最新導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性練習題

1、精品文檔2.2.1導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性精品文檔基礎(chǔ)鞏固題:1.函數(shù) f(x)=父在區(qū)間(-2, +8)上為增函數(shù)，那么實數(shù) a的取值范圍為(x1A.0a 一2答案：C一 .一 1B.a212a解析：f(x)=a+ x 2C.a12D.a-21在(2+8)遞增，l-2a 22,已知函數(shù)f(x)=x2+2x+alnx,若函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)，則實數(shù) a的取值范圍是()A. a0 B. a 0 或 aw 4 D. a0 或 a0 或 f (x)W0 在(0,1) x上恒成立，即2x2+2x+a 0或2x2+2x+aw0在(0,1)上恒成立，所以a (2x2+2x)或a(2x2+2x)在(0,

2、1)上恒成立.記 g(x)= (2x2+ 2x),0x1,可知一4g(x)0 或 a4,故選C.3 .函數(shù)f(x) = x+9的單調(diào)區(qū)間為 . x. .9 x2 9 _.答案：(3,0), (0,3) 斛析：f (x)=11，令 f (x)0,解得3x0 或 0Vx0,解得 x4 或 x2.，y=x39x2+24x 的單調(diào)增區(qū)間是(4, +oo齊口(oo, 2)令 3(x2)(x 4)0,解得1x1 或 xv1.y=3x x3的單調(diào)減區(qū)間是(00, 1)和(1, +0)6 .函數(shù)y=in(x2-x- 2)的單調(diào)遞減區(qū)間為 .答案(一, - 1)解析函數(shù) y = ln(x2x 2)的定義域為(2

3、, +)U(8,一11),令 f(x)= x2x2, f (x) = 2x10,得 x2,函數(shù)y= ln(x2x 2)的單調(diào)減區(qū)間為(一 1)7,已知y=1x3+bx2+(b+ 2)x+ 3在R上不是單調(diào)增函數(shù)，則 b的范圍為 . 3答案b2解析若 y =x2+2bx+b+20 恒成立，則 A=4b24(b +2)0,-1b2.8.已知 xCR,求證：exx+1 .證明：設(shè) f (x) =exx1,貝Uf ( x) =ex 1.，當 x=0 時，f ( x) =0,f (x) =0.當 x0 時，f (x) 0,，f (x)在(0,+ 8)上是增函數(shù).f(x) f (0) =0.當 x0 時，

4、f (x) f (0) =0.19.已知函數(shù)y=x+ ,試討論出此函數(shù)的單倜區(qū)間x如，1 ,O x2斛：y =(x+) =1-1 - x 2=2xx1 (x 1)(x 1)(x 1)(x 1) 有令與0. 解x一 ，、1(x 1)(x 1)得 x1 或 xv 1. y=x+ 的單倜增區(qū)間；是(一8, 1)和(1, +OO).令 121 0.即 3x2-x+b0,1. bx -3x 2在(-00, +oo)恒成立.設(shè) g(x)=x-3x 2.當 x=。時，g(x) max= , bl .6121212.已知函數(shù)f(x)=x(x-1)(x-a) 在(2, +8)上是增函數(shù)，試確定實數(shù)a的取值范圍.

5、32. . .2解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x-(a+1)x +ax f (x) =3x-2(a+1)x+a要使函數(shù)2f(x)=x(x-1)(x-a) 在(2,+ 8)上是增函數(shù)，只需 f (x) =3x-2(a+1)x+a 在(2, +8)上滿足f (x) 0 即可._2f (x) =3x -2(a+1)x+a.a的取值應滿足:a 1a f (-1,1恒成立，即x2 ax 2 0對x1,1恒成立，解之得:解得:a . /.a的取值范圍是a .33022 3 ,13 .已知函數(shù) f (x) 4x ax -x (x R)在區(qū)間 1,1上是增函數(shù)，求實數(shù) a的取值 3范圍.解：f(x)

