第八章常微分方程ppt課件

1、第八章第八章 常微分方程常微分方程 第一節(jié)第一節(jié) 常微分方程的基本概念與常微分方程的基本概念與 分離變量法分離變量法 第二節(jié) 一階線性微分方程與可降 階的高階微分方程 第三節(jié) 二階常系數(shù)線性微分方程 一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念 二、分離變量法二、分離變量法 第一節(jié)第一節(jié) 常微分方程的基本概念與常微分方程的基本概念與分離變量法分離變量法第第一一節(jié)節(jié) 常常微微分分方方程程的的基基本本概概念念與與分分離離變變量量法法 微分方程的階：微分方程中，所含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高微分方程的階：微分方程中，所含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)定義為該微分方程的階數(shù)階數(shù)定義為該微分方程的階數(shù) 微分方程：含

2、有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程稱為微微分方程：含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程稱為微分方程特別當(dāng)微分方程中所含的未知函數(shù)是一元函數(shù)時(shí)，這分方程特別當(dāng)微分方程中所含的未知函數(shù)是一元函數(shù)時(shí)，這時(shí)的微分方程就稱為時(shí)的微分方程就稱為 常微分方程常微分方程 線性微分方程：當(dāng)微分方程中所含的未知函數(shù)及其各階線性微分方程：當(dāng)微分方程中所含的未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)全是一次冪時(shí)，微分方程就稱為線性微分方程在線性導(dǎo)數(shù)全是一次冪時(shí)，微分方程就稱為線性微分方程在線性微分方程中，若未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)全是常數(shù)，則微分方程中，若未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)全是常數(shù)，則稱這樣的微分方程為常系數(shù)線性微分方程稱這樣的微分

3、方程為常系數(shù)線性微分方程 一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念如如果果將將函函數(shù)數(shù)y)( xy代代入入微微分分方方程程后后能能使使方方程程成成為為恒恒等等式式，這這個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)就就稱稱為為該該微微分分方方程程的的解解 初初始始條條件件： 用用未未知知函函數(shù)數(shù)及及其其各各階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在某某個(gè)個(gè)特特定定點(diǎn)點(diǎn)的的值值作作為為確確定定通通解解中中任任意意常常數(shù)數(shù)的的條條件件，稱稱為為初初始始條條件件 一一階階常常微微方方程程的的初初始始條條件件為為00)(yxy, ,其其中中 0 x，0y是是兩兩個(gè)個(gè)已已知知數(shù)數(shù). . 二二階階微微分分方方程程的的初初始始條條件件為為0000(),().y

4、xyyxy 微分方程的解：微分方程的解： 微分方程的解有兩種形式：一種不含任意常數(shù)；一種微分方程的解有兩種形式：一種不含任意常數(shù)；一種含有任意常數(shù)如果解中包含任意常數(shù)，且獨(dú)立的任意常含有任意常數(shù)如果解中包含任意常數(shù)，且獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相同，則稱這樣的解為常微分方程數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相同，則稱這樣的解為常微分方程的通解，不含有任意常數(shù)的解，稱為微分方程的特解的通解，不含有任意常數(shù)的解，稱為微分方程的特解 例例 1 1 驗(yàn)證函數(shù)驗(yàn)證函數(shù)xxCCy221ee ( ( 12,C C為任意常數(shù)為任意常數(shù)) )為二階微分方程為二階微分方程023 yyy的通解，并求的通解，并求該該方程滿方

5、程滿足初始條件足初始條件1)0(, 0)0(yy的特解的特解 所所以以，函函數(shù)數(shù)y 1C ex+ +2Cx2e是是所所給給微微分分方方程程的的解解又又因因?yàn)闉?，這這個(gè)個(gè)解解中中有有兩兩個(gè)個(gè)獨(dú)獨(dú)立立的的任任意意常常數(shù)數(shù)，與與方方程程的的階階數(shù)數(shù)相相同同，所所以以它它是是所所給給微微分分方方程程的的通通解解 xxCCy221ee , 212e2e ,xxyCC 212e4e ,xxyCC將將yyy ,代入方程代入方程023 yyy左端，得左端，得 )ee(2)e2e(3e4e221221221xxxxxxCCCCCC 0e)264(e)23(2222111xxCCCCCC ,由由初初始始條條件件0

