彈性力學(xué)簡明教程第四版__課后作業(yè)題答案

1、第三章平面問題的直角坐標(biāo)解答O：Xh【3-4】試考察應(yīng)力函數(shù)G=ay3在圖3-8所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問題(體力不計(jì))ly-圖3-8【解答】相容條件：不管系數(shù)a取何值,應(yīng)力函數(shù)a=ay3總能滿足應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程,式(2-25).求應(yīng)力分量當(dāng)體力不計(jì)時(shí),將應(yīng)力函數(shù)中代入公式(2-24),得:-X=6ay,:-y=0,.xy-yx-0考察邊界條件上下邊界上應(yīng)力分量均為零,故上下邊界上無面力.左右邊界上；當(dāng)a>0時(shí),考察分布情況,注意到=0,故y向無面力左端：Z=二xx=6ay0"hfy=.xy、J.x右端：心二xx6ay(0<y<h)%=(r)C=1.應(yīng)

2、力分布如下圖,當(dāng)1?h時(shí)應(yīng)用圣維南原理可以將分布的面力,等效為主矢,主矩主矢的中央在矩下邊界位置.即此題情況下,可解決各種偏心拉伸問題偏心距e：4P由于在A點(diǎn)的應(yīng)力為零.設(shè)板寬為b,集中荷載p的偏心距e：二xAPbh2=0=e=h/6bh/6同理可知,當(dāng)a<0時(shí),可以解決偏心壓縮問題【3-6】試考察應(yīng)力函數(shù)F=3xy3h2-4y2,能滿足相容方程,并求出應(yīng)2h力分量不計(jì)體力,畫出圖3-9所示矩形體邊界上的面力分布在小邊界上畫出面力的主矢量和主矩,指出該應(yīng)力函數(shù)能解決的問題.【解答】1將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程2-25-4.l-4.l-4J駕+2/X+4=0,顯然滿足.xfxfyfy2將G錯(cuò)誤

3、！未找到引用源.代入式2-24,得應(yīng)力分量表達(dá)式_12Fxy_-x=一,y=0,xy=yxh3F2h4y21一卡3由邊界形狀及應(yīng)力分量反推邊界上的面力：在主要邊界上上下邊界上,y=士;,應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件式2-15,應(yīng)力%y=h/2=0,廿y=h/2=0h因此,在主要邊界y=±-上,無任何面力,即fxy=2人/=0,fyy=-200在x=0,x=l的次要邊界上,面力分別為:x=0：工-3F4y2=0,fy-1-鳥y2hh2x刁：fx12Fly-3F3,fyh2h因此,各邊界上的面力分布如下圖:在x=0,x=l的次要邊界上,面力可寫成主矢、主矩形式:x=l上x=0上x向主矢：h/2

4、_Fni=e2fxdy=0,h/2FN2=_h/2fxdy=0y向主矢：h/2_h/2Fs,RySFs=6/2fydy=-F主矩：M1h/2_h/2=-h/2fxydy=0,M2=2.上/2fxydy=-Fl因此,可以畫出主要邊界上的面力,和次要邊界上面力的主矢與主矩,如圖:wwwwx(a)(b)因此,該應(yīng)力函數(shù)可解決懸臂梁在自由端受集中力F作用的問題.o圖3-10【3-8】設(shè)有矩形截面的長豎柱,密度為p,在一邊側(cè)面上受均布剪力q(圖3-10),試求應(yīng)力分量.【解答】采用半逆法求解.由材料力學(xué)解答假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式.假定應(yīng)力分量的函數(shù)形式.根據(jù)材料力學(xué),彎曲應(yīng)力、主要與截面的彎矩有關(guān),剪應(yīng)

5、力%主要與截面的剪力有關(guān),而擠壓應(yīng)力3主要與橫向荷載有關(guān),此題橫向荷載為零,那么=0(2)推求應(yīng)力函數(shù)的形式將.x=0,體力fx=0,fy=Pg,代入公式(2-24)有產(chǎn)：,二x二一"-fxX=0二y對y積分,得(a)(b)其中f(x),fi(x臍是x的待定函數(shù).(3)由相容方程求解應(yīng)力函數(shù).將(b)式代入相容方程(2-25),得.44(c)dfxdf1x4'4dxdx在區(qū)域內(nèi)應(yīng)力函數(shù)必須滿足相容方程,(c)式為y的一次方程,相容方程要求它有無數(shù)多個(gè)根(全豎柱內(nèi)的y值都應(yīng)滿足它),可見其系數(shù)與自由項(xiàng)都必須為零,即d4fxdx4=0dx兩個(gè)方程要求(d)fx=Ax3Bx2Cx,

