D復(fù)合函數(shù)微分法與隱函數(shù)微分法PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1D復(fù)合函數(shù)微分法與隱函數(shù)微分法復(fù)合函數(shù)微分法與隱函數(shù)微分法313.632(m )機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 精確值是V, 近似值是|dV|.5 4 3(50.4) (40.4) (30.2)V dxyzVVxVyVz 用某種材料做一個(gè)開口長(zhǎng)方體容器,其外形長(zhǎng)5m,寬4m, 高3m,厚0.2m,求所需材料的近似值與精確值.yz xzx yxy z 4 3 ( 0.4)3 5 ( 0.4)5 4 ( 0.2) 314.8(m )解解: 設(shè)體積為V (m3), 長(zhǎng)寬高各為x, y, z (m),.Vxyz5,4,3,0.4,0.4,0.2xyzxyz 第1頁(yè)/共49頁(yè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè)

2、 下頁(yè) 返回 結(jié)束 取值, .,.,.xyxydz ( )xzfy1( )xxxxzfffyy2( )yyyxxzfffyy ( )xffy1.求給定點(diǎn)和自變量增量的全微分時(shí),先聲明這些否則應(yīng)用記號(hào)2.表示z對(duì) 的導(dǎo)數(shù).xy就可以用dz等表示全微分.第2頁(yè)/共49頁(yè) 第八章 復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)微分法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一. 復(fù)合函數(shù)微分法二. 隱函數(shù)微分法第3頁(yè)/共49頁(yè)熟練掌握多元復(fù)合函數(shù)微分法多元復(fù)合函數(shù)微分法了解全微分形式不變性掌握多元隱函數(shù)微分法多元隱函數(shù)微分法重點(diǎn)重點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 難點(diǎn)難點(diǎn)第4頁(yè)/共49頁(yè)設(shè) ( , ),( , )zfx yx y是

3、x,y的復(fù)合函數(shù). 則22sin()xyzexy這是函數(shù)和中間變量均是二元函數(shù)的一般情況,sinuzev它的結(jié)構(gòu)圖或變量關(guān)系圖是: 可看成是由( , ),( , ),( , )zf u vux yvx y機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 如如函數(shù)復(fù)合而成.uxzvy22,uxyvxy和注意注意: 畫出函數(shù)結(jié)構(gòu)圖對(duì)于多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)很有幫助.因變量自變量第5頁(yè)/共49頁(yè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,uuvvxyxy如果函數(shù) ( , ),( , )ux yvx y且在對(duì)應(yīng)于(x,y)的則復(fù)合函數(shù) ( , )zf u v在點(diǎn)(x,y)對(duì)x及y的偏導(dǎo)數(shù)存在, 函數(shù)定理定理8.3 的偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)

4、數(shù)都存在存在,點(diǎn)(u,v)處,可微可微,( ( , ),( , )zfx yx y且,zzuzvxuxv x .zzuzvyuyv y uxzvy多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則也稱為鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t.第6頁(yè)/共49頁(yè)特別地, 如果 ( , ),( ),( ),zf u vuxvxdzz duz dvdxu dxv dx這時(shí), z對(duì)x 的導(dǎo)數(shù)稱為全導(dǎo)數(shù)全導(dǎo)數(shù), 即 ( , ),( ),zf x yyx ( ),( ).zfxx , ( )zf xx如果 的全導(dǎo)數(shù)為 則z就是x的一元函數(shù) dzzz dydxxy dx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 則函數(shù)uzxvxzxy第7頁(yè)/共49頁(yè)求22,uxy v

5、xysin ,cosuuzzevevuv,2 ,2uuvvyxxyxyxyzzuzvxuxv x zzuzvyuyv y sinuzev機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解解:sin2cosuuxevyev而sin2cosuuyevxev2222 sin()2 cos()xyexxyyxyuxzvy,.zzxy2222 sin()2 cos()xyeyxyxxy第8頁(yè)/共49頁(yè)設(shè)223,42 ,uxyvxy1,lnvvzzv uuuuv 的偏導(dǎo)數(shù)。 6 ,2 ,4,2uuvvxyxyxy224216 (42 )(3)xyxxyxy16ln4vvzv uxuux 12ln2vvzv uyuuy

6、 2242(3)xyzxy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .vzu解解:224212 (42 )(3)xyyxyxy求則可得2242224(3)ln(3)xyxyxy2242222(3)ln(3)xyxyxyuxzvy第9頁(yè)/共49頁(yè)sin ,cos ,ux vx3222,3zzuvu vuv求 cos ,sindudvxxdxdx 3222cos3sinuvxu vxdzz duz dvdxu dxv dx23,zu v機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解解:3222sincoscos3sincossinxxxxxx222sin cos(2cos3sin)xxxx而.dzdxuzxv第

