第七章 常微分方程 第二節(jié) 一階微分方程.

1、一階微分方程的解法及應(yīng)用一階微分方程的解法及應(yīng)用 第七章第七章(1) 1. 一階標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解一階標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解 關(guān)鍵關(guān)鍵: 辨別方程類型辨別方程類型 , 掌握求解步驟掌握求解步驟2. 一階非標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解一階非標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解 變量代換法變量代換法 代換代換自變量自變量代換代換因變量因變量代換代換某組合式某組合式幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)類型幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)類型: 可分離變量方程可分離變量方程, 齊次方程齊次方程, 線性方程線性方程; 01)1(32 xyeyy提示提示: (1),33xyxyeee 因因故為分離變量方程故為分離變量方程:通解通解;)2(22yyxyx ;21)3(2yxy .2336)4(32

2、23yyxyxxy xeyeyxydd32 Ceexy 331方程兩邊同除以方程兩邊同除以 x 即為齊次方程即為齊次方程 , ,0時(shí)時(shí) xyyxyx 22)2(時(shí)，時(shí)，0 x21uux 21uux xyxyy 21 xyxyy 21令令 y = u x ,化為分化為分離變量方程離變量方程.221)3(yxy ,2dd2yxyx 用線性方程通解公式求解用線性方程通解公式求解 .32232336)4(yyxyxxy 方法方法 1 這是一個(gè)齊次方程這是一個(gè)齊次方程 .*方法方法 2 化為微分形式化為微分形式 0d)23(d)36(3223 yyyxxyxx故這是一個(gè)全微分方程故這是一個(gè)全微分方程 (

3、下冊(cè)內(nèi)容下冊(cè)內(nèi)容).xyu 令令xQyxyP 6解解 此方程為一個(gè)可分離變量的微分方程分離此方程為一個(gè)可分離變量的微分方程分離因因變量，變量，得得例例2 求解方程求解方程 0d)4(d2 yxxxy，24ddxxxyy ，xxxxxxd411414d2 兩邊積分，得兩邊積分，得即得原方程的通解即得原方程的通解，Cxxyln|)4|ln|(ln41|ln xCxy )4(4解解 原方程變形后為齊次方程原方程變形后為齊次方程例例3 求解方程求解方程 ， 0tan yxyxyx32 xyxyxyytan 作變換作變換 ，xyu ，uuxuxutandd 移項(xiàng)，得移項(xiàng)，得，xxuuud1dsincos

4、 則有則有兩邊積分，得兩邊積分，得，Cxuln|ln|sin|ln 將將 代入，有代入，有xyu ，xCxy sin即滿足初始條件的解為即滿足初始條件的解為由初始條件由初始條件 ，32 xy, 1 C得得，xxy1sin xxy1arcsin 即原方程的解為即原方程的解為解解 原方程變形為原方程變形為即即例例4 求微分方程求微分方程 的通解的通解0dd)3(24 xxyyxy，133dd xyxyyx，3222)(6d)d(yxyyx 此是關(guān)于函數(shù)此是關(guān)于函數(shù) 的一階線性非齊次線性微的一階線性非齊次線性微)(2yfx 由求解公式得由求解公式得分方程，分方程，6436d12CyyCyyy Cyy

5、xyyyyde2ed63d62)lnln()1(yxyyyx 提示提示: (1)令令 u = x y , 得得yyxxyxy22363)2(22 uxuxulndd )(ln)(yxyyx (分離變量方程分離變量方程)原方程化為原方程化為令令 y = u tyyxxyxy22363)2(22 )1(2)1(3dd22 xyyxxy(齊次方程齊次方程)ytytty23dd22 令令 t = x 1 , 則則tyxttyxydddddddd 可分離變量方程求解可分離變量方程求解化方程為化方程為 求以求以1)(22 yCx為通解的微分方程為通解的微分方程.提示提示:1)(22 yCx02)(2 yy

