課件有毒氣體擴散問題

1、數(shù)學(xué)建模案例選講數(shù)學(xué)建模案例選講 有毒氣體擴散問題有毒氣體擴散問題 (競賽練習題) 一、一、有毒氣體擴散問題有毒氣體擴散問題 當發(fā)生有毒氣體突發(fā)性泄露事故時，有關(guān)部門需要快速對泄漏源進行定位和識別，并科學(xué)預(yù)測有毒氣體的蔓延及影響范圍。其中，分析有毒氣體在大氣中的擴散是泄露事故后果分析的重要內(nèi)容，其目的在于定量地描述泄漏事故對人員和環(huán)境造成傷害的程度，并預(yù)測危害后果。 2010 年，一輛裝載環(huán)氧乙烷的運輸車輛在某國道上側(cè)翻，造成有毒氣體外泄。雖經(jīng)消防人員緊急處置，在等待救援和處置過程中，仍有大約 1000 個單位質(zhì)量的環(huán)氧乙烷氣體擴散到周邊區(qū)域。 為了分析泄露事故可能引發(fā)的后果，在以事發(fā)點為中心

2、東西南北各 3 公里、高度 150 米范圍的空域中(如圖所示)，監(jiān)測部門對毒物的濃度進行了抽樣測量。 由于公路北側(cè)是農(nóng)田而南側(cè)是綠化林帶，可能導(dǎo)致公路南北兩側(cè)的污染程度有一定差異，因 此 抽 樣 測 量 分 為 兩 個 部 分 進 行 。 附 件observation-1 是公路北側(cè)區(qū)域的測量數(shù)據(jù)，附件 observation-2 是公路南側(cè)區(qū)域的測量數(shù)據(jù)，其中前 3 列為取樣點的坐標，第 4 列為取樣點處毒物的濃度。 問題問題：請建立數(shù)學(xué)模型研究，監(jiān)測部門檢測時環(huán)氧乙烷的分布情況。 二、問題的分析二、問題的分析 題目要求討論監(jiān)測部門檢測時環(huán)氧乙烷的分布情況，也即要求給出某時刻某處毒物的含量表

3、達式。 本問題可以看做是一個污染源為點源，且污染物為氣態(tài)或準氣態(tài)的空氣污染問題(有毒氣體擴散問題)。案例 我們知道，凡與反映擴散有關(guān)的現(xiàn)象，大都能由線性或非線性拋物型偏微分方程作為數(shù)學(xué)模型來定量或定性地加以表達，因此本問題應(yīng)該通過建立偏微分方程模型來解決。 基于偏微分方程的擴散模型涉及一系列的參數(shù)，如擴散系數(shù)、衰減系數(shù)等，這些題目中都沒有給出，因此需要通過給出的數(shù)據(jù)對一些參數(shù)進行估計。 因此，本問題是一個偏微分方程反問題(系統(tǒng)辨識問題)。 于是，問題解決思路如下： 通過機理分析，建立有毒氣體擴散的偏微分方程模型； 利用給定的觀測數(shù)據(jù)估計模型中的參數(shù)。 由于影響擴散過程的氣象條件、地形、下墊面狀

4、況及污染本身的復(fù)雜性，到目前為止還沒有一個適用于各種條件的大氣擴散模式，來描述所有這些復(fù)雜條件下的大氣擴散問題。 為此，我們根據(jù)問題的背景做出如下的合理假設(shè)。 (1) 有毒氣體初始泄漏時可看作在空中某一點向四周的瞬時釋放。 (2) 毒物向四周擴散時，氣象、地形等對其擴散的影響歸結(jié)為各方向上的擴散系數(shù)，并假定各方向的擴散系數(shù)分別為常數(shù) (3) 擴散時存在衰減，如作物、植物對毒物的吸收等，擴散使質(zhì)量的減少與濃度成正比。 (4) 擴散前周圍空間毒物的濃度為零。三、數(shù)學(xué)模型的建立與求解三、數(shù)學(xué)模型的建立與求解 1. 數(shù)學(xué)模型的建立數(shù)學(xué)模型的建立 設(shè) u(x, y, z, t) 是 t 時刻點 (x,

