矩陣的加減及

1、上海八中上海八中 許穎許穎2009年年12月月9日日 為了公平合理真實(shí)地反映學(xué)生在校學(xué)習(xí)情況，將平時(shí)成為了公平合理真實(shí)地反映學(xué)生在校學(xué)習(xí)情況，將平時(shí)成績的績的30%，期中考試的，期中考試的30%，期末考試的，期末考試的40%相加生成學(xué)相加生成學(xué)期總評(píng)記入學(xué)生學(xué)習(xí)檔案。有甲、乙、丙三位同學(xué)的語文、期總評(píng)記入學(xué)生學(xué)習(xí)檔案。有甲、乙、丙三位同學(xué)的語文、數(shù)學(xué)、英語三門功課的期中、期末成績?nèi)缦卤硭荆簲?shù)學(xué)、英語三門功課的期中、期末成績?nèi)缦卤硭荆赫Z文語文數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)英語英語平時(shí)平時(shí) 期中期中 期末期末 平時(shí)平時(shí) 期中期中 期末期末 平時(shí)平時(shí) 期中期中 期末期末甲甲807075908085708075乙乙90

2、7080808075809085丙丙608070809095908085（1）如何用矩陣表示三位同學(xué)各科在平時(shí)、）如何用矩陣表示三位同學(xué)各科在平時(shí)、 期中、期末的成績？期中、期末的成績？ （2）如何得到這三位同學(xué)在平時(shí)、期中、期末時(shí)，）如何得到這三位同學(xué)在平時(shí)、期中、期末時(shí)， 語文、數(shù)學(xué)、英語三門課的總成績？語文、數(shù)學(xué)、英語三門課的總成績？（3）如何得到這三位同學(xué)在期中、期末各科成績）如何得到這三位同學(xué)在期中、期末各科成績 的增幅？的增幅？（4）如何求三位同學(xué)的總評(píng)成績？）如何求三位同學(xué)的總評(píng)成績？若矩陣若矩陣A和矩陣和矩陣B的行數(shù)與列數(shù)分別相等，的行數(shù)與列數(shù)分別相等，則則A和和B叫做同階矩陣

3、。叫做同階矩陣。若若A=(aij)和和B=(bij)是同階矩陣，且矩陣是同階矩陣，且矩陣A中每中每一個(gè)元素與矩陣一個(gè)元素與矩陣B中相同位置的元素都相等，中相同位置的元素都相等，即即aij=bij，則稱兩矩陣相等，記做，則稱兩矩陣相等，記做A=B。我們把我們把m行行n列矩陣的第列矩陣的第i行第行第j列元素用圓括號(hào)列元素用圓括號(hào)括起來表示矩陣，記為括起來表示矩陣，記為A=(aij)1. 可用可用A=(aij)表示矩陣表示矩陣2. 同階矩陣同階矩陣3. 矩陣的相等矩陣的相等問題一：已知問題一：已知A2 2= ，B2 2= ， 若若A=B，求，求x、y、u、v. yx64 31vu解：解：x=1, y

4、=3, u=4, v=6.A=B1. 矩陣的和與差矩陣的和與差記作記作:A+B上述運(yùn)算叫做矩陣的加法（上述運(yùn)算叫做矩陣的加法（減法減法）.（相減相減cij=aijbij）當(dāng)兩個(gè)矩陣當(dāng)兩個(gè)矩陣A，B的行數(shù)和列數(shù)分別相等時(shí)，的行數(shù)和列數(shù)分別相等時(shí)，將它們對(duì)應(yīng)位置上的元素相加將它們對(duì)應(yīng)位置上的元素相加i=1,2,m；j=1,2,ncij=aij+bij所得到的矩陣所得到的矩陣cij稱為矩陣稱為矩陣A,B的和的和（差差），），（A- -B）語文語文數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)英語英語平時(shí)平時(shí) 期中期中 期末期末 平時(shí)平時(shí) 期中期中 期末期末 平時(shí)平時(shí) 期中期中 期末期末甲甲807075908085708075乙乙9070

5、80808075809085丙丙608070809095908085各科平時(shí)成績用矩陣各科平時(shí)成績用矩陣A表示，期中成績用矩陣表示，期中成績用矩陣B表示，表示，期末成績用矩陣期末成績用矩陣C表示。表示。 859570857580758575CA= 80 9070908080608090問題二：問題二： 809080908070808070B平時(shí)、期中、期末總成績用矩陣平時(shí)、期中、期末總成績用矩陣D表示，期中、表示，期中、期末成績的增幅用矩陣期末成績的增幅用矩陣E表示，求矩陣表示，求矩陣D和和E。 908060808090709080A 809080908070808070B 859570857

6、580758575CD= 225 255 225240 235 255210 265 255E= 55510 551055甲同學(xué)在期末考試中，甲同學(xué)在期末考試中，語文和數(shù)學(xué)成績都有提高，語文和數(shù)學(xué)成績都有提高，英語成績有所下降。英語成績有所下降。A+B+C=C B=3. 由實(shí)數(shù)的加法有交換律和結(jié)合律，由實(shí)數(shù)的加法有交換律和結(jié)合律， 可類比得到同階矩陣的加法滿足：可類比得到同階矩陣的加法滿足： A+B=B+A 加法的交換律加法的交換律(A+B)+C=A+(B+C) 加法的結(jié)合律加法的結(jié)合律1. 只有同階矩陣的加、減才有意義；只有同階矩陣的加、減才有意義； 兩同階矩陣的加、減是它們對(duì)應(yīng)位置的元素兩

