2015海淀區(qū)高三一模數(shù)學(xué)(理)試題及答案解析

1、第1頁共 14 頁海淀區(qū)高三年級(jí)第二學(xué)期期中練習(xí)海淀區(qū)高三年級(jí)第二學(xué)期期中練習(xí)數(shù)學(xué)(理)2015.42015.4本試卷共 4 頁，150 分?？荚嚂r(shí)長 120 分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一一、選擇題共選擇題共8小題小題，每小題每小題5分分，共共40分分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要選出符合題目要求的一項(xiàng)求的一項(xiàng)。(1)設(shè)集合 A二xeRIx1,B=xGRIx20”是“角 a 是第一象限的角”的()(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件x=1+yf

2、2COS0,(5)圓廠(0為參數(shù))被直線y=0截得的劣弧長為()y=1+Q2sin0 x+y0,(6)若x,y滿足1,則下列不等式恒成立的是()x-y0,A)2nT(B)n(C)2邁n(D)4nB)x2D)2xy+10課外 100 網(wǎng)】教師會(huì)員資料 最專業(yè)的中高考輔導(dǎo)教師交流平臺(tái)第2頁共 14 頁A)y1C)x+2y+20課外 100 網(wǎng)】教師會(huì)員資料 最專業(yè)的中高考輔導(dǎo)教師交流平臺(tái)第3頁共 14 頁(A)第一年到第三年(C)第三年到第五年(B)第二年到第四年(D)第四年到第六年(7)某三棱錐的正視圖如圖所示，則這個(gè)三棱錐的俯視圖不可能是()(8)某地區(qū)在六年內(nèi)第x年的生產(chǎn)總值y(單位：億元)

3、與x之間的關(guān)系如圖所示，則下列四個(gè)時(shí)段中，生產(chǎn)總值的年平均增長率最高的是()課外 100 網(wǎng)】教師會(huì)員資料 最專業(yè)的中高考輔導(dǎo)教師交流平臺(tái)第4頁共 14 頁二、填空題共二、填空題共6小題，每小題小題，每小題5分，共分，共30分分。ai(9)已知口一1+i其中i是虛數(shù)單位那么實(shí)數(shù)a=開始ZXZ(10)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的i值為(11)已知 m,4,n 是等差數(shù)列，那么(J2)m-(J5)n=；mn的最大值為(12)_ 在 AABC中，若a=/2,c=*3ZA=-，則厶B的大小為.4(13) 社區(qū)主任要為小紅等4名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，小紅必須與2位老人都相鄰，且

4、兩位老人不排在兩端，則不同的排法種數(shù)是(用數(shù)字作答)Ix3,xa.值范圍是-三、解答題共三、解答題共 6 小題，共小題，共 80 分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。15)(本小題滿分13分)n已知函數(shù) f(x)=sm2(x+).4(I) 求 f(x)的最小正周期及其圖象的對(duì)稱軸方程;(II)求 f(|-x)的單調(diào)遞減區(qū)間.結(jié)束課外 100 網(wǎng)】教師會(huì)員資料 最專業(yè)的中高考輔導(dǎo)教師交流平臺(tái)第5頁共 14 頁(16)(本小題滿分13分)某超市從2014年甲、乙兩種酸奶的日銷售量(單位：箱)的數(shù)據(jù)中分別隨機(jī)抽取100個(gè)，并按0，10，(10，20

5、，(20，30，(30，40，(40，50分組，得到頻率分布直方圖如下：課外 100 網(wǎng)】教師會(huì)員資料 最專業(yè)的中高考輔導(dǎo)教師交流平臺(tái)第6頁共 14 頁假設(shè)甲、乙兩種酸奶獨(dú)立銷售且日銷售量相互獨(dú)立（I）寫出頻率分布直方圖（甲）中的a的值；記甲種酸奶與乙種酸奶日銷售量（單位：箱）的方差分別為S2,s2,試比較S2與s2的大??；（只需寫出結(jié)論）1212（II）估計(jì)在未來的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷售量恰有一個(gè)高于 20 箱且另一個(gè)不高于20箱的概率；（III）設(shè) X 表示在未來3天內(nèi)甲種酸奶的日銷售量不高于20箱的天數(shù)，以日銷售量落入各組的頻率作為概率，求 X 的數(shù)學(xué)期望.課外 100 網(wǎng)】教師

