數(shù)值計算方法試驗指導(dǎo)Matlab版

1、數(shù)值計算方法實驗指導(dǎo)版）(Matlab數(shù)值計算方法實驗指導(dǎo)（Matlab版）肇慶學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院計算方法課程組數(shù)值計算方法實驗1報告班20xx級XXXXx班學(xué)20xx2409xxxx級：號：成績:姓XXX名：1 .實驗名稱實驗1算法設(shè)計原則驗證(之相近數(shù)相減、大數(shù)吃小數(shù)和簡化計算步驟)2 .實驗題目(1)取z1016,計算7T75和1/(，T7石)，驗證123）與兩個相近的數(shù)相減會造成有效數(shù)字的損失.(2)按不同順序求一個較大的數(shù)(1000個較小的數(shù)(數(shù)的現(xiàn)象.15310)的和，驗證大數(shù)吃小(3)分別用直接法和秦九韶算法計算多項式n_n1P(x)a0xa1xan1xan在x=1.00037

2、處的值.驗證簡化計算步驟能減少運算時間.對于第(3)題中的多項式P(x),直接逐項計算需要n(n1)21:1次乘法和n次加法，使用秦九韶算法P(x)(a0Xai)xa2)xani)xan則只需要n次乘法和n次加法.3 .實驗?zāi)康尿炞C數(shù)值算法需遵循的若干規(guī)則.4 .基礎(chǔ)理論設(shè)計數(shù)值算法時，應(yīng)避免兩個相近的數(shù)相減、防止大數(shù)吃小數(shù)、簡化計算步驟減少運算次數(shù)以減少運算時間并降低舍入誤差的積累.兩相近的數(shù)相減會損失有效數(shù)字的個數(shù)，用一個大數(shù)依次加小數(shù)，小數(shù)會被大數(shù)吃掉，乘法運算次數(shù)太多會增加運算時間.5 .實驗環(huán)境操作系統(tǒng)：Windowsxp;程序設(shè)計語言：Matlab6 .實驗過程(1)直接計算并比較

3、；(2)法1:大數(shù)逐個加1000個小數(shù)，法2:先把1000個小數(shù)相加再與大數(shù)加；(3)將由高次項到低次項的系數(shù)保存到數(shù)組An中，其中n為多項式次數(shù).7 .結(jié)果與分析(1)計算的vT7<z=,1/(0_1Jz).分析：(2) 123逐次加1000個3106的和是,先將1000個3106相加，再用這個和與123相加得.分析：(3)計算次的多項式：直接計算的結(jié)果是,用時;用秦九韶算法計算的結(jié)果是,用時.分析：8 .附錄：程序清單(1)兩個相近的數(shù)相減.%*%*程序名：ex1_1.m*%*程序功能：驗證兩個相近的數(shù)相減會損失有效數(shù)字個數(shù)*%*z=1e16;%x=d”VZ;%y=1/kVZ)；x,

4、y(2)大數(shù)吃小數(shù)%*%*ex12.m*%*程序功能：驗證大數(shù)吃小數(shù)的現(xiàn)象.*%*clc;%清屏clearall;%釋放所有內(nèi)存變量formatlong;%按雙精度顯示浮點數(shù)z=123;%大數(shù)t=3e-15;%小數(shù)x=z;%大數(shù)依次加小數(shù)%重復(fù)1000次給x中加上ty=0;%先累加小數(shù)%重復(fù)1000次給y中加上ty=z+y;%再加到大數(shù)x,y=(3)秦九韶算法%*%*程序名：ex1_3.m*%*程序功能：驗證秦九韶算法可節(jié)省運行時間.*%*clc;*%清屏clearall;formatlong;%釋放所有內(nèi)存變量%按雙精度顯示浮點數(shù)A=8,4,-1,-3,6,5,3,2,1,3,2,-1,4,

5、3,1,-2,4,6,8,9,50,-80,12,35,7,-6,42,5,6,23,74,65,55,80,78,77,98,56;A(10001)=0;的都是分量0%擴(kuò)展到10001項，后面%A為多項式系數(shù)，從高次項到低次項%n為多x=1.00037;n=9000;項式次數(shù)%直接計算begintime=clock;%開始執(zhí)行的時間的i次品%累加多項式的i次項endtime=clock;%結(jié)束執(zhí)行的時間time1=etime(endtime,begintime);%運行時間disp('直接計算');disp('p(',num2str(x),')=

