)窮小=以零為極限的變量以零為極限的變量 嚴(yán)格極限理論嚴(yán)格極限理論 極限是微積分的理論基礎(chǔ)，極限的運(yùn)算極限是微積分的理論基礎(chǔ)，極限的運(yùn)算封閉性。例：封閉性。例：1,1，1.4， 1.41， 1.414， 實(shí)數(shù)系的建立及領(lǐng)域概念實(shí)數(shù)系的建立及領(lǐng)域概念 N Z Q R C 有理數(shù)處處稠密，但不是完全覆蓋數(shù)軸有理數(shù)處處稠密，但不是完全覆蓋數(shù)軸 不是有理數(shù)！不是有理數(shù)！ 實(shí)數(shù)具有連續(xù)性，在微積分中所指的數(shù)實(shí)數(shù)具有連續(xù)性，在微積分中所指的數(shù)均

3、值實(shí)數(shù)。均值實(shí)數(shù)。2 領(lǐng)域概念領(lǐng)域概念 以點(diǎn)以點(diǎn) 為中心，為中心， 為半徑的鄰域?yàn)榘霃降泥徲? x0(, )U x 1.2 微積分的研究對(duì)象微積分的研究對(duì)象函數(shù)函數(shù) 伽利略經(jīng)過(guò)精確的實(shí)驗(yàn)，測(cè)得自由伽利略經(jīng)過(guò)精確的實(shí)驗(yàn)，測(cè)得自由落體的運(yùn)動(dòng)方程：落體的運(yùn)動(dòng)方程： 221gts 在力學(xué)中，質(zhì)量為在力學(xué)中，質(zhì)量為m，速度為，速度為v的物的物體運(yùn)動(dòng)時(shí)所具有的能量（稱為動(dòng)能）體運(yùn)動(dòng)時(shí)所具有的能量（稱為動(dòng)能） 221mvE 在電學(xué)中，電流強(qiáng)度為在電學(xué)中，電流強(qiáng)度為I 的電流通過(guò)的電流通過(guò)電阻為電阻為R的導(dǎo)線時(shí)，在單位時(shí)間內(nèi)所的導(dǎo)線時(shí)，在單位時(shí)間內(nèi)所產(chǎn)生的熱量產(chǎn)生的熱量 221RIQ 在幾何中半徑為在幾何中半

4、徑為r的圓的面積的圓的面積 2rS 上述這些變量之間的關(guān)系都有一個(gè)相同的抽象形式上述這些變量之間的關(guān)系都有一個(gè)相同的抽象形式 2xky 這就是一個(gè)函數(shù)關(guān)系式。這就是一個(gè)函數(shù)關(guān)系式。 如果將這個(gè)函數(shù)關(guān)系的性質(zhì)研究清楚了，那么如果將這個(gè)函數(shù)關(guān)系的性質(zhì)研究清楚了，那么前面的那些實(shí)際變量之間的關(guān)系的性質(zhì)也就清楚了前面的那些實(shí)際變量之間的關(guān)系的性質(zhì)也就清楚了. . 數(shù)學(xué)的一個(gè)特點(diǎn)是它的高度抽象性，隨之也就數(shù)學(xué)的一個(gè)特點(diǎn)是它的高度抽象性，隨之也就具有應(yīng)用的廣泛性具有應(yīng)用的廣泛性. . 下面給出函數(shù)的一般定義下面給出函數(shù)的一般定義. . .),()(DxxfyyDfRf 一、函數(shù)概念一、函數(shù)概念全全體體函函

5、數(shù)數(shù)值值組組成成的的集集合合稱稱為為函函數(shù)數(shù)的的值值域域,記記為為fR或或)(Df,即即 定定義義 設(shè)設(shè)數(shù)數(shù)集集R D, ,D ，如如果果對(duì)對(duì)D中中的的每每一一個(gè)個(gè)x，按按照照某某個(gè)個(gè)對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)法法則則f，有有唯唯一一的的數(shù)數(shù)R y與與之之對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)， 則則稱稱f是是定定義義在在D上上的的一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)， 記記為為)(xfy ，Dx 。其其中中D稱稱為為定定義義域域。 x稱為稱為自變量自變量，y稱為稱為因變量因變量. . 在函數(shù)的定義中， 對(duì)于每個(gè)在函數(shù)的定義中， 對(duì)于每個(gè))( fDx ， 對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的函數(shù)值函數(shù)值)(xfy 是唯一的是唯一的(因此因此,也稱為也稱為單值函數(shù)單值函數(shù))， 注意：注

