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1、1 通過本章學(xué)習(xí),應(yīng)該掌握以下內(nèi)容:通過本章學(xué)習(xí),應(yīng)該掌握以下內(nèi)容: 系統(tǒng)微分方程建立的一般方法系統(tǒng)微分方程建立的一般方法 傳遞函數(shù)的概念及其應(yīng)用傳遞函數(shù)的概念及其應(yīng)用 動態(tài)結(jié)構(gòu)圖及其等效變換動態(tài)結(jié)構(gòu)圖及其等效變換 狀態(tài)空間描述與狀態(tài)方程狀態(tài)空間描述與狀態(tài)方程 數(shù)學(xué)模型之間的相互轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)模型之間的相互轉(zhuǎn)換 系統(tǒng)性能的時域分析法系統(tǒng)性能的時域分析法 系統(tǒng)性能的頻率分析法系統(tǒng)性能的頻率分析法2 數(shù)學(xué)模型通常是指表示該系統(tǒng)輸入和輸出之間數(shù)學(xué)模型通常是指表示該系統(tǒng)輸入和輸出之間動態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。具有與實(shí)際系統(tǒng)相似動態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。具有與實(shí)際系統(tǒng)相似的特性,可采用不同形式表示系統(tǒng)內(nèi)外部性能的特性
2、,可采用不同形式表示系統(tǒng)內(nèi)外部性能特點(diǎn)。特點(diǎn)。 建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型,一般是根據(jù)系統(tǒng)實(shí)際結(jié)建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型,一般是根據(jù)系統(tǒng)實(shí)際結(jié)構(gòu)、參數(shù)及計算精度的要求,抓住主要因素,構(gòu)、參數(shù)及計算精度的要求,抓住主要因素,略去一些次要的因素,使系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型既能略去一些次要的因素,使系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型既能準(zhǔn)確地反映系統(tǒng)的動態(tài)本質(zhì),又能簡化分析計準(zhǔn)確地反映系統(tǒng)的動態(tài)本質(zhì),又能簡化分析計算的工作。算的工作。2.1.1 數(shù)學(xué)模型的含義數(shù)學(xué)模型的含義 2.1 數(shù)學(xué)模型概述數(shù)學(xué)模型概述 3 2.1.2 數(shù)學(xué)模型的建立方法數(shù)學(xué)模型的建立方法(1)解析法:根據(jù)系統(tǒng)內(nèi)在運(yùn)動規(guī)律及系統(tǒng)結(jié)構(gòu))解析法:根據(jù)系統(tǒng)內(nèi)在運(yùn)動規(guī)律及系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參
3、數(shù),按照元部件各變量之間所遵循的物理、和參數(shù),按照元部件各變量之間所遵循的物理、化學(xué)定律,列出各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系,最終推化學(xué)定律,列出各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系,最終推導(dǎo)出系統(tǒng)輸入和輸出之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。導(dǎo)出系統(tǒng)輸入和輸出之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。(2)實(shí)驗(yàn)法:對系統(tǒng)加入特定輸入信號,采用檢)實(shí)驗(yàn)法:對系統(tǒng)加入特定輸入信號,采用檢測儀器對系統(tǒng)的輸出響應(yīng)進(jìn)行測量和分析,得到測儀器對系統(tǒng)的輸出響應(yīng)進(jìn)行測量和分析,得到相關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),從而建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。相關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),從而建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。42.2 2.2 微分方程微分方程2.2.1 微分方程的建立微分方程的建立1. 實(shí)例分析實(shí)例分析【例【例2.1】
4、由彈簧】由彈簧質(zhì)量質(zhì)量阻尼器構(gòu)成的機(jī)械位移阻尼器構(gòu)成的機(jī)械位移系統(tǒng)如圖系統(tǒng)如圖2-1所示。所示。 該系統(tǒng)表示質(zhì)量為的物體受到外力的作用,克該系統(tǒng)表示質(zhì)量為的物體受到外力的作用,克服阻尼器的阻力和彈簧力產(chǎn)生位移的運(yùn)動規(guī)律。服阻尼器的阻力和彈簧力產(chǎn)生位移的運(yùn)動規(guī)律。 建立該系統(tǒng)的微分方程。建立該系統(tǒng)的微分方程。5My(位移)Fv(阻尼器阻力)f(阻尼系數(shù))Fk(彈簧力)KF(外力)(彈性系數(shù))圖2-1 機(jī)械位移系統(tǒng)6解:系統(tǒng)輸入量是外力,輸出量為位移。(1)機(jī)械位移系統(tǒng)的受力情況可根據(jù)牛頓運(yùn)動定律表示為: (2)從式中可看出,系統(tǒng)有3個中間變量,即物體運(yùn)動的加速度、阻尼器的阻力、彈簧力,為了得到系
