高中數(shù)學(xué)難點(diǎn)解析教案27求空間的角

1、高中數(shù)學(xué)難點(diǎn)解析難點(diǎn)27求空間的角空間的角是空間圖形的一個要素，在異面直線所成的角、線面角、二面角等知識點(diǎn)上，較好地考查了學(xué)生的邏輯推理能力以及化歸的數(shù)學(xué)思想難點(diǎn)磁場()如圖，al3為60°的二面角，等腰直角三角形MPN的直角頂點(diǎn)P在I上，Ma,N3，且MP與3所成的角等于NP與a所成的角(1) 求證：MN分別與a、3所成角相等；求MN與3所成角案例探究例1在棱長為a的正方體ABCDA'B'C'D'中，E、F分別是BC、A'D'的中占I八、(1)求證：四邊形求直線A'C與DE所成的角;求直線AD與平面B'EDF所成的角;

2、求面B'EDF與面ABCD所成的角命題意圖：本題主要考查異面直線所成的角、線面角及二面角的一般求法，綜合性較強(qiáng),屬級題目知識依托：平移法求異面直線所成的角，利用三垂線定理求作二面角的平面角錯解分析：對于第問，若僅由B'E=ED=DF=FB'就斷定B'EDF是菱形是錯誤的，因?yàn)榇嬖谥倪呄嗟鹊目臻g四邊形，必須證明B'、E、D、F四點(diǎn)共面技巧與方法：求線面角關(guān)鍵是作垂線，找射影，求異面直線所成的角采用平移法求二面角的大小也可應(yīng)用面積射影法<5(1) 證明：如上圖所示，由勾股定理，得B'E=ED=DF=FB'=a,下證B'、E、D

3、、F四點(diǎn)共面，取AD中點(diǎn)G,連結(jié)A'G、EG,由EG'AB'A'B'知，B'EGA'是平行四邊形B'E/A'G,又A'FDG,aA'GDF為平行四邊形AG/FD,B'、E、D、F四點(diǎn)共面故四邊形B'EDF是菱形.解：如圖所示，在平面ABCD內(nèi)，過C作CP/DE，交直線AD于P,則/A'CP(或補(bǔ)角)為異面直線A'C與DE所成的角.仁A'CP中，易得A'C=-3a，CP=DE=a，A'P=a由余弦定理得cosA'CP115故A'C與DE所

4、成角為arccos515(3)解：/所示.:ADE=/ADF,AD在平面B'EDF內(nèi)的射影在/EDF的平分線上如下圖又B'EDF為菱形，DB'為/EDF的平分線,故直線AD與平面B'EDF所成的角為/ADB'在RtB'AD中，AD=、2a,AB'=.2a,B'D=.2a則cosADB故AD與平面B'EDF所成的角是<3arccos3'解：如圖，連結(jié)EF、B'D，交于O點(diǎn)，顯然O為B'D的中點(diǎn)，從而O為正方形ABCDA'B'C'D的中心.作OH丄平面ABCD，貝UH為正方

5、形ABCD的中心,再作HM丄DE，垂足為M,連結(jié)0M，貝UOM丄DE,故/OMH為二面角B'DEA的平面角.OE=-2a,OD=-a,斜邊DE=a,222ODOE、30OM=aDE10OH'30sinOMH=OM6故面B'EDF與面ABCD所成的角為arcsln一306'例2如下圖，已知平行六面體ABCDAiBiCiDi中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)棱AA!長為b,且AA!與AB、AD的夾角都是120°.在RtDOE中,則由面積關(guān)系得在RtOHM中,求：(1)AC1的長；直線BD1與AC所成的角的余弦值命題意圖：本題主要考查利用向量法來解決立體

6、幾何問題，屬級題目.知識依托：向量的加、減及向量的數(shù)量積錯解分析：注意vAA,AB>=vAA1,AD>=120°而不是60°,<AB,AD>=90技巧與方法：數(shù)量積公式及向量、模公式的巧用、變形用解：(1)|AC；|2二AGAC；二(AA1AC)(AAAC)=(AA1ABAD)(aA1ABAD)=|Aa1|2|AB|2|AD|22AA1AB2AA,AD2ABAD由已知得：|AA1|2=b2,|AB|2=|ADfra2:AA,AB=：AA1,A120，:AB,AD卞=90h1hh1h.AA1AB=bacos120ab,AA,AD=bacos120ab,