6、Cx消去消去 C 得得1)1(22 yy 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解:xyyyx2)1( 提示提示: 令令 u = x y , 化成可分離變量方程化成可分離變量方程 :uu2 )ln(2dd)3(xyyxy 提示提示: 可化為可化為關(guān)于關(guān)于 x 的一階線性方程的一階線性方程yyxyyxln22dd )1ln(ln)2( xxayxyx提示提示: 這是一階線性方程這是一階線性方程 , 其中其中,ln1)(xxxP )ln11()(xaxQ 原方程化為原方程化為 yxxy 2)10(xyxu 2, 即即,22uuxy 則則xydduxuuxu dd)(22故原方程通解故原方程通解Cy

7、xxyx 23)(33222dd xuuxuuexd2 Cueuu d2d2 Cuuu d21222232uCu u2xuxdd2xuudd2 提示提示: 令令分離變量，得分離變量，得兩邊積分，得兩邊積分，得例例6 求解微分方程求解微分方程 32232yyxxyy 解法解法1作代換作代換 ，uxy ，23dd2 uuxuxu，xxuuuud3d)1(2322 此方程為齊次方程，此方程為齊次方程，則有則有故方程的通解為故方程的通解為即即由于由于，Cxuuuuln|ln3d)1(2322 uuuuuuuud)12(d)1(23222，12)1ln(21|ln2Cuu ，3221xCuu Cyxy

8、222*解法解法2故方程的通解為故方程的通解為代回原變量，得代回原變量，得422 Cyyx，132dd yxxyyx此方程為貝努利方程，此時(shí)令此方程為貝努利方程，此時(shí)令 ,2xz ，yzyyz64dd ，42 Cyyz方程變形為方程變形為則有則有設(shè)設(shè)F(x)f (x) g(x), 其中函數(shù)其中函數(shù) f(x), g(x) 在在(,+)內(nèi)滿足以下條件內(nèi)滿足以下條件:, 0)0(),()(),()( fxfxgxgxf且且(1) 求求F(x) 所滿足的一階微分方程所滿足的一階微分方程 ;(2) 求出求出F(x) 的表達(dá)式的表達(dá)式 .解解 (1) )()()()()(xgxfxgxfxF )()(22

9、xfxg )()(2)()(2xgxfxfxg )(2)2(2xFex 所以所以F(x) 滿足的一階線性非齊次微分方程滿足的一階線性非齊次微分方程:.2)()(xexgxf (2) 由一階線性微分方程解的公式得由一階線性微分方程解的公式得 CxeeexFxxx d4)(d22d2 Cxeexx d442代代入入上上式式，將將0)0()0()0( gfF1 C得得于是于是 xxeexF22)( xexFxF24)(2)( xxCee22 例例8 設(shè)河邊點(diǎn)設(shè)河邊點(diǎn) O 的正對(duì)岸為點(diǎn)的正對(duì)岸為點(diǎn) A , 河寬河寬 OA = h, 一鴨子從點(diǎn)一鴨子從點(diǎn) A 游向點(diǎn)游向點(diǎn)利用共性建立微分方程利用共性建立

10、微分方程 ,利用個(gè)性確定定解條件利用個(gè)性確定定解條件.為平行直線為平行直線,且鴨子游動(dòng)方向始終朝著點(diǎn)且鴨子游動(dòng)方向始終朝著點(diǎn)O ,h提示提示: 如圖所示建立坐標(biāo)系如圖所示建立坐標(biāo)系. 設(shè)時(shí)刻設(shè)時(shí)刻t 鴨子位于點(diǎn)鴨子位于點(diǎn)P (x, y) ,設(shè)鴨子設(shè)鴨子(在靜水中在靜水中)的游速大小為的游速大小為bP求鴨子游動(dòng)的軌跡方程求鴨子游動(dòng)的軌跡方程 . O ,水流速度大小為水流速度大小為 a ,兩岸兩岸 ),(ab )0,(aa abyxAo則則關(guān)鍵問題是正確關(guān)鍵問題是正確建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型, 要點(diǎn)要點(diǎn):則鴨子游速則鴨子游速 b 為為定解條件定解條件 a由此得微分方程由此得微分方程yxvvyx d