6、意：例如，例如，2xy 而而對(duì)對(duì)于于每每個(gè)個(gè))( fRy )，以以之之作作為為函函數(shù)數(shù)值值的的自自變變量量 x 不不一一定定唯唯一一. 是定義在是定義在R上的一個(gè)函數(shù)，上的一個(gè)函數(shù)，它的值域是它的值域是 0|)( yyfR對(duì)對(duì)于于每每個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)值值)( fRy ，對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的自自變變量量有有兩兩個(gè)個(gè)，即即yx 和和yx . 確定函數(shù)的兩要素：確定函數(shù)的兩要素：定義域定義域、值域、值域和對(duì)應(yīng)法則。和對(duì)應(yīng)法則。例例1 1 判斷下列各對(duì)函數(shù)是否相同？判斷下列各對(duì)函數(shù)是否相同？ （1 1）1 , 1 tsxy （2 2）xxyxy2 , 相同相同（3 3）2 ,xyxy 不同不同 (定義域不同定義域

7、不同)（4 4）33 ,xyxy 不同不同 (對(duì)應(yīng)法則不同對(duì)應(yīng)法則不同)（5 5）xyxyln2 ,ln2 相同相同不同不同 (定義域不同定義域不同)(1) 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題；根據(jù)實(shí)際問(wèn)題；(2) 自然定義域：使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值自然定義域：使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值.如何求函數(shù)的自然定義域？如何求函數(shù)的自然定義域？ ( (d) )xarcsin或或xarccos, ,1 x； (a) 分式的分母不等于零；分式的分母不等于零； (b) 偶次根號(hào)內(nèi)的式子應(yīng)大于或等于零；偶次根號(hào)內(nèi)的式子應(yīng)大于或等于零； (c) 對(duì)數(shù)的真數(shù)應(yīng)大于零；對(duì)數(shù)的真數(shù)應(yīng)大于零； ( (e) )若函數(shù)的表達(dá)式由多項(xiàng)組成若函數(shù)的

8、表達(dá)式由多項(xiàng)組成, ,則定義域?yàn)楦黜?xiàng)則定義域?yàn)楦黜?xiàng)定義域的交集；定義域的交集；(f )分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集.定義域的確定：定義域的確定：例例2 2 求下列函數(shù)的求下列函數(shù)的( (自然自然) )定義域。定義域。 因此，函數(shù)的定義域?yàn)橐虼?，函?shù)的定義域?yàn)閤xy 22) 1 ()23ln(1)2( xy225151arcsin)3(xxy 解解,022) 1 ( xx，22 x即定義域?yàn)榧炊x域?yàn)? )2, 2 ,0)23ln(023)2( xx,13/2 xx即即. ), 1 () 1,32( D225151arcsin)3(xxy ,25151)3

9、(2 xx,5564 xxx4 65 5,54 x因此，函數(shù)的定義域?yàn)橐虼?，函?shù)的定義域?yàn)?54）， D1）圖象法）圖象法2）表格法）表格法3）解析法）解析法(公式法公式法).)(),(),(的圖形的圖形函數(shù)函數(shù)稱為稱為點(diǎn)集點(diǎn)集xfyDxxfyyxC oxy),(yxxfRD y二、函數(shù)的表示法二、函數(shù)的表示法 在自變量的不同變化范圍中在自變量的不同變化范圍中, 對(duì)應(yīng)法則用不同的對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來(lái)表示的函數(shù)式子來(lái)表示的函數(shù),稱為稱為分段函數(shù)分段函數(shù).分段函數(shù)分段函數(shù) 0, 120, 1)(,2xxxxxf例例如如12 xy12 xyxyo1 21 ,11 ,1)(,22xxxxxf再如再如

10、這也是分段函數(shù)，其定義域?yàn)檫@也是分段函數(shù)，其定義域?yàn)? , 1()1 , 1()1, 2 D yOx111221解解例例3 3，設(shè)設(shè) 21 ,410 , 12)(xxxxxf 221 ),2(4120 , 1)2( 2)2(xxxxxf. )2( xf求求.01 ,212 , 52 xxxx 1) 符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù) 010001sgnxxxxy當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)幾個(gè)分段函數(shù)的例子幾個(gè)分段函數(shù)的例子. .xyo1 12) 取整函數(shù)取整函數(shù) y=x753 ,0 1 5 . 3 .4 ,1 ，1 x表示不超過(guò)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)的最大整數(shù). 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 -1