5、統(tǒng)輸入量和輸出量之間的描述,需要找出中間變量與位移Y的對應(yīng)關(guān)系:kvFFFFMa22dtyda ;加速度是位移對時間的二次導(dǎo)數(shù)7 (3)將上述中間變量帶入原始方程式中,削去中間變量整理可得到系統(tǒng)的輸出量和輸入量之間的數(shù)學(xué)描述:dtdyffVFv;阻尼器的阻力與物體運(yùn)動速度成正比KyFk;彈簧力與物體的位移成正比FKydtdyfdtydM228 2. 建立微分方程的過程和步驟建立微分方程的過程和步驟(1)根據(jù)系統(tǒng)性質(zhì)確定給定的輸入輸出變量;)根據(jù)系統(tǒng)性質(zhì)確定給定的輸入輸出變量;(2)根據(jù)系統(tǒng)或元部件遵循的物理化學(xué)定律列出原)根據(jù)系統(tǒng)或元部件遵循的物理化學(xué)定律列出原始方程式,忽略一些次要因素影響;
6、始方程式,忽略一些次要因素影響;(3)找出原始方程式中間變量與其它因素關(guān)系式;)找出原始方程式中間變量與其它因素關(guān)系式;(4)消去中間變量得到系統(tǒng)輸出與輸入變量之間的)消去中間變量得到系統(tǒng)輸出與輸入變量之間的微分方程式;微分方程式;(5)按照規(guī)范書寫方式,將微分方程各項輸出量位)按照規(guī)范書寫方式,將微分方程各項輸出量位于等號左端,各項輸入量位于等號右端,且按階次降于等號左端,各項輸入量位于等號右端,且按階次降冪排列。冪排列。9 2.3.1 傳遞函數(shù)的基本知識傳遞函數(shù)的基本知識1. 傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)的定義 線性定常系統(tǒng)在初始條件為零時,系統(tǒng)輸出信號線性定常系統(tǒng)在初始條件為零時,系統(tǒng)輸出信號
7、的拉氏變換與輸入信號的拉氏變換之比稱為該系的拉氏變換與輸入信號的拉氏變換之比稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù),可表示為:統(tǒng)的傳遞函數(shù),可表示為:2.3 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù))()()(sRsCsG102. 傳遞函數(shù)的求取傳遞函數(shù)的求取 如果已知系統(tǒng)的微分方程,將等號兩端的各項如果已知系統(tǒng)的微分方程,將等號兩端的各項進(jìn)行相應(yīng)的拉普拉斯變換,根據(jù)傳遞函數(shù)的定義,進(jìn)行相應(yīng)的拉普拉斯變換,根據(jù)傳遞函數(shù)的定義,即可得到該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)描述。即可得到該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)描述?!纠纠?.5】彈簧】彈簧質(zhì)量質(zhì)量阻尼器構(gòu)成的機(jī)械位移系統(tǒng)阻尼器構(gòu)成的機(jī)械位移系統(tǒng)如圖如圖2-1所示,求取該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。所示,求取該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。
8、解:根據(jù)【例解:根據(jù)【例2.1】中的分析,已知該系統(tǒng)微分方程】中的分析,已知該系統(tǒng)微分方程為:為: FKydtdyfdtydm2211(1)根據(jù)拉普拉斯變換的性質(zhì),對上式兩端各項)根據(jù)拉普拉斯變換的性質(zhì),對上式兩端各項分別取拉氏變換如下:分別取拉氏變換如下: )0()0()0()(222yySSysYSmdtydmL)0()(ysSYfdtdyfL )(skYkyL )(sFFL12(2)令系統(tǒng)的初始條件為零,將微分方程所對應(yīng))令系統(tǒng)的初始條件為零,將微分方程所對應(yīng)的各項拉氏變換帶入原始方程,合并同類項后可的各項拉氏變換帶入原始方程,合并同類項后可得:得:)()()()()()()(22sFs
9、YkfsmSsFskYsfSYsYmS(3)按傳遞函數(shù)定義,取系統(tǒng)輸出信號拉氏變)按傳遞函數(shù)定義,取系統(tǒng)輸出信號拉氏變換與輸入信號拉氏變換之比,即可得到機(jī)械位移換與輸入信號拉氏變換之比,即可得到機(jī)械位移系統(tǒng)的傳遞函數(shù):系統(tǒng)的傳遞函數(shù):kfSmSsFsYsG21)()()(13 3. 傳遞函數(shù)的性質(zhì)傳遞函數(shù)的性質(zhì)(1)只適用于線性定常系統(tǒng)。)只適用于線性定常系統(tǒng)。(2)只能反映系統(tǒng)在零初始狀態(tài)下輸入與輸出變量)只能反映系統(tǒng)在零初始狀態(tài)下輸入與輸出變量之間的動態(tài)關(guān)系。之間的動態(tài)關(guān)系。(3)由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)來確定,與輸入信號的形)由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)來確定,與輸入信號的形式無關(guān)。式無關(guān)。(4)同一個
10、系統(tǒng)對于不同作用點(diǎn)的輸入信號和不同)同一個系統(tǒng)對于不同作用點(diǎn)的輸入信號和不同觀測點(diǎn)的輸出信號之間,傳遞函數(shù)具有相同的分母觀測點(diǎn)的輸出信號之間,傳遞函數(shù)具有相同的分母多項式,所不同的是分子多項式。多項式,所不同的是分子多項式。(5)傳遞函數(shù)是一種數(shù)學(xué)抽象,無法直接由它看出)傳遞函數(shù)是一種數(shù)學(xué)抽象,無法直接由它看出實(shí)際系統(tǒng)的物理構(gòu)造,物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)可有相實(shí)際系統(tǒng)的物理構(gòu)造,物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)可有相同的傳遞函數(shù)。同的傳遞函數(shù)。 144. 傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)表示傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)表示 線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)其分子和分母均為線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)其分子和分母均為S的的多項式,利用數(shù)學(xué)手段可將其分解為因式相乘
