數(shù)率概論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后答案第四版高等教育出版社浙江大學(xué)盛驟等編

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作業(yè)習(xí)題解答（浙大第四版） 第一章 概率的基本概念習(xí)題解析第1、2題 隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間、隨機(jī)事件 - 1寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間： （1）記錄一個(gè)小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)（設(shè)以百分制記分）。（2）生產(chǎn)產(chǎn)品直到有10 件正品為止，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。（3）對(duì)某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查，合格的記上“正品”，不合格的記上“次品”，如連續(xù)查出2 個(gè)次品就停止檢查，或檢查4 個(gè)產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。（4）在單位圓內(nèi)任意取一點(diǎn)，記錄它的坐標(biāo)。解 （1）高該小班有n 個(gè)人，每個(gè)人數(shù)學(xué)考試的分?jǐn)?shù)的可能取值為0，1，2，100，n 個(gè)人分?jǐn)?shù)這和的可能取值為0，1，2，100n，平

2、均分?jǐn)?shù)的可能取值為0 1 100 , ,., , n n n n 則樣本空間為 S= 0,1,2, ,100 k k n n . . . = . . . . （2）樣本空間S=10，11，S 中含有可數(shù)無(wú)限多個(gè)樣本點(diǎn)。（3）設(shè)1 表示正品，0 有示次品，則樣本空間為 S=（0，0），（1，0，0），（0，1，0，0），（0，1，0，1），（0，1，1，0），（1，1， 0，0），（1，0，1，0），（1，0，1，1），（0，1，1，1），（1，1，0，1），（1，1， 1，0），（1，1，1，1） 例如（1，1，0，0）表示第一次與第二次檢查到正品，而第三次與第四次檢查到次品。（4）設(shè)任取一點(diǎn)

3、的坐標(biāo)為（x，y），則樣本空間為 S= (x, y) x2 + y2 1 - 2設(shè)A，B，C 為三個(gè)事件，用A，B，C 的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件。（1）A 發(fā)生，B 與C 不發(fā)生； （2）A 與B 都發(fā)生，而C 不發(fā)生； （3）A，B，C 中至少有一個(gè)發(fā)生； （4）A，B，C 都發(fā)生； （5）A，B，C 都不發(fā)生； （6）A，B，C 中不多于一個(gè)發(fā)生； （7）A，B，C 中不多于兩個(gè)發(fā)生； （8）A，B，C 中至少有兩個(gè)發(fā)生。解 此題關(guān)鍵詞：“與，”“而”，“都”表示事件的“交”；“至少”表示事件的“并”；“不多于”表示“交”和“并”的聯(lián)合運(yùn)算。（1） ABC 。（2）ABC 或ABC。 （3）

4、A B C。（4）ABC。（5） ABC 。（ 6 ） A ， B ， C 中不多于一個(gè)發(fā)生為僅有一個(gè)發(fā)生或都不發(fā)生， 即A BC ABC ABC ABC ，A，B，C 中不多于一個(gè)發(fā)生，也表明A,B,C 中至少有兩個(gè)發(fā)生，即AB BC AC ABC。（7）A，B，C 中不多于兩個(gè)發(fā)生，為僅有兩個(gè)發(fā)生或僅有一個(gè)發(fā)生，或都不發(fā)生，即表示為 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC 而 ABC 表示三個(gè)事件都發(fā)生，其對(duì)立事件為不多于兩個(gè)事件發(fā)生，因此又可以表示為ABC = A B C 。（8）A，B，C 中至少有兩個(gè)發(fā)生為A，B，C 中僅有兩個(gè)發(fā)生或都發(fā)生，即為 ABC ABC AB