7、10頁(yè)/共49頁(yè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1. 2ln ,32 ,xzuvuvxyy而解解:2 lnzuvu21,3,2uuxvvxyyyxy ,.zzxy212 ln3zzuzvuuvxuxv xyv 222 ln()( 2)zzuzvxuuvyuyv yyv 223222ln(32 )(32 )xxxyyyxy 2zuvv求uxzvy22223ln(32 )(32 )xxxyyyxy第11頁(yè)/共49頁(yè)dzz dxz dydtx dty dt221( 2)ttyeexx 22211( 2)ttttteeeee ().ttee 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2,1,ttyzxe

8、yex 而求.dzdt解解:xzty第12頁(yè)/共49頁(yè),.xxxxyzzz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,zxyu設(shè)( , )ux y其中()()xxxxxxxxzzyuu 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)xxzyu()()1xyxyxyxyzzyuu 數(shù)，求解解:xxzyyuxxyyzux注意注意: 認(rèn)為抽象函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)構(gòu)同原函數(shù)的結(jié)構(gòu).第13頁(yè)/共49頁(yè)求( , ),vx yzffxxvx xvxffzfyvy ( , ),zf x v機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解解:而vyfxxzvy,.zzxy其中 都具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),這里,zx表示復(fù)合后 ,( , )zf xx y對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù);f

9、x表示復(fù)合前( , )zf x v(v為“常數(shù)”) , f對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù).第14頁(yè)/共49頁(yè)22222( , )( , )( , ),uuuvvvf u vf u vf u vfffuu vv 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 注意：注意：( , )( , ),uvf u vf u vffuv各階偏導(dǎo)數(shù)時(shí), 在求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，特別是抽象函數(shù)的經(jīng)常利用下面簡(jiǎn)便的記法：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t“分段相乘, 分叉相加, 單路全導(dǎo), 叉路偏導(dǎo)”uzxvxxvxzffvyvyzfv( , ),( , )zf x v vx yxxzvydzz duz dvdxu dxv dx( , )zf u v( )

10、,( )uu x vv x“理清結(jié)構(gòu), 找齊鏈路”第15頁(yè)/共49頁(yè)設(shè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2(),2yzxyx 為可微的函數(shù),22302zzxxyyxy證證:22( ),2zyyuxx 因所以222223130222zzxxyyyyyxy ( ),zyxuyx求證：設(shè)uxy第16頁(yè)/共49頁(yè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2.zx y 其中f 具有二階連續(xù)偏( , , ),yzf u x yuxe解解: yuxuxzuffe ffxx,uxff注意到 仍是u, x, y的函數(shù)，yuxe2()yuxze ffx yy 所以 2yyyyuuuuyxuxye fxefe fxe

11、ff設(shè)導(dǎo)數(shù), 求且uxzxyy,uxff()yyuuuuyxuxyuue feffffyy第17頁(yè)/共49頁(yè)求22223()()vvvvvvxxxxxffffyyyyy ,( , )xvzyf x vy2()vvvzfvxxfyfyffyfffyyyyy22()()vvzxfxfffyyyyy y2vvvvvxxvfffyyyy( ,),xzyf xy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解解:設(shè)xxfvy222,.zzx yy 其中f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),令vxxfvy第18頁(yè)/共49頁(yè)111()xvvvxvvxfffffyyyy,vzxffyy22()()vzzzxffx yy xxyxy

12、1()xvvvxvvvxvfffffxyyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2xvxvvxxfffyyxxfvyvxxfvy2223vvzxfyy,xvy第19頁(yè)/共49頁(yè)( , , ),yzf u x yuxe其中f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),解解:,yuxzfefx2222,.zzxy22()()yuuuxxuxxzuuffeffxxx,uxyfff22()yyuuuyuyuyyzuuffxef xeffyyy22yyuuuxxxefe ff222yyyuuuuyyyxe fx efxe ff()yyyyuuuyuyuyyf xefxef xef xef機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作

13、業(yè)作業(yè) P364 13(3)(4); 14(2); 15(2)求uzxxyy()xuuxffyuyzfxefy()yuuyff第20頁(yè)/共49頁(yè)(1) ,yzxy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 5(3)ln(1)yxyyzey21(1) (1)yyxzxyyxyx(1) ln(1)1yxyxyxyxy求解解:ln(1)ln(1)1yxyxexyyxy211111(1)1yxxxyyzyxy1111(1) ln(1)12ln21yxyyxyxyzxyxyxy 1111,.xxxyyyzz第21頁(yè)/共49頁(yè)當(dāng)u, v是x, y的可微函數(shù) ( , ),( , )ux yvx y( ( , ),