11、的多項式,利用數(shù)學(xué)手段可將其分解為因式相乘的關(guān)系:關(guān)系:)()()()()()()(2121nmpspspszszszsksRsCsG(1)k為常數(shù),也稱為放大系數(shù)或系統(tǒng)增益;(2) 為傳遞函數(shù)的分子多項式方程的m個根,稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn) ;mz,zz2115 (3) 為傳遞函數(shù)的分母多項式方程為傳遞函數(shù)的分母多項式方程的的n個根,稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。個根,稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。(4)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定了傳遞函數(shù)的零、極)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定了傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布,而系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能將取決于傳點(diǎn)分布,而系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能將取決于傳遞函數(shù)零、極點(diǎn)在遞函數(shù)零、極點(diǎn)在S復(fù)平面上的分布情況
12、。復(fù)平面上的分布情況。np,pp21162.3.2 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù) 在控制系統(tǒng)性能分析中,傳遞函數(shù)具有一般在控制系統(tǒng)性能分析中,傳遞函數(shù)具有一般性,可將系統(tǒng)傳遞函數(shù)分解為若干個典型環(huán)節(jié)的性,可將系統(tǒng)傳遞函數(shù)分解為若干個典型環(huán)節(jié)的組合,便于討論系統(tǒng)的各種性能。組合,便于討論系統(tǒng)的各種性能。 常用的典型環(huán)節(jié)主要有:常用的典型環(huán)節(jié)主要有:比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)17 2.3.3 自動控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)自動控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 如圖如圖2-8所示的閉環(huán)控制系統(tǒng):所示的閉環(huán)控制系統(tǒng): G1(S)G2(
13、S)H(s)C(s)E(s)R(s)B(s)N(s)+ +- -+ + +圖2-8 閉環(huán)控制系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖 181. 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 閉環(huán)系統(tǒng)在開環(huán)狀態(tài)下的傳遞函數(shù)稱為系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)在開環(huán)狀態(tài)下的傳遞函數(shù)稱為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。的開環(huán)傳遞函數(shù)。 表示為:表示為: 從上式可以看出,系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)等于前向從上式可以看出,系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)等于前向通道的傳遞函數(shù)與反饋通道的傳遞函數(shù)之乘積。通道的傳遞函數(shù)與反饋通道的傳遞函數(shù)之乘積。)()()()()()(21sHsGsGsRsBsG19 2. 輸入信號作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)輸入信號作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù) 令干擾信號為令干擾信號為0
14、,系統(tǒng)輸出信號與輸入信號之,系統(tǒng)輸出信號與輸入信號之間的傳遞函數(shù)即為輸入信號作用下的系統(tǒng)閉環(huán)間的傳遞函數(shù)即為輸入信號作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)。 表示為:表示為: )()()(1)()()()()(2121sHsGsGsGsGsRsCs203. 干擾信號作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)干擾信號作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù) 令輸入信號為令輸入信號為0,系統(tǒng)輸出信號與干擾信號之,系統(tǒng)輸出信號與干擾信號之間的傳遞函數(shù)即為干擾信號作用下的系統(tǒng)閉環(huán)間的傳遞函數(shù)即為干擾信號作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)。 表示為:表示為: )()()(1)()()()(212sHsGsGsGsNsCsn214. 閉環(huán)系統(tǒng)
15、的誤差傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)(1)輸入信號作用下的誤差傳遞函數(shù))輸入信號作用下的誤差傳遞函數(shù) 令干擾信號為令干擾信號為0,以,以E(S)為輸出信號,與輸入信號為輸出信號,與輸入信號R(S)之間之間的傳遞函數(shù)即為輸入信號作用下的系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)。的傳遞函數(shù)即為輸入信號作用下的系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)。 表示為:表示為: )()()(11)()()(21sHsGsGsRsEse(2)干擾信號作用下的誤差傳遞函數(shù))干擾信號作用下的誤差傳遞函數(shù) 令輸入信號為令輸入信號為0,以,以E(S)為輸出信號,與干擾信號為輸出信號,與干擾信號N(S)之間的之間的傳遞函數(shù)即為干擾信號作用下的系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)。傳遞函