6、會(huì)員資料 最專業(yè)的中高考輔導(dǎo)教師交流平臺(tái)第7頁共 14 頁(17)(本小題滿分14分)如圖1,在直角梯形ABCD中，ADgBC，AD丄DC，BC二2AD二2DC，四邊形ABEF是正方形.將正方形ABEF沿AB折起到四邊形ABEF的位置，使平面11ABEF丄平面ABCD，M為AF的中點(diǎn)，如圖2.111(I)求證：BE丄DC；1(II)求BM與平面CEM所成角的正弦值；1(III)判斷直線DM與CE的位置關(guān)系，并說明理由.18)(本小題滿分13分)已知函數(shù)/(x)=AInx+丄豐0).x(I)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；(II)若xf(x)0=B,c(其中bb0)過點(diǎn)(0,_1)，a2B2(I)求橢

7、圓M的方程；(II) 是否存在菱形ABCD，同時(shí)滿足下列三個(gè)條件:E13)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：n12n1對(duì)于任意的 i,j(1ijn)，aa；ij2對(duì)于任意的 i,j,k(1ijks2.數(shù)學(xué)（理）答案及評(píng)分參考（理）答案及評(píng)分參考2015.49)210)411)16,16(12)-或竺12或1213)24(14)(a,0)U(h+8)三、解答題（共三、解答題（共6小題，小題，共共80分分) )n令2x=kn+(keZ)，得:2x=塑+-(keZ)246分所以 f（x）的最小正周期為n，nn對(duì)稱軸的方程為x=2+(keZ).sin2x)+1兀、3(ii)f(3x)=32=一一sin(2x一)2

8、3n2nn9分令2kn2x2kn+(keZ),232n7n得:kn+xkn+(keZ)得：1212nn7n所以f(-x)的單調(diào)遞減區(qū)間為kn+12,kn+12(keZ).13分課外 100 網(wǎng)】教師會(huì)員資料 最專業(yè)的中高考輔導(dǎo)教師交流平臺(tái)第10頁共 14 頁12分（II）設(shè)事件A:在未來的某一天里，甲種酸奶的銷售量不高于20箱；事件B:在未來的某一天里，乙種酸奶的銷售量不高于20箱；事件 C:在未來的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷售量恰好一個(gè)高于20箱且另一個(gè)不高于20箱.則P(A)=0.20+0.10=0.3,P(B)=0.10+0.20=0.3.6分所以P(C)=P(A)P(B)+P(A)P

9、(B)=0.42.8分(III)由題意可知，X的可能取值為 0,1,2,3.9 分P(X=0)=C0X0.30X0.73=0.343，3P(X=1)=CX0.I3X027=0.4413P(X=2)=C2X0.32X0.71=0.189，3P(X=3)=C3X0.33X0.70=0.027.3所以 X 的分布列為X0123P0.3430.4410.1890.02711分所以 X 的數(shù)學(xué)期望 EX=0X0.343+1X0.441+2X0.189+3X0.027=0.9.13分另解：由題意可知XB（3,0.3）.所以 X 的數(shù)學(xué)期望 EX=3X0.3=0.9.13分（17）（共 14 分）證明：（I

10、）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BE1為正方形，所以BE丄 AB.因?yàn)槠矫鍭BCD丄平面ABEF，平面ABCD平面ABEF=AB，BEu平11111課外 100 網(wǎng)】教師會(huì)員資料 最專業(yè)的中高考輔導(dǎo)教師交流平臺(tái)13第11頁共 14 頁面ABEF，課外 100 網(wǎng)】教師會(huì)員資料 最專業(yè)的中高考輔導(dǎo)教師交流平臺(tái)第12頁共 14 頁所以BE丄平面ABCD.1因?yàn)镈Cu平面ABCD，所以BE1丄 DC.4分(II)解：如圖，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BC,BE所1在的直線為x，z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz.設(shè)AD=1，貝IB(0,0,0),C(2,0,0),E(0,02),M(1,1,g.12(I

11、II)解：直線DM與直線CE平行.理由如下：11分1近 l由題意得，D(2,1,0),DM=(1,0,),CE=(2,0,2).21所以CE=2DM.1所以CE/DM.1，CE=(-2,0八.2)，EM=(1,1,116分設(shè)平面立嚴(yán)的一個(gè)法向量為n=(x,y,z).n-CE=0,由1得r=V2,y=0，所以n=(10,Q.8分設(shè)BM與平面比嚴(yán)所成角為e,貝sinecos=BM-nBMn所以BM與平面CE1M所成角的正弦值為2*30152顧1510分y所以 BM=(1,1課外 100 網(wǎng)】教師會(huì)員資料 最專業(yè)的中高考輔導(dǎo)教師交流平臺(tái)13第13頁共 14 頁因?yàn)镈M，CEi不重合,所以DM/CE.