5、y, z) 處有毒氣體的濃度。 任取一個閉曲面 S，它所圍的區(qū)域是 ，由于擴散，從 t 到 t + t 時刻這段時間內(nèi)，通過 S 流入 的質(zhì)量為其中 a2, b2, c2 分別是沿 x, y, z 方向的擴散系數(shù)。 由高斯公式tttStSzucyubxuaMdd)coscoscos(2221ttttzyxzucyubxuaMdddd )(2222222221 由于衰減， 內(nèi)的質(zhì)量減少為 其中 k2 為衰減系數(shù)。 于是，在 t 到 t + t 時刻間 內(nèi)由于擴散與衰減的合作用，積存于 內(nèi)的質(zhì)量為ttttzyxukMdddd22ttttzyxukzucyubxuaMMdddd )(22222222

6、2221 從另一個角度看，在 t 到 t + t 時刻間 內(nèi)由于濃度的變化引起的質(zhì)量增加為 顯然，M3 = M1 M2，即zyxzyxuttzyxuMddd),(),(3ttttzyxtuddddttttzyxukzucyubxuadddd )(2222222222ttttzyxtudddd 因此，由 t, t, 的任意性得： 上述方程是常系數(shù)線性拋物型方程，它就是有衰減的擴散過程的數(shù)學(xué)模型有衰減的擴散過程的數(shù)學(xué)模型。 ukzucyubxuatu2222222222 設(shè)擴散源在點 (x0, y0, z0) 處，則此擴散問題滿足 Cauchy 問題： 其中 M 為擴散源的質(zhì)量。 用 Fourie

7、r 變換可求得 Cauchy 問題的解析解為 )()()()0 ,(0002222222222zzyyxxMzyxuukzucyubxuatutktczztbyytaxxttabcMtzyxu22202202204)(4)(4)(exp8),( 于是，在 t 時刻任意點 (x, y, z) 處有毒氣體濃度的分布函數(shù)為 但是，問題中并未給出參數(shù) a, b, c, k 的具體數(shù)值，因而需要利用觀測數(shù)據(jù)對它們進行估計，從而得出 u(x, y, z, t) 的近似表達式。tktczztbyytaxxttabcMtzyxu22202202204)(4)(4)(exp8),( 2. 模型參數(shù)的估計模型參數(shù)

8、的估計 下面對有毒氣體濃度的分布函數(shù)中出現(xiàn)的參數(shù) a, b, c, k 進行估計。 為此，令監(jiān)測部門對毒物抽樣測量的時刻為 t0，觀測取樣值為 (xi, yi, zi, mi)，其中 mi 為 t0 時刻 (xi, yi, zi) 處物質(zhì)的濃度，i = 1, , n。 首先考慮取樣時刻。 事實上，取樣時刻是未知的，但若取樣時刻為 t0，作變量替換 t = t0，則有 = t/t0，從而 即tutttuu0uktzuctyubtxuatu20222022202220 上式仍然是常系數(shù)線性拋物型方程，與有有衰減的擴散過程的數(shù)學(xué)模型衰減的擴散過程的數(shù)學(xué)模型形狀完全一致，故可令觀測取樣值的取樣時刻為

9、t0 = 1。 于是，(xi, yi, zi, mi) 滿足22202202204)(4)(4)(exp8) 1 ,(kczzbyyaxxabcMzyxu 其次考慮參數(shù)估計。 對上式兩端取對數(shù)，有令 222022022034)(4)(4)( )ln(2ln) 1 ,(lnkczzbyyaxxabcMzyxu,4)(20 xxX,4)(20yyY4)(20zzZ則有關(guān)系式W = lnu(x, y, z, 1) = X + Y + Z + ,12a,12b,12c23)ln(2lnkabcM 由于我們獲得的觀測取樣值 (xi, yi, zi, mi) 可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的觀測取樣值 (Xi, Yi, Zi, Wi)，于是利用多元回歸分析可以求出 , , , 的估計值，即可得到參數(shù) a, b, c, k 的估計值。 取 x0 = y0 = z0 = 0，利用 Maltab 中的回歸函 regress，以及給定的觀測數(shù)據(jù)，分別估計公路北側(cè)和公路南側(cè)密度函數(shù)中的參數(shù)，有 公路北側(cè)： a = 1.15, b = 1.61, c = 0.91, k = 0.1 公路南側(cè)： a = 1.15, b = 0.7, c = 0.91, k = 0.1 將參數(shù) a, b, c