數(shù)學思想方法整體思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想

1、專題知識突破五數(shù)學思想方法（一）（整體思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想）一、中考專題詮釋數(shù)學思想方法是指對數(shù)學知識和方法形成的規(guī)律性的理性認識，是解決數(shù)學問題的根本策略。數(shù)學思想方法揭示概念、原理、規(guī)律的本質(zhì)，是溝通基礎(chǔ)知識與能力的橋梁，是數(shù)學知識的重要組成部分。數(shù)學思想方法是數(shù)學知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊含于數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展和應用的過程中。抓住數(shù)學思想方法，善于迅速調(diào)用數(shù)學思想方法，更是提高解題能力根本之所在.因此，在復習時要注意體會教材例題、習題以及中考試題中所體現(xiàn)的數(shù)學思想和方法，培養(yǎng)用數(shù)學思想方法解決問題的意識.二、解題策略和解法精講數(shù)學思想方法是數(shù)學的精髓，是讀書由厚到薄的升

2、華，在復習中一定要注重培養(yǎng)在解題中提煉數(shù)學思想的習慣，中考常用到的數(shù)學思想方法有：整體思想、轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等.在中考復習備考階段，教師應指導學生系統(tǒng)總結(jié)這些數(shù)學思想與方法，掌握了它的實質(zhì)，就可以把所學的知識融會貫通，解題時可以舉一反三。三、中考考點精講考點一：整體思想整體思想是指把研究對象的某一部分（或全部）看成一個整體，通過觀察與分析，找出整體與局部的聯(lián)系，從而在客觀上尋求解決問題的新途徑。整體是與局部對應的，按常規(guī)不容易求某一個（或多個）未知量時，可打破常規(guī)，根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征，把一組數(shù)或一個代數(shù)式看作一個整體，從而使問題得到解決。例1（2014?德州

3、）如圖，正三角形ABC的邊長為2,D、E、F分別為BC、CA、AB的中點，以A、B、C三點為圓心，半徑為1作圓，則圓中陰影部分的面積是.思路分析：觀察發(fā)現(xiàn)，陰影部分的面積等于正三角形ABC的面積減去三個圓心角是60。，半徑是2的扇形的面積.考點二：轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學問題的一種最基本的數(shù)學思想。在研究數(shù)學問題時，我們通常是將未知問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，將復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題。轉(zhuǎn)化的內(nèi)涵非常豐富，已知與未知、數(shù)量與圖形、圖形與圖形之間都可以通過轉(zhuǎn)化來獲得解決問題的轉(zhuǎn)機。例2（2014?濰坊）我國古代有這樣一道數(shù)學問題：“枯木一根直

4、立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達其頂，問葛藤之長幾何？”題意是：如圖所示，把枯木看作一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長為3尺，有葛藤自點A處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達點B處，則問題中葛藤的最短長度是尺.思路分析：這種立體圖形求最短路徑問題，可以展開成為平面內(nèi)的問題解決，展開后可轉(zhuǎn)化下圖，所以是個直角三角形求斜邊的問題，根據(jù)勾股定理可求出.考點三：分類討論思想在解答某些數(shù)學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了

5、化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。分類的原則：（1）分類中的每一部分是相互獨立的；（2）一次分類按一個標準；（3）分類討論應逐級進行.正確的分類必須是周全的，既不重復、也不遺漏.例3（2014?濰坊）經(jīng)統(tǒng)計分析，某市跨河大橋上的車流速度v（千米/小時）是車流密度x（輛/千米）的函數(shù)，當橋上的車流密度達到220輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0千米/小時；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為80千米/小時，研究表明：當20WxW220時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).（1）求大橋上車流密度為100輛/千米時的車流速度；（2）在交通高峰時段，為使大橋上的車流速度大于40千米/