5、C ABC 也可以表示為AB BC AC。第3.（1）、6、8、9、10題 概率的定義、概率的性質(zhì)、古典概型 - 3（1）設(shè)A，B，C 是三件，且1 1 ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) 0, ( ) , 4 8 P A = P B = P C = P AB = P BC = P AC = 求A，B，C 至少有一個(gè)生的概率。解 利用概率的加法公式3 1 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 8 8 P A B C = P A + P A + P C - P AB - P BC - P AC + P ABC = - = 其中由P(AB) = P(BC)

6、 = 0,而ABC ì AB得P(ABC) = 0。- 6在房間里有10 個(gè)人，分別佩戴從1 號(hào)到10 號(hào)的紀(jì)念章，任選3 人記錄其紀(jì)念章的號(hào)碼。求 （1）最小號(hào)碼為5 的概率； （2）最大號(hào)碼為5 的概率。 解 利用組合法計(jì)數(shù)基本事件數(shù)。從10 人中任取3 人組合數(shù)為3 10 C ，即樣本空間S= 3 10 C =120個(gè)基本事件。（1）令事件A=最小號(hào)碼為5。最小號(hào)碼為5，意味著其余號(hào)碼是從6，7，8，9，10 的5 個(gè)號(hào)碼中取出的，有2 5 C 種取法，故A= 2 5 C =10個(gè)基本事件，所求概率為2 53 10 5! 2!3! 10 1 ( ) 10! 120 12 3!7

7、! C P A C = = = = （2）令事件B=最大號(hào)碼為5，最大號(hào)碼為5，其余兩個(gè)號(hào)碼是從1，2，3，4 的4 個(gè)號(hào)碼中取出的，有2 4 C 種取法，即B= 2 4 C 個(gè)基本事件，則2 43 10 4! 2!2! 6 1 ( ) 10! 120 20 3!7! C P B C = = = = - 8在1 500 個(gè)產(chǎn)品中有400 個(gè)次品，1 100 個(gè)正品。從中任取200 個(gè)。求（1）恰有90 個(gè)次品的概率； （2）至少有2 個(gè)次品的概率。解 （1）利用組合法計(jì)數(shù)基本事件數(shù)。令事件A=恰有90 個(gè)次品，則 90 110 400 1100 200 1500 ( ) C C P A C =

8、 （2）利用概率的性質(zhì)。令事件B=至少有2 個(gè)次品， Ai = 恰有i 個(gè)次品，則 2 3 200 B = A A A , AiAi =.(i 1 j) 所求概率為 200 2 3 200 2 ( ) ( , ( ) i i P B P A A A P A = = . ）= 顯然，這種解法太麻煩，用對(duì)立事件求解就很簡(jiǎn)單。令事件B =恰有0 個(gè)次品或恰有1 個(gè)次品，即0 1 B = A A ，而 200 1 199 1100 400 1100 0 1 0 1 200 200 1500 1500 ( ) ( ) ( ) ( ) C C C P B P A A P A P A C C = = + =

9、 + 故 200 1 199 1100 400 1100 200 200 1500 1500 ( ) 1 ( ) 1 C C C P B P B C C = - = - - - 9從5 雙不同的鞋子中任取4 只，問(wèn)這4 只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙的概率是多少？解 令事件A=4 只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙。用3 種方法求P（A）。A 的對(duì)立事件A =4 只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙，從5 又鞋中任取4 只，即從10 只鞋中任取4 只，所有可能組合數(shù)為4 10 C ，樣本空間S= 4 10 C 個(gè)基本事件，現(xiàn)考慮有利于A 的基本事件數(shù)。從5 雙鞋中任取4 雙，再?gòu)拿侩p中任取一只，有4 4

10、 C5 2 種取法，即A = 4 4 5 C 2 個(gè)基本事件，則 4 4 4 5 4 102 5 2 13 ( ) 1 ( ) 1 1 210 21 C P A P A C = - = - = - = 4 只鞋是不放回的一只接一只的取出，所有可能的排列數(shù)為4 10 A ，即樣本空間S= 4 10 A 個(gè)基本事件?，F(xiàn)考慮有利于A 的基本事件，從10 只鞋中任取一只，與它配成雙的一只不取，從其余8 只鞋中任取一只，與它配成雙的一只不取，依此類推，則A =10×8×6×4 個(gè)基本事件。于是 4 10 10 8 6 4 10 8 6 4 8 13 ( ) 1 ( ) 1