6、9;,num2str(p);disp('運行時間：,num2str(time1),'秒');%秦九韶算法計算begintime=clock;%開始執(zhí)行的時間p=Ci；fori0:ap=x*p-KA(i+1);end%累加秦九韶算法中的一項endtime=clock;%結(jié)束執(zhí)行的時間time2=etime(endtime,begintime);%運行時間disp(',);disp('秦九韶算法計算,);disp('p(',num2str(x),')=',num2str(p);disp('運行時間：',num2

7、str(time2),秒1)；10數(shù)值計算方法實驗1報告班20xx級XXXXx班學(xué)20xx2409xxxx姓XXX名：號:成績:1.實驗名稱2.實驗題目計算定積分；xnex1dx,n0,1,10）分別用教材例實驗1算法設(shè)計原則驗證（之?dāng)?shù)值穩(wěn)定性）1-7推導(dǎo)出的算法A和B,其中：算法A：100M1算法B：1In1(1In)nI100驗證算法不穩(wěn)定時誤差會擴(kuò)大.3 .實驗?zāi)康尿炞C數(shù)值算法需遵循的若干規(guī)則.4 .基礎(chǔ)理論設(shè)計數(shù)值算法時，應(yīng)采用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法.數(shù)值穩(wěn)定的算法，誤差不會放大，甚至?xí)s?。欢鴶?shù)值不穩(wěn)定的算法會放大誤差.115 .實驗環(huán)境操作系統(tǒng)：Windowsxp;程序設(shè)計語言:Mat

8、lab6 .實驗過程分別用數(shù)組IA和舊口保存兩種算法計算的結(jié)果.分析:7 .結(jié)果與分析n算法A算法B精確值012345678910運行結(jié)果：（或拷屏）128 .附錄：程序清單%*%*程序名：ex1_4.m*%*程序功能：驗證數(shù)值穩(wěn)定性算法可控制誤差.*%*clc;%清屏clearall;%釋放所有內(nèi)存變量formatlong;%按雙精度顯示浮點數(shù)I=0.63212055882856,0.36787944117144,0.26424111765712,0.20727664702865,.0.17089341188538,0.14553294057308,0.12680235656154,0.11

9、238350406938,.0.10093196744492,0.09161229300662,130.08387707010843;%保留14位小數(shù)的精確值，是Matlab中的續(xù)行符%算法AIA(1)=0.6321;%Matlab下標(biāo)從1開始，所以要用IA(n+1)表示原問題中的I(n)forn-1:10end%算法BIBflij'O:forn=10:-I:1=(I-3(口-ruenddisp('n算法A算法B精確值')；forn=1:11fprintf('%2d%14.6f%14.6f%14.6fn',n-1,IA(n),IB(n),I(n);14e

10、nd%n顯示為2位整數(shù),其它顯示為14位其中小數(shù)點后顯示6位的小數(shù)15數(shù)值計算方法實驗1報告班20xx級XXXXx班學(xué)20xx2409xxxx級：號：成績:姓XXX名：1 .實驗名稱實驗1算法設(shè)計原則（除數(shù)絕對值不能太小）2 .實驗題目將線性方程組增廣矩陣?yán)贸醯刃凶儞Q可化為aiiai2a21a22由此可解得bib2Xir2皆1aiia12b1ri會口aii00a22'b2'b'0a22'b2bi'/aii，x2b2'/a22.分別解增廣矩陣為1021612和i02612的方程組，驗證除數(shù)絕對值遠(yuǎn)小于被除數(shù)絕對值的除法會導(dǎo)致結(jié)果失真.3 .實驗?zāi)?/p>