6、小時且小于60千米/小時，應控制大橋上的車流密度在什么范圍內(nèi)？（3）車流量（輛/小時）是單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，即：車流量=車流速度X車流密度.求大橋上車流量y的最大值.思路分析：（1）當20WxW220時，設車流速度v與車流密度x的函數(shù)關(guān)系式為v=kx+b,根據(jù)題意的數(shù)量關(guān)系建立方程組求出其解即可；（2）由（1）的解析式建立不等式組求出其解即可；（3）設車流量y與x之間的關(guān)系式為y=vx,當xv20和20wxw220時分別表示出函數(shù)關(guān)系由函數(shù)的性質(zhì)就可以求出結(jié)論.四、中考真題演練一、選擇題1. （2014?威海）已知x22=y,則x（x3y）+y（3x1）2的值是（）A.2B.0

7、C.2D.43.（2。14?濟南）如圖，直線*x+2與Ey軸分別交于兩點，把AOB沿直線AB翻折后得到AO'B,則點O'的坐標是（）A.（、J3,3）C.（2,273）D.（2品4）O'B4.（2014?青島）如圖，將矩形C'上.若AB=6,BC=9,貝UBFABCD沿EF折疊，使頂點C恰好落在AB邊的中點的長為（DA.4B.3.2C.4.5D.55.（2013?荷澤）如圖，邊長為6的大正方形中有兩個小正方形，若兩個小正方8bS2,則G+S2的值為（）形的面積分別為B.17C.18D.1926. （2014?臨沂）在平面直角坐標系中，函數(shù)y=x-2x（x>

8、0）的圖象為C1,&關(guān)于原點對稱的圖象為C2，則直線y=a（a為常數(shù)）與CpC2的交點共有（）A.1個B.1個或2個C.1個或2個或3個D.1個或2個或3個或4個2117. （2014?天門）已知m,n是方程xx1=0的兩實數(shù)根，則十一mn的值為（）A.1B.C.D.18.（2014?東營）如圖，已知扇形的圓心角為60°,半徑為J3,則圖中弓形的、填空題C.2二-3/3二-3、34d2x-2y=39. （2014?棗莊）已知x、y是二元一次方程組的解，則代數(shù)式2x4y=522x-4y的值為為.10. （2014?棗莊）如圖，將四個圓兩兩相切拼接在一起，它們的半徑均為1cm,1

9、4.（2014?東營）若函數(shù)y=mx/仆1)(m+2)x+m+1的圖象與x軸只2有一個交點，那么m的值為15. （2014?煙臺）如圖，/A0B=45。，點01在0A上，001=7,。01的半徑為2,點02在射線0B上運動，且。02始終與0A相切，當。02和。01相切時，。02的半徑等于16.（2014?濟南）如圖，將邊長為12的正方形ABCD沿其對角線AC剪開，再把ABC沿著AD方向平移，得到A'B'C，當兩個三角形重疊部分的面積為3217.（2014?濟南）如圖，k/AC0=/ADB=90°,反比例函數(shù)y=在第一象限的圖象經(jīng)過點B.若x0A2AB2=12,則k的值

10、為18. （2014?東營）在。0中，AB是。的直徑，AB=8cm,cmAC=CD=BD,M是AB上一動點，CM+DM的最小值是M0三、解答題19. 2014?臺州）某公司經(jīng)營楊梅業(yè)務，以3萬元/噸的價格向農(nóng)戶收購楊梅后，分揀成A、B兩類，A類楊梅包裝后直接銷售；B類楊梅深加工后再銷售.A類楊梅的包裝成本為1萬元/噸，根據(jù)市場調(diào)查，它的平均銷售價格y（單位：萬元/噸）與銷售數(shù)量x（x>2）之間的函數(shù)關(guān)系如圖；B類楊梅深加工總費用s（單位：萬元）與加工數(shù)量t（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系是s=12+3t,平均銷售價與銷售量x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）第一次，該公司收購了20噸楊梅，其中A類楊梅有

