數(shù)值分析-第五版-考試總結

1、第一章：數(shù)值分析與科學計算引論截斷誤差：近似解與精確解之間的誤差.?=?-?近似值的誤差(為準確值)近似值的誤差限0|?-?<?近似值相對誤差?(猊小時約等)d?=西分近似值相對誤差限?:c?=囪函數(shù)值的誤差限?(?(?):?(?(?)|?(?夕)|?(?夕)近似值?=±(?,?x10?有n位有效數(shù)字:1?=1x10?-?+12?=?v1畫.2?X10-?+1第二章：插值法1 .多項式插值其中：2 .拉格朗日插值?次插值基函數(shù):?=?+?+?+?=?0,1,?,?+?+?+?=?+?+?+?=?+?+?+?=?4x)=E?闕=匯?而?=0?=0('>?電+1(?)

2、?)?+1(?豺?(?=,?=0,1,?,?(?-?)?(?-?-1)(?-?+1)?(?-?3(?丁?)?(?%-?-)(?)?-?+1)?(?-?>引入記號:?3?+1(?=(?-?)(?-?)?(?-?冽余項:3 .牛頓插值多項式:?=?-?%=?+1)(?(?+1)!?%+1(?,?至(?)?(?=?)+?,?(?)+?+?,?,?,?田(0?)?(?-?-1)?階均差把中間去掉,分別填在左邊和右邊?,?,?,?-1,?|=?,?,?2-1,?q-?,?,?,?-1?-?余項:?(?=?,?,?,?m?+1(?4 .牛頓前插公式令?=?+?計算點值,不是多項式?(?1)2?,+?

3、=?+?2!?2?+?(?1)?(?1)+?!?階差分:?-1?-?-1?余項:?二?1)?(?+1(?+1)!?+"(?,?至(?),?)5 .泰勒插值多項式:?(?=?)+?(?)(?)+?+?(?)?!(?-?)?階重節(jié)點的均差:?,?,?,?=?(?)?,?,?(?)(?)+?)(?)(?-?)6 .埃爾米特三次插值:?=?)+?,?(?)+其中,A的標定為：?(?)=?(?)7 .分段線性插值:就=?+1?-?-?+1?仍+?+1-?多?仍+1第三章:函數(shù)逼近與快速傅里葉變換?=匯?=02.范數(shù):ML=m強!例?緲器?)?I?1i=E|?|?(?)?=i?i1?12=(三為

4、2?=i?i?(?(?)?)?3 .帶權內積和帶權正交:?(?=匯(x?x?x?(?(?)?)?=0?(?,?)=/p(x)?=0?4 .最正確逼近的分類(范數(shù)的不同、是否離散)：最優(yōu)一致(8-范數(shù))逼近多項式(?)：II?-?3(?)L=minI?-?(?)L?6湖''''最正確平方(2-范數(shù))逼近多項式(?)：I?-?外?)帳=mn?-?(?)2最小二乘擬合(離散點)人?)：?12=minI?-?/?1122?e25 .正交多項式遞推關系:6 .勒讓德多項式：正交性：奇偶性：遞推關系：?P?+i(?=(?我-?3?-i(?(?=i,?i(?=0一?於id?)

5、(?)?(?,?%?)'"(?：?,?刎?)(?-i(?,?)?-i(?)i0,?%?)?(?)?2-i2?+i?(-?)=(-i)?既)?w?=?7.切比雪夫多項式:遞推關系:正交性:?%?在-1(?+1)?+1(?=(2?+1)?-?2i(?)?»+1(=2?-?-i(?1?刑?)照(?)?=-1Vl-?.1上有升零點:?=?私+1?在?上有?+1個零點:?二?,/cos?5bs?2cos2?1?=2?最優(yōu)一致逼近2?+1?+C0S2(?+1)?+2?=,?,?1,?,?w?W0?=0?,?=0,1,?,?首項?鈉系數(shù):2?-18.最正確平方逼近:I?-?(?)