6、4 2ax 2x2,因為f x在區(qū)間 1,1上是增函數(shù)，所以 f(x) 0對所以實數(shù)a的取值范圍為 1,1點撥：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型，常利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系：即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則 f(x) 0；若函數(shù)單調(diào)遞減，則 f(x) 0”來求解，注 意此時公式中的等號不能省略，否則漏解. 3.214 .已知函數(shù)f(x) x bx ax d的圖象過點P (0, 2),且在點M ( 1, f( 1)處 的切線方程6x y 7 0, (1)求函數(shù)y f (x)的解析式；(2)求函數(shù)y f(x)的單調(diào)區(qū)間。解：(1)由 f (x)的圖象經(jīng)過 P (0, 2),知 d 2 ,所以

7、 f (x) x3 bx2 cx 2 ,2f (x) 3x2 2bx c 由在點M ( 1, f( 1)處的切線方程為6x y 7 0,.3 2b c 6 f( 1) 1, f ( 1) 6 即解得 b c 31 b c 2 1故所求的解析式是f (x) x3 3x2 3x 2f(x) 3x26x 3 令 3x2 6x3 0 ,解得 x11 V2,x21 五當 x1 或 x1 J2 時，f (x) 0當1 亞 x 1 后時，f (x) 0故f(x) x3 3x2 2在(,1 J2)內(nèi)是增函數(shù)，在(1 v2,1 J2)內(nèi)是減函數(shù)在(1 J2,)內(nèi)是增函數(shù)點撥：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、導數(shù)的應用等知

8、識，考查運用數(shù)學知識分析問題和解決問題 的能力.15.已知函數(shù)f(x) =b (x- 1)2求導函數(shù)f (x),并確定f(x)的單調(diào)區(qū)間.解析:f (x) =2(x1)2(2xb) 2(x1)(x-1)42x+2b22x(b1)(x-1)3 (x- 1)3令 f (x)= 0,得 x = b 1 且 xw 1.當b 1v1,即b1,即b2時，f (x)的變化情況如下表:x(一00,1)(1, b-1)b-1(b-1, + 0)f (x)一十0一所以，當b2時，函數(shù)f(x)在(一8, 1)上單調(diào)遞減，在(1, b1)上單調(diào)遞增，在(b-1, +oo) 上單調(diào)遞減.,一 ,2 ,當b 1 = 1,

9、即b=2時，f(x)=所以函數(shù)f(x)在(81)上單倜遞減，在(1 ,x 1+ OO )上單調(diào)遞減.強化提高題：16.設(shè)f(x)、g(x)是R上的可導函數(shù)，f (x),g (x)分別為f(x)、g(x)的導函數(shù)，且滿足f (x)g(x) + f(x)g (x)0,則當 axf(b)g(x)B. f(x)g(a)f(a)g(x)C. f(x)g(x)f(b)g(b)D. f(x)g(x)f(b)g(a)答案：C 解析：令 y=f(x)g(x),則 y = f (x) g(x)+f(x) g (x),由于 f (x)g(x) +f(x)g (x)0 ,所以 y 在 R 上單調(diào)遞減,又 xf(b)g

10、(b).17,若函數(shù)y=x3-ax2+4在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù) a的取值范圍是 .答案3, +8)解析V =3x22ax,由題意知3x22ax2x在區(qū)間(0,2)上恒成立，.-.a3.18.已知函數(shù)f(x)=axlnx,若f(x) 1在區(qū)間(1, 十0 )內(nèi)恒成立，實數(shù) a的取值范圍為答案a1解析由已知a+nx在區(qū)間(1, + 8)內(nèi)恒成立. x1 + lnxinx1 + lnx設(shè) g(x)=-,則 g z (x)= - -T 1),g(x) =-在區(qū)間(1, + 8)內(nèi)單調(diào)xxx遞減，.1.g(x)g(1),g(1) = 1,+lnx1.x19 .函數(shù)y = x2ex的單調(diào)遞增區(qū)間是