11、x噸，經(jīng)營這批楊梅所獲得的毛利潤為w萬元（毛利潤=銷售總收入一經(jīng)營總成本）.求w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；若該公司獲得了30萬元毛利潤，問：用于直銷的A類楊梅有多少噸？（3）第二次，該公司準備投入132萬元，請設計一種經(jīng)營方案，使公司獲得最大毛利潤，并求出最大毛利潤.20. （2014?德州）問題背景：如圖1:在四邊形ABC中，AB=AD,/BAD=120°,/B=ZADC=90°.E,F分別是BC,CD上的點.且/EAF=60°.探究圖中線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.D圖3圖2探索延伸：ABE0ADG,再證明AEFAGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應是G小王同學探究此

12、問題的方法是，延長FD到點G.使DG=BE.連結(jié)AG,先證明如圖2,若在四邊形ABCD中，AB=AD,/B+/D=180:E,F分別是BC,CD上的點，且/EAF=1/BAD,上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；2實際應用：如圖3,在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進,1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E,F處，且兩艦艇之間的夾角為70°,

13、試求此時兩艦艇之間的距離.21. （2014?濰坊）如圖，某海域有兩個海拔均為200米的海島A和海島B,一勘測飛機在距離海平面垂直高度為1100米的空中飛行，飛行到點C處時測得正前方一海島頂端A的俯角是45°,然后沿平行于AB的方向水平飛行1.99X104米到達點D處，在D處測得正前方另一海島頂端B的俯角是60。，求兩海島間的22. （2014?義烏市）受國內(nèi)外復雜多變的經(jīng)濟環(huán)境影響，去年1至7月，原材料價格一路攀升，義烏市某服裝廠每件衣服原材料的成本y1（元）與月份x（1Wx<7,且x為整數(shù)）之間的函數(shù)關(guān)系如下表：月份x1234567成本（元/件）56586062646668

14、8至12月，隨著經(jīng)濟環(huán)境的好轉(zhuǎn)，原材料價格的漲勢趨緩，每件原材料成本y2（元）與月份x的函數(shù)關(guān)系式為y2=x+62（8WxW12,且x為整數(shù)）.（1）請觀察表格中的數(shù)據(jù)，用學過的函數(shù)相關(guān)知識求y1與x的函數(shù)關(guān)系式.（2）若去年該衣服每件的出廠價為100元，生產(chǎn)每件衣服的其他成本為8元，該衣服在1至7月的銷售量p1（萬件）與月份x滿足關(guān)系式p1=0,1x+1.1（1wx<7,且x為整數(shù)）；8至12月的銷售量p2（萬件）與月份x滿足關(guān)系式p2=0.1x+3（8Wxw12,且x為整數(shù)），該廠去年哪個月利潤最大？并求出最大利潤.23.（2014?宿遷）如圖，在ABC中，點D,E,F分另是AB,B

15、C,CA的中點，AH是邊BC上的高.（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；（2）求證：/DHF=ZDEF.24. (2014?宿遷)如圖，已知BAD和BCE均為等腰直角三角形，ZBAD=ZBCE=90°,點M為DE的中點，過點E與AD平行的直線交射線AM于點N.(1)當A,B,C三點在同一直線上時(如圖1),求證：M為AN的中點；(2)將圖1中的BCE繞點B旋轉(zhuǎn)，當A,B,E三點在同一直線上時(如圖2),求證：ACN為等腰直角三角形；(3)將圖1中BCE繞點B旋轉(zhuǎn)到圖3位置時，(2)中的結(jié)論是否仍成立？若成立，試證明之，若不成立，請說明理由.V圖1S2郢25. (2014?北京)對

