BB對弧長和曲線積分PPT課件

1、1主講教師主講教師: 王升瑞王升瑞高等數(shù)學高等數(shù)學 第二十五講第1頁/共36頁2第五節(jié)第五節(jié)一、對弧長的曲線積分的概念和性質(zhì)一、對弧長的曲線積分的概念和性質(zhì)二、對弧長的曲線積分的應用二、對弧長的曲線積分的應用對弧長的曲線積分 第八章 二、對弧長的曲線積分的計算法二、對弧長的曲線積分的計算法第2頁/共36頁3一、對弧長的曲線積分的概念與性一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)質(zhì)假設曲線形細長構(gòu)件在空間所占弧段為AB , 其線密度為“大化小, 常代變, 近似和, 求極限” 可得為計算此構(gòu)件的質(zhì)量,1.1.引例引例: 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用第3頁/共36頁4設 是空間中一條有限長的光滑曲線,義在 上的一個有

2、界函數(shù), 都存在,上對弧長的曲線積分,記作若通過對 的任意分割局部的任意取點, 2. .定義定義下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分.稱為被積函數(shù)， 稱為積分弧段 .曲線形構(gòu)件的質(zhì)量和對第4頁/共36頁5如果如果 L 是是 xoy 面上的曲線弧面上的曲線弧 ,如果 L 是閉曲線 , 則記為則定義對弧長的曲線積分為思考思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, (2) 定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例 ? 否! 對弧長的曲線積分要求 ds 0 ,但定積分中dx 可能為負.此為一種新的和式極限。 定積分：線積分：不是定積分。第5頁/共36頁63. 性質(zhì)性質(zhì)（k 為常

3、數(shù))( 由 組成) ( l 為曲線弧 的長度)由定義可知：此曲線積分不論積分弧段的方向如何，總?cè)≌担x中右端的和式極限不變，則有：換向不變號換向不變號第6頁/共36頁7二、對弧長的曲線積分的計算法二、對弧長的曲線積分的計算法基本思路基本思路:計算定積分轉(zhuǎn) 化定理定理:且上的連續(xù)函數(shù),是定義在光滑曲線弧則曲線積分求曲線積分說明說明:因此積分限必須滿足(2) 注意到 因此上述計算公式相當于“換元法”. 第7頁/共36頁8如果曲線如果曲線 L 的方程的方程為為則有如果方程為極坐標形式:則推廣推廣: 設空間曲線弧的參數(shù)方程為則第8頁/共36頁9小弧段的求小弧段的求法：法：取極限得：曲線曲線：第9頁

4、/共36頁10曲線：極坐標：第10頁/共36頁11解解例例1.第11頁/共36頁12例例2. 計計算算其中 L 是拋物線與點 B (1,1) 之間的一段弧 . 解解:上點 O (0,0)第12頁/共36頁13例例3. 計算計算其中L為雙紐線解解: 在極坐標系下它在第一象限部分為利用對稱性 , 得第13頁/共36頁14例例4. 計算曲線積分計算曲線積分 其中為螺旋的一段弧.解解: 線第14頁/共36頁15例例5. 計算計算其中為球面解解: 化為參數(shù)方程 則第15頁/共36頁16例例6：計計算：算：L 為圖示三角形周界解：解：第16頁/共36頁17例例7：計計算算其中曲線 L 為單位圓從點A(0,

5、1)到點解法一解法一：第17頁/共36頁18解法二解法二例例7：計計算算其中曲線 L 為單位圓從點A(0,1)到點第18頁/共36頁19例例7：計計算算其中曲線 L 為單位圓從點A(0,1)到點解法三：解法三：第19頁/共36頁20例例8：計算計算L 由解：解：第20頁/共36頁21例例8：計算計算L 由第21頁/共36頁22例例9. 計算計算其中為球面 被平面 所截的圓周. 解解: 由對稱性可知第22頁/共36頁23例例101. 已知橢圓周長為a , 求提示提示:原式 =利用對稱性分析分析:第23頁/共36頁24例例111. 設 C 是由極坐標系下曲線及所圍區(qū)域的邊界, 求提示提示: 分段積

6、分第24頁/共36頁25三幾何與三幾何與物理意義物理意義第25頁/共36頁26第26頁/共36頁27思考思考: 例例9中中 改為改為如何計算解解: 令, 則圓的形心在原點, 故第27頁/共36頁28例例1. 計算半徑為計算半徑為 R ,中心角中心角為為的圓弧 L 對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量I (設線密度 = 1). 解解: 建立坐標系如圖,有對稱性則 第28頁/共36頁29截下部分的面積 A 。解：解：如圖所示，先作柱面例例2：求由拋物柱面求由拋物柱面第29頁/共36頁30例例3：已知曲桿方程為已知曲桿方程為其上各點的密度求 1、曲桿的長 S . 2、質(zhì)量 M .3、質(zhì)心4、曲桿的轉(zhuǎn)動慣量解：解：第30頁/共36頁31例例4 L為球為球面面坐標面的交線 , 求其形心 . 在第一卦限與三個解解: 如圖所示 , 交線長度為由對稱性 , 形心坐標為第31頁/共36頁32例例5 設均勻螺旋形彈簧設均勻螺旋形彈簧L的方程的方程為為(1) 求它關(guān)于 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量(2) 求它的質(zhì)心 .解解: 設其密度為 (常數(shù)).(2) L的質(zhì)量而(1)第32頁/共36頁33故質(zhì)心坐標為第33頁/共3