7、ABAD=0,2 12.|AC1|2-2a2b2-2ab,|AC1-：?2a2-b2-2ab.y(2)依題意得,|AC|=-2a,AC=ABAD=ADBA二AA1AD-.ACBD1=(ABAD)(AAAD-AB)二ABAA)ADAA1ABADAD2-AB2-ABAD二-abIBD1I2二BD1BD1=(AAAD_AB)(AAAD_AB)=|AA1|2|AD|2|AB|22AA1AD-2ABAD-2秋AB=2a2b2cos:BD1,AC-：BD1AC|B|AC|_b.4a22b2BDi與AC所成角的余弦值為b4a22b2錦囊妙計(jì)空間角的計(jì)算步驟：一作、二證、三算1異面直線所成的角范圍：0

8、6;v90°方法：平移法；補(bǔ)形法2直線與平面所成的角范圍：0°<0<90°方法：關(guān)鍵是作垂線，找射影3二面角方法：定義法；三垂線定理及其逆定理；垂面法注：二面角的計(jì)算也可利用射影面積公式S'=Scos0來計(jì)算殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題jiD.2AB=BC=BD=a,/CBA=%)在正方體ABCDAiBiCiDi中，M為DDi的中點(diǎn)，O為底面ABCD的中心，P為棱AiBi上任意一點(diǎn)，則直線OP與直線AM所成的角是()A-631B._4?()設(shè)厶ABC和厶DBC所在兩平面互相垂直，且/CBD=120°,則AD與平面BCD所成的角為()A.30

9、°B.45°C.60°D.75、填空題3.&H)已知/AOB=90°，過O點(diǎn)引/AOB所在平面的斜線OC,與OA、OB分別成45°、60°,則以O(shè)C為棱的二面角AOCB的余弦值等于.(*)正三棱錐的一個側(cè)面的面積與底面積之比為2:3,則這個三棱錐的側(cè)面和底面所成二面角的度數(shù)為三、解答題5. (*)已知四邊形ABCD為直角梯形，AD/BC,ZABC=90°,PA丄平面AC,且PA=AD=AB=i,BC=2(i)求PC的長;(2) 求異面直線PC與BD所成角的余弦值的大小;求證：二面角BPCD為直二面角6. (*)設(shè)厶A

10、BC和厶DBC所在的兩個平面互相垂直，且AB=BC=BD，/ABC=/DBC=120°求：(1)直線AD與平面BCD所成角的大??；異面直線AD與BC所成的角；(3) 二面角ABDC的大小.?()一副三角板拼成一個四邊形ABCD，如圖，然后將它沿BC折成直二面角.(1)求證：平面ABD丄平面ACD;求AD與BC所成的角；(3)求二面角ABDC的大小.&.()設(shè)D是厶ABC的BC邊上一點(diǎn)，把厶ACD沿AD折起，使C點(diǎn)所處的新位置C'在平面ABD上的射影H恰好在AB上.(1) 求證：直線C'D與平面ABD和平面AHC'所成的兩個角之和不可能超過90°

11、;(2) 若/BAC=90°,二面角CADH為60°，求/BAD的正切值.參考答案難點(diǎn)磁場(1) 證明：作NA丄a于A,MB丄B于B,連接AP、PB、BN、AM，再作AC丄I于C,BD丄I于D，連接NC、MD./NA丄a,MB丄B,/MPB、/NPA分別是MP與B所成角及NP與a所成角，/MNB,/NMA分別是MN與B,a所成角，/MPB=ZNPA.在RtMPB與RtNPA中，PM=PN，/MPB=ZNPA,.AMPBNPA,.MB=NA.在RtMNB與RtNMA中，MB=NA,MN是公共邊，MNBNMA,MNB=/NMA，即(1)結(jié)論成立.(2) 解：設(shè)/MNB=0,MN

12、=、2a,則PB=PN=a,MB=NA=、2asin0,NB=，2acosB,vMB丄B,BD丄l,.MD丄l,./MDB是二面角alB的平面角，/MDB=60°，同理/NCA=60°,<3V6MB2BD=AC=MBasin0,CN=DM=6asin0,3 36sin603/MB丄B,MP丄PN,BP丄PNBDPBPN即*-CN2二DBJBN2_a2a2_（2：asin）2.6sinv22-a3.G2acos"pc/BPN=90°，/DPB=ZCNP,aBPDPNC,aLc整理得，i6sin40i6sin20+3=0解得sin20=丄或3,sin0