16、某一個函數(shù)給出如下定義：若存在實數(shù)M>0,對于任意的函數(shù)值y,都滿足-MWyWM,則稱這個函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的邊界值.例如，如圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1.(1)分別判斷函數(shù)y=(x>0)和y=x+1(4WxW2)是不是有界函數(shù)？若X是有界函數(shù)，求其邊界值；(2)若函數(shù)y=x+1(a<x<b,b>a)的邊界值是2,且這個函數(shù)的最大值也是2,求b的取值范圍；2(3)將函數(shù)y=x(1WxWm,m>0)的圖象向下平移m個單位，得到的函數(shù)的邊界值是t,當m在什么范圍時，滿足3wtw1?4專題五數(shù)學思想方法(一)(整體思想

17、、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想)【重點考點例析】考點一：整體思想例1解：連接AD.,ABC是正三角形，BD=CD=2,/BAC=ZB=ZC=60°,AD±BC.AD=x/3.一八1o60二12-陰影部分的面積=一x2xV33x=7323602故答案為：2考點二：轉(zhuǎn)化思想例2.解：如圖：另一條直角邊長5X3=15（尺），因此葛藤長為J202+152=25尺）.故答案為25.考點三：分類討論思想例3解：（1）設車流速度v與車流密度x的函數(shù)關(guān)系式為v=kx+b,由題意，得80=20kb，0=220kb,2k=解得：5，b=88當20wxw220時，v=-2x+88,5當x=100時，v

18、=X100+88=48（千米/小時）；52- x88>40由題意，日5得2- 2x88V605解得：70vxv120.應控制大橋上的車流密度在70Vxv120范圍內(nèi)；(3)設車流量y與x之間的關(guān)系式為y=vx,當0wXw20時y=80x,k=80>0,，y隨x的增大而增大，x=20時,y最大=1600;當20Wxw220時y=(x+88)x=(x110)2+4840,55當x=110時,y最大=4840.4840>1600,，當車流密度是110輛/千米，車流量y取得最大值時4840輛/小時.【備考真題過關(guān)】一、選擇題1 .答案：B2 .答案：B3 .答案：A4 .答案：A5

19、.答案：B6 .答案：C7 .答案：A8 .答案：C二、填空題159 .答案：210 .答案：4-兀11 .答案：1012 .答案：713 .答案：2314 .答案：m=±2或m=015 .答案：3或15°16 .答案：4或817 .答案：618 .答案：8三、解答題19 .答案：解：(1)當2Wxv8時，如圖，設直線AB解析式為：y=kx+b,將A(2,12)、B(8,6)代入得：2kb=12k=-1<，解得,8kb=6b=14ioy=x+14;當x>8時，y=6.，A類楊梅平均銷售價格y與銷售量x之間的函數(shù)關(guān)系式為：x14(2<x<8)y=彳6x

20、-8(2)設銷售A類楊梅x噸，則銷售B類楊梅(20x)噸.當2Wxv8時，2wA=x(x+14)-x=-x+13x；wB=9(20x)-12+3(20x)=108-6xw=wA+wB-3X20=(xw=wA+wB3Xm=(x+13x)+(6m6x12)3m11+13x)+(1086x)60=-x2+7x+48；當x>8時，wA=6xx=5x;wB=9(20x)-12+3(20x)=108-6xw=wA+wB-3X20=(5x)+(1086x)-60=-x+48.，w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：2x7x48(2,x<8w=x48x-82當2Wxv8時，x+7x+48=30,解得x1=9,x

21、2=2,均不合題意；當x>8時，x+48=30,解得x=18.當毛利潤達到30萬元時，直接銷售的A類楊梅有18噸.(3)設該公司用132萬元共購買了m噸楊梅，其中A類楊梅為x噸，B類楊梅為(mx)噸，則購買費用為3m萬元，A類楊梅加工成本為x萬元，B類楊梅加工成本為12+3(mx)萬元，3m+x+12+3(m-x)=132,化簡得：x=3m60.當2Wxv8時，2 .wA=x(x+14)x=x+13x；wB=9(mx)12+3(mx)=6m6x12=-x2+7x+3m-12.將3m=x+60代入得：w=-x2+8x+48=(x4)2+64當x=4時，有最大毛利潤64萬元，,一6452此時