11、-3xyo1234o有理數(shù)點(diǎn)有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)1xy3) 狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)(Dirichlet) 是是無(wú)無(wú)理理數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)是是有有理理數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxDy01)(函數(shù)的幾種基本特性函數(shù)的幾種基本特性一、有界性一、有界性 如如果果設(shè)設(shè)區(qū)區(qū)間間,DIM Mxyoba給給定定函函數(shù)數(shù))(xfy ,Dx . ,)(Mxf 有有使使得得對(duì)對(duì)常常數(shù)數(shù), 0IxM 則稱函數(shù)則稱函數(shù)上上在在區(qū)區(qū)間間Ixf)(有界。有界。xyoba函數(shù)的有界性還可以細(xì)分為：函數(shù)的有界性還可以細(xì)分為： ,)(1Mxf 有有使得對(duì)使得對(duì)如果存在常數(shù)如果存在常數(shù),1IxM 則稱函數(shù)則稱函數(shù) f(x) 在在I上上下有界

12、下有界 .M2 M1 M1稱為稱為 f(x) 在在I上的上的下界下界。M2稱為稱為 f(x) 在在I上的上的上界上界。定理定理：函數(shù)：函數(shù) f(x) 有界當(dāng)且有界當(dāng)且僅當(dāng)僅當(dāng) f(x) 上有界且下有界。上有界且下有界。即即可可。取取 ,max 21MMM ,)(2Mxf 有有使使得得對(duì)對(duì)如如果果存存在在常常數(shù)數(shù),2IxM 則稱函數(shù)則稱函數(shù) f(x) 在在I上上上有界上有界 . 因?yàn)榇嬖谝驗(yàn)榇嬖?M 1，使對(duì)任意，使對(duì)任意x ( , )，有，有|sin x| 1，所以所以 y sinx是是( , )內(nèi)的有界函數(shù)。內(nèi)的有界函數(shù)。y sinx 有界嗎有界嗎?xyo 2 2 11 函函數(shù)數(shù)xy1 在在

13、），（10上上是是無(wú)無(wú)界界的的， ？有有界界嗎嗎xy1 xyo在在）， 1上上是是有有界界的的。 二、單調(diào)性二、單調(diào)性 ,)(DIDxf 區(qū)間區(qū)間的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),2121時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)及及上上任任意意兩兩點(diǎn)點(diǎn)如如果果對(duì)對(duì)于于區(qū)區(qū)間間xxxxI ;)(上是單調(diào)增加的上是單調(diào)增加的在區(qū)間在區(qū)間則稱函數(shù)則稱函數(shù)Ixf),()(21xfxf 恒有恒有)(xfy )(1xf)(2xfIxyo.)(上上是是單單調(diào)調(diào)減減少少的的在在區(qū)區(qū)間間則則稱稱函函數(shù)數(shù)Ixf,2121時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)及及上上任任意意兩兩點(diǎn)點(diǎn)如如果果對(duì)對(duì)于于區(qū)區(qū)間間xxxxI ),()(21xfxf 恒有恒有)(xfy )(1xf)(

14、2xfIxyo例如例如, 函數(shù)函數(shù) y x 3 在在( , )內(nèi)單調(diào)增加。內(nèi)單調(diào)增加。xyo3xy 而函數(shù)而函數(shù) y x 2 在區(qū)間在區(qū)間( , 0)內(nèi)單調(diào)減少；在區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少；在區(qū)間(0, )內(nèi)單調(diào)增加。內(nèi)單調(diào)增加。2xy xyo三、奇偶性三、奇偶性,()(DxODxf 即即若若對(duì)對(duì)稱稱關(guān)關(guān)于于原原點(diǎn)點(diǎn)的的定定義義域域設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))()(xfxf ;)(為偶函數(shù)為偶函數(shù)則稱則稱xf有有如果對(duì)于如果對(duì)于,Dx ,)Dx 則則有有如果對(duì)于如果對(duì)于,Dx )()(xfxf .)(為奇函數(shù)為奇函數(shù)則稱則稱xf例例1 1 判斷下列函數(shù)的奇偶性：判斷下列函數(shù)的奇偶性： 4243xx xx 23 偶函數(shù)