11、的驗證數(shù)值算法需遵循的若干規(guī)則.4 .基礎(chǔ)理論設(shè)計數(shù)值算法時，應(yīng)避免除數(shù)絕對值遠(yuǎn)小于16被除數(shù)絕對值的除法，否則絕對誤差會被放大，使結(jié)果失真.5 .實驗環(huán)境操作系統(tǒng)：Windowsxp;程序設(shè)計語言：Matlab6 .實驗過程用二維數(shù)組A和B存放方程組的增廣矩陣，利用題目所給初等行變換求解方程組.7 .結(jié)果與分析第1種順序的方程組的解為x=,y=;第2種順序的方程組的解為x=,y=.分析：8 .附錄：程序清單17*%*程序名：ex15.m*%*程序功能：驗證除數(shù)的絕對值太小可能會放大誤差.*%*clc;A=1e-16,1,1;2,1,2;B=2,1,2;1e-16,1,1;%增廣矩陣%方程組A

12、AQ3+：);m=A(t2)/Aa3;AQjHAVm*A(Z工81.為=川3)/A(L1)；AQ3)=用23)AR2工%m=-a_21/a_11是第2行加第1行的倍數(shù)%消去a_21%m=-a_12/a_22是第1行加第2行的倍數(shù)%消去a_12,系數(shù)矩陣成對角線18%未知數(shù)x1的值%未知數(shù)x2的值disp('方程組A的解：x1=',num2str(A(1,3),x2=',num2str(A(2,3);%萬程組B1);BC2.=:)+m*B(k:);m2)B(2,2);5(1.=+B(la1);Bf2T2).disp(',);%m=-b_21/b_11是第2行加第1

13、行的倍數(shù)%消去b_21%m=-b_12/b_22是第1行加第2行的倍數(shù)%消去b_12,系數(shù)矩陣成對角線%未知數(shù)x1的值%未知數(shù)x2的值disp('方程組B的解：x1=',num2str(B(1,3),x2=',num2str(B(2,3);19數(shù)值計算方法實驗2報告班20xx級XXXXx班學(xué)20xx2409xxxx級：號：姓XXX成名：績：1 .實驗名稱實驗2非線性方程的迭代解法(之簡單迭代法)2 .實驗題目用簡單迭代法求方程x34x2100在區(qū)間1,2內(nèi)的一個實根，取絕對誤差限為104.3 .實驗?zāi)康恼莆辗蔷€性方程的簡單迭代法.4 .基礎(chǔ)理論簡單迭代法：將方程f(x)

14、0改寫成等價形式x(x),從初值x0開始，使用迭代公式xk1(xlj可以得到一個數(shù)列，若該數(shù)列收斂，則其極限即為原方程的解.取數(shù)列中適當(dāng)?shù)捻椏勺鳛榻平?5.實驗環(huán)境操作系統(tǒng)：Windowsxp;程序設(shè)計語言：Matlab206.實驗過程7.結(jié)果與分析8.附錄：程序清單21數(shù)值計算方法實驗2報告班20xx級XXXXx班學(xué)20xx2409xxxx級：號：成績:姓XXX名：1 .實驗名稱(之Newton實驗2非線性方程的迭代解法迭代法)2 .實驗題目100在區(qū)間104.用Newton迭代法求方程x34x21,2內(nèi)的一個實根，取絕對誤差限為3.實驗?zāi)康牡?4.基礎(chǔ)理論Newton代公式為xk1掌

15、握求解非線性方程的Newtonf'(Xk)迭代法：解方程f(x)0的Newton迭xk3.5 .實驗環(huán)境操作系統(tǒng)：Windowsxp;程序設(shè)計語言:Matlab6 .實驗過程227.結(jié)果與分析8.附錄：程序清單23數(shù)值計算方法實驗2報告班20xx級XXXXx班學(xué)20xx2409xxxx號:姓XXX成名：績：1 .實驗名稱實驗2非線性方程的迭代解法(之對分區(qū)間法)2 .實驗題目用對分區(qū)間法求方程x3x10在區(qū)間1,1.5內(nèi)的一個實根，取絕對誤差限為104.3 .實驗?zāi)康恼莆涨蠼夥蔷€性方程的對分區(qū)間法.4 .基礎(chǔ)理論對分區(qū)間法：取a,b的中點p,若f(p)個或b-a<&則p為