11、1 1 10 9 8 7 21 21 P A P A A = - = - = - = - = 利用組合法計(jì)數(shù)基本事件數(shù)?？紤]有利于事件A 的基本事件數(shù)，任取的4 只鞋配成一雙的取法有1 2 2 2 5 2 4 C C C 2 種，能配成兩雙的取法有2 2 5 2 C C 種，于是A=（ 1 2 2 2 5 2 4 C C C 2 + 2 2 5 2 C C ） 個(gè)基本事件，則1 2 2 2 2 2 5 2 4 5 2 4 10 2 130 13 ( ) 210 21 C C C C C P A C = + = = 此題的第1 種方法和第2 種方法是利用概率性質(zhì)： P(A) + P(A) =1

12、首先求P(A)，然后求P(A)。第3 種方法是直接求P(A)。讀者還可以用更多方法求P(A)。- 10在11 張卡片上分別寫上Probability 這11 個(gè)字母，從中任意連抽7 張，求其排列結(jié)果為ability 的概率。解 令事件A=排列結(jié)果為ability，利用排列法計(jì)數(shù)基本事件數(shù)。不放回的從中一次抽1 張的連抽7 張，要排成單詞，因此用排列法。樣本空間= 7 11 A 個(gè)基本事件。排列結(jié)果為ability，實(shí)際收入字母b 的卡片有兩張，寫字母i 的卡片有兩張，取b 有12 C 種取法， 取i 有12 C 種取法，其余字母都只有1 種取法，故1 1 A = C2C2個(gè)基本事件，于是1 1

13、 2 2 7 11 4 ( ) 0 0000024 11 10 9 8 7 6 5 C C P A A = = = × 這是個(gè)小概率事件。 第14.（2）、15、19、18題 條件概率、概率的加法公式和乘法公式- 14（2）已知1 1 1 ( ) ( ) , ( ) , ( ) 4 3 2 P A = ，P B A = P A B = 求P A B 。解 利用概率加法公式和概率乘法公式。 P(A B) = P(A) + P(B) - P(AB) 解此題的關(guān)鍵是求P(B)和P(AB)。由概率乘法公式，得 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 4 3 12 P AB = P A P B A

14、 = = 又P(AB) = P(B)P(A B)，解得 ( ) 1 1 ( ) 12 ( ) 1 6 2 P AB P B P A B = = = 于是所求概率為 1 1 1 1 ( ) 4 6 12 3 P A B = + - = 此題的關(guān)鍵是利用P(A)P(B A) = P(B)P(A B) ，求出P(AB) 和P(B) ，再求P(A B)就迎刃而解了。- 15擲兩顆骰子，已知兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和為7，求其中有一顆為1 點(diǎn)的概率（用兩種方法）。解 令事件A=兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為7，B=有一顆為1 點(diǎn)。此題是求條件概率P(B A)。兩種方法如下： 考慮整個(gè)樣本空間。隨機(jī)試驗(yàn)：擲兩顆骰子，每顆骰子可能

15、出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)都是6 個(gè)， 即樣本空間S= 62個(gè)基本事件。事件AB=兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之間和為7，且有一顆為1點(diǎn)， 兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為7 的可能結(jié)果為6 個(gè)，即A=（1，6），（2，5），（3，4），（6，1），（5，2），（4，3） 而AB= （1，6），（6，1）。由條件概率公式，得( ) 2 2 1 ( ) 36 ( ) 6 6 3 36 P AB P B A P A = = = = 已知事件A 發(fā)生后，將A 作為樣本空間，其中有兩個(gè)結(jié)果（1，6）和（6，1）只有一顆骰子出現(xiàn)1 點(diǎn)，則在縮減的樣本空間中求事件B 發(fā)生的條件概率為2 1 ( ) 6 3 P B A = = - 18某人忘記了電話號(hào)