15、偶函數(shù)非奇非偶非奇非偶xx 22 即即得得 )()(xfxf ， 偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)xx2121 )(xf 1212)( xxxf1212 xxxx 22）（xx 21ln )()(xfxf)1ln(2 xx)1ln(2 xx,01ln 例例2 2設(shè)設(shè))(xf是是定定義義在在),(aa 上上的的任任意意函函數(shù)數(shù)。證證明明： ),( , )()()(aaxxfxfxg 是偶函數(shù)；而是偶函數(shù)；而),( , )()()(aaxxfxfxh 是奇函數(shù)。是奇函數(shù)。證明是容易的。證明是容易的。 由此可證：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)必可表由此可證：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)必可表示

16、為一個(gè)偶函數(shù)和一個(gè)奇函數(shù)之和：示為一個(gè)偶函數(shù)和一個(gè)奇函數(shù)之和：)()(21)()(21)(xfxfxfxfxf 偶函數(shù)的圖形關(guān)于偶函數(shù)的圖形關(guān)于 y 軸對(duì)稱。軸對(duì)稱。yx),(yxP )(xfy ox-x),(yxP具有奇偶性的函數(shù)的圖形有某種具有奇偶性的函數(shù)的圖形有某種對(duì)稱性對(duì)稱性：),(yxP yxox-x)(xfy ),(yxP奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。若若)(xf是奇函數(shù)，且在是奇函數(shù)，且在0 x處有定義處有定義, ,則則0)0( f, ,即過(guò)原點(diǎn)即過(guò)原點(diǎn). . 例例3 3判判斷斷函函數(shù)數(shù) 0 ,320 ,32)(xxxxxf 的的奇奇偶偶性性。 解解 0 ,

17、320 ,32)(xxxxxf 0 ,320 ,32xxxx, )(xf 故故 f(x) 是偶函數(shù)是偶函數(shù). xyo2- -11四、周期性四、周期性(通常周期函數(shù)的周期是指其通常周期函數(shù)的周期是指其最小正周期最小正周期).,R)(的的定定義義域域?yàn)闉樵O(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xf使得使得如果如果,0 T)R( )()( xxfTxf.)(,)(的的周周期期稱稱為為為為周周期期函函數(shù)數(shù)則則稱稱xfTxf如如 sinx, cosx 都都是是周周期期為為 2 的的周周期期函函數(shù)數(shù)， tanx，|sinx|的的周周期期為為 . 注意注意：并非任意周期函數(shù)都有最小正周期：并非任意周期函數(shù)都有最小正周期. 是是無(wú)無(wú)理理

18、數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)是是有有理理數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxDy01)(如狄利克雷函數(shù)如狄利克雷函數(shù)任何正有理數(shù)都是它的周期任何正有理數(shù)都是它的周期, 但并不存在最小的正有理數(shù)但并不存在最小的正有理數(shù)。 2.22.2 逆向思維的一例逆向思維的一例 反函數(shù)反函數(shù) 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y f (x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈，值域?yàn)?，值域?yàn)閆。如果對(duì)。如果對(duì)于每個(gè)于每個(gè) y Z，存在唯一，存在唯一x D，使，使 f (x) y，則，則 x是一個(gè)定是一個(gè)定義在義在Z上的函數(shù)，稱為上的函數(shù)，稱為 y f (x) 的反函數(shù)，記為的反函數(shù)，記為x f 1(y)。函數(shù)函數(shù)y f (x)與函數(shù)與函數(shù)x f 1(y)是互為反函數(shù)。

19、是互為反函數(shù)。將將x與與y互換，就得所求反函數(shù)為互換，就得所求反函數(shù)為例例1 1 求求y 3x 1的反函數(shù)。的反函數(shù)。解解，由由13 xy，得得31 yx.31 xy)(xfy 直直接接函函數(shù)數(shù)xyo),(abQ 直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 對(duì)稱對(duì)稱.xy ),(baP)(1xfy 反函數(shù)反函數(shù)xy 例如，在例如，在( , )內(nèi)，內(nèi)，y x2 不是一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)不是一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，所以它沒(méi)有反函數(shù)。關(guān)系，所以它沒(méi)有反函數(shù)。一個(gè)函數(shù)若有反函數(shù)，它必定是一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。一個(gè)函數(shù)若有反函數(shù)，它必定是一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。 在在(0, )內(nèi)內(nèi)y x2有反函數(shù)有反