11、dyxybyxa 22即即v鴨子的實(shí)際運(yùn)動(dòng)速度為鴨子的實(shí)際運(yùn)動(dòng)速度為( 求解過程參考求解過程參考P306例例2 ).0 hyx yxdd yxyxba 12( 齊次方程齊次方程 ) b 0PObb ,dd,ddtytxv bav hPabyxAo2222,yxybyxxb 2222,yxyyxx 思考思考: 能否根據(jù)草圖列方程能否根據(jù)草圖列方程?),(yxMyxo練習(xí)題練習(xí)題:P354 題題 5 , 6 已知某曲線經(jīng)過點(diǎn)已知某曲線經(jīng)過點(diǎn)( 1 , 1 ),軸上的截距等于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)軸上的截距等于切點(diǎn)的橫坐標(biāo) , 求它的方程求它的方程 .提示提示: 設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)為設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)為 M (x,y

12、),)(xXyyY 令令 X = 0, 得截距得截距,xyyY 由題意知微分方程為由題意知微分方程為xxyy 即即11 yxy定解條件為定解條件為.11 xyyxxtanx此點(diǎn)處切線方程為此點(diǎn)處切線方程為它的切線在縱它的切線在縱,m630303 ,CO%12. 02的的其其中中含含的新鮮空氣的新鮮空氣問每分鐘應(yīng)輸入多少才能在問每分鐘應(yīng)輸入多少才能在 30 分鐘后使車間空分鐘后使車間空2CO氣中氣中的含量不超過的含量不超過 0.06 % ?提示提示: 設(shè)每分鐘應(yīng)輸入設(shè)每分鐘應(yīng)輸入,m3k t 時(shí)刻車間空氣中含時(shí)刻車間空氣中含2CO,m3x為為則在則在,ttt 內(nèi)車間內(nèi)內(nèi)車間內(nèi)2CO x兩端除以兩

13、端除以 ,t 并令并令0 t25005400ddkxktx 與原有空氣很快混合均勻后與原有空氣很快混合均勻后, 以相同的流量排出以相同的流量排出 )得微分方程得微分方程tk 10004. 0txk 54005400( 假定輸入的新鮮空氣假定輸入的新鮮空氣 2CO%04. 0現(xiàn)現(xiàn)以以含含輸入輸入 , 的改變量為的改變量為 t = 30 時(shí)時(shí)5406. 0540010006. 0 x2504ln180 k25005400ddkxktx 5412. 00 tx解定解問題解定解問題)04. 008. 0(545400 tkex因此每分鐘應(yīng)至少輸入因此每分鐘應(yīng)至少輸入 250 3m新鮮空氣新鮮空氣 .初

14、始條件初始條件540010012. 00 tx5412. 0 得得 k = ? 一點(diǎn)處的水流速度與該點(diǎn)到兩岸距離的乘積成正比一點(diǎn)處的水流速度與該點(diǎn)到兩岸距離的乘積成正比(比例系數(shù)比例系數(shù)選用題選用題 小船從河邊點(diǎn)小船從河邊點(diǎn) 出發(fā)駛向?qū)Π冻霭l(fā)駛向?qū)Π?兩岸為平行線兩岸為平行線)，設(shè)，設(shè)O船速為船速為 船行方向始終與河岸垂直又設(shè)河寬為船行方向始終與河岸垂直又設(shè)河寬為 ， 河中任河中任ah為為 )，求小船的航行路線，求小船的航行路線k解解 如圖建立坐標(biāo)系統(tǒng)，并使水流方向與如圖建立坐標(biāo)系統(tǒng)，并使水流方向與 的正向一的正向一x致設(shè)時(shí)刻致設(shè)時(shí)刻 時(shí)，小船位于時(shí)，小船位于t 處，則處，則)(),(tytx

15、Ph),(yxPxyO，atyyhyktx dd)(dd，)(ddtahtkatx 其初始條件為其初始條件為，0|0|00 ttyx先解得先解得 ，再由初始條件得，再由初始條件得 ，即，即1Ctay 01 C 代入到第一個(gè)方程中，即有代入到第一個(gè)方程中，即有tay 解得解得，232232Ctkatkahx 再由初始條件，得再由初始條件，得 即小船的航行曲線為即小船的航行曲線為02 C ，atytkatkahx32232或消去參數(shù)或消去參數(shù) ，得，得t)23(632yyhakx 1求下列方程的通解：求下列方程的通解：1) ；0d)(d222yyxxxy2) ；0d)(d)e1 (yxyxyx3) ；31ddyxyxxy4) ；0dsin)cos2(d