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文檔簡介
1、【基礎知識精講】銳角三角函數(shù)與特殊角專題訓練、 正弦與余弦:1、在 ABC中,C為直角,我們把銳角 A的對邊與斜邊的比叫做作 sin A ,銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦,記作cos A.sin AA的對邊斜邊cosA A邊斜邊若把A的對邊BC記作a,鄰邊AC記作b ,斜邊AB記作c ,則 sin A2、當 A為銳角時,b卜 一Oc0 sin A0 cos A1 ( A為銳角)。特殊角的正弦值與余弦值:sin 30cos30增減性:1,2一 32當00sin 45cos45900 時,sin 隨角度的增大而增大;cos四、正切概念:(1)在 Rt ABC 中,五、特殊角的正弦值與余弦值:t
2、an30 立; 3,2222隨角度A的對邊與鄰邊的比叫做tanA !A的鄰邊tan 451 ;sin 60cos60321一.2的增大而減小。A的正切,記作tan A。一 a(或 tan A 一 btan60 . 3六、任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值.sin A cos(90 A),cosA sin(90 A).七、任意銳角的正切值等于它的余角的余切值,任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。即 tan A cot 90 A ,cot A tan 90 A .八、同角三角函數(shù)之間的關系:、平方關系2 A2 ,sin A c0sA 1商的關系tanAsi
3、n AcosAcot AcosAsin A倒數(shù)關系tana cota=1【典型例題】【1】 已知a為銳角若 sina=3/5 ,求cosa、tana的值。若tana=3/4 ,求sina、 cosa 的值。若 tana=2 ,求(3sina+cosa ) / (4cosa-5sina )【2】 在4ABC中,角A,角B,角C的對邊分別為 a、b、c,且a: b: c=9:40:41 , 求 tanA,1/tanA 的值.【3】求下列各式的銳角。2sina=1 ,2tana cosa=根號 3, tan2a+ (1 + 根號 3) tana+根號 3=04在4ABC 中 AB=15, BC=14
4、 , S4ABC=84.求 tanc , sina 的值。【5】等腰三角形的面積為 2,腰長為根號5,底角為a,求tana。【6】銳角a滿足cosa=3/4 ,則/ a較確切的取值范圍()A.0° <a<45°B. 45° <a<90. 45° <a<60°D. C. 30° <a<45°2 0.2c0.20.20.20【7】計算:sin 1 sin 2 sin 3 sin 88 sin 89【基礎練習】一、填空題:11. cos30 sin 30 2. 一 sincos 。2
5、-13a3.右sin-,且090 ,則 = 已知sin ,則銳角 =。224 .在 Rt ABC 中,C 90 , A 60 ,則 cosB 5 .在 ABC,C 90 , AC 3, AB 5,則 cosB 6 . Rt ABC中,C 90 ,BC 3,AB 5,則sinA 7 .在 Rt ABC中, C 90 , 3a ©3b,則 A= sin A=8 .在Rt ABC中,如果各邊長度都擴大 2倍,則銳角 A的正弦值和余弦值(),一 29 .在 ABC中,若sinA 避 31 cosB 0, A,B都是銳角,則C的度數(shù)2210. (1)如果 是銳角,且 sin2sin2541 ,
6、那么的度數(shù)為()4(2).如果 是銳角,且cos一 ,那么cos(90)的值是()511 . 將cos21 , cos37 , sin41 , cos46的值,按由小到大的順序排列是12 一12 .在 ABC 中, C 90 ,右 cosB 一,則 sin B =5,22 一 .2_.2,八13 . sin 30 cos 30 的值為 sin 72 sin 18 14 . 一個直角三角形的兩條邊長為3、4,則較小銳角的正切值是()2 _ _1215 .計算sin 60 tan45 (-=),結果正確的是()16.在 Rt ABC中,CRt,若 tanB 2,a 1,則 b -217 .等腰梯形