16、碼的最后一個(gè)數(shù)，因而他隨意地?fù)芴?hào)。求他撥號(hào)不超過(guò)三次而接通所需電話的概率。若已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少？ 解 利用概率性質(zhì)(有限可加性)和概率乘法公式。 令事件Ai = 第i 次撥通電話，“到第i 次撥通電話”這個(gè)事件為1 2 i 1 i A A A A - . （i=1， 2，3）。事件B=不超過(guò)三次而撥通電話，則 B= 1 1 2 1 2 3 A A A A A A 該事件表示第一次撥通電話，或者第一次未撥通，第二撥通電話（到第二次撥通電話），或者第一、二次未撥通，第三次撥通電話（到第三次撥通電話）。右端是互不相容事件的并事件，所以用有限可加性計(jì)算，得 1 1 2 1 2 3

17、 1 1 2 1 2 3 1 1 2 1 1 2 1 3 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 9 1 9 8 1 3 10 10 9 10 9 8 10 P B P A A A A A A P A P A A P A A A P A P A P A A P A P A A P A A A = = + + = + + = + + = 撥號(hào)是從0，1，2，9 的10 個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，有10 種取法，第一次撥通的概率是1 10 ； 第一次未撥通的概率為9 10 ，第二次撥號(hào)時(shí)，是從其余9 個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，所以撥通的概率為19 ，到第

18、二次撥通的概率為9 1 1 10 9 10 = ，依此類推，到第n 次撥通電話的概率都是1 10 ， 與順序無(wú)關(guān)。 已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)時(shí)，令事件C=撥號(hào)不超過(guò)三次而接通電話。撥號(hào)是從1， 3，5，7，9 的五個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，有5 種取法，第一次撥通的概率為15 ，到第二次撥通的概率為4 1 1 5 4 5 = ，到第三次撥通的概率為4 3 1 1 5 4 3 5 = ，與上述分析方法和用的概率公式相同，所以 1 4 1 4 3 1 3 ( ) 5 5 4 5 4 3 5 P C = + + =第21、22、35、38題 全概率公式、貝葉斯公式、事件的獨(dú)立性 - 21已知男人中有0 0 5

19、 是色盲患者，女人中有0 0 0.25 是色盲患者。今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人，恰好是色盲患者，問(wèn)此人是男性的概率是多少？ 解 令事件A=隨機(jī)地選一人是女性，對(duì)立事件A =隨機(jī)地選一人是男性。因?yàn)槿巳褐心信藬?shù)相等，所以1 ( ) ( ) 2 P A = P A = ，且A， A是樣本空間的一個(gè)劃分。事件C=隨機(jī)地挑選一人恰好是色盲。已知0.25 5 ( ) , ( ) 100 100 P C A = P C A = 由全概率公式，得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0.25 1 5 0.02625 2 100 2 100 P C = P A P C A + P A P

20、 C A = + = 由貝葉斯公式，得 1 5 ( ) ( ) ( ) 2 100 ( ) 0.9524 ( ) ( ) 0.02625 P AC P A P C A P A C P C P C = = = = - 22一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為P，若第一次及格則第二次及格的概率也為P；若第一次不及格則第二次及格的概率為2 p 。（1）若至少有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。（2）若已知他第二次已經(jīng)及格，求他第一次及格的概率。 解 令事件Ai=一學(xué)生第i 次考試及格（i=1，2），已知 1 1 2 1 2 1 ( ) , ( ) 1 , ( ) (

21、) 2P P A = P P A = - P P A A P A A = （1）由概率加法公式，得 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A A P A P A P A A P A P A P A P A A = + - = + - 利用對(duì)立事件求概率 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )1 ( ) 3 1 1 (1 )(1 ) 2 2 2 P A A P A A P A A P A P A A P A P A A P P P P = - =

