課題：極化恒等式在向量問題中的應(yīng)用

1、課題：極化恒等式在向量問題中的應(yīng)用目標(biāo)1:通過(guò)自主學(xué)習(xí)掌握極化恒等式兩種模式，理解其幾何意義；目標(biāo)2-1:通過(guò)對(duì)例1的自主學(xué)習(xí)掌握用極化恒等式求數(shù)量積的值；目標(biāo)2-2:通過(guò)對(duì)例2的自主學(xué)習(xí)掌握用極化恒等式求數(shù)量積的最值、范圍;目標(biāo)2-3:通過(guò)小組合作學(xué)習(xí)掌握極化恒等式解決與數(shù)量積有關(guān)的綜合問題。重點(diǎn)掌握極化恒等式，利用它解決一類與數(shù)量積有關(guān)的向量問題難點(diǎn)根據(jù)具體的問題情境，靈活運(yùn)用極化恒等式目標(biāo)達(dá)成途徑學(xué)習(xí)自我評(píng)價(jià)目標(biāo)1:閱讀材料，了解極化恒等式的由來(lái)過(guò)程，掌握極化恒等式的兩種模式，并理解其幾何意義閱讀以下材料：引例：平彳亍四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型。你能用向量方法證明：平行四邊形的

2、對(duì)角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍證明：不妨設(shè)ABa,ADb,則ACab,DBab,AC22ACra-2ba22ab22-22MfrmCDBDBaba2ab222f2(1)(2)兩式相加得:ACDB結(jié)論：平行四邊形對(duì)角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍思考1:如果將上面(1)(2)兩式相減，能得到什么結(jié)論呢?22AB2-2ab=-abab極化恒等式4對(duì)于上述恒等式，用向量運(yùn)算顯然容易證明。那么基于上面的引例，你覺得極化恒等式的幾何意義是什么？幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線'1'平方差的丄.4fr122即：abACDB(

3、平行四邊形模式)4思考：在圖1的三角形ABD中（M為BD的中點(diǎn)），此恒等式如何表示呢?因?yàn)锳C2AM，所以ab,21,2AM|DB(三角形模式)目標(biāo)2-1:掌握用極化恒等式求數(shù)量積的值找到三例1.（2012年浙江文15）在ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM3,BC10,uuuuuur則ABAC解：因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，由極化恒等式得:1BC2=9-100=-16421ABACAM|4【小結(jié)】在運(yùn)用極化恒等式的三角形模式時(shí)，關(guān)鍵在于取第三邊的中點(diǎn),角形的中線，再寫出極化恒等式。目標(biāo)檢測(cè)（2012北京文13改編）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則DEDA的值為.目標(biāo)2-2:掌握用極化

4、恒等式求數(shù)量積的最值、范圍O在CD上,2.3例2.（自編）已知正三角形ABC內(nèi)接于半徑為2勺圓O,點(diǎn)P是圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則PAPB的取值范圍是.解：取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)CD,因?yàn)槿切蜛BC為正三角形，所以O(shè)為三角形ABC的重心，且OC2OD2，所以CD3,ABAB)（也可用正弦定理求又由極化恒等式得：21-AB4所以當(dāng)P在點(diǎn)C處時(shí),PAPBPDPD因?yàn)镻在圓O上，|PD|max3|PDmin當(dāng)P在CO的延長(zhǎng)線與圓O的交點(diǎn)處時(shí),所以PAPB2,6【小結(jié)】涉及數(shù)量積的范圍或最值時(shí)，可以利用極化恒等式將多變量轉(zhuǎn)變?yōu)閱巫兞浚儆脭?shù)形結(jié)合等方法求出單變量的范圍、最值即可。目標(biāo)檢測(cè)2（2010福建文1

5、1）若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓:為橢圓上的任意一點(diǎn)，則OPFP的最大值為2y1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P3A.2B.3C.6D.8問題、疑惑、錯(cuò)解匯集能力提升目標(biāo)2-3:會(huì)用極化恒等式解決與數(shù)量積有關(guān)的綜合問題例3.（2013浙江理7）在1ABC中，Po是邊AB上一定點(diǎn)，滿足PoBAB，4且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P，uunuuu恒有PBPCumrPoBA.ABC90°B.BAC90°C.ABACD.ACBC則()目標(biāo)檢測(cè)（2008浙江理9）已知a,b是平面內(nèi)2個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足（ac）（bc）0,則c的最大值是（）廠A.1B.2C.J2D也2問題、疑惑匯集知識(shí)、方法總結(jié)本

6、課的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容是什么？極化恒等式：平行四邊形模型：三角形模型：極化恒等式在處理與有關(guān)問題時(shí)，顯得較有優(yōu)越性。課后檢測(cè)1.在ABC中，BAC60°若AB2,BC3,D在線段AC上運(yùn)動(dòng)，DBDA的最小值為2.已知AB是圓O的直徑，AB長(zhǎng)為2,C是圓O上異于A,B的一點(diǎn)，P是圓O所在平面上任意一點(diǎn)uuruuuuuur則PAPBPC的最小值為()A.1111B.c.D.4323.在ABC中,AB3,AC4,BACuuuuuu則PBPC的最大值為60°，若P是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且AP2，3x224若點(diǎn)O和點(diǎn)F(2,0)分別是雙曲線2y1(a0)的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上任auuuuuu意一點(diǎn)則OPFP的取值范圍是5在RtABC,ACBC2，已知點(diǎn)P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，貝UPC(PAPB)的最小值是6.已知A、B是單位圓上的兩點(diǎn)，O為圓心，且AOB120o,MN是圓0的一條直徑，點(diǎn)C在圓內(nèi)，且滿足OCOA(1)OB(01)，貝UCMCN的取值范圍是(A.1,