數(shù)學(xué)分析教案(華東師大版)第十章定積分的應(yīng)用

1、第十章 定積分的應(yīng)用 教學(xué)要求：1. 理解微元法的思想，并能夠應(yīng)用微元法或定積分定義將某些幾何、物理等實(shí)際問(wèn)題化成定積分；2. 熟練地應(yīng)用本章給出的公式，計(jì)算平面區(qū)域的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)，用截面面積計(jì)算體積、旋轉(zhuǎn)體的體積和它的側(cè)面積、變力作功等。教學(xué)重點(diǎn)：熟練地應(yīng)用本章給出的公式，計(jì)算平面區(qū)域的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)，用截面面積計(jì)算體積、旋轉(zhuǎn)體的體積和它的側(cè)面積、變力作功等教學(xué)時(shí)數(shù)：10學(xué)時(shí)§ 1 平面圖形的面積 （ 2 時(shí) ） 教學(xué)要求：1. 理解微元法的思想，并能夠應(yīng)用微元法或定積分定義將某些幾何、物理等實(shí)際問(wèn)題化成定積分；2. 熟練地應(yīng)用

2、本章給出的公式，計(jì)算平面區(qū)域的面積。教學(xué)重點(diǎn)：熟練地應(yīng)用本章給出的公式，計(jì)算平面區(qū)域的面積一、組織教學(xué)： 二、講授新課： （一）直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積 ： 1.簡(jiǎn)單圖形： 型和型平面圖形 .2.簡(jiǎn)單圖形的面積 : 給出型和型平面圖形的面積公式. 對(duì)由曲線和圍成的所謂“兩線型”圖形, 介紹面積計(jì)算步驟. 注意利用圖 形的幾何特征簡(jiǎn)化計(jì)算. 例1       求由曲線 圍成的平面圖形的面積.例2       求由拋物線 與直線 所圍平面圖形的面積

3、. （二）參數(shù)方程下曲邊梯形的面積公式：設(shè)區(qū)間上的曲邊梯形的曲邊由方程給出 . 又設(shè), 就有, 于是存在反函數(shù) . 由此得曲邊的顯式方程.,亦即 .具體計(jì)算時(shí)常利用圖形的幾何特征 .例3 求由擺線 的一拱與軸所圍平面圖形的面積. 例4 極坐標(biāo)下平面圖形的面積 :推導(dǎo)由曲線 和射線所圍“曲邊扇形”的面積公式 .  (簡(jiǎn)介微元法 ，并用微元法推導(dǎo)公式 . 半徑為, 頂角為的扇形面積為   . ) 例5 求由雙紐線 所圍平面圖形的面積 . 解 或. ( 可見(jiàn)圖形夾在過(guò)極點(diǎn), 傾角為的兩條直線之間 ) . 以代方程不變, 圖形關(guān)于軸對(duì)稱 ; 以代, 方程不變,

4、圖形關(guān)于軸對(duì)稱 . 參閱P242 圖10-6因此 .三、小結(jié)：§ 2 由平行截面面積求體積 （ 2 時(shí) ） 教學(xué)要求：熟練地應(yīng)用本章給出的公式，用截面面積計(jì)算體積。教學(xué)重點(diǎn)：熟練地應(yīng)用本章給出的公式，用截面面積計(jì)算體積（一）已知截面面積的立體的體積:設(shè)立體之截面面積為. 推導(dǎo)出該立體之體積 .祖暅原理: 夫冪勢(shì)即同 , 則積不容異 . ( 祖暅系祖沖之之子  齊梁時(shí)人 , 大約在五世紀(jì)下半葉到六世紀(jì)初 )例1 求由兩個(gè)圓柱面 和 所圍立體體積 .P244 例1 ( )例2 計(jì)算由橢球面 所圍立體 (橢球 )的體積 . 1 P244例2 ( )（二）旋轉(zhuǎn)體的體積:

5、定義旋轉(zhuǎn)體并推導(dǎo)出體積公式. 例3 推導(dǎo)高為, 底面半徑為的正圓錐體體積公式.例4 求由曲線和所圍平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得立體體積.例5 求由圓繞軸一周所得旋轉(zhuǎn)體體積.( 1000)例6 軸正半軸.繞軸旋轉(zhuǎn).求所得旋轉(zhuǎn)體體積.§ 3 曲線的弧長(zhǎng) ( 1 時(shí) ) 教學(xué)要求：熟練地應(yīng)用本章給出的公式，計(jì)算平面曲線的弧長(zhǎng)。教學(xué)重點(diǎn)：熟練地應(yīng)用本章給出的公式，計(jì)算平面曲線的弧長(zhǎng)， （一） 弧長(zhǎng)的定義: 定義曲線弧長(zhǎng)的基本思想是局部以直代曲  即用折線總長(zhǎng)的極限定義弧長(zhǎng) . 可求長(zhǎng)曲線 . （二） 弧長(zhǎng)計(jì)算公式 : 光滑曲線的弧長(zhǎng).  設(shè)，又，和在區(qū)間 上連

6、續(xù)可導(dǎo)且. 則上以和為端點(diǎn)的弧段的弧長(zhǎng)為.為證明這一公式 , 先證以下不等式 : 對(duì),有, Ch 1 §1 Ex 第5題 (P4) . 其幾何意義是: 在以點(diǎn)和為頂點(diǎn)的三角形中,兩邊之差不超過(guò)第三邊 .事實(shí)上，.為證求弧長(zhǎng)公式, 在折線總長(zhǎng)表達(dá)式中, 先用Lagrange中值定理, 然后對(duì)式插項(xiàng)進(jìn)行估計(jì) .如果曲線方程為極坐標(biāo)形式 連續(xù)可導(dǎo), 則可寫(xiě)出其參數(shù)方程 . 于是.§ 4 旋轉(zhuǎn)曲面的面積 ( 1 時(shí) )  教學(xué)要求：旋轉(zhuǎn)曲面的面積。教學(xué)重點(diǎn)：熟練地應(yīng)用本章給出的公式，計(jì)算旋轉(zhuǎn)曲面的面積 用微元法推出旋轉(zhuǎn)曲面的面積公式 :曲線方程為 時(shí)，；曲線方程為 時(shí)，.例12 P254255例12. § 5 定積分的物理應(yīng)用舉例 ( 2 時(shí) ) 教學(xué)要