22、- = - = - - = - - - = - 顯然用后者求解簡(jiǎn)單。 （2）利用條件概率公式。 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 (1 ) 1 2 P A A P A P A A P A A P A P A P P P P P P = = = = + - + - 35如果一危險(xiǎn)情況C 發(fā)生時(shí)，一電路閉合并發(fā)出警報(bào)，我們可以借用兩個(gè)或多個(gè)開(kāi)關(guān)并聯(lián)以改善可靠性，在C 發(fā)生時(shí)這些開(kāi)關(guān)每一個(gè)都應(yīng)閉合，且若至少一個(gè)開(kāi)關(guān)閉合了，警報(bào)就發(fā)出。如果兩個(gè)這樣的開(kāi)關(guān)聯(lián)聯(lián)接，它們每個(gè)具有0.96 的可靠性（即在情況C 發(fā)生時(shí)閉合的概率），問(wèn)這時(shí)系統(tǒng)的可靠

23、性（即電路閉合的概率），是多少？如果需要有一個(gè)可靠性至少為0.9999 的系統(tǒng),則至少需要用多少只開(kāi)關(guān)并聯(lián)?設(shè)各開(kāi)關(guān)閉合與否是相互獨(dú)立的。 解 利用事件的獨(dú)立性。 令事件i A =第i 只開(kāi)關(guān)閉合。已知1 2 P(A ) = P(A ) = 0.96。令事件B=電路閉合。兩只開(kāi)關(guān)并聯(lián)聯(lián)接，則1 2 B = A A ，即至少有一只開(kāi)關(guān)閉合，電路就閉合。而1 2 A與A 相互獨(dú)立，所以電路閉合的概率為 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.96 0.96 (0.96) 0.9984 P B P A A P A P A

24、 P A A P A P A P A P A = = + - = + - = + - = 這種解題思路是讀者容易想到的.另一種解法是利用對(duì)立事件,計(jì)算此較簡(jiǎn)單. 1 2 1 2 1 2 1 2 2 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 0.04 0.9984 P B P A A P A A P A A P A P A = = - = - = - = - = 設(shè)需要n 只開(kāi)關(guān)并聯(lián),才保證系統(tǒng)可靠性為0.9999。令事件i A =第i 只開(kāi)關(guān)閉合（i=1， 2，n）。令事件C=電路閉合，則1 2 n C = A A .A 。如果用概率加法公式表示P = (C) 將是相當(dāng)麻

25、煩的，不妨表示為1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) 0.96 (0.96) (0.96) ( 1) (0.96) n n n n n i i j i j K i i i j n i j k n i n n n P C P A A A P A P A A P A A A P A n C C - - = = = = - + + + - = - + + + - . . . . . . 已知P(C) = 0.9999，解n實(shí)際上是很難辦到的。 如果用對(duì)立事件表示P(C)，顯然比較簡(jiǎn)單，即 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 ( )

26、1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 (0.04) n n n n P C P A A A P A A A P A P A P A = - = - = - = - . . . 已 知1- 0.04n 3 0.9999 ， 即1- 0.04n 0.0001 ， 兩邊取以e 為底的對(duì)數(shù)， 得1 (0.04) 1 (0.0001) n n n ，則 1 (0.0001) 9.2103 2.86 1 (0.04) 3.2189 n n n 3 = - . - 故至少需要3 只開(kāi)關(guān)并聯(lián)聯(lián)接。 此題表明對(duì)立事件及德·莫根律對(duì)解決實(shí)際問(wèn)題有多么重要。- 36三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知各人