16、方程f(x)0的近似解；若f(a)f(p)<0,則說明根在區(qū)間取a,p中；否則，根在區(qū)間取p,b中.將新的有根區(qū)間記為a，b1,對該區(qū)間不斷重復(fù)上述步驟，即可得到方程的近似根.5 .實驗環(huán)境24操作系統(tǒng)：Windowsxp;程序設(shè)計語言：Matlab6 .實驗過程用宏定義函數(shù)f(x);為了循環(huán)方便，得到的新的有根區(qū)間始終用a,b表示;由于新的有根區(qū)間可能仍以a為左端點，這樣會反復(fù)使用函數(shù)值f(a),為減少運算次數(shù)，將這個函數(shù)值保存在一個變量fa中；同樣在判斷新的有根區(qū)間時用到函數(shù)值f(p),若新的有根區(qū)間以p為左端點，則下一次用到的f(a)實際上就是現(xiàn)在的f(p),為減少運算次數(shù)，將這個

17、函數(shù)值保存在一個變量fp中.算法的偽代碼描述：Input:區(qū)間端點a,b;精度要求(即誤差限)邑函數(shù)f(x);最大對分次數(shù)NOutput:近似解或失敗信息行號偽代碼注釋1n-1;對分次數(shù)計數(shù)器2faf(a);左端點的函數(shù)25值3whilen<Ndo4p(a+b)區(qū)間中點/2;5fpf(P)中點的函數(shù)值6iffp=0or(b-a)/2<then函數(shù)值為0或半?yún)^(qū)間長不超£7returnp；輸出近似解并退出程序8endif9nn+1;計數(shù)器加一10iffafp>0then若中點與左端點函數(shù)值同號11a-p新區(qū)間取右半?yún)^(qū)間12fa-fp13else否則14b-p新區(qū)間取左右

18、半?yún)^(qū)間15endif16enddo17return錯誤信息輸出錯誤信息26并結(jié)束程序7 .結(jié)果與分析8 .附錄：程序清單說明：源程序中帶有數(shù)字的空行，對應(yīng)著算法描述中的行號%*%*程序名：Bisection.m*%*程序功能：使用二分法求解非線性方程*%*f=inline('xA3-x-1');%定義函數(shù)f(x)a=input（'有根區(qū)間左端點:a='）;27b=input('右端點:b=');epsilon=input('誤差限:epsilona=');N=input('最大對分次數(shù)：N=');1%對分次數(shù)計數(shù)器

19、n置12%左端點的函數(shù)值給變量fafprintf('nkpf(p)a(k)f(a(k)1);fprintf('b(k)b-an');%顯示表頭fprintf('%2d%36.6f%12.6f%12.6f%12.6fn',0,a,fa,b,b-a);%占2位其中0位小數(shù)顯示步數(shù)0,共12位其中小數(shù)6位顯示各值%whilen<N28區(qū)間中點p5%求p點函數(shù)值給變量fpfprintf('%2d%12.6f%12.6f',n,p,fp);%輸出迭代過程中的中點信息p和f(p)6%如果f(p)=0或b-a的一半小于誤差限efprintf(&#

20、39;nn近似解為:%fn',p);%則輸出近似根p(7)return;%并結(jié)束程序(7)89%計數(shù)器加110%若f(a)與f(p)同號1129%則取右半?yún)^(qū)間為新的求根區(qū)間,即a取作P12%保存新區(qū)間左端點的函數(shù)值13%否則14%左半?yún)^(qū)間為新的求根區(qū)間，即b取作p15fprintf（'%12.6f%12.6f%12.6f%12.6fn',a,fa,b,b-a）；%顯示新區(qū)間端點及左端函數(shù)值、區(qū)間長度16fprintf（'nn經(jīng)過%d次迭代后未達(dá)到精度要求.n',N）;%輸出錯誤信息（行17）30數(shù)值計算方法實驗2報告班20xx級XXXXx班學(xué)20xx24