11、 .答案：(0,2)解析：y = (2x-x2)e x0? 0 x0 解析：v = - 4x2+ b,若y值有正、有負，則 b0.22 .定義在 R上的奇函數(shù)f(x)在-a,-b (ab0)上是減函數(shù)且 f(-b)0,判斷F (x) = f(x) 2在b,a上的單調(diào)性并證明你的結(jié)論解析：設(shè)b xix2 -xi -x 2 -a.1 f(x)在-a,-b 上是減函數(shù),0f(-b) & f(-xi)f(-x 2尸 f(-a),f(x)是奇函數(shù)，.二0-f(x i)-f(x 2),則 f(x2)f(x i)0, f(xi) 2 f(x2) 2,即 F(xi)0,解得 x3;又令 f (x)0,解得一i

12、x0).(i)求函數(shù)在(0, +0)上的單調(diào)區(qū)間，并證明之；(2)若函數(shù)f(x) x在a-2,+8上遞增，求a的取值范圍.解析：(i) f(x)在(0,+ 8)上的增區(qū)間為ja,+8,減區(qū)間為(0, Va ).證明：(x)=i- a，當 xC Va ,+81時，xf (x)0,當 xC (0, Ji)時，r (x) Jia-Ja-203a +1)( Ji-2)0 a a -2 0 a 4.26.已知函數(shù)y= ax與y= b在(0, + 00)上都是減函數(shù)，試確定函數(shù)y= ax3+bx2+5的單x調(diào)區(qū)間.解析： 可先由函數(shù)y=ax與y= b的單調(diào)性確定a、b的取值范圍，再根據(jù) a、b的 x取值范

13、圍去確定 y= ax3 + bx2 + 5的單調(diào)區(qū)間.b .解:函數(shù)y= ax與y=-在(0, + 00)上都是減函數(shù)，a0, b0,得 3ax2+2bx0, .一|vxv0. 3a:當xC 3b, 0時，函數(shù)為增函數(shù).3a令 v 0,即 3ax2+2bxv0, x0. 3a|b , (0, +8)上時，函數(shù)為減函數(shù).3axe a27設(shè)a 0, f(x) 一 二是R上的偶函數(shù)，(1)求a的值；(2)證明f(x)在(0, + ) a e上是增函數(shù)。解：(1)依題意，對一切x R,有f (x) f(x),即即(a)(ex -x-) 0 ,所以對一切 xR,(a1V x)(eaa4x) e1xae0

14、恒成立xae,一 x 1 1一 2由于e不恒為0,所以a 0,即a 1 ,又因為a 0 ,所以a 1ea(2)證明：由 f(x) ex e x,得 f (x)ex ex e x(e2x 1)當 x (0,)時，有ex(e2x 1) 0,此時f(x)0 ,所以 f(x)在(0, + 是增函數(shù)128.求證：方程 x?sinx= 0只有一個根x= 0.-1 ,L，.、證明設(shè)f(x) = x 2Sinx, xC(8, + 8),1.則 f (x) = 1 /cosx 0,f(x)在(, + 8)上是單調(diào)遞增函數(shù).而當 x=0 時，f(x) = 0,1. 方程xsinx= 0有唯一的根 x=0.29 已

15、知 f(x)=x2+c,且 f f(x) =f(x2+1)設(shè)g(x)=f f(x),求g(x)的解析式;(2)設(shè)6 (x)=g(x)入f(x)，試問：是否存在實數(shù)入，使巾(x)在(8,1)內(nèi)為減函數(shù),且在(1, 0)內(nèi)是增函數(shù).B：由題意得 f f(x) =f(x2+c)=(x2+c)2+c f(x2+1)=(x2+1)2+c, . f f(x) =f(x2+1) 1 (x2+c)2+c=(x2+1)2+c, 1- x2+c=x2+1, .1. c=1 .f(x)=x2+1,g(x)=f f(x) =f(x2+1)=(x2+1)2+1(2) 6 (x)=g(x)入 f(x)=x4+(2 入)x