14、( , )zf u x yv x y機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的全微分為 zzdzdudvuv( , )zf u v當(dāng)u, v為自變量時(shí), 其全微分 復(fù)合函數(shù) 由全微分定義和復(fù)合函數(shù)微分法可求得, 所以設(shè)可微,時(shí),zzdzdxdyxy,zzuzvzzuzvxuxvxyuyvy而()()zuzvzuzvdxdzdyuxvxuyvy()()zuuzvvdxdydxdyuxyvxyzzdudvuv第22頁(yè)/共49頁(yè)zzdzdudvuv對(duì)于函數(shù) ( , ),zf u v機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 還是自變量, 致性, 稱為全微分形式不變性全微分形式不變性. 無(wú)論u, v是中間變量這一

15、形式上的一其全微分形式一樣.利用全微分形式不變性可以通過求微分過程的細(xì)化先求出函數(shù)的全微分, 后求出函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).第23頁(yè)/共49頁(yè)22(),xyzxye利用全微分形式不變性, 解解:,.zzxy222222()()()xyxyxydzd xyee d xyxyde機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2222()()()xyxyedxdyxye d xy22(22)()()xyxyexdxydyxyeydxxdy23(2)xyzexx yyx32( 2)xyzeyxxyy2332(2)( 2)xyxyexx yy dxeyxxydy由此可得求第24頁(yè)/共49頁(yè)22,ln,arctan,vyzu

16、 uxyvx解解:.dz122lnlnarctanvvyvudxyuudx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 12222211ln( )1 ( )vvyvudxyuudyxxyx21222222211ln()vvxdxydyxyvuuudxdyxyxxxyxy1lnvvdzvuduuudv1122(ln )(ln )vuu vxyu dxu vyxu dyxy122()ln ()vuu v xdxydyuydxxdyxy求第25頁(yè)/共49頁(yè)1) 在什么條件下才能確定隱函數(shù) y = f (x) .( , )0F x y 2) 在能確定隱函數(shù)時(shí), 函數(shù)y = f (x)的連續(xù)性、可微性及求導(dǎo)方法如

17、何 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 用多元復(fù)合函數(shù)微分法研究方程 例如, 方程02Cyx當(dāng) C 0 時(shí), 不能確定隱函數(shù);第26頁(yè)/共49頁(yè)隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理1 1),(00yxP),(yxF;0),(00yxF則方程( , )0F x y 單值連續(xù)函數(shù) y = f (x) , )(00 xfy 并有連ddxyFyxF (隱函數(shù)求導(dǎo)公式)(證明略) 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)00(,)0yFxy滿足條件機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 續(xù)導(dǎo)數(shù)滿足第27頁(yè)/共49頁(yè)0)(,(xfxF兩邊對(duì) x 求導(dǎo)數(shù)0ddxyyFxFddxyFy

18、xF 0yF ,0),()(所確定的隱函數(shù)為方程設(shè)yxFxfy在),(00yx的某鄰域內(nèi)則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下：xxFy第28頁(yè)/共49頁(yè)0yyxex確定的函數(shù)( )yf x( , ),yF x yyxex解解:1,1yyFFexexy 1111yyyydyeedxxexe 則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的導(dǎo)數(shù).利用隱函數(shù)求導(dǎo)公式也可利用隱函數(shù)求導(dǎo)法直接用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得10,yydydyexedxdx 11yydyedxxe 設(shè)兩種方法不同, 前者F對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)y是“常數(shù)”, 后者對(duì)x求導(dǎo)時(shí)y是x的復(fù)合函數(shù).注意注意:ddxyFyxF

19、 第29頁(yè)/共49頁(yè)若函數(shù) ),(000zyxP),(zyxF,yxzzFFzzxFyF 的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,則方程( , , )0F x y z 在點(diǎn)),(00yx并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(000yxfz 定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) , (證明略)滿足0),(000zyxF000(,)0zF xy z 在點(diǎn)滿足:某一鄰域內(nèi)可唯一確機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第30頁(yè)/共49頁(yè)0),(,(yxfyxF兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo)數(shù)xFxzFzxF yzFzyF 同樣可得( , )zf x y則zFxz0機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:xx