13、=-或3，當(dāng)4422合理，舍去.i-sin0=2，二MN與B所成角為30°.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、i.解析：(特殊位置法)將P點(diǎn)取為答案：B二、3.解析:交OB于B,AC=1,OA=42,BC=43,OB=2,RtAOB中，AB2=6,ABC中，由余弦定理，得cosACB=-33sin0=二3時，CN=d，r6asin0=<2a>PN不23Ai,作OE丄AD于E,連結(jié)AiE,則AiE為OAi的射影，又AM丄AiE,aAM丄OAi,即卩AM與OP成90°角.答案：D2.解析：作AO丄CB的延長線，連OD，則OD即為AD在平面BCD上的射影，AO=OD=a,：/ADO=4

14、5°.2在OC上取一點(diǎn)C,使0C=1，過C分別作CA±OC交OA于A,CB丄OC答案：-4.解析：設(shè)一個側(cè)面面積為Si,底面面積為S,則這個側(cè)面在底面上射影的面積為由題設(shè)得S答案：60°三、5.(1)解:S1二，設(shè)側(cè)面與底面所成二面角為0，則COS0=33Si因?yàn)镽A丄平面AC，AB丄BC,.PB丄BC,即/PBC=90°,由勾股定理得PB=PA2AB22.解：如圖，過點(diǎn)C作CE/BD交AD的延長線于E,連結(jié)PE，則PC與BD所成的角為/PCE或它的補(bǔ)角./CE=BD=,2，且PE=.PA2AE2二.10由余弦定理得cosPCE=-PC琴奧AH中，HR=

15、a,.tanARH=2HR故二面角ABDC大小為narctan2.7. (1)證明：取BC中點(diǎn)E,連結(jié)AE,vAB=AC,AE丄BC2PCCE673PC與BD所成角的余弦值為.6(3) 證明：設(shè)PB、PC中點(diǎn)分別為G、F，連結(jié)FG、AG、DF，貝UGF/BC/AD，且1GF=丄BC=1=AD，從而四邊形ADFG為平行四邊形，2又AD丄平面PAB,.AD丄AG，即卩ADFG為矩形，DF丄FG.在厶PCD中，PD=、2,CD=2,F為BC中點(diǎn)，DF丄PC從而DF丄平面PBC，故平面PDC丄平面PBC，即二面角BPCD為直二面角.6解：如圖，在平面ABC內(nèi)，過A作AH丄BC,垂足為H，貝UAH丄平面

16、DBC,/ADH即為直線AD與平面BCD所成的角由題設(shè)知AHBAHD，貝UDH丄BH,AH=DH,/ADH=45°(2)/BC丄DH，且DH為AD在平面BCD上的射影，BC丄AD，故AD與BC所成的角為90°.過H作HR丄BD，垂足為R,連結(jié)AR,則由三垂線定理知，AR丄BD，故/ARH為J3a二面角ABDC的平面角的補(bǔ)角設(shè)BC=a,則由題設(shè)知，AH=DH=a,BH，在HDB22平面ABC丄平面BCD,AE丄平面BCD,/BC丄CD，由三垂線定理知AB丄CD.又AB丄AC,.AB丄平面BCD,vAB二平面ABD.平面ABD丄平面ACD.解：在面BCD內(nèi)，過D作DF/BC,過

17、E作EF丄DF，交DF于F，由三垂線定理知AF丄DF，/ADF為AD與BC所成的角J2$設(shè)AB=m，貝UBC=.2m,CE=DF=2m,CD=EF=6m23.tanADFAF.AE2EF2一Df"rctan衛(wèi)2即AD與BC所成的角為arctan2!3解：vAE丄面BCD，過E作EG丄BD于G,連結(jié)AG,由三垂線定理知AG丄BD,/AGE為二面角ABDC的平面角vZEBG=30V2AE又AE=m,tanAGE=2,AGE=arctan2.2GE即二面角ABDC的大小為arctan2.8. (1)證明：連結(jié)DH,vC'H丄平面ABD,/CDH為C'D與平面ABD所成的角且平面C'HA丄平面