27、能譯出的概率分別為1 5,1 3,1 4 。問(wèn)三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率是多少？ 解 令事件Ai =第i 人能譯出密碼（i=1，2，3），且1 1 ( ) 5 P A = ， 2 1 ( ) 3 P A = ， 3 1 ( ) 4 P A = ， B=三人中至少有一人能譯出密碼與事件“密碼被譯出”是相等事件。又1 2 3 A , A A 相互獨(dú)立。 利用概率的加法公式和事件的獨(dú)立性。 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0.6 5 3 4 5

28、 3 5 4 3 4 5 3 4 P B P A A A P A P A P A P A A P A A P A A P A A A = = + + - - - + = + + - - - + = 利用對(duì)立事件和事件的獨(dú)立性。 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 3 1 (1 ) (1 ) (1 ) 0.6 5 3 4 5 P B P A A A P A A A P A A A P A P A P A = = - = - = - = - - - - = = - 38袋中裝m 只正品硬幣、n 只次品硬幣（

29、次品硬幣的兩面均印有國(guó)徽）。在袋中任取一只， 將它投擲r 次，已知每次都得到國(guó)徽。問(wèn)這只硬幣是正品的概率為多少？ 解 令事件A=任取一只硬幣是正品,對(duì)立事件A =任取一只硬幣是次品,且( ) , ( ) m n P A P A m n m n = = + + ，B=把硬幣投擲r 次，每次都得到國(guó)徽面，令事件i B =把硬幣投擲i 次，有i 次得到國(guó)徽（i=1，2，r）。如果硬幣是正品，則投擲一次出現(xiàn)任何一面的概率都是12 ；如果硬幣是次品，則投擲一次出現(xiàn)國(guó)徽面的概率是1。于是 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

30、 1 1 1 2 2 1 ( ) 1 2 i i i P B P A P B A P A P B A m n m n m n P B P A P B A P A P B A m n m n m n m n P B m n m n = + = + + + = + = + + + = + + + . 則 1 ( ) ( ) 1 2 1 2 r r r r m n P B P B m n m n m n m n m n = = + + + = + + + 所求概率為 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 r r r P AB P A P B A P A B P A P

31、B m m n m m n m n m n m n = = = + = + + + + 第二章 隨機(jī)變量及其分布習(xí)題解析第2.（1）、3、6、7、12、17題 離散型隨機(jī)變量的分布律 - 2（1）一袋中裝有5 只球，編號(hào)為1，2，3，4，5。在袋中同時(shí)取3 只，以X 表示取出的3 只球中的最大號(hào)碼，現(xiàn)實(shí)性出隨機(jī)變量X 的分布律。 解 隨機(jī)變量X 的所有可能取值為3，4，5，求取各個(gè)值的概率用古典概型。 2 23 52 33 52 43 5 1 1 3 5! 10 3!2! 3! 2!1! 3 4 5! 10 3!2! 4! 2!2! 3 5 5! 5 3!2! C P X CC P X CC

32、P X C = = = = = = = = = = = = 則隨機(jī)變量X 的分布律為 X 3 4 5 k P 1 10 3 10 35 如果用概率函數(shù)表示，則為 2 1 3 5 k C P X k C= = - (k = 3, 4,5) - 3設(shè)在15 只同類型的零件中有2 只是次品，在其中取3 次，每次任取1 只，作不放回抽樣。以X 表示取出的次品的只數(shù)。（1）求X 的分布律；（2）畫出分布律的圖型。 解 隨機(jī)變量X 的所有可能值為0，1，2，求取各個(gè)值的概率用古典概型。 （1）X 取各個(gè)值的概率分別為 0 3 2 13 3 15 1 2 2 13 3 15 2 1 2 13 3 15 13

33、! 3!10! 22 0 15! 35 3!12! 13! 2 12 1 2!11! 15! 35 3!12! 13 1 2 15! 35 3!12! C C P X C C C P X C C C P X C = = = = = = = = = = = = 則X 的分布律為 X 0 1 2 k P 22 35 12 35 1 35 因?yàn)閗 1 P = ,所以只要求出PX = 0, PX =1則PX = 2 =1- PX = 0- PX =1。X 的分布律用概率函數(shù)表示為 3 2 13 3 15 CkC k P X k C - = = (k = 0,1, 2) - 6一大樓裝有5 個(gè)同類型的供