16、數(shù)即為干擾信號作用下的系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)。表示為:表示為: )()()(1)()()()()(212sHsGsGsHsGsNsEsne225. 系統(tǒng)的總輸出系統(tǒng)的總輸出 在輸入信號和干擾信號的共同作用下,系統(tǒng)在輸入信號和干擾信號的共同作用下,系統(tǒng)的總輸出可以采用疊加原理來求得。的總輸出可以采用疊加原理來求得。 組合可得系統(tǒng)的總輸出為:組合可得系統(tǒng)的總輸出為:)()()()(1)()()()()(1)()()(2122121sNsHsGsGsGsRsHsGsGsGsGsC232.4 動態(tài)結(jié)構(gòu)圖及其等效變換動態(tài)結(jié)構(gòu)圖及其等效變換 動態(tài)結(jié)構(gòu)圖是描述控制系統(tǒng)一種常見數(shù)學(xué)模型,可表動態(tài)結(jié)構(gòu)圖是描述控制系統(tǒng)
17、一種常見數(shù)學(xué)模型,可表示復(fù)雜控制系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu),采用特定的方框圖形式,將示復(fù)雜控制系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu),采用特定的方框圖形式,將方框圖中各時域變量用拉普拉斯變換代替,方框中元件名方框圖中各時域變量用拉普拉斯變換代替,方框中元件名稱用傳遞函數(shù)表示,標(biāo)明信號的傳遞方向。稱用傳遞函數(shù)表示,標(biāo)明信號的傳遞方向。 特點(diǎn)是直觀形象,易于系統(tǒng)的性能分析和中間變量的討特點(diǎn)是直觀形象,易于系統(tǒng)的性能分析和中間變量的討論。論。2.4.1 結(jié)構(gòu)圖的組成及繪制結(jié)構(gòu)圖的組成及繪制 1. 結(jié)構(gòu)圖的組成符號、名稱及功能結(jié)構(gòu)圖的組成符號、名稱及功能 系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的組成符號主要有系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的組成符號主要有4種,如圖種,如圖2-
18、9所示。所示。 24圖圖2-9 系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的組成符號系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的組成符號xG信號線引出點(diǎn)比較點(diǎn)方框+-(1)信號線:信號流通方向,標(biāo)明信號對應(yīng)變量。)信號線:信號流通方向,標(biāo)明信號對應(yīng)變量。(2)引出點(diǎn):信號從該點(diǎn)取出。)引出點(diǎn):信號從該點(diǎn)取出。(3)比較點(diǎn):表示兩個或兩個以上的信號在該點(diǎn)進(jìn)行疊加。)比較點(diǎn):表示兩個或兩個以上的信號在該點(diǎn)進(jìn)行疊加。(4)方框:表示輸入、輸出信號之間的動態(tài)傳遞關(guān)系。)方框:表示輸入、輸出信號之間的動態(tài)傳遞關(guān)系。 方框輸出信號方框輸入信號方框輸出信號方框輸入信號方框中傳遞函數(shù)方框中傳遞函數(shù)25 2. 結(jié)構(gòu)圖的繪制步驟結(jié)構(gòu)圖的繪制步驟(1)列出系統(tǒng)中各元部件
19、的微分方程,確定系統(tǒng)輸入、)列出系統(tǒng)中各元部件的微分方程,確定系統(tǒng)輸入、輸出變量。輸出變量。(2)以典型環(huán)節(jié)或組合來取代系統(tǒng)中的具體元部件,將)以典型環(huán)節(jié)或組合來取代系統(tǒng)中的具體元部件,將各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)填入方框中,標(biāo)出信號及其流向。各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)填入方框中,標(biāo)出信號及其流向。(3)按系統(tǒng)中信號的流向,把代表各環(huán)節(jié)的方框連接起)按系統(tǒng)中信號的流向,把代表各環(huán)節(jié)的方框連接起來即構(gòu)成系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。來即構(gòu)成系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。 262.4.2 結(jié)構(gòu)圖的等效變換結(jié)構(gòu)圖的等效變換1. 串聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換串聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換 如果前一環(huán)節(jié)的輸出量是后一環(huán)節(jié)的輸入量,就稱為如果前一環(huán)節(jié)的輸出量是后一環(huán)節(jié)的輸入量,