7、同階矩陣的加、減是它們對(duì)應(yīng)位置的元素 相加減；相加減；設(shè)設(shè)k為任意實(shí)數(shù)，把矩陣為任意實(shí)數(shù)，把矩陣A的所有元素與的所有元素與k相乘相乘得到的矩陣叫做矩陣得到的矩陣叫做矩陣A與實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)k的乘積矩陣的乘積矩陣.記作：記作：kA （kA=(kaij)） mnmmnnijkakakakakakakakakakakA212222111211)( mnmmnnnmijaaaaaaaaaaA212222111211)(2. 數(shù)與矩陣的積數(shù)與矩陣的積問題三問題三：(1)計(jì)算甲、乙、丙三位同學(xué)平時(shí)、期中、計(jì)算甲、乙、丙三位同學(xué)平時(shí)、期中、 期末各科平均成績對(duì)應(yīng)的矩陣期末各科平均成績對(duì)應(yīng)的矩陣F。 D= 2252

8、55225240235255210265255A+B+C =D31= 322532253255325532553240321032353265= 8533.83708533.7880758575 809080908070808070B 859570857580758575CA= 809070908080608090F=(2)求三位同學(xué)的學(xué)期總評(píng)對(duì)應(yīng)的矩陣求三位同學(xué)的學(xué)期總評(píng)對(duì)應(yīng)的矩陣G 809080908070808070B 859570857580758575CA= 809070908080608090由平時(shí)成績的由平時(shí)成績的30%，期中考試的，期中考試的30%，期末考試的，期末考試的40%

9、相加生成學(xué)期總評(píng)成績。相加生成學(xué)期總評(píng)成績。CBA4 . 03 . 03 . 0 = 0.3 80+0.3 70+0.4 757590 0.3+80 0.3+85 0.48575 78 75 70 89 85G=數(shù)與矩陣的乘法滿足：數(shù)與矩陣的乘法滿足：1. 分配律分配律 k(A+B)=kA+kB (k+l)A=kA+lA 結(jié)合律結(jié)合律 (kl)A=k(lA)=l(kA) 2. 移項(xiàng)法則移項(xiàng)法則A+B=CA=C B或或B=C A加法與減法的互化加法與減法的互化A B=A+(11)B（1）將二元一次方程組）將二元一次方程組 用矩陣的用矩陣的 運(yùn)算來表示；運(yùn)算來表示； （2）討論方程組存在唯一解的條

10、件。）討論方程組存在唯一解的條件。 222111cybxacybxa解：（解：（1）原方程組可以表示為：）原方程組可以表示為： 212121ccbbyaax（2）當(dāng)向量當(dāng)向量 與與 不平行時(shí)，不平行時(shí)， 21bb 21aa問題問題4：已知二元一次方程組：已知二元一次方程組 222111cybxacybxa由平面向量分解定理知，存在唯一實(shí)數(shù)由平面向量分解定理知，存在唯一實(shí)數(shù)x,y，使，使 ，即，即 212121ccbbyaax方程組有唯一解。方程組有唯一解。 21bb當(dāng)向量當(dāng)向量 與與 平行時(shí)，平行時(shí)， 21aa 2121bbyaaxa對(duì)任意的對(duì)任意的x,y， 都與都與 或或 平行，平行， 21

11、aa 21bb平平行行與與若若accc 21，則方程組有無窮多解；，則方程組有無窮多解； 不不平平行行與與若若accc 21，則方程組無解。，則方程組無解。已知已知 , ,且且A+2X=B，求，求X。 864297510213A 612379154257B解：解：由由A+2X=B )(21ABX 27112244446421X= 127212111222232=2. 兩個(gè)同為兩個(gè)同為m行行n列的矩陣加減運(yùn)算，列的矩陣加減運(yùn)算， 是其對(duì)應(yīng)位置的元素相加減。是其對(duì)應(yīng)位置的元素相加減。3. 數(shù)與矩陣相乘，是數(shù)與其每個(gè)元素相乘。數(shù)與矩陣相乘，是數(shù)與其每個(gè)元素相乘。4. 由矩陣的加減法、數(shù)乘的定義決定了

12、實(shí)數(shù)由矩陣的加減法、數(shù)乘的定義決定了實(shí)數(shù) 加減法和乘法的運(yùn)算律仍適合于矩陣。加減法和乘法的運(yùn)算律仍適合于矩陣。 兩個(gè)同階矩陣對(duì)應(yīng)位置上的元素相同，兩個(gè)同階矩陣對(duì)應(yīng)位置上的元素相同， 則說這兩個(gè)矩陣相等。則說這兩個(gè)矩陣相等。1、必做題：練習(xí)冊(cè)：、必做題：練習(xí)冊(cè)：P46/2，P48/5(1)，P49/12、思考題：統(tǒng)計(jì)你家今年第二季度水、電、煤氣使用情況：、思考題：統(tǒng)計(jì)你家今年第二季度水、電、煤氣使用情況：月份月份用水（用水（m3）排水（排水（m3）電（千瓦時(shí)）電（千瓦時(shí)）煤氣（煤氣（m3）4月月5月月6月月單價(jià)（元）單價(jià)（元）1.030.900.611.05用矩陣運(yùn)算求：用矩陣運(yùn)算求：(1)按月計(jì)算去第二季度按月計(jì)算去第二季度4、