7、腰長為6,底角的正切為 ,下底長為12M2 ,則上底長為,高4為。18 .在 Rt ABC 中, C 90 , cot A J3 ,則 cot A sin B tanC 的值為2sin Acos A)tan A19 .比較大?。ㄓ?、號連接):(其中A B 90sin A tan A , sin A cos B ,20 .在 Rt ABC 中, C 90 ,則 tan A tanB 等于( 二、【計算】21.sin30 cos45 cos30 sin 4522. 1 sin 60sin4522sin 30 cos30 。23 . (2sin 30 V2sin 45 )(cos30sin 45
8、)(sin 60 cos45 )24 . 25.0+(聞'2) 1 +2sin60 1 tan60【能力提升】41、如圖,在 Rt ABC中,ACB Rt ,CD AB于點 D, AD = 4, sin ACD 一,5求CD、BC的值。2、比較大?。篶os76.5sin233、若 30<<<90 °2 . _4、已知 sin 40sin5、在 Rt ABC 中,6、已知 sin cosA. m n7、如圖,在等腰AD的長為(8、如圖,矩形DM LAN于點表不)(D-2化間(cos cos )“1 .-90 ,cos A ,sin B 5m,B. nRtA A
9、BC 中,cossin33,321 cos4 一 .一n 4那么n的值是;cos67.5sin cos2n 1/ C=90o,)A.2 B. 3ABCD 中,AB>AD,M, CNXAN 于點 N.n,C.AC=6 ,則m、n的關系是2m 2n 12D. m 1 2n-4,一 1D 是 AC 上一點,若 tan / DBA= 一,則D.1AB=a, AN 平分/ DAB,DM+CN的值為(用含B 5a9、已知AD是等腰 ABC底邊上的高,且p 2C. a2tan Z B=, 4D.3a2AC上有一點E,滿足AE:CE=2:3則tan/ADE的值是(10、如圖,在菱形 ABCD中,已知AE
10、± BC于E, BC=1 ,)cosB=,求這個菱形的面積。13a的代數(shù)式C關于x的11、(北京市中考試題)在Rt ABC中,C 90 ,斜邊c 5,兩直角邊的長a、一 2二次方程 x mx 2m 20的兩個根,求Rt ABC較小銳角的正弦值12、(2010武侯中考模擬)如圖A ABC中,求證:AC=BD(2)若 sin/C= 12,BC=12 ,求 AD 的長.13AD是BC邊上的高,tan / B=cos / DAC。12、在一次數(shù)學活動課上, 老師帶領同學們去測量一座古塔 CD的高度.他們首先在A處安 置測傾器,測得塔頂 C的仰角/ CFE 21。,然后往塔的方向前行50米到達
11、B處,此時測得仰角/ CG& 37。,已知測傾器高1.5米.請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算出古塔CD的高度.CF(參考數(shù)據(jù):sin37o 3 , tan37o sin21o , tan21o 3) 5425813、如圖,大海中有 A和B兩個島嶼,為測量它依之間的距離,在海岸線BPQ上點E咖®得/AEP= 74° , /BEQ= 30 ;在點 F 處測得/ AFP= 60 , ZBFQ = 60 , EF= 1km.BQE(1)判斷ABAE的數(shù)量關系,并說明理由;A(2)求兩個島嶼 A和B之間的距離(結果精確到0.1km).(參考數(shù)據(jù): ,3=1.73, sin74 °
12、; cos74 ° 0.28,14、已知:如圖,在Rt ABC中, ACBPtan74 ° £49, sin76° 0.97, cos76 ° 用.24)ADC 45 , DC = 6。求 BAD的正切值.。15、如圖,小唐同學正在操場上放風箏,風箏從在AQ延長線上B處的小宋同學,發(fā)現(xiàn)自己的位置與風箏和旗桿PQ的頂點P在同一直線上.(1)已知旗桿高為10米,若在B處測得旗桿頂點 P的仰角為30°, A處測得點P的仰 角為45°,試求A、B之間的距離;(2)此時,在 A處背向旗桿又測得風箏的仰角為75。求繩子AC約為多少?(結
13、果可保留根號)16、小明家準備建造長為 28米的蔬菜大棚,示意圖如圖(1)。它的橫截面為如圖(2)所 示的四邊形ABCD,已知AB 3米,BC 6米,/BCD 45 , AB BC , D至U BC 的距離DE為1米。矩形棚頂 ADD A及矩形DCCD由鋼架及塑料薄膜制作,造價為每 平方米120元,其它部分(保溫墻體等)造價共 9250元,則這個大棚的總造價為多少元?(精確到1元)(下列數(shù)據(jù)可供參考 5 1.41,J3 1.73,冊 2.24,J29 5.39,J34 5.83)思維拓展訓練1、已知 a 為銳角,且 sin (a-10 ° )=/2 ,則 a=()。2、已知銳角 A滿