6、112=min?(?)?息?-?(?)2=?m?vjp(x)?-?x)2?法方程:?匯(?=(?>?=0正交函數(shù)族的最正確平方逼近:9.最小二乘法:情12=?m?n)?I；?(x?S(x?)?-?帝?=0法方程:?2(?=(?=0正交多項式的最小二乘擬合第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分1 .求積公式具有欲代數(shù)精度?求積公式(多項式與函數(shù)值乘積的和),對于次數(shù)不超過硝多項式成立,?+1不成立?(?)?E?(?)?=02 .插值型求積公式?=?/?)?匯?倒)(=匯(?)?=0-?=/?-?；?)?；?)?/?=0?+1)(?(?+1)!?+1(?)?3 .求積公式代數(shù)精度為?時的余項?=?-?E?

7、因=?=01r(?+1)!?/?+1?匯?+1?=04 .牛頓-柯特斯公式：將?我IJ分為舞份構造出插值型求積公式?解=(?-?)匯?)?(?)?=05 .梯形公式：當n=1時,?1)?-?(?212(?2?(?)?-?=2?+?(?)?(?=-6 .辛普森公式：當n=2時,?2)=6,?=4,?2)=67 .復合求積公式:?=?!?+4?+-?+?(?)?«?=-62?-?,?=?+?+1/2=?+2復合梯形公式:T?=2?+復合辛普森公式:S?=6附+?2?,180-()4?4)(?)?-12匯?(?+?(?)?«?=-?-?2?(?)12?=1?-14二?(?+1/2

8、)+?=0?-12匯?(?+?(?)?%?=-?(-)4?4)(?)1802?=18 .高斯求積公式(求待定參數(shù)?W?：(1)求高斯點(?)：令3?+1(?=(?-?)(?-?)?(?-?)與任何次數(shù)不超過酌多項式?(?辨?_一權?(?*父,即那么J?(?)?+1(?(?)?0,由?+1個萬程求出局斯點?,?求待定參數(shù)?6?(?)?(?)即限?=0?史?(?)?(?也為次數(shù)不超過的多項式.9 .高斯-勒讓德求積公式：取權函數(shù)為?=1的勒讓德多項式?+1(?兩零點即為求積公式的高斯點.12?+110 .高斯-切比雪夫求積公式：取權函數(shù)為?=/鈣的切比雪夫多項式的零點?=cos去?;2?卿為求積公

9、式的高斯點.第五章解線性方程組的直接方法1.矩陣的附屬范數(shù):?I?lloo=1max,?|?!?行元素絕對值之和中最大的)?=1?|?11=maxE|?4列元素絕對值之和中最大的)1w?w?=1I?12=V?)2.條件數(shù):?(A)I?1ILl?8?外?/?)?|?)|?2(A)aA行I當?=?,?(A)-?)|?仰?)|第六章解線性方程組的迭代法1.迭代法:?=?(?-?=?=?-?+1)=?)+?2.迭代法收斂:lim?-8?夕?)存在.?<1,譜半徑?=ma?J?,、m103.迭代法收斂的充分必要條件:4 .漸進收斂速度：=-ln?,迭代次數(shù)估計：?>?()5 .雅可比迭代法:

10、?=?=?-(?+?)=?-?(?-?=?=?6.高斯-塞德爾迭代法:?,?+1)=?)+?=?=(?-?)-?=?-?(?-?=?=?-?夕?+D=?")+?-塞德爾迭代法均收斂.7 .嚴格對角占優(yōu)矩陣：此矩陣為非奇異矩陣,其雅可比迭代法與高斯?I?1?>.|?b?=1?w?8 .弱對角占優(yōu)矩陣：假設此矩陣也為不可約矩陣,那么其雅可比迭代法與高斯-塞德爾迭代法均收斂.?I?|?I?=1?豐其中,可約矩陣：n階矩陣A有如下型式,否那么為不可約矩陣.?/?!(?1?2)(?2)9 .超松弛迭代法：為高斯-塞德爾迭代法的一種修正.?=(?-?)-?=(-?-?)-(-?+?-?)?