6、)0(y， 我我們們得得021CC， 由由初初始始條條件件1)0( y，得得. 1221 CC所所以以12C，11C于于是是，滿滿足足所所給給初初始始條條件件的的特特解解為為xxy2ee 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(),(21xyxy是定義在區(qū)間是定義在區(qū)間( , )a b內(nèi)的函數(shù)，若存在兩個(gè)不全為零的數(shù)內(nèi)的函數(shù)，若存在兩個(gè)不全為零的數(shù)21,kk，使得對(duì)于，使得對(duì)于( , )a b內(nèi)的任一內(nèi)的任一 x恒有恒有 成立，則稱函數(shù)成立，則稱函數(shù)21,yy在在( , )a b內(nèi)線性相關(guān)，否則稱為線性內(nèi)線性相關(guān)，否則稱為線性無(wú)關(guān)無(wú)關(guān) 02211ykyk定義定義1 （線性相關(guān)，線性無(wú)關(guān)）（線性相關(guān)，線性無(wú)關(guān)） 21,

7、 yy線線性性相相關(guān)關(guān)的的充充分分必必要要條條件件是是21yy在在( , )a b區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)恒恒為為常常數(shù)數(shù) 若若21yy不不恒恒為為常常數(shù)數(shù)， 則則21, yy線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān) 當(dāng)當(dāng) 1y與與 2y線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)，函函數(shù)數(shù) 2211yCyCy中中含含有有兩兩個(gè)個(gè)獨(dú)獨(dú)立立的的任任意意常常數(shù)數(shù) 1C和和2C 定定義義 2 2 形形如如 )()(ddygxfxy的的方方程程，稱稱為為可可分分離離變變量量的的方方程程. . 可分離變量方程的特點(diǎn)：等式右邊可以分解成兩個(gè)函數(shù)之可分離變量方程的特點(diǎn)：等式右邊可以分解成兩個(gè)函數(shù)之積積，其中一個(gè)只是，其中一個(gè)只是 x的函數(shù)，另一個(gè)只是的函數(shù)，另一個(gè)只是

8、y的函數(shù)的函數(shù) 二、分離變量法二、分離變量法（1 1） 分離變量： 將該方程化為等式一邊只含變量） 分離變量： 將該方程化為等式一邊只含變量 y ，而另一邊只含變量而另一邊只含變量 x的形式，即的形式，即 xxfygyd)()(d其中其中0)(yg 例例2 2 求0 xyy的通解 解解 方程變形為方程變形為 xyxydd, 分分離離變變量量得得 xxyydd 0y, 兩兩邊邊積積分分得得 xxyydd, , 求求積積分分得得 1221|lnCxy, , 所以所以 21122121eee|xCCxy, , 即即 22111122e ee(e )xxCCyCC , 方方程程通通解解為為221exC

9、y（ C為為任任意意常常數(shù)數(shù)）. . 例例 3 3 設(shè)降落傘從跳傘塔下落，所受空氣阻力與速度設(shè)降落傘從跳傘塔下落，所受空氣阻力與速度成正比，降落傘離開(kāi)塔頂成正比，降落傘離開(kāi)塔頂)0( t時(shí)的速度為零求降落時(shí)的速度為零求降落傘下落速度與時(shí)間傘下落速度與時(shí)間 t的函數(shù)關(guān)系的函數(shù)關(guān)系. . 解解 設(shè)降落傘下落速度為設(shè)降落傘下落速度為)(tv時(shí)傘所受空氣阻力為時(shí)傘所受空氣阻力為 kv（負(fù)號(hào)表示阻力與運(yùn)動(dòng)方向相反，（負(fù)號(hào)表示阻力與運(yùn)動(dòng)方向相反，k為常數(shù)） 另外，為常數(shù)） 另外，傘在下降過(guò)程中還受重力傘在下降過(guò)程中還受重力mgP 作用，故由牛頓第二定律作用，故由牛頓第二定律得得kvmgtvmdd且有初始條