14、足關系式 2sin2A-7 sinA+3=0 ,貝U sinA=()。3、已知關于x的方程3x2-4 xsina+2 (1-cosa) =0有兩個不相等的實數(shù)根,a為銳角,那么a的取值范圍()。4、已知關于x的方程x2- 2 (m-1) x+m 2 - 3=0有兩個不相等的實數(shù)根.(1)求實數(shù)m的取值范圍;(2)已知a、b、c分別是 ABC的內角/ A、/日/ C的對邊,/ C=90 °,且tanB=3/4 , c- b=4 ,若方程的兩個實數(shù)根的平方和等于ABC的斜邊c的平方,求 m的值.5、在 ABC中,a、b、c分別是/ A、/ B、/ C的對邊,且 c=5 ,若關于x的方程(
15、5+b) x2+2ax+ (5-b) =0有兩個相等的實數(shù)根,又方程 2x2- ( 10sinA) x+5sinA=0的兩實數(shù)根的平方和為6,求 ABC的面積.6、如圖,已知P為/ AOB的邊OA上的一點,以P為頂點的/ MPN的兩邊分別交射線 OB 于M、N兩點,且/ MPN= Z AOB= a ( a為銳角).當/ MPN以點P為旋轉中心,PM邊與 PO重合的位置開始,按逆時針方向旋轉(/ MPN保持不變)時,M、N兩點在射線 OB上 同時以不同的速度向右平行移動.設OM=x , ON=y (y>x>0), POM的面積為S.若sin of二分之根號三。oP=2 . (1)當/
16、 MPN旋轉30° (即/ OPM=30 °)時,求點 N移動的距離; (2)求證: OPNs PMN ; (3)寫出y與x之間的關系式;(4)試寫出S隨x變化的函數(shù)關系式,并確定 S的取值范圍.7、如圖,在直角梯形 ABCD 中,AD / BC, Z C=90 °, BC=16 , DC=12 , AD=21 .動點 P 從 點D出發(fā),沿射線 DA的方向以每秒2兩個單位長的速度運動,動點 Q從點C出發(fā),在線 段CB上以每秒1個單位長的速度向點 B運動,點P, Q分別從點D, C同時出發(fā),當點 Q 運動到點B時,點P隨之停止運動.設運動的時間為t (秒).(1)設
17、 BPQ的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關系式;(2)當t為何值時,以B, P, Q三點為頂點的三角形是等腰三角形;(3)當線段PQ與線段AB相交于點O,且2AO=OB時,求/ BQP的正切值; (4)是否存在時刻t,使得PQXBD?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.8、如圖:直角坐標系中,梯形 ABCD的底邊AB在x軸上,底邊CD的端點D在y軸上直 線CB的表達式為y=4x+16,點A、D的坐標分別為(4, 0), (0, 4).動點P自A33點出發(fā),在 AB上勻速運行.動點Q自點B出發(fā),在折線 BCD上勻速運行,速度均為每秒 1 個單位.當其中一個動點到達終點時,它們同時停止運動 .
18、設點P運動t (秒)時, OPQ的 面積為s (不能卞勾成 OPQ的動點除外).(1)求出點B、C的坐標;(2)求s隨t變化的函數(shù)關系式;(3)當t為何值時s有最大值?并求出最大值.9、如圖,將矩形 OABC放置在平面直角坐標系中,點D在邊0C上,點E在邊OA上,把矩形沿直線DE翻折,使點O落在邊AB上的點F處,且tan/BFD=4.若線段OA的長是 3一元二次方程x27x8=0的一個根,又2AB=30A .請解答下列問題:(1)求點B、F的坐標:(2)求直線ED的解析式:(3)在直線ED、FD上是否存在點 M、N,使以點C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形,若存在,請直接寫出點M的坐標;
19、若不存在,請說明理由.10、已知平行四邊形 ABCD中,對角線 AC和BD相交于點 O, AC=10 , BD=8 . (1)若AC LBD,試求四邊形 ABCD的面積;(2)若AC與BD的夾角/ AOD=60 °,求四邊形 ABCD的 面積;(3)試討論:若把題目中平行四邊形 ABCD”改為 四邊形ABCD",且/ AOD= & AC=a ,BD=b,試求四邊形 ABCD的面積(用含 0, a, b的代數(shù)式表示).11、如圖1,已知/ ABC=90°, ABE是等邊三角形,點 P為射線BC上任意一點(點 P與 點B不重合),連接AP,將線段AP繞點A逆時針旋轉60 °得到線段AQ,連接QE并延長交 射線BC于點F.(1)如圖
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