20、就稱為環(huán)節(jié)的串聯(lián)連接,如圖環(huán)節(jié)的串聯(lián)連接,如圖2-12所示。所示。 G1(S)G2(S)G3(S)Xr(S)Xc(S)X1(S)X2(S)G(S)Xr(S)Xc(S)圖2-12 環(huán)節(jié)的串聯(lián)等效27串聯(lián)等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為:串聯(lián)等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為: 可見,串聯(lián)等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的可見,串聯(lián)等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。當(dāng)乘積。當(dāng)n個環(huán)節(jié)串聯(lián)時,忽略負(fù)載效應(yīng)后,其等效傳遞函個環(huán)節(jié)串聯(lián)時,忽略負(fù)載效應(yīng)后,其等效傳遞函數(shù)為:數(shù)為:)()()()()()()()()()()()(3212121sGsGsGsXsXsXsXsXsXsXsXsGCrrC)()(1sGsGjn
21、j28 2. 并聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換并聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換 如果各環(huán)節(jié)的輸入信號相同,輸出在相加點(diǎn)進(jìn)行疊加,如果各環(huán)節(jié)的輸入信號相同,輸出在相加點(diǎn)進(jìn)行疊加,就稱為環(huán)節(jié)的并聯(lián)連接,如圖就稱為環(huán)節(jié)的并聯(lián)連接,如圖2-13所示。所示。X3(S)G1(S)G2(S)G3(S)Xr(S)Xc(S)X1(S)X2(S)G(S)Xr(S)Xc(S)+圖2-13 環(huán)節(jié)的并聯(lián)等效29并聯(lián)等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為:并聯(lián)等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為:)()()()()()()()()()(321321sGsGsGsXsXsXsXsXsXsGrrC 可見,并聯(lián)等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函可見,并聯(lián)等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函
22、數(shù)的代數(shù)和。數(shù)的代數(shù)和。 當(dāng)當(dāng)n個環(huán)節(jié)并聯(lián)時,其等效傳遞函數(shù)為:個環(huán)節(jié)并聯(lián)時,其等效傳遞函數(shù)為: )()(1sGsGjnj30 3. 反饋結(jié)構(gòu)的等效變換反饋結(jié)構(gòu)的等效變換 如果環(huán)節(jié)的輸出信號反饋到輸入端與輸入信號進(jìn)行比如果環(huán)節(jié)的輸出信號反饋到輸入端與輸入信號進(jìn)行比較即為反饋連接,如圖較即為反饋連接,如圖2-14所示。所示。 進(jìn)入比較器的信號極性相同稱為正反饋;進(jìn)入比較器進(jìn)入比較器的信號極性相同稱為正反饋;進(jìn)入比較器的信號極性相反稱為負(fù)反饋。的信號極性相反稱為負(fù)反饋。 H(S)G(S)R(S)C(S)B(S)E(S)+-圖2-14 環(huán)節(jié)的負(fù)反饋連接 31負(fù)反饋連接的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為:負(fù)反饋連接
23、的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為:)()(1)()()()(sHsGsGsRsCs1)(sH當(dāng)反饋環(huán)節(jié)的傳遞系數(shù)時,稱為單位反饋系統(tǒng)當(dāng)反饋環(huán)節(jié)的傳遞系數(shù)時,稱為單位反饋系統(tǒng)。32 2.5 狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述 在系統(tǒng)性能分析與仿真時,常常要考慮到系統(tǒng)內(nèi)部各在系統(tǒng)性能分析與仿真時,常常要考慮到系統(tǒng)內(nèi)部各變量的狀態(tài)和初始條件,此時可采用狀態(tài)空間描述。變量的狀態(tài)和初始條件,此時可采用狀態(tài)空間描述。2.5.1 狀態(tài)變量狀態(tài)變量 設(shè)控制系統(tǒng)的輸入量為設(shè)控制系統(tǒng)的輸入量為U,輸出量為,輸出量為Y,描述系統(tǒng)動態(tài),描述系統(tǒng)動態(tài)過程的微分方程可以表示為:過程的微分方程可以表示為:uyadtdyadtydadtydnnn
24、nnn1111 引入n個狀態(tài)變量nnxxxxx,132133udtydadtydadtdyayadtydxxdtydxxdtydxxdtdyxxyxnnnnnnnnnnnnn111222111112232211這這n個狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)變量和微分方程各導(dǎo)數(shù)個狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)變量和微分方程各導(dǎo)數(shù)項對應(yīng)關(guān)系為:項對應(yīng)關(guān)系為:34 2.5.2 狀態(tài)方程狀態(tài)方程將矩陣進(jìn)行簡化,可得到如下表達(dá)式:將矩陣進(jìn)行簡化,可得到如下表達(dá)式: 稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述。稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述。其中:其中: A狀態(tài)變量系數(shù)矩陣狀態(tài)變量系數(shù)矩陣 B輸入變量系數(shù)矩陣輸入變量系數(shù)矩陣 C輸出變量系數(shù)矩陣輸出變量