10、件：且有初始條件：0|0tv于是， 所給問(wèn)題歸于是， 所給問(wèn)題歸結(jié)為求解初值問(wèn)題結(jié)為求解初值問(wèn)題 0d,d|0,tvmmgkvtvkv R mg P 對(duì)對(duì)上上述述方方程程分分離離變變量量得得 mtkvmgvdd, 兩邊積分兩邊積分得得 mtkvmgvdd ， 可可得得 1|ln1Cmtkvmgk ， 整整理理得得 1e1ekCtmkkCCkmgv . . 由由初初始始條條件件得得00emgCk， 即即kmgC ， 故故所所求求特特解解為為 )e1 (tmkkmgv . . 由此可見(jiàn)，隨著由此可見(jiàn)，隨著 t的增大，速度的增大，速度 v逐漸變大且趨于逐漸變大且趨于常數(shù)常數(shù) kmg，但不會(huì)超過(guò)，但不

11、會(huì)超過(guò)kmg，這說(shuō)明跳傘后，開(kāi)始階段，這說(shuō)明跳傘后，開(kāi)始階段是加速運(yùn)動(dòng)，以后逐漸趨于勻速運(yùn)動(dòng)是加速運(yùn)動(dòng)，以后逐漸趨于勻速運(yùn)動(dòng) 1.1.微分方程通解中的任意常數(shù)微分方程通解中的任意常數(shù) C最終可表示為最終可表示為2sin,e1CC( (12,C C為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù)) )，3lnC3(C為實(shí)數(shù)，為實(shí)數(shù)，03C) )等形式嗎？等形式嗎？ 2.2.微分方程的特解的圖形是一條曲線 （積分曲線） ，微分方程的特解的圖形是一條曲線 （積分曲線） ，通解的圖形是一族積分曲線， 問(wèn)通解中的積分曲線是否通解的圖形是一族積分曲線， 問(wèn)通解中的積分曲線是否相互平行相互平行( (注：兩曲線平行是指兩曲線在橫坐標(biāo)相等

12、的注：兩曲線平行是指兩曲線在橫坐標(biāo)相等的點(diǎn)處切線斜率點(diǎn)處切線斜率相同相同) ) 思考題思考題 第二節(jié) 一階線性微分方程與可降階的高階微分方程 一、一階線性微分方程一、一階線性微分方程 二、可降階的高階微分方程二、可降階的高階微分方程 第二節(jié) 一階線性微分方程與可降階的高階微分方程 定定義義 形形如如)()(ddxQyxPxy 的的方方程程, ,稱稱為為一一階階線線性性方方程程, ,其其中中)(),(xQxP為為已已知知函函數(shù)數(shù). . 當(dāng)當(dāng)0)(xQ時(shí)時(shí), ,有有0)(ddyxPxy 稱其為齊次線性方稱其為齊次線性方程；程； 當(dāng)當(dāng)0)(xQ時(shí)時(shí), ,稱稱)()(ddxQyxPxy為非齊次線性方為

13、非齊次線性方程程. . 一、一階線性微分方程一、一階線性微分方程（1 1） 先先求求齊齊次次線線性性方方程程的的解解 分分離離變變量量得得 d( )dyP xxy , 兩兩邊邊積積分分得得 1ln |( )dyP xxC , 即即 xxPCyde)(. （2 2）常常數(shù)數(shù)變變易易法法求求非非齊齊次次線線性性方方程程的的通通解解 令令( )d( )eP xxyC x為為非非齊齊次次線線性性方方程程的的解解, ,代代入入得得 )(e )(d)(xQxCxxP，即即xxPxQxCd)(e )()(. 兩邊積分得兩邊積分得 CxxQxCxxde )()(d)p(. 一一階階線線性性微微分分方方程程的的

14、解解法法 p( )d_ p( )d ( )ed e. xxxxyQ xxC 上上式式稱稱為為一一階階線線性性非非齊齊次次程程的的通通解解公公式式. . 上上述述求求解解方方法法稱稱為為常常數(shù)數(shù)變變易易法法, ,用用常常數(shù)數(shù)變變易易法法求求一一階階非非齊齊次次線線性性方方程程的的通通解解的的步步驟驟為為： （1 1）先先求求出出非非齊齊次次線線性性方方程程所所對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程的的通通解解 . . （2 2）根根據(jù)據(jù)所所求求出出的的齊齊次次方方程程的的通通解解設(shè)設(shè)出出非非齊齊次次線線性性方方程程的的解解( (將將所所求求出出的的齊齊次次方方程程的的通通解解中中的的任任意意常常數(shù)數(shù) C