21、09xxxx級：號：姓XXX成名：績：1.實驗名稱實驗2非線性方程的迭代解法(之Aitken-Steffensen力口速法)2.實驗題目用Aitken-Steffensen加速法求方程x34x2100在區(qū)間1,2內(nèi)的一個實根，取絕對誤差限為104.3 .實驗?zāi)康氖煜で蠼夥蔷€性方程的Aitken-Steffensen加速法.4 .基礎(chǔ)理論將方程f(x)0改寫成等價形式x(x),得到從初值x0開始的迭代公式xk1(xk)后，基于迭代公式xk1聞)的Aitken-Steffensen加速法是通過(ykzjZk2ykxk迭代-再迭代-加速”完成迭代的，具體過程為yk(xk),Zk(yk),xk1xk3

22、15 .實驗環(huán)境操作系統(tǒng)：Windowsxp;程序設(shè)計語言：Matlab6 .實驗過程為了驗證Aitken-Steffensen加速法可以把一些不收斂的迭代加速成迭代收斂，我們使用將方程組變形為X3而工3,取迭代函數(shù)（x）3萬耳,并利用宏定義出迭代函數(shù).由于不用保存迭代過程，所以用X0表示初值同時也存放前一步迭代的值，y和z是迭代過程中產(chǎn)生的yk和zk,x存放新迭代的結(jié)果.算法的偽代碼描述：Input:初值x。；精度要求（即誤差限）e;迭代函數(shù)0（x）;最大迭代次數(shù)NOutput:近似解或失敗信息行號偽代碼注釋1n-1;迭代次數(shù)計數(shù)器2whilen<Ndo3y&x。）；迭代324

23、z-&y);再迭代5xx(y-xo)2/(z-2y+xo)加速6if|xxo|<£then如果達(dá)到精居要求7returnx;則輸出近似4并退出程序18endif9nn+1;計數(shù)器加一10xox;新近似值給xo做下次的初值11enddo12return錯誤信息輸出錯誤信卡并結(jié)束程序d7 .結(jié)果與分析8 .附錄：程序清單%*%*程序名：Aitken_Steffensen.m33%*程序功能：用Aitken-Steffensen加速法求方程.*%*clc;clearall;phi=inline('0.5*sqrt(10-xA3)');%迭代函數(shù)x0=input

24、('初值：x0=');epsilon=input('誤差限:epsilon=');N=input('最大迭代次數(shù)：N=');disp('n迭代中間值y(n-1)再迭代結(jié)構(gòu)z(n-1)加速后的近似值x(n)');fprintf('%2d%54.6fn',0,x0);%占2位整數(shù)顯示步數(shù)0,為了對齊占54位小數(shù)6位顯示x01%n是計數(shù)器34%whilen<=Ny=3;%迭代z=3;%再迭代x=3;%力口速%x0初值及前一步的近似值，y和z是中間變量，x是下一步的近似值fprintf('%2d%18.6f%

25、18.6f%18.6fn',n,y,z,x);%顯示中間值和迭代近似值6%如果與上一步近似解差的絕對值不超過誤差限fprintf('nn近似解x=x(%d)=%f,n,x);%則輸出近似根(7),可簡35略為:fprintf('nn近似解x=%f',x);return;%并結(jié)束程序(7)8%相當(dāng)于endif9%計數(shù)器加110%新近似值x作為下一次迭代的初值11fprintf('n迭代%d次還不滿足誤差要求.nn',N);%輸出錯誤信息(12)36數(shù)值計算方法實驗2報告班20xx級XXXXx班學(xué)20xx2409xxxx級：號：姓XXX成名：績：1

26、.實驗名稱實驗2非線性方程的迭代解法(之Newton下山法)2 .實驗題目用Newton下山法求方程x34x2100在區(qū)間2 1,2內(nèi)的一個實根，取絕對誤差限為104.3 .實驗?zāi)康氖煜し蔷€性方程的Newton下山法.4 .基礎(chǔ)理論Newton下山法：Newton下山法公式為xk1xkkf(xk),使If(xk1)IIf(xk)I,其中0k1.f'(xk)5 .實驗環(huán)境操作系統(tǒng)：Windowsxp;程序設(shè)計語言：Matlab6 .實驗過程37定義函數(shù)f(x)和df(x),其中df(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).每步迭代時先取下山因子為1,嘗試迭代，判斷嘗試結(jié)果是否滿足下山因子，若滿足則作為這