20、函數(shù) 在在( , 0)內(nèi)，內(nèi)，y x2有反函數(shù)有反函數(shù) .xy .xy x-x yxyo2xy xyoxy xy 解解例例2 2 求函數(shù)求函數(shù))(21xxaay )(21xxaay xyO) 1( a) 1, 0,R( aax的反函數(shù)。的反函數(shù)。,02 yaaxx,0122 xxyaa,1)(22yyax ,12yyax ）（略略去去21yyax , )1(log2yyxa 所以所求反函數(shù)為所以所求反函數(shù)為. )1(log2xxya 例例3 3)R( 2 xyx與與)0( log2 xxy互為反函數(shù)?；榉春瘮?shù)。xy2log 1xyo1xy2 1.1.常數(shù)函數(shù)常數(shù)函數(shù))( 是常數(shù)是常數(shù)CCy

21、oxy2.3 基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)C 常函數(shù)的定義域常函數(shù)的定義域?yàn)闉? , )，圖形為，圖形為平行于平行于x軸軸, 在在y軸上軸上截距為截距為C的直線。的直線。 冪函數(shù)的定義域隨冪函數(shù)的定義域隨a而異，而異，但不論但不論 a 為何值為何值, 它在它在(0, )內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò) (1, 1)點(diǎn)。點(diǎn)。常見的冪函數(shù)及其圖形：常見的冪函數(shù)及其圖形： 2.2.冪函數(shù)冪函數(shù))(是常數(shù)是常數(shù)axya xyo2xy 冪函數(shù)的定義域隨冪函數(shù)的定義域隨a而異，而異，但不論但不論 a 為何值為何值, 它在它在(0, )內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都經(jīng)過(guò)

22、經(jīng)過(guò) (1, 1)點(diǎn)。點(diǎn)。常見的冪函數(shù)及其圖形：常見的冪函數(shù)及其圖形： 2.2.冪函數(shù)冪函數(shù))(是常數(shù)是常數(shù)axya xyoxy 冪函數(shù)的定義域隨冪函數(shù)的定義域隨a而異，而異，但不論但不論 a 為何值為何值, 它在它在(0, )內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò) (1, 1)點(diǎn)。點(diǎn)。常見的冪函數(shù)及其圖形：常見的冪函數(shù)及其圖形： 2.2.冪函數(shù)冪函數(shù))(是常數(shù)是常數(shù)axya xyo3xy 冪函數(shù)的定義域隨冪函數(shù)的定義域隨a而異，而異，但不論但不論 a 為何值為何值, 它在它在(0, )內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò) (1, 1)點(diǎn)。點(diǎn)。常見的冪函數(shù)

23、及其圖形：常見的冪函數(shù)及其圖形： 2.2.冪函數(shù)冪函數(shù))(是常數(shù)是常數(shù)axya xyo3xy 冪函數(shù)的定義域隨冪函數(shù)的定義域隨a而異，而異，但不論但不論 a 為何值為何值, 它在它在(0, )內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò) (1, 1)點(diǎn)。點(diǎn)。常見的冪函數(shù)及其圖形：常見的冪函數(shù)及其圖形： 2.2.冪函數(shù)冪函數(shù))(是常數(shù)是常數(shù)axya xyoxy1 冪函數(shù)的定義域隨冪函數(shù)的定義域隨a而異，而異，但不論但不論 a 為何值為何值, 它在它在(0, )內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都內(nèi)總有定義。冪函數(shù)圖形都經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò) (1, 1)點(diǎn)。點(diǎn)。常見的冪函數(shù)及其圖形：常見的冪函數(shù)及其圖形： 2

24、.2.冪函數(shù)冪函數(shù))(是常數(shù)是常數(shù)axya xyo32xy 3.3.指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù))1, 0( aaayx 定義域?yàn)槎x域?yàn)? , )，值域?yàn)橹涤驗(yàn)?0, )，都通過(guò)點(diǎn)都通過(guò)點(diǎn)(0, 1),當(dāng)當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加；時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加；當(dāng)當(dāng)0a1 時(shí)時(shí), 函數(shù)單調(diào)增加；函數(shù)單調(diào)增加；當(dāng)當(dāng) 0a1時(shí)時(shí), 函數(shù)單調(diào)減少。函數(shù)單調(diào)減少。對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)：對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)：, 0, 0 NM設(shè)設(shè)1, 0 aaNMMNaaaloglog)(log NMNMaaalogloglog MpMapaloglog 換底公式換底公式aNNbbalogloglog )1, 0( bb對(duì)數(shù)恒等式對(duì)數(shù)恒等式,logxaxa