15、改改為為待待定定函函數(shù)數(shù))(xC即即可可) ). . （3 3）將將所所設(shè)設(shè)解解代代入入非非齊齊次次線線性性方方程程, ,解解出出)(xC, ,并并寫(xiě)寫(xiě)出出非非齊齊次次線線性性方方程程的的通通解解. . 兩邊積分得兩邊積分得 Cxylnlnln , ,即即 Cxylnln 將將通通解解中中的的任任意意常常數(shù)數(shù) C換換成成待待定定函函數(shù)數(shù))(xC, ,即即令令xxCy)(為為方方程程（1 1）的的通通解解, ,將將其其代代入入方方程程( (1 1) )得得( )lnxC xx. .于于是是 xxxCln1)(, 所所以以 CxxxxxxxC2)(ln21lndlndln)(, 將將所所求求的的)

16、(xC的的代代入入式式( (3 3) ), ,得得原原方方程程的的通通解解為為 2(ln )2xyxCx. . 1 1. .)()(xfyn型型的的微微分分方方程程 方程解法：通過(guò)方程解法：通過(guò) n 次積分就可得到方程的通解次積分就可得到方程的通解. . 例例 3 3 求求方方程程xycos)3(的的通通解解 . . 解解 因?yàn)橐驗(yàn)閤ycos)3(, ,所以所以 1sindcosCxxxy, , 211cosd)(sinCxCxxCxy, , 2121231( cos)dsin.2yxC xCxxC xC xC 二、可降階的高階微分方程二、可降階的高階微分方程 2 2. .),(yxfy 型的

17、微分方程型的微分方程 . . 方程的特點(diǎn)：方程右端不顯含未知函數(shù)方程的特點(diǎn)：方程右端不顯含未知函數(shù) y. . 方程的解法：令方程的解法：令)(xpy , ,則則)(xpy 代入方程得代入方程得)(,()(xpxfxp. 這是一個(gè)關(guān)于自變量這是一個(gè)關(guān)于自變量 x 和未知函數(shù)和未知函數(shù))(xp的一階微的一階微分方程分方程, ,若可以求出其通解若可以求出其通解),(1Cx, ,則則),(1Cxy再積分一次就能得原方程的通解再積分一次就能得原方程的通解. . 例例 4 4 求求方方程程2)(12yyyx 的的通通解解. . 解解 因因?yàn)闉榉椒匠坛?)(12yyyx 不不顯顯含含未未知知函函數(shù)數(shù) y,

18、,所所以以令令)(xpy , ,則則)()(xpxy ，將將其其代代入入所所給給方方程程, ,得得 212pppx, 分分離離變變量量得得 xxpppdd212, , 兩兩邊邊積積分分12lnln)1ln(Cxp，得得xCp121. 即即 11xCp , ,也也即即 11xCy. . 所所以以 132211212(1) d(1)3yC xxC xCC 為為所所求求方方程程的的通通解解. . 方程的解法：求解這類方程可令方程的解法：求解這類方程可令)(ypy 則則 pypxyyypxyydddddddd )(, , 于是于是, ,方程方程),(yyfy 可化為可化為 ),(pyfyppdd. .

19、 這是關(guān)于這是關(guān)于y和和p的一階微分方程的一階微分方程, ,如能求出其解如能求出其解),(1Cyp, ,則可由則可由),(1Cyxydd求出原方程的解求出原方程的解. . 3 3. .),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 方方程程的的特特點(diǎn)點(diǎn)：右右端端不不顯顯含含自自變變量量x. . 思考題思考題 1.1.是否可以通過(guò)給一階線性微分方程的通解中的是否可以通過(guò)給一階線性微分方程的通解中的任意常任意常數(shù)指定一個(gè)適當(dāng)?shù)闹刀玫皆摲匠痰娜我唤?？?shù)指定一個(gè)適當(dāng)?shù)闹刀玫皆摲匠痰娜我唤猓?2.2.可降階的高階微分方程有哪幾種類型？各自的可降階的高階微分方程有哪幾種類型？各自的求解方法怎樣？求解方法怎樣

20、？ 第三節(jié) 二階常系數(shù)線性微分方程 一、二階常系數(shù)線性微分方程解的性質(zhì)一、二階常系數(shù)線性微分方程解的性質(zhì) 二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解方法二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解方法 三、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的求解三、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的求解 方法方法 第三節(jié) 二階常系數(shù)線性微分方程 定定義義 1 1 形形如如 0 qyypy 的的方方程程（其其中中qp,為為常常數(shù)數(shù)）, ,稱稱為為二二階階常常系系數(shù)數(shù)齊齊次次線線性性微微分分方方程程. . 定定理理 1 1（齊齊次次線線性性方方程程解解的的疊疊加加原原理理） 若若21, yy是是齊齊次次線線性性方方程程的的兩兩個(gè)個(gè)解解,