27、步的迭代結(jié)果；否則將下山因子減半，然后再嘗試.為防止當(dāng)前的xk是極小值點，附近不會有滿足下述條件的其它點，使嘗試陷入死循環(huán)，同時計算機(jī)中能表示出的浮點數(shù)也有下界，因此我們設(shè)置了最大嘗試次數(shù).當(dāng)超過最大嘗試次數(shù)時，不再進(jìn)行下山嘗試.由于反復(fù)嘗試迭代且要判斷下山條件，所以f(x0)和f乂0)會反復(fù)使用，為避免重復(fù)計算浪費運行時間，將這兩個值分別保存在變量fx0和dfx0.而嘗試產(chǎn)生的節(jié)點，判斷下山條件時要用到它的函數(shù)值，若嘗試成功，這個點會作為下一步的初值再使用，所以把該點的函數(shù)值也保存在變量fx中.算法的偽代碼描述：mput:初值xo；精度要求(即誤差限)£；函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)f(x)和f

28、'(x)最大迭代次數(shù)N;K下山嘗試最大次數(shù)38Output:近似解或失敗信息行號偽代碼注釋1n-1;迭代次數(shù)計婁器攵2Fo<f(xo);3whilen<Ndo4Fo-f0);(x5ifF。'=0then若該點導(dǎo)數(shù)為06returnFalse;則無法進(jìn)行關(guān)代，結(jié)束程序d7endif8lambda_1;下山因子入從試起19k-1嘗試次數(shù)計數(shù)器10whilek<Kdo(11xX0-lambda*F0/F0'Newton下山式口12Fxf(x);13if|Fx|<|F0|then判斷下山條件14break;退出嘗試循環(huán)3915endif16lambda一

29、lambda/2;下山因子減半17kk+1;嘗試次數(shù)計數(shù)器加118endwhile19ifk>Kthen如果因超過嘗試次數(shù)退出循環(huán)20returnFalse;則提示錯誤信息并結(jié)束程序21endif否則時嘗試成功退出上邊循環(huán)22if|xX0|<£then如果達(dá)到精度要求23returnx;則輸出近似值并退出程序24endif25X0x;新近似值給x。做下次的初值26F。Fx;所求函數(shù)值卜次也用到4027nn+1;計數(shù)器加一28enddo29return錯誤信息輸出錯誤信息并結(jié)束程序7 .結(jié)果與分析8 .附錄：程序清單%*%*程序名：NewtonDownhill.m*%*程序

30、功能：用Newton下山法求解非線性方程.*%*clc;clearall;f=inline('xA3-x-1');41%函數(shù)f(x)df=inline('3*xA2-1');%函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)x0=input('初值：x0=');epsilon=input('誤差限:epsilon=');N=input('最大迭代次數(shù)：N=');K=input('最大下山嘗試次數(shù)：K=');1 %迭代次數(shù)計數(shù)器2 %存x0點函數(shù)值fprintf('nnnx(n)f(x(n)n');%顯示表頭fp

31、rintf('%2d%14.6f%14.6fn',0,x0,fx0);%2位整數(shù)顯示0,共14位小數(shù)6位顯示x0和fx042whilen<Ndisp(',);程的表頭disp('%換行顯示下山嘗試過下山因子嘗試滿足下山條件);%存x0點x(n)對應(yīng)f(x(n)disp('');導(dǎo)數(shù)值，每次下山嘗試不用重新計算ifdfx0=0%導(dǎo)數(shù)為0不能迭代disp(無法進(jìn)行Newton迭代');return;endlambda=1.0;%下山因子從1開始嘗試k=1;k下山嘗試次數(shù)計數(shù)器whilek<=K43下山最多嘗試K次x=xO-lambda*&0dfxO;%下山公式fx=f(x);%函數(shù)值fprintf('%22.6f%14.6f%14.6f',lambda,x,fx);%顯示嘗試結(jié)果if(abs(fx)<abs(fx0)%判斷是否滿足下山條件fprintf('滿足n');break;%是，則退出下山嘗試的循環(huán)elsefprintf('不滿足n');endlambda=lambda/2;%不是，則下山因子減半k=k+1;%計數(shù)器加1endifk>Kfpr