12、1另解：直線DM與直線CEi平行.理由如下:(18)(共13分)a1ax-1/解：(I)/(x)=(x0).xx2x2(i)當(dāng)a0時(shí)，f(x)0時(shí)，令 f(x)=0,得 x=.a當(dāng)x變化時(shí)，f(x),f(x)的變化情況如下表x1(0,)a1a(丄,+8)af(x)0+f(x)極小值/所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,)，單調(diào)遞增區(qū)間是(,+只).5aa 分(II)由(I)知：當(dāng)a0時(shí)，因?yàn)閒(x)在(0,)內(nèi)是減函數(shù)，在(一,+8)內(nèi)是增函數(shù)，所以要使aa11x|f(x)0=b,c，必須f()0，即aIn+ae)，則g(x)=1=(xe).xx當(dāng)xe時(shí)，g(x)0，所以，g(x)在e,+8)上

13、是增函數(shù).所以當(dāng)ae時(shí)，g(a)=a2lnag(e)=e20.1所以 f()0.9分a2111因?yàn)開1，f(-)0，a2aa111所以f(x)在(一，)內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，不妨記為b，在(一,】)內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，a2aa不妨記為c.11分11因?yàn)閒(x)在(0，)內(nèi)是減函數(shù)，在(一,+8)內(nèi)是增函數(shù)，aa所以x|f(x)e.7分11當(dāng)ae時(shí)，f()=aln()+a2=-2aIna+a2=a-(a一2lna).12課外 100 網(wǎng)】教師會(huì)員資料 最專業(yè)的中高考輔導(dǎo)教師交流平臺(tái)第15頁共 14 頁111因?yàn)?bG(,)，cG(,1),a2aa所以b,c匸(0,1).13分19)(共13分)b=1,解：

14、(I)由題意得:3分a2-b2=c2.Ia2=3,解得:U2=1.所以橢圓M的方程為丁+y2=1.(II)不存在滿足題意的菱形ABCD，理由如下：分假設(shè)存在滿足題意的菱形ABCD.設(shè)直線BD的方程為 y=x+m,B(x,y),D(x,y),1122點(diǎn)A(t,2).4分5線段BD的中點(diǎn)Q(x,y),006x2+3y2=3,c 小得4y2-2my+m2-3=0.y=x+m由A=(2m)2-16(m2-3)0，解得-2m2.8分9分m因?yàn)閥+y=,122y+ym所以y=12=.024因?yàn)樗倪呅?ABCD 為菱形，所以Q是 AC 的中點(diǎn).m所以C點(diǎn)的縱坐標(biāo)y=2y-2=-23)符合、，貝 y：n12n

15、（i）A中至多有三項(xiàng)，其絕對(duì)值大于1.n假設(shè)A中至少有四項(xiàng)，其絕對(duì)值大于1,不妨設(shè)a,nia,a是A中絕kln對(duì)值最大的四項(xiàng)，其中11a11a11a1-1.這與y-1矛盾.13CC分所以不存在滿足題意的菱形ABCD.（20）（共14分）解：（I）由，得2a6,126，故2a二6，解得 a二3.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng) a二3時(shí)，符合題意.（II）假設(shè)2,3,5是數(shù)列A中的項(xiàng)，由可知：6,10,15中至少有一個(gè)是數(shù)列A中的nn則有限數(shù)列A的最后一項(xiàng)a5，且n4.nn由，aaaa1nn-1n-2n-3項(xiàng)，課外 100 網(wǎng)】教師會(huì)員資料 最專業(yè)的中高考輔導(dǎo)教師交流平臺(tái)第18頁共 14 頁則對(duì)a，a，a有丨aaI1aI，IaaI1aI，故aa，aa均不是數(shù)列A中的項(xiàng),iklillkllilkln