21、 ,則則2211yCyCy也也是是的的解解, ,且且當(dāng)當(dāng)1y與與2y線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)時(shí)時(shí), ,2211yCyCy就就是是方方程程的的通通解解. . 一、二階常系數(shù)線性微分方程解的性質(zhì)一、二階常系數(shù)線性微分方程解的性質(zhì))()()(221122112211yCyCqyCyCpyCyC )()(22221111qyypyCqyypyC 00021CC 所以所以2211yCyCy是方程是方程0 qyypy的解的解. . 由于由于1y與與2y線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān), ,所以所以, ,任意常數(shù)任意常數(shù) 1C和和 2C是兩個(gè)是兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)獨(dú)立的任意常數(shù), ,即解即解 2211yCyCy中所含獨(dú)立的任意中所含

22、獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相同常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相同, ,則它是方程的通解則它是方程的通解, ,證畢證畢. . 證證 將將2211yCyCy直直接接代代入入方方程程的的左左端端, ,得得 稱稱 0 qyypy 為為方方程程所所對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的齊齊次次方方程程. . 定定理理 2 2 （非非齊齊次次線線性性方方程程解解的的結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)）若若py為為非非齊齊次次線線性性方方程程的的某某個(gè)個(gè)特特解解, ,cy為為齊齊次次線線性性方方程程的的通通解解, ,則則 pcyyy為為非非齊齊次次線線性性方方程程之之通通解解. . 定義定義 2 2 形如形如 )(xfqyypy 的方程的方程 （其中（其中q,

23、 ,p為常數(shù)）為常數(shù)）, , 稱為二階常系數(shù)非齊次稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程線性微分方程. . 又因?yàn)橛忠驗(yàn)閏y中含有兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)中含有兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù), ,所以所以 pcyyy中也含有兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)中也含有兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù), ,故故pcyyy為方程的通解為方程的通解. . 這這就就是是說(shuō)說(shuō), , pcyyy確確為為方方程程的的解解. . )()()(cpcpcpyyqyypyy )()cccpppqyypyqyypy （ )(0)(xfxf 證證 將將pcyyy代代入入方方程程的的左左端端有有 由齊次線性方程解的疊加原理知，欲求齊次線性由齊次線性方程解的疊加原理知，欲求齊

24、次線性方程方程的通解的通解, ,只須求出它的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解即只須求出它的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解即可可. . 令令y= =rxe為為方方程程的的解解, ,并并代代入入方方程程得得 0eee2rxrxrxqprr 因因?yàn)闉閑rx0, ,所所以以有有 02qprr 該該方方程程稱稱為為微微分分方方程程的的特特征征方方程程, ,稱稱方方程程的的根根為為特特征征根根. . 二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解方法二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解方法( (1 1) ) 當(dāng)當(dāng)特特征征方方程程有有兩兩個(gè)個(gè)不不同同的的實(shí)實(shí)根根 1r和和 2r時(shí)時(shí), ,則則方方程程有有兩兩個(gè)個(gè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的解解 11=

25、 er xyx, , 22= er xyx此此時(shí)時(shí), ,方方程程有有通通解解 1212eer xr xyCC. . (2)(2)當(dāng)特征方程有兩個(gè)相同的實(shí)根時(shí)當(dāng)特征方程有兩個(gè)相同的實(shí)根時(shí), ,即即rrr21 , ,方程方程只有一個(gè)解只有一個(gè)解 1= erxyx, ,這時(shí)直接驗(yàn)這時(shí)直接驗(yàn)證可知證可知 2= erxyx是方程是方程的另一個(gè)解的另一個(gè)解, ,且且 1y與與 2y線線性無(wú)關(guān)性無(wú)關(guān), ,所以所以, ,此時(shí)有通解此時(shí)有通解 rxrxrxxCCxCCyeee)(2121 . （3 3）當(dāng)特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)）當(dāng)特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根時(shí), ,即即ir（其中（其中,均為實(shí)常數(shù)且均為實(shí)常數(shù)且0）