25、系數(shù)矩陣 稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程 稱為系統(tǒng)的輸出方程稱為系統(tǒng)的輸出方程CXYBuAXXBuAXXCXY 35 2.6 數(shù)學(xué)模型的相互轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)模型的相互轉(zhuǎn)換2.6.1 數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換的意義數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換的意義 實(shí)際工程中,解決自動控制問題所需要的數(shù)學(xué)模型與實(shí)際工程中,解決自動控制問題所需要的數(shù)學(xué)模型與該問題所給定的已知數(shù)學(xué)模型往往是不一致的,要得到該問題所給定的已知數(shù)學(xué)模型往往是不一致的,要得到最簡單而又最方便的數(shù)學(xué)模型,就需要對給定控制系統(tǒng)最簡單而又最方便的數(shù)學(xué)模型,就需要對給定控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行轉(zhuǎn)換。的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行轉(zhuǎn)換。 在不同應(yīng)用場合,由于實(shí)際系統(tǒng)所給定的數(shù)學(xué)模型形在不同應(yīng)用
26、場合,由于實(shí)際系統(tǒng)所給定的數(shù)學(xué)模型形式各異,在仿真時要進(jìn)行模型的轉(zhuǎn)換,即將給定模型轉(zhuǎn)式各異,在仿真時要進(jìn)行模型的轉(zhuǎn)換,即將給定模型轉(zhuǎn)換為仿真程序能夠處理的模型形式。換為仿真程序能夠處理的模型形式。 通常,系統(tǒng)的微分方程作為描述動態(tài)性能的基本形式,通常,系統(tǒng)的微分方程作為描述動態(tài)性能的基本形式,當(dāng)作為共性的內(nèi)容進(jìn)行分析時,又常常將其轉(zhuǎn)換為傳遞當(dāng)作為共性的內(nèi)容進(jìn)行分析時,又常常將其轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式,而在計算機(jī)中,利用系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述最函數(shù)形式,而在計算機(jī)中,利用系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述最方便。方便。 36 2.6.2 數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換的應(yīng)用實(shí)例數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換的應(yīng)用實(shí)例 【例【例2.10】某控制系統(tǒng)的微分方
27、程為】某控制系統(tǒng)的微分方程為 將其分別轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)、一階微分方程組和狀態(tài)空將其分別轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)、一階微分方程組和狀態(tài)空間描述。間描述。 解:解: (1)將微分方程兩端取拉普拉斯變換,并令初始)將微分方程兩端取拉普拉斯變換,并令初始值為零,有以下表示:值為零,有以下表示:udtduydtdydtyd10265 . 222)()102()()65 . 2()(10)(2)(6)(5 . 2)(22sUSsYSSsUsSUsYsSYsYS37根據(jù)傳遞函數(shù)定義有:根據(jù)傳遞函數(shù)定義有: 65 . 2102)()()(2SSSsUsYsG(2)給定為二階系統(tǒng),可以引入兩個狀態(tài)變量,轉(zhuǎn)換成一階)給定為二
28、階系統(tǒng),可以引入兩個狀態(tài)變量,轉(zhuǎn)換成一階微分方程組形式:微分方程組形式:21212212105 .26xxyuxxxxx386021xx5 . 2021xx10212,10 xxy u39 2.7 控制系統(tǒng)的時域分析法控制系統(tǒng)的時域分析法 2.7.1 典型輸入信號及其響應(yīng)典型輸入信號及其響應(yīng)1. 概述概述 系統(tǒng)在給定信號作用下的輸出隨時間變化的狀況稱為系統(tǒng)在給定信號作用下的輸出隨時間變化的狀況稱為系統(tǒng)的響應(yīng)。系統(tǒng)的響應(yīng)。 暫態(tài)響應(yīng)反映出系統(tǒng)在過渡過程中的各項動態(tài)性能指暫態(tài)響應(yīng)反映出系統(tǒng)在過渡過程中的各項動態(tài)性能指標(biāo);標(biāo); 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)反映出系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差的大小。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)反映出系統(tǒng)的穩(wěn)定性和
29、穩(wěn)態(tài)誤差的大小。40 2. 典型輸入信號典型輸入信號 工程設(shè)計中比較常見的典型輸入信號主要有工程設(shè)計中比較常見的典型輸入信號主要有以下以下5種:種:(1)階躍函數(shù)信號)階躍函數(shù)信號(2)斜坡函數(shù)信號)斜坡函數(shù)信號(3)拋物線函數(shù)信號)拋物線函數(shù)信號(4)脈沖函數(shù)信號)脈沖函數(shù)信號(5)正弦函數(shù)信號)正弦函數(shù)信號 41 3. 典型信號的響應(yīng)典型信號的響應(yīng) 初始狀態(tài)為零的控制系統(tǒng)在典型輸入信號作初始狀態(tài)為零的控制系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的輸出稱為典型信號的響應(yīng)。用下的輸出稱為典型信號的響應(yīng)。 工程中工程中3種常用的典型輸入信號響應(yīng)如下:種常用的典型輸入信號響應(yīng)如下:(1)單位階躍響應(yīng))單位階躍響應(yīng)