11、=(?-?)?=(?+?-?)(?-?=?=?-?=?=(?-?)/?+,?)?)=(?-?1(1-?+?)?=?產(chǎn)?=?7?-?1?+1)=?夕?)+?10 .最速下降法：是對稱正定矩陣?=?+1)=?+?能?)使下式最小:/CC八/cc、/cc、/cc、/cc、/cc、?/cc、/CC、?(?%?+1)=?(?(?)+?")=?(?/)+?(?)-?,?)+(?(?),?)那么:?(?(?-?)(?)?(?)-0?2_()_(')?'?'-(?)一(?)夕?),/其中:?)=-?(?)=-(?(?-?)=?夕?)故而:?+1)=?+?初1?)11.共輾梯度

12、法:(1)令7?0)=?計算?=-(?*-?),取伊)=?.)對?=0,1,?,計算(3)?+)=?+?)(?),?)?3?=(?),?夕?+1)=?夕?)-?+)=?+1)+?(?+1)?夕?+1)?=(?),?)假設?)=0或(?夕?,?)=0,計算停止.第七章非線性方程與方程組的數(shù)值解法1二分法：1)計算?(?京有根區(qū)間?的端值?(?)?(?)2計算區(qū)間中點值?+?3判斷?:個-)=?+?),、?+?0或者?6)(?)<02 .不動點迭代法:?=0?=?7?=?+?+1=?3 .不動點迭代法收斂:lim?=?-84 .?(?平?上存在不動點2?(壓縮映射)|?-?(?尸?<1

13、5 .不動點迭代法收斂性：滿足上條,那么不動點迭代法收斂,誤差為：?I?-?lw?-?|6 .局部收斂：存在?的某個鄰域內的任意的,迭代法產(chǎn)生的序列收斂到.7 .不動點迭代法局部收斂：其中7?1為?(?的不動點,(?庇?鄰域連續(xù).I?(?)|<18 .P階收斂：當k-8時,迭代誤差?=?-?,滿足繆一W09 .牛頓(座根)法：?+1=?-?(?),?+1=?-10 .簡化的牛頓法:?+1=?-?(銅?(?)11 .牛頓下山法:?+1=?-入行"o,1'?從入=1開始試算,之后逐次減半,直到滿足下降條件：|?(?+1)|<|?(?|為止.12 .弦截法:?私+1=?

14、-?-1)?)-5?(?-?-1).第八章矩陣特征值計算1 .格什戈林圓盤：以?前圓心,以效半徑的所有圓盤?=匯|?小?0?=?|?師?<解?C?=1?大2 .?勺每個特征值必屬于某個圓盤之中：|入-?只?3 .?有葉圓盤組成一個連通的并集藥和余下?個圓盤是別離的,那么的恰包含?個特征值.4 .哥法:設?勺特征值滿足條件：|?|>|?|刁?|>?|?|任取非零向量?3,構造向量序列,=?=?,?,?+1=?聲+1?8?假設：?=?+?+?+?初豐0那么:?OO?3?=?1?+?就+?+?粉?=?+匯?3?司?"?=?1(?+i)?lim?=?-8(?初15 .收斂速

15、度:?=|?|6 .哥法改良:?)=?w?.?=?加-1,?2?=不,?=?詢3?lim?=一?叫,?=?7 .加速方法原點平移法：構造矩陣應用哥法使在計算其主特征值的過程中得到加速.?=?-?2另1,可得：?=?,?=?孩?,那么?=1,那么可推導出:?-?=1承"5?<8 .假設?=1,稱矩陣?；?=?2?1為初等反射矩陣10 .設為兩個不等的難向量,口2=U?b,令二?(?2?夕?=?11 .豪斯霍爾德約化定理:I?2=I?12?b=sgn(?)I?2?=-(T?+(T?=-l?+b?2口12CC?1C?=?2?夕?=?2-=?1?西?=-|?|2=b(+?)1?片2212 .吉文斯變換:?=v?+?,cos?=?rz,sin?=i,(?-cos?sin?sin?cos?12 .矩陣的QR分解：1設毒奇異,那么存在正交矩陣使?其中效上三角矩陣.2設徘奇異,那么存在正交矩陣芍上三角矩陣使?=?當寸角元素為正分解唯一.13 .豪斯霍爾德約化矩陣為上海森伯格矩陣:?7-2?7-2=?2計算對稱三對角矩陣的全部特征值.14 .?法：1計算上海森伯格矩陣的全部特征