26、, ,此時(shí)方程此時(shí)方程有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解(i )1=exy和和(i )2= exyx, ,故方故方程的通解為程的通解為 )i()i(eexxxxBAy )ee(ei -ixxxBA sinicosei, ,還還可可得得到到實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)形形式式 的的 通通 解解 )sincos(e21xCxCyx. 其其 中中)(,21BACBAC（讀讀者者自自證證）. .通通常常情情況況下下, ,要要求求寫(xiě)寫(xiě)出出實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)形形式式的的解解. . 利用歐拉公式利用歐拉公式 根據(jù)如上討論根據(jù)如上討論, ,求二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解的步驟為：通解的步驟為： 第一步第

27、一步, ,寫(xiě)出微分方程的特征方程寫(xiě)出微分方程的特征方程02qprr； 第二步第二步, ,求出特征根求出特征根； 第三步第三步, ,根據(jù)特征根的情況按下表寫(xiě)出所給微分方根據(jù)特征根的情況按下表寫(xiě)出所給微分方程的通解程的通解. . 特征方程的解 通解形式 兩個(gè)不等實(shí)根21rr 1212eer xr xyCC 兩個(gè)相等實(shí)根 rrr21 12erxyCC x 一對(duì)共軛復(fù)根 ir xCxCyxsincose21 例例 1 1 求求方方程程065 yyy的的通通解解. . 解解 方方程程065 yyy的的特特征征方方程程為為 0652 rr, 其其特特征征根根為為 3, 221rr, 所所以以 213221

28、(CCCCyxx，ee為為任任意意常常數(shù)數(shù)） 為為所所給給微微分分方方程程的的通通解解. . 例例 2 2 求求方方程程02 yyy的的通通解解 . . 解解 方程的方程的02 yyy的的特征方程為特征方程為 0122 rr, , 其特征根其特征根121rrr（二重特征根）（二重特征根）, ,故所求通解為故所求通解為 xxCCye )(21. . 例例 3 3 求方程求方程032 yyy滿足初始條件滿足初始條件1)0(, 1)0(yy的特解的特解 . . 解解 032 yyy的的特特征征方方程程為為0322 rr, ,所所以以, ,特特征征根根2i1, 2i121rr. .所所以以, ,所所給

29、給微微分分方方程程的的通通解解為為 )2sin2cos(21xCxCyxe, 由初始條件由初始條件1)0(y, ,得得11C，又因?yàn)椋忠驗(yàn)?2ecos2esin2e(cos22sin2 )xxxyxCxxx 2e( sin22cos2 )xCxx, , 由由1)0( y得得2211C, ,從而得從而得22C. 由非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)定理可知由非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)定理可知, ,求非齊次方程求非齊次方程的通解的通解, ,可先求出其對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解可先求出其對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解, ,再設(shè)法再設(shè)法求出非齊次線性方程的某個(gè)特解求出非齊次線性方程的某個(gè)特解, ,二者之和就是方程二者之和就是方程之

30、通解之通解. . 二二階階常常系系數(shù)數(shù)非非齊齊次次線線性性微微分分方方程程)(xfqyypy 特特解解確確定定 1.1.若若xmxPxfe )()(，其中，其中 為常數(shù)為常數(shù), , mP為為 x 的的 m 次多次多項(xiàng)式項(xiàng)式, ,即即011)(axaxaxPmmmmm , ,則方程為則方程為 xmxPqyypye )( 設(shè)設(shè)方方程程有有形形如如xpxQye )(的的解解, ,其其中中)(xQ是是一一個(gè)個(gè)待待定定多多項(xiàng)項(xiàng)式式. . 三、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的求解三、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的求解 方法方法為為使使 xpxQye )( 滿滿足足方方程程, ,將將xpxQye )(代代入入

31、方方 程程, ,整整理理得得 )()()()2()(2xPxQqpxQpxQm( 上上式式右右端端是是一一個(gè)個(gè)m次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式, ,所所以以, ,左左端端也也應(yīng)應(yīng)該該是是m次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式, ,由由于于多多項(xiàng)項(xiàng)式式每每求求一一次次導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,就就要要降降低低一一次次次次數(shù)數(shù), ,故故有有三三種種情情形形： (1)(1) 當(dāng) 時(shí)當(dāng) 時(shí)02qp, , 即即 不 是 特 征 方 程不 是 特 征 方 程02qp的根時(shí)的根時(shí), ,式左邊式左邊)(xQ與與 m次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式)(xPm的次數(shù)相同的次數(shù)相同, ,所以所以, , Q)(x為一個(gè)為一個(gè) m次待定多項(xiàng)次待定多項(xiàng)式式, ,可設(shè)可設(shè) 110)(