6、fix=Dx3Ex2f(x)中的常數(shù)項(xiàng),fi(x)中的常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)已被略去,由于這三項(xiàng)在的表達(dá)式中成為y的一次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng),不影響應(yīng)力分量.將(d)式代入(b)式,得應(yīng)力函數(shù)._3_2_3_2G=y(Ax+Bx+Cx)+(Dx+Ex)(e)(4)由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量仃*=Jfxx=0(f)二yCJy-fyy=6Axy2By6Dx2E-：gyxy(5)考察邊界條件利用邊界條件確定待定系數(shù)主要邊界x=0上(左)：-=-3Ax2-2Bx-CxyA、B、C、D、Eo(g)(h)將(f),(h)代入主要邊界x=b上,二xx=0=0,(xy)xz0=0Bxg=0,自然滿足(xy)x=0=-C=09xL+=

7、0,自然滿足«xy)xq=4,將(2式代入,得2(.xy)xb=-3Ab'2Bb'C=q在次要邊界y=0上,應(yīng)用圣維南原理,寫出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件:bb2.0(Oy)y幺dx=j0(6Dx+2E)dx=3Db+2Eb=0(k)bb0(仃y)y旦xdxtj0(6Dx+2Exdx=2Db3+Eb2=0(l)bb2_3_2-/、(7yx)-dx=(-3Ax2-2Bx-Cpx=-Ab3-Bb2-Cb=0(m)由式(i),(j),(k),(l),(m)聯(lián)立求得qqA=-,B,C=D=E=0b2b代入公式(g),(h)得應(yīng)力分量二x=0,2qx(A-x、+=.13Pgy,bl

8、b>-xyq3c=xx-23-111設(shè)圖3-13中的三角形懸臂梁只受重力作用,而梁的密度為P,試用純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)求解.【解答】采用半逆解法求解(1)檢驗(yàn)應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程(2-25)設(shè)應(yīng)力函數(shù)6=Ax3+Bx2y+Cxy2+Dy3,不管上式中的系數(shù)如何取值,純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)總能滿足相容方程(2-25)(2)由式(2-24)求應(yīng)力分量由體力分量fx=0,fy=Pg,將應(yīng)力函數(shù)代入公式(2-24)得應(yīng)力分量:(a)(b).：2<b2：jT-fyY6Ax2By-"gy；x=-T-fxx=2Cx6Dy二y:2.%=2Bx2Cy(c)：x：y(3)考察邊界條件：由應(yīng)力邊

9、界條件確定待定系數(shù).對于主要邊界y=0,其應(yīng)力邊界條件為：Gyy-0=0Tyxy衛(wèi)=03將式d代入式b,c,可得A=0,B=0e對于主要邊界y=xtano斜面上,應(yīng)力邊界條件：在斜面上沒有面力作用,即fx=%=0,該斜面外法線方向余弦為,l=-sina,m=cosa.由公式(2-15),得應(yīng)力邊界條件sin=,(-x)y=xtan/；"cos->(-yx)y-xtan二0-sin(-xy)ytan"cos'1'-(-y)ymtan.,-：0將式a、b、c、e代入式f,可解得(g)C=-cot一:,D=-cot2-23將式e、g代入公式a、b、c,得應(yīng)力分量表達(dá)式：2J,二:gxcot-2:gycot;二y二一gyxygycot：【分析】此題題目已經(jīng)給定應(yīng)力函數(shù)的函數(shù)形式,事實(shí)上,也可通過量綱分析法確定應(yīng)力函數(shù)的形式.按量綱分析法確定應(yīng)力函數(shù)的形式：三角形懸臂梁內(nèi)任何一點(diǎn)的應(yīng)力與a,x,y和Pg有關(guān).由于應(yīng)力分量的量綱是L,MT',而x,y的量綱是L,Pg的