34、水設(shè)備。調(diào)查表明在任一時(shí)刻t 每個(gè)設(shè)備被使用的概率為0.1， 問(wèn)在同一時(shí)刻 （1）恰有2 個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？ （2）至少有3 個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？ （3）至多有3 個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？ （4）至多有1 個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？ 解 5 個(gè)同類型的供水設(shè)備，在任一時(shí)刻是否被使用相互獨(dú)立，而在同一時(shí)刻被使用的個(gè)數(shù)X 服從二項(xiàng)分布b（5，0，1），故用二項(xiàng)分布求解X 取各個(gè)值，或在某個(gè)范圍內(nèi)取值的概率。 （1）因?yàn)閄 服從二項(xiàng)分布b（5，0，1），分布律為 (0.1)k (0.9)5 k k P X = k = C - （k=0，1，2，3，4，5） 于是 2 2 5 2 5

35、PX = 2 = C (0.1) (0.9) - =100.010.729 = 0.0729 （2） 5 5 5 3 3 3 5 3 4 4 5 4 5 5 5 5 5 5 5 3 (0.1) (0.9) (0.1) (0.9) (0.1) (0.9) (0.5) (0.9) 10 0.001 0.81 5 0.0001 0.9 0.00001 0.00856 k k k k P X C C C C - = - - - 3 = = + + = + + = （3） 3 5 5 0 0 0 5 1 4 2 2 3 3 3 2 5 5 5 5 3 (0.1) (0.9) (0.1) (0.9) (0

36、.1)(0.9) (0.1) (0.9) (0.1) (0.9) 0.59049 032805 0.0729 0.0081 0.99954 k k k k P X C C C C C - = = = + + + = + + + = 或用對(duì)立事件求解。 5 5 5 44 4 5 5 5 0 5 5 4 5 3 1 3 1 4 1 (0.1) (0.9) 1 (0.1) (0.9) (0.1) (0.9) 1 5 0.1 0.9 0.1 1 0.00045 0.0001 0.99954k k k k P X P X P X C C C- = = - = - 3 = - = - + = - + =

37、- + = . 后者計(jì)算比前者簡(jiǎn)單。 （4） 5 5 5 1 1 k (0.1)k (0.9) k k P X C - = 3 = ，顯然計(jì)算過(guò)程比較麻煩，但用對(duì)立事件求解相當(dāng)簡(jiǎn)單。 0 0 5 5 5 1 1 1 1 0 1 (0.1) (0.9) 1 0.9 1 0.59049 0.40951 P X P X P X C3 = - < = - = = - = - = - = - 7設(shè)事件A 在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0.3，當(dāng)A 發(fā)生不少于3 次時(shí)，指示燈發(fā)出信號(hào)。（1）進(jìn)行了5 次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率；（2）進(jìn)行了7 次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)， 求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率。 解

38、（1）事件A 次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)X 服從二項(xiàng)分布b（n，0.3）,分布律為 k (0.3)k (0.7)n k n P X = k C - (k=0,1,2,n) 當(dāng)事件X 3 3發(fā)生時(shí),指示燈發(fā)出信號(hào)。當(dāng)n=5 時(shí)，則 5 5 5 3 3 3 2 4 4 5 5 5 5 5 3 (0.3) (0.7) (0.3) (0.7) (0.3) (0.7) (0.3) 10 0.027 0.49 5 0.0081 0.7 0.00243 0.16308 k k k k P X C C C C - = 3 = = + + = + + = （2）事件A 在7 次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)Y 服從二