32、mmxbxbxQ)(1xQbxbmmm 其中其中mbbb,10 為為1m個(gè)待定系數(shù)個(gè)待定系數(shù), ,將式代入式將式代入式, ,比比較等式兩邊同次冪的系數(shù)較等式兩邊同次冪的系數(shù), ,就可得到就可得到mbbb,10 為未知為未知數(shù) 的數(shù) 的1m個(gè) 線 性 方 程 的 聯(lián) 立 方 程 組個(gè) 線 性 方 程 的 聯(lián) 立 方 程 組 , , 從 而 求 出從 而 求 出mbbb,10 , ,即確定即確定 )(xQ于是可得方程的一個(gè)特解為于是可得方程的一個(gè)特解為py= =xxQe )(. . (2)(2)當(dāng)當(dāng)02qp, ,但但02 p時(shí)時(shí), ,即即 為特征方程為特征方程02qp的單根的單根, ,那么式成為那

33、么式成為)(2(xPQp)Qm, ,由此可見(jiàn)由此可見(jiàn), , Q與與)(xPm同次冪同次冪, ,故應(yīng)設(shè)故應(yīng)設(shè) ( )( )mQ xxQx, , ( (3 3) )當(dāng)當(dāng)02qp且且02 p時(shí)時(shí), ,即即 是是特特征征方方程程 02qprr的的 特特 征征 重重 根根 時(shí)時(shí) , , 式式 變變 為為)()(xPxQm, ,此此時(shí)時(shí)應(yīng)應(yīng)設(shè)設(shè) )()(2xQxxQm. . 將將它它代代入入方方程程, ,便便可可確確定定)(xQm的的系系數(shù)數(shù), ,即即可可得得方方程程的的一一個(gè)個(gè)特特解解為為 xmpxQxye )(2. 其中其中)(xQm為為m次待定多項(xiàng)式次待定多項(xiàng)式, ,同樣將它代入式同樣將它代入式即可

34、即可求得求得)(xQm的的1m個(gè)系數(shù)個(gè)系數(shù), ,從而得到方程的一個(gè)特從而得到方程的一個(gè)特解解. . 綜綜上上所所述述, ,我我們們有有如如下下結(jié)結(jié)論論： 二二階階常常系系數(shù)數(shù)非非齊齊次次線線性性微微分分方方程程 xmxPqyypye )( 具具有有特特解解形形如如 xmkpxQxye )( 其中其中)(xQm為為m次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式, ,它的它的1m個(gè)系數(shù)可由式個(gè)系數(shù)可由式中中的的)(xQxQ(x)mk代入式代入式而得而得, ,式式中的中的k確定如下：確定如下： 0,1,2不是特征根,不是特征根,是特征單根,是特征單根,， 是特征重根.， 是特征重根.k 2 2. . xxPxfaxmcos)(

35、)(e或或xxPxfaxmsin)()(e, , 其其中中,為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù), , )(xPm為為 m次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式 此此時(shí)時(shí)方方程程變變?yōu)闉?xxPqyypyaxmcos)(e 或或 xxPqyypyaxmsin)(e 此時(shí)此時(shí), ,我們可先令我們可先令i仍用仍用 1 1 中所述方法確中所述方法確定方程定方程 xmxPpyyqy e )( 的解的解, ,則式的解可寫(xiě)成則式的解可寫(xiě)成21iyyy的形式的形式, ,且可證且可證: : y的實(shí)部的實(shí)部 1y即為方程的解即為方程的解; ; y的虛部的虛部 2y即為方程即為方程的解的解. . 例例 1 1 求方程求方程xxyyy2332e 的一個(gè)特解的一個(gè)特解. . 解解 由于方程由于方程xxyyy2332e 的非齊次項(xiàng)（也叫自的非齊次項(xiàng)（也叫自由項(xiàng)）由項(xiàng)）xxxf23)(e中的中的2不是特征方程不是特征方程0322 rr的根的根, ,故可令故可令 xpBAxy2)(e 將將BAxx)(Q代入式代入式(6)(