20、Fyyz000(,)0zxyzF在的某鄰域內(nèi)設(shè)( , , )0F x y z 是方程所確定的隱函數(shù),第31頁(yè)/共49頁(yè)2222221xyzabc解解:( , )zf x y222222,FxFyFzxaybzc222222( , , )1,xyzF x y zabc2222222222,22xyzc xzc yabzzxa zyb zcc 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的偏導(dǎo)數(shù). 所確定的函數(shù)設(shè)則由可得注意注意: 雖然此例中方程確定兩個(gè)不同的函數(shù) 22221,xyzcab 但在其可導(dǎo)區(qū)域內(nèi), 導(dǎo)數(shù)相同.利用隱函數(shù)求導(dǎo)公式,yxzzFFzzxFyF 第32頁(yè)/共49頁(yè),04222zzyx解

21、法解法1 利用隱函數(shù)求導(dǎo)法直接用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 再對(duì) x 求導(dǎo)第33頁(yè)/共49頁(yè)設(shè)zzyxzyxF4),(222則2 ,xFx xzFzxF 兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo)數(shù))2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx224zFz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第34頁(yè)/共49頁(yè)zxFFxz xz設(shè)F(x, y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 0),(zyzxF.dz求解解:是由方程設(shè)),(yxfz 0),(zyzxF

22、 yz212FyFxFz211FyFxFzyyzxxzzdddzF11 1F)(2zx 2F)(2zyzF12 確定的隱函數(shù),)dd(2121yFxFFyFxz則)()(2221zyzxFF 已知方程機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 故解法解法1 利用隱函數(shù)求導(dǎo)公式.12xxFzyy第35頁(yè)/共49頁(yè)對(duì)方程兩邊求微分: 1F)dd(d2121yFxFFyFxzz)dd(2zzxxzzzFyFxd221 zyFxFdd21解法解法2 利用微分形式不變性.0),(zyzxF)dd(2zzyyz)(dzx 2F0)(dzy 1F 2F0機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第36頁(yè)/共49頁(yè)機(jī)動(dòng) 目

23、錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2sin0,xyexy求.dydx1.解解:設(shè)2( , )sin,xF x yyexy2,cos2xxyFeyFyxy2cos2xxyFdyyedxFyxy (一) 利用隱函數(shù)求導(dǎo)公式(二) 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法22cos20,cos2xxyeyyeyxyyyyxy(三) 利用微分形式不變性2cos20,xydye dxy dxxydy2cos2xdyyedxyxy第37頁(yè)/共49頁(yè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2.,zexyz求,.zzxy解解:設(shè)( , , ),zF x y zexyz,zxyzFyzFxzFexy ,xxyzzzFyzxzzzFexyexy

24、 (一) 利用隱函數(shù)求導(dǎo)公式(二) 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法()() ,zxxexyz,zxxe zyzxyzxzyzzexy ()() ,zyyexyz,zyye zxzxyzyzxzzexy 第38頁(yè)/共49頁(yè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2.,zexyz求,.zzxy解解:,ze dzyzdxxzdyxydz()zexy dzyzdxxzdyzzyzxzdzdxdyexyexy(三) 利用微分形式不變性xzyzzexy yzxzzexy 第39頁(yè)/共49頁(yè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3.( , , )uf x y z有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且xyzxeyeze解解:(1)(1)(1),x

25、yzxe dxye dyze dz(1)(1),(1)xyzxe dxye dydzzefffdudxdydzxyz設(shè)函數(shù)( , )zz x y由方程所確定, 求du.(1)(1),(1)xyzfffxe dxye dydxdyxyzze(1)(1).(1)(1)xyzzffxeffyedxdyxz zeyzze用微分形式不變性第40頁(yè)/共49頁(yè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t“分段相乘, 分叉相加, 單路全導(dǎo), 叉路偏導(dǎo)”例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分形式不變性, ),(vufz 對(duì)不論 u , v

26、是自變量還是因變量,vvufuvufzvud),(d),(duvyxyx“理清結(jié)構(gòu), 找齊鏈路”第41頁(yè)/共49頁(yè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè) P365 16(1)(2)(5)(6); 17(1); 18(1) 3. 隱函數(shù)微分法隱函數(shù)求導(dǎo)方法方法1. 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法直接直接計(jì)算 ;方法2. 利用微分微分形式不變性 ;方法3. 代隱函數(shù)求導(dǎo)公式公式隱函數(shù)存在定理第42頁(yè)/共49頁(yè)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.0),(0),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu由 F、G 的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式vuvuGGFFvuGFJ),(),(稱為F、G 的雅可比雅可比( Jacobi )行列式.以兩個(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例 ,