25、 xaxa log5.5.三角函數(shù)三角函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù) y sin x與與y cos x的定義域均為的定義域均為( , )，均以，均以2 為周期。為周期。y sin x為為奇函數(shù)奇函數(shù)，y cos x為為偶函數(shù)偶函數(shù)。它們都是它們都是有界函數(shù)有界函數(shù)。xyo 2 2 1 1xyo 2 2 1 1定義域定義域: x (2n 1) /2 。周期周期: 。奇函數(shù)。奇函數(shù)。正切函數(shù)正切函數(shù)xytan 定義域定義域: x n 。周期周期: 。奇函數(shù)。奇函數(shù)。余切函數(shù)余切函數(shù)xycot xyo2 23 23 2 xyo 2 正割函數(shù)正割函數(shù)xysec xycsc

26、 余割函數(shù)余割函數(shù))cos1(x )sin1(x 6.6.反三角函數(shù)反三角函數(shù)xyarcsin 反正弦函數(shù)反正弦函數(shù)2 xyo1 12 oxy1 12 2 定義域：定義域： 1, 1 值域：值域：2,2 單調(diào)增加函數(shù)；單調(diào)增加函數(shù)；奇函數(shù)奇函數(shù).xyarccos 反余弦函數(shù)反余弦函數(shù) xyo1 1oxy1 1 定義域：定義域： 1, 1 值域：值域：, 0 單調(diào)減少函數(shù)；單調(diào)減少函數(shù)；無(wú)奇偶性無(wú)奇偶性.xxarccos)arccos( 2 2 xyarctan 反反正正切切函函數(shù)數(shù)xy2 2 oxy定義域：定義域：),( 值域：值域：)2,2( 單調(diào)增加函數(shù)；單調(diào)增加函數(shù)； 奇函數(shù)奇函數(shù).反余

27、切函數(shù)反余切函數(shù)xycotarc xyoxy 定義域：定義域：),( 值域：值域：), 0( 單調(diào)減少函數(shù)；單調(diào)減少函數(shù)； 無(wú)奇偶性無(wú)奇偶性.xxcotarc)cot(arc 反三角函數(shù)值的確定：反三角函數(shù)值的確定：求求 arcsin x 值的方法：值的方法： ,0 x若若,sinx 使使；則則 xarcsin)21arcsin( 21arcsin ,2, 0 內(nèi)內(nèi)確確定定則則在在,0 x若若.arcsin)arcsin(xx 則則利利用用例例1 1.6 )21arccos( 21arccos 例例2 23 .32 類似地有類似地有.arccos)arccos(xx 2.4 2.4 復(fù)合函數(shù)復(fù)

28、合函數(shù)例如例如：2arcsinxy 可看作由可看作由uyarcsin 復(fù)合而成。復(fù)合而成。注：不是任何函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)函數(shù)。注：不是任何函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)函數(shù)。設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(ufy 的的定定義義域域與與)(xgu 的的值值域域的的交交集集非非空空， 則則)(xgfy 是是)(ufy 與與)(xgu 的的復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)。 不能復(fù)合。不能復(fù)合。2xu 和和,arcsin)( uufy 設(shè)設(shè),22xu u 稱為中間變量。稱為中間變量。 設(shè)設(shè)2uy ,vusin ,xvlg ,則則這這三三個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)的的復(fù)復(fù)合合為為 2)( ,sin)(xxgxxf ， 注意復(fù)合次序：注意復(fù)合次序： 則則

29、)(xgf 而而 )(xfg 2sin x ， x2sin 。 復(fù)合可以多次進(jìn)行。復(fù)合可以多次進(jìn)行。例例1 12)(sinvy .)sin(lg2x 函函數(shù)數(shù))lg(sin2xy 可可看看成成下下列列函函數(shù)數(shù) 例例2 2,uy ,lgvu ,sinwv 2xw 的復(fù)合。的復(fù)合。 重要問(wèn)題：把一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單重要問(wèn)題：把一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算復(fù)合運(yùn)算或或四則運(yùn)算四則運(yùn)算。xy2sin1e ： uye ， 321xxy ： ,3uy ,1 vu , 2wv xwsin 。 , wxu , tw .1 2xt 例例3 3例例4 4設(shè)設(shè))(xf的的定定義義域域?yàn)闉?, 1，問(wèn)問(wèn)(1)(2xf，(2)(axf (0 a)的的定定義義域域各各是是什什么么？ 例例5 5(1)解解,102 x令令,11 x得得所所以以)(2xf