30、(2)單位斜坡響應(yīng))單位斜坡響應(yīng)(3)單位脈沖響應(yīng))單位脈沖響應(yīng)42 2.7.2 一階系統(tǒng)的時域響應(yīng)一階系統(tǒng)的時域響應(yīng) 一階系統(tǒng)是指采用一階微分方程來描述其暫態(tài)過程一階系統(tǒng)是指采用一階微分方程來描述其暫態(tài)過程的系統(tǒng),典型結(jié)構(gòu)如圖的系統(tǒng),典型結(jié)構(gòu)如圖2-16所示。所示。Ks-C(s)R(s)+圖2-16 一階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)傳遞函數(shù)為: 11)()()(TssRsCsG43 1. 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)ttssTtCCetc1)( 一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的特點(diǎn)是:一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的特點(diǎn)是: 在單位階躍信號作用下,系統(tǒng)輸出量隨時間變化的規(guī)在單位階躍信號作用下,系統(tǒng)輸出量隨時間
31、變化的規(guī)律是單調(diào)上升的指數(shù)曲線,響應(yīng)的最終穩(wěn)態(tài)值為律是單調(diào)上升的指數(shù)曲線,響應(yīng)的最終穩(wěn)態(tài)值為1,慣性,慣性時間常數(shù)時間常數(shù)T是描述系統(tǒng)響應(yīng)速度的唯一參數(shù),值越小,是描述系統(tǒng)響應(yīng)速度的唯一參數(shù),值越小,暫態(tài)過程時間越短,響應(yīng)速度越快。暫態(tài)過程時間越短,響應(yīng)速度越快。44 2. 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)0)1 ()(teTtTeTttcTtTt 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)存在一個位置誤差,一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)存在一個位置誤差,其數(shù)值等于時間常數(shù)其數(shù)值等于時間常數(shù)T,T值越小,跟蹤誤差也越值越小,跟蹤誤差也越小。小。 45 3. 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)01)(
32、teTtcTtT1t一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是一條單調(diào)下降的指數(shù)曲線,輸出量的初始值為 ,時系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài),輸出穩(wěn)態(tài)分量為零。 46 2.7.3 二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)1. 二階系統(tǒng)模型與參數(shù)的對應(yīng)關(guān)系二階系統(tǒng)模型與參數(shù)的對應(yīng)關(guān)系 采用二階微分方程來描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng),其采用二階微分方程來描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng),其典型結(jié)構(gòu)如圖典型結(jié)構(gòu)如圖2-20所示。所示。 -C(s)R(s)n2s(s+2n)E(s)+圖2-20 二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖47二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為: 22222212)()()(nnnssTssTksRsCs求解二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程:0222nnss
33、可得到方程的特征根: 122, 1nns48 3. 二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)計算二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)計算 為了方便分析,設(shè)定二階系統(tǒng)工作在欠阻尼狀態(tài)下,為了方便分析,設(shè)定二階系統(tǒng)工作在欠阻尼狀態(tài)下,輸入單位階躍函數(shù),其單位階躍響應(yīng)如圖輸入單位階躍函數(shù),其單位階躍響應(yīng)如圖2-22所示。所示。tdtrtp%tstC(t)010.50.10.9圖2-22 二階系統(tǒng)欠阻尼狀態(tài)下的單位階躍響應(yīng)49 2.7.4 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析1. 系統(tǒng)穩(wěn)定的概念系統(tǒng)穩(wěn)定的概念 如果系統(tǒng)受到內(nèi)外部干擾偏離原來的平衡狀態(tài),在初始偏如果系統(tǒng)受到內(nèi)外部干擾偏離原來的平衡狀態(tài),在初始偏差的作用下,其過渡過程隨著時
34、間的推移逐漸衰減并趨于零,差的作用下,其過渡過程隨著時間的推移逐漸衰減并趨于零,具有恢復(fù)平衡狀態(tài)的性能,且去掉擾動量后系統(tǒng)能夠按照一定具有恢復(fù)平衡狀態(tài)的性能,且去掉擾動量后系統(tǒng)能夠按照一定精度恢復(fù)到原始狀態(tài),這樣的系統(tǒng)就稱為穩(wěn)定的系統(tǒng),反之,精度恢復(fù)到原始狀態(tài),這樣的系統(tǒng)就稱為穩(wěn)定的系統(tǒng),反之,則稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)。則稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)。 穩(wěn)定性是去掉擾動后系統(tǒng)自身的一種恢復(fù)能力,是系統(tǒng)的固穩(wěn)定性是去掉擾動后系統(tǒng)自身的一種恢復(fù)能力,是系統(tǒng)的固有特性,這種特性只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù),而與外作有特性,這種特性只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù),而與外作用信號及初始條件無關(guān)。用信號及初始條件無關(guān)。50 2.
