數(shù)值計算實驗指導書

1、數(shù)值計算方法（一）實驗指導書一、 基本情況·課程名稱：數(shù)值計算方法（一）· 課程編號：01024002, 01025002, 01825059, 01826059· 課程學時：授課 50學時， 上機實驗 20學時· 適用專業(yè)：信息與計算科學、數(shù)學與應用數(shù)學、數(shù)學物理力學綜合班等理科本科生· 使用教材：數(shù)值計算方法（一） 上海大學數(shù)學系編· 數(shù)值實驗：1）Lagrange插值多項式2)Newton差商插值法 3）Aitken逐次線性插值法 4）等距節(jié)點情況下的Newton差分插值法 5）兩點三次Hermite插值法6）Lagrange插

2、值余項的極小化法求近似最佳一致逼近多項式 7）Newton-cotes型求積公式8）Romberg算法9）Gauss型求積公式10)Remes算法(機動)· 實驗環(huán)境：裝有FORTRAN 4.0以上系統(tǒng)或C語言系統(tǒng)的微型計算機· 實驗要求： 在上機實驗時完成相應實驗的算法的程序編制，并上機運行，學會應用這些算法于實際問題，以便對算法有更進一步的認識和理解?？疾旌腕w會數(shù)值計算中出現(xiàn)的一些問題和現(xiàn)象： 誤差的估計,算法的穩(wěn)定性、收斂性、收斂速度以及迭代初值對收斂的影響等。二、實驗內(nèi)容（一）實驗一：Lagrange插值多項式1、 目的：學會Lagrange插值算法,并應用算法于實

3、際問題;觀察Lagrange插值的龍格現(xiàn)象。2、 例題：1）取正弦函數(shù); 2）取函數(shù) 3、 要求：要求用鍵盤輸入,程序具有通用性.1)以0.32,0.34,0.36為節(jié)點,分別用線性插值和拋物插值求正弦函數(shù) 在0.3367處的近似值;線性插值場合,比較內(nèi)插與外插.2）分別取節(jié)點數(shù) 的等距節(jié)點為插值點，構造 出 ，并畫出其圖形，與 的圖形比較； 觀察在 附近的現(xiàn)象，寫出分析結果。4、公式：Lagrange插值多項式：，其中 （二）實驗二：Newton差商插值法1、目的：學會Newton差商插值法,并應用算法于實際問題.2、例題：取函數(shù) 3、要求：已知用Newton差商插值法求4次Newton差商

4、插值多項式在2.15處的值,以此作為函數(shù)值的近似值 4、公式：Newton差商插值多項式： 其中、依次為一 階、二階、階差商.（三）實驗三：Aitken逐次線性插值法1、目的：學會Aitken逐次線性插值法,并應用算法于實際問題.2、例題：取雙曲正弦函數(shù) .3、要求：已知用Aitken逐次線性插值法求在0.23處的具有六位正確的有效數(shù)字的近似值 ,要求一旦達到指定的精度,計算便自動結束.4、 公式：Aitken逐次線性插值公式： 而（四）實驗四：等距節(jié)點情況下的Newton差分插值法1、目的：學會等距節(jié)點情況下的Newton差分插值法,特別是Newton前插公式.并應用該算法于實際問題.2、例

5、題：取函數(shù) 1、 要求：已知用Newton前插公式求的近似值 .4、公式：Newton前插公式： 其中 而、依次為函數(shù)在處以為步長的一階、二階、階向前差分.（五）實驗五：兩點三次Hermite插值法1、目的：學會兩點三次Hermite插值法,并應用該算法于實際問題.2、例題：取函數(shù)3、要求：已知用兩點三次Hermite插值公式求在2.45處的近似值 .4、公式：兩點三次Hermite插值公式：（六）實驗六：Lagrange插值余項的極小化法求近似最佳一致逼近多項式1、目的：學會用Lagrange插值余項的極小化法求近似最佳一致逼近多項式(即用次Tchebycheff多項式的零點為插值節(jié)點構作L

6、agrange插值多項式),并應用該算法于實際問題.2、例題：取函數(shù)3、要求：取,以 為節(jié)點, 構作Lagrange插值多項式,這就是函數(shù)的4次近似最佳一致逼近多項式.取等,插值來檢驗逼近效果.4、公式：同Lagrange插值法.（七）實驗七：Newton-cotes型求積公式1、目的：學會Newton-cotes型求積公式,并應用該算法于實際問題.2、例題：取定積分3、要求：選擇等分數(shù),用復化Simpson求積公式求上述定積分的誤差不超過的近似值,已知定積分的準確值為-12.0703463162、 公式：復化Simpson求積公式：其中 ,（八）實驗八：Romberg算法1、目的：學會數(shù)值求

7、積的Romberg算法,并應用該算法于實際問題.2、例題：求定積分 3、要求：要求程序不斷加密對積分區(qū)間的等分,自動地控制Romberg算法中的加速收斂過程,直到定積分近似值的誤差不超過為止,輸出求得的 定積分近似值.4、公式：數(shù)值求積的Romberg算法公式： 梯形求積公式： 復化梯形求積的遞推化公式：加速收斂公式： 其中為定積分近似值,決定著Newton-cotes求積公式的階數(shù),例如為一階Newton-cotes求積公式(即梯形求積公式),一般地,是階Newton-cotes求積公式的計算結果;決定著等分數(shù),是在等分情況下的階復化Newton-cotes求積公式的計算結果,例如意為不復化

8、,對于梯形求積來說已經(jīng)是復化的了.（九）實驗九：Gauss型求積公式1、目的：學會Gauss型求積公式,并應用該算法于實際問題.2、例題：取定積分3、要求：把Gauss點的表格存入計算機,以Gauss-Legendre求積公式作為本實驗的例子,要求程序可以跟據(jù)不同的階數(shù),自動地用階Gauss-Legendre求積公式計算上述定積分的近似值.體會Gauss型求積公式是具有盡可能高的代數(shù)精度的數(shù)值求積公式.4、公式：Gauss-Legendre求積公式：其中是Gauss點,它們是次Legendre正交多項式的零點,求積系數(shù)可如下求得：其中為次Legendre正交多項式.（十）實驗十：Remes算法(機動)1、目的：學會用Remes算法求近似最佳一致逼近多項式,并應用該算法于實際問題.2、例題：取函數(shù)3、要求：用Remes算法求在上的二次近似最佳一致逼近多項式.取初始近似偏差點為使三次Tchebycheff多項式輪流達到和的點,即 要求迭代進行到為止,其中 而是步近似最佳一致逼近多項式.4、公式：第1步：選取初始近似偏差點第2步：將近似偏差點代入線性方程組,求解4個未知數(shù),即近似最佳一致逼近多項式的3個系數(shù)和近似最小偏差(注意:中包含因子,可能為負).第3步：利用第2步的結果,對近似偏差點作修正,新的近似偏差點使