22、m=,mx=;當x>8時，wA=6xx=5x;wB=9(mx)12+3(mx)=6m6x12w=wA+wB3Xm=(5x)+(6m6x12)3m=x+3m12.將3m=x+60代入得：w=48，當x>8時，有最大毛利潤48萬元.上必一4»一64山一一山52山綜上所述，購頭楊梅共噸，其中A類楊梅4噸，B類噸，公司能夠狄得3 3最大毛利潤，最大毛利潤為64萬元.20.答案：解：問題背景：EF=BE+DF;探索延伸：EF=BE+DF仍然成立.證明如下：如圖，延長FD至ijG,使DG=BE,連接AG,/B+/ADC=180°,/ADC+ZADG=180°,/B

23、=/ADG,在ABE和ADG中，fDG=BEB=/ADG,AB=ADABEZADG(SAS),AE=AG,/BAE=ZDAG,/EAF=/BAD,2/GAF=/DAG+/DAF=/BAE+/DAF=/BAD/EAF=/EAF,12/EAF=ZGAF,在AEF和GAF中，AE=AGIy-EAF=GAFAF=AFAEFZGAF(SAS),EF=FG,FG=DG+DF=BE+DF,EF=BE+DF;實際應用：如圖，連接EF,延長AE、BF相交于點C,/AOB=30°+90°+(90°70°)=140°,/EOF=70°,/EOF=/AOB,

24、2又OA=OR/OAC+ZOBC=(90°30°)+(70°+50°)=180°,符合探索延伸中的條件，結(jié)論EF=AE+BF成立,即EF=1.5X(60+80)=210海里.答：此時兩艦艇之間的距離是210海里.21.答案：解：過點A作AELCD于點E,過點B作BF,CD于點F,AB/CD,/AEF=ZEFB=ZABF=90°,四邊形ABFE為矩形.AB=EF,AE=BF.由題意可知：AE=BF=1100-200=900米，CD=1.99X104米=19900米.在RtAEC中,/C=60°,AE=900米.CE=ae900

25、=300、3tan601-<3在RtBFD中，/BDF=45°,BF=900米.13BF900DF=900(米)tan451AB=EF=CD+DFCE=19900+3003-900=19000+30033(米).答：兩海島間的距離AB為(19000+300J3)米.22答案：解：(1)由表格中數(shù)據(jù)可猜測，y1是x的一次函數(shù).設y1=kx+bk+b=56則一2kb=58k=2解得：*b=54y1=2x+54,經(jīng)檢驗其它各點都符合該解析式，y1=2x+54(1wxw7,且x為整數(shù)).(2)設去年第x月的利潤為w萬元.當1WxW7,且x為整數(shù)時，w=“100-8)=(0.1x+1.1

26、)(922x-54)=-0.2x2+1.6x+41.8=-0.2(x-4)2+45,當x=4時，w最大=45萬元；當8WxW12,且x為整數(shù)時，22w=p2100-8-y2)=i-0.1x392-x-62)=0.1x-6x90=0.1x-30當x=8時,w最大=48.4萬元.該廠去年8月利潤最大，最大利潤為48.4萬元.23.答案：證明：(1)二.點D,E,F分別是AB,BC,CA的中點，.DE、EF都是ABC的中位線，EF/AB,DE/AC,四邊形ADEF是平行四邊形；(2)二.四邊形ADEF是平行四邊形，/DEF=ZBAC,D,F分別是AB,CA的中點，AH是邊BC上的高，DH=AD,FH=AF,/DAH=ZDHA,/FAH=ZFHA,/DAH+ZFAH=ZBAC,14/DHA+/FHA=ZDHF,/DHF=ZBAC,/DHF=ZDEF.24.答案：（1）ABC卸證明：如圖1,EN/AD,/MAD=ZMNE/ADM=ZNEM點M為DE的中點，;DM=E