35、 系統(tǒng)穩(wěn)定的條件系統(tǒng)穩(wěn)定的條件(1)穩(wěn)定的必要條件是特征方程式的系數(shù)具有相同的符)穩(wěn)定的必要條件是特征方程式的系數(shù)具有相同的符號,且均不為零,也即特征方程不缺項。號,且均不為零,也即特征方程不缺項。(2)穩(wěn)定的充要條件是特征方程的全部根都具有負(fù)實(shí)部)穩(wěn)定的充要條件是特征方程的全部根都具有負(fù)實(shí)部,或者閉環(huán)傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)均在或者閉環(huán)傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)均在S平面的虛軸之左。平面的虛軸之左。3. 勞斯穩(wěn)定判據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù) 英國人英國人E.J.勞斯(勞斯(Routh)提出一種代數(shù)判據(jù),根據(jù))提出一種代數(shù)判據(jù),根據(jù)系統(tǒng)特征方程式的系數(shù)直接判斷特征根的實(shí)數(shù)部分的符系統(tǒng)特征方程式的系數(shù)直接判斷特征根的實(shí)數(shù)
36、部分的符號,從而確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。號,從而確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。51已知控制系統(tǒng)的特征方程為:已知控制系統(tǒng)的特征方程為:00)(01110aasasasasDnnnn 將特征方程的系數(shù)組合成勞斯陣列表,勞斯穩(wěn)定判將特征方程的系數(shù)組合成勞斯陣列表,勞斯穩(wěn)定判據(jù)有如下內(nèi)容:據(jù)有如下內(nèi)容:(1)系統(tǒng)特征方程系數(shù)全部為正,且不缺項;)系統(tǒng)特征方程系數(shù)全部為正,且不缺項;(2)勞斯陣列表中第一列所有元素的值均大于零;)勞斯陣列表中第一列所有元素的值均大于零;(3)當(dāng)勞斯陣列表第一列元素值出現(xiàn)負(fù)號時,表示系統(tǒng))當(dāng)勞斯陣列表第一列元素值出現(xiàn)負(fù)號時,表示系統(tǒng)不穩(wěn)定,符號改變的次數(shù)等于系統(tǒng)特征右根的個數(shù)。不穩(wěn)定,符
37、號改變的次數(shù)等于系統(tǒng)特征右根的個數(shù)。524. 勞斯穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用 勞斯判據(jù)可判斷給定系統(tǒng)的穩(wěn)定性,也可判勞斯判據(jù)可判斷給定系統(tǒng)的穩(wěn)定性,也可判斷系統(tǒng)特征根位置的分布情況,還可合理選擇使斷系統(tǒng)特征根位置的分布情況,還可合理選擇使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)放大系數(shù)。系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)放大系數(shù)。53 2.7.5 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析 1. 穩(wěn)態(tài)誤差是衡量系統(tǒng)控制精度的性能指標(biāo),在特定輸穩(wěn)態(tài)誤差是衡量系統(tǒng)控制精度的性能指標(biāo),在特定輸入信號作用下由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)來決定。入信號作用下由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)來決定。 2. 靜態(tài)誤差系數(shù)法是分析討論系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的一種常用靜態(tài)誤差系數(shù)法是分析
38、討論系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的一種常用方法,利用拉普拉斯變換的終值定理進(jìn)行計算。方法,利用拉普拉斯變換的終值定理進(jìn)行計算。 3. 靜態(tài)誤差系數(shù)與系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差成反比關(guān)系,對于穩(wěn)靜態(tài)誤差系數(shù)與系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差成反比關(guān)系,對于穩(wěn)定的系統(tǒng),靜態(tài)誤差系數(shù)反映了系統(tǒng)限制或消除穩(wěn)態(tài)誤定的系統(tǒng),靜態(tài)誤差系數(shù)反映了系統(tǒng)限制或消除穩(wěn)態(tài)誤差的能力,系數(shù)越大,穩(wěn)態(tài)誤差越?。欢到y(tǒng)的型別越差的能力,系數(shù)越大,穩(wěn)態(tài)誤差越??;而系統(tǒng)的型別越高,限制或消除穩(wěn)態(tài)誤差的能力就越強(qiáng)。高,限制或消除穩(wěn)態(tài)誤差的能力就越強(qiáng)。 54 4. 減少和消除穩(wěn)態(tài)誤差的方法減少和消除穩(wěn)態(tài)誤差的方法(1)組成系統(tǒng)的元器件應(yīng)具備較高的精度和穩(wěn)定性。)組成系統(tǒng)的元器件應(yīng)具備較高的精度和穩(wěn)定性。(2)在前向通道中串聯(lián)放大環(huán)節(jié),提高系統(tǒng)開環(huán)放大系)在前向通道中串聯(lián)放大環(huán)節(jié),提高系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù),降低系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。數(shù),降低系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。(3)在前向通道中串聯(lián)積分環(huán)節(jié),可提高系統(tǒng)型別,增)在前向通道中串聯(lián)積分環(huán)節(jié),可提高系統(tǒng)型別,增強(qiáng)系統(tǒng)跟隨輸入信號的能力。強(qiáng)系統(tǒng)跟隨輸入信號的能力。(4)通過誤差補(bǔ)償或局部校正,可減小系統(tǒng)內(nèi)外部擾動)通過誤差補(bǔ)償或局部校正,可減小系統(tǒng)內(nèi)外部擾動信號所引起的穩(wěn)態(tài)誤差。信號所引起的穩(wěn)態(tài)誤差。55 2.8 控制系統(tǒng)的頻率分析法控制系統(tǒng)的
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