16、2+(2 入) 若滿足條件的人存在，則6 (x)=4x3+2(2 入)x ;函數(shù)6 (x)在(一8 ,1)上是減函數(shù)， 當 xv 1 時，6 (x)0即4x3+2(2 入)x4x2,xv 1,.,. - 4x2 4 2(2入)4,解得入 0即4x2+2(2 入)x0對于xC ( 1,0)恒成立 2(2入)V 4x2, 1V xv 0, 44x24故當入=4時，6 (x)在(一8 , 1)上是減函數(shù)，在(一1,0)上是增函數(shù)，即滿足條件的 入存在.課外延伸題：30.方程x3 3x+c=0在0, 1上至多有 個實數(shù)根答案：1 解析.設(shè) f (x) =x3- 3x+c,貝U f (x) =3x2-

17、3=3 (x21).當xC (0, 1)時，f (x) 0恒成立.二. f (x)在(0, 1)上單調(diào)遞減.，f(x)的圖象與x軸最多有一個交點.因此方程x3- 3x+c=0在0, 1)上至多有一實根.31,若函數(shù)f(x) = x3 3x+a有三個不同的零點，則實數(shù) a的取值范圍是 .答案：2a0) . 2a2. f(1)0,X20,X1+X2W 1,則有 f(x 1+X2)f(x 1)+f(x 2).(1) 求f(0)的值；(2)求f(x)的最大值.解析：(1)對于條件，令 X1=X2=0得f(0)W0,又由條件知f(0) 0,故f(0)=0.(2)設(shè) 0Wx1 0.即f(X2)f(X1)，

18、故f(x)在0, 1上是單調(diào)遞增，從而 f(x)的最大值是f(1)=1.33.已知函數(shù)f(x)=(二-1)2+( n-1)2的定義域為m,n)且1 w mn w 2.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性; m x(2)證明:(1)解析:對任意 X1、X2C m,n，不等式|f(x1)-f(x2)|1 恒成立.22x0 n0 xn2x2n解法一：: f(x) = ( - -1)2+(-1)2=y -y 一 一 +2,m x mxmxf一 一 2 一 一2x 2n22n(X)=2=2mxmx2乙/ 42 232、2 (x -m n -mx +m nx)=m x(x2-mx+mn)(x+ . mn )(x

19、-,1、.mn).1 1 & mW xn0,x2-mx+mn=x(x-m)+mn0,x+mn 0.m x令 f (x)=0，得 x= Jmn ,當 xC m,、mn時，f (x)0.1 f(x)在m,/mn 內(nèi)為減函數(shù)，在Ymn , n)為內(nèi)增函數(shù)解法二：由題設(shè)可得f(x)=2n+1.x令t二 一1 w m 2, J- 2.m x . m人，1 n令 t = = =0,得 x= mn . m x當 x e m, vmn ,t 0. .-.t=- -在m, v mn 內(nèi)是減 m x2n函數(shù)，在Jmn , n內(nèi)是增函數(shù),函數(shù)y=(t-1)2-+1在1, +8上是增函數(shù)，函數(shù)f(x)在m, Jmn

20、內(nèi)是減函數(shù)，在Vmn , n內(nèi)是增函數(shù).(2)證明：由(1)可知，f(x)在m,n上的最小值為 f(Jmn)=2(n -1)2，最大值為 mf(m)=( 1)2. m對任息 Xi、x2 C m,n ,|f(x i )-f(x 2)| w ( -1) -2( - j -1)=(猿-4 , +4 * / -1.令u= 一 ,h(u)=u 4-4u2+4u-1.-.1 1 mn 2,1 2,即 1u 0,22h(u)在(1, 2 )上是增函數(shù). h(u)h(V2 )=4-8+4-1=4 & -51.不等式|f(x1)-f(x 2)|0,解得 x2,故選 D.35. (2010新課標全國文)設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex-1)-ax2.(1)若a=2，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若當x0時f(x)0,求a的取值范圍.11解析(1)a = 2時，f(x)=x(ex-1)