39、項(xiàng)分布b（7，0，3），則 0 0 7 1 6 2 2 5 7 7 7 7 6 2 5 3 1 3 1 2 1 (0.3) (0.7) (0.3)(0.7) (0.3) (0.7) 1 0.7 7 0.3 0.7 21 0.3 0.7 0.353 P Y P Y P Y C C C 3 = - = - = - + + = - + + = . - 12一電話交換臺(tái)每分鐘收到呼喚的次數(shù)服從參數(shù)為4 的泊松分布。求（1）某一分鐘恰有8 次呼喚的概率；（2）某一分鐘的呼喚次數(shù)大于3 的概率。 解 一電話交換臺(tái)某一分鐘收到呼喚的次數(shù)X服從泊松分布p (4)，其分布律為 44 ! e k P X k k

40、- = = （k=0，1，2，） （1） 4 48 1200.33371 8 0.02977 8! 40320 e P X - = = = = （2） 4 3 4 4 0 4 4 3 4 1 0.5665 ! ! k k k k e e P X P X k k ￥ - - = = > = 3 = = - = - 17（1）設(shè)X 服從（0-1）分布，其分布律為PX = k = Pk (1- P)1-K , k = 0，1，求X 的分布函數(shù)，并作出其圖形； （2）求第1 題中的隨機(jī)變量的分布函數(shù)。 解 （1）X 的分布函數(shù)為 ( ) (1 )1 0, 11, k K k x F x P X

41、x P P P - = = - . = - . 0 0 1 x x x 3. . （2）第1 題中隨機(jī)變量X 的分布律為 X 3 4 5 k P 1 10 3 10 35 X 的分布函數(shù)為F(x) = PX x，求法如下。 當(dāng)x . 3時(shí)，則 F(x) = PX x = 0 當(dāng)3 x . 4時(shí)，則 F(x) = PX x = PX = 3 = 0.1 當(dāng)4 x . 5時(shí)，則 F(x) = PX x = PX = 3+ PX = 4 = 0.1+ 0.3 = 0.4 當(dāng)x 3 5時(shí)，則 F(x) = PX x = PX = 3+ PX = 4+ PX = 5 =1 綜合表示為 0, 1 , 10

42、 ( ) 1 3 4 , 10 10 10 1 3 3 1, 10 10 5 F x . = . + = . + + = . 3 3 4 4 5 5 x xx x 3. . 第19、21、27、34、35、36題 隨機(jī)變量的分布函數(shù)、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度 - 19以X 表示某商店從早晨開(kāi)始營(yíng)業(yè)起直到第一個(gè)顧客到達(dá)的等待時(shí)間（以分計(jì)），X 的分布函數(shù)是 1 0.4 , ( ) 0, e x Fx x . - - =. 00 xx . 求下述概率： （1）P至多3 分鐘；（2）P至少4 分鐘；（3）P3 分鐘至4 分鐘之間；（4）P至多3 分鐘或至少4 分鐘；（5）P恰好2.5 分鐘。 解 （

43、1） 3 (3) 1 0.4 3 1 1.2 0.6988 x P X = P = - e- = - e- = （2） 4 1 4 1 (4) 0.4 4 0.2019 X P X 3 = - P X . = - F = e- = （3） 0.4 4 0.4 3 3 4 4 3 (4) (3) 1 (1 ) 0.0993 X X P X P X P X F F e- e- = - < = - = - - - = （4） 3 4 1 0.4 3 (1 0.4 4 ) 0.6988 0.2019 0.9007 P X + P X 3 = - e- + - e- = + = （5）PX = 0.25 = 0。 - 21設(shè)隨機(jī)變量X 的概率密度為 （1） 2(1 1 2 ), ( ) 0, x f x . - =. 1 x 2 其它 （2） , ( ) 2 , 0, x f x x . = - . 0 1 1 2 x x < < 其它 求X 的分布函數(shù)F(x)，并畫出（2）中的f (x)及F(x)的圖形。 解 （1）當(dāng)x <1時(shí)，F(xiàn)（x）=0；