現(xiàn)代控制理論-ppt課件

1、現(xiàn)代控制實際Modern Control Theory(10)1;.4.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性定理李雅普諾夫穩(wěn)定性定理經(jīng)過分析系統(tǒng)能量的變化來經(jīng)過分析系統(tǒng)能量的變化來確定系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性！確定系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性！系統(tǒng)的運動方程是系統(tǒng)的運動方程是一個能量函數(shù)應(yīng)該是正定的：一個能量函數(shù)應(yīng)該是正定的：沿形狀軌線，系統(tǒng)能量的變化率：沿形狀軌線，系統(tǒng)能量的變化率：假設(shè)它是負定的，那么沿形狀軌線，系統(tǒng)能量是減少的。假設(shè)它是負定的，那么沿形狀軌線，系統(tǒng)能量是減少的。BACD),()(tttxfx),(tV xT1d ( , ) dniVVVtttxxxT1( , )niVVfttxx2籠統(tǒng)總結(jié)成以下的普通結(jié)論定

2、理4.2.1 對非線性系統(tǒng) ，原點是系統(tǒng)的平衡形狀，假設(shè)存在具有延續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標量函數(shù)1。 是正定的；2。沿系統(tǒng)的恣意軌線，關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù) 負定那么系統(tǒng)在原點這個平衡形狀處是漸近穩(wěn)定的。進而，當 ，假設(shè) ，那么系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。滿足條件1和2的函數(shù) V(x, t) 稱為是系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)。),()(tttxfx),(tV x),(tV xttVd),(dxx),(tV x3定理的闡明定理的闡明給出的判據(jù)是充分的，即假設(shè)能找到一個李雅普諾夫函數(shù)，那么可斷定系統(tǒng)漸近穩(wěn)定；假設(shè)找不給出的判據(jù)是充分的，即假設(shè)能找到一個李雅普諾夫函數(shù)，那么可斷定系統(tǒng)漸近穩(wěn)定；假設(shè)找不到，那么沒有結(jié)論；到，那

3、么沒有結(jié)論；如何尋覓李雅普諾夫函數(shù)呢？仍未處理，只需試湊；如何尋覓李雅普諾夫函數(shù)呢？仍未處理，只需試湊；對于線性系統(tǒng)，漸近穩(wěn)定對于線性系統(tǒng)，漸近穩(wěn)定大范圍漸近穩(wěn)定；大范圍漸近穩(wěn)定；假設(shè)假設(shè) 半負定，闡明系統(tǒng)的能量不會添加，故系統(tǒng)是穩(wěn)定的；半負定，闡明系統(tǒng)的能量不會添加，故系統(tǒng)是穩(wěn)定的；定理適宜于線性、非線性、時變、定常系統(tǒng)。定理適宜于線性、非線性、時變、定常系統(tǒng)。ttVd),(dx4例例 分析以下系統(tǒng)在原點處的穩(wěn)定性分析以下系統(tǒng)在原點處的穩(wěn)定性解解 原點是系統(tǒng)的獨一平衡形狀。原點是系統(tǒng)的獨一平衡形狀。選取最簡單的二次型函數(shù)選取最簡單的二次型函數(shù)它是正定的。沿系統(tǒng)的恣意軌線，它是正定的。沿系統(tǒng)的

4、恣意軌線，上式是負定的。因此上式是負定的。因此 V(x) 是系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)，是系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)，且且 V(x) 是徑向無界的。故系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。是徑向無界的。故系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。)()(22212122221121xxxxxxxxxx2221)(xxVx1 122d ( ) d22Vtx xx xx222212112212122 ()2()x xx xxxxx xx22 2122()xx 5對系統(tǒng)能量函數(shù)沿系統(tǒng)軌線 的負定性闡明系統(tǒng)形狀運動時，能量是減少的，給出的是以原點為中心的一族同心圓，隨時間推移，C不斷減小，從而形狀不斷趨向于零。2212( )VxxxtVd)(dxCxxV2221)

5、(xV 增大方向C3C2C1C1 C2 C3x1x2Ox06條件 負定性的降低。定理4.2.2 對非線性系統(tǒng) ，原點是系統(tǒng)的平衡形狀，假設(shè)存在具有延續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標量函數(shù)1。 是正定的；2。沿系統(tǒng)恣意軌線，關(guān)于時間導(dǎo)數(shù) 半負定3。在系統(tǒng)恣意軌線上， 不恒等于零4。當 ，那么系統(tǒng)在原點這個平衡形狀處是大范圍漸近穩(wěn)定的。能量函數(shù)的值不能老停留在一處，要不斷下降。益處：可以簡化穩(wěn)定性分析。),()(tttxfx),(tV x),(tV xttVd),(dxx),(tV xttVd),(dxttVd),(dx7例例 分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性解解 系統(tǒng)的平衡形狀為系統(tǒng)的平衡形狀為 ，選取選取1

6、1 是正定的；是正定的；2 2沿系統(tǒng)的恣意軌線，沿系統(tǒng)的恣意軌線，是半負定的。是半負定的。1222122(1)xxxxxx 0, 021xx2221)(xxVx2221)(xxVx1212d ( ) dxVVVtxxxx212212222(1)xxxxxx22222(1)xx 8系統(tǒng)模型李雅普諾夫函數(shù)李雅普諾夫函數(shù)的時間導(dǎo)數(shù)檢驗定理的條件3：假設(shè) 即 由第2個形狀方程得 ，是系統(tǒng)的零形狀 由第2個形狀方程得 但 不滿足第1個方程，故不是系統(tǒng)的軌線。故在系統(tǒng)的恣意非零軌線上， 不能夠恒等于零。根據(jù)定理4.2.2，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。1222122(1)xxxxxx 2221)(xxVx2222d

7、( ) d2(1)Vtxx x0d)(dtV x0)1 (22222xx20 x21x 或02x01x12x01x1, 021xxtVd)(dx9針對以上例子，對可以驗證故該函數(shù)是系統(tǒng)的一個李雅普諾夫函數(shù)。闡明：針對一個平衡形狀，可以有多個李雅普諾夫函數(shù)。22)(21)(2221221xxxxVx0)(22)(d)(d222122112121xxxxxxxxxxtVx10定理4.2.3 設(shè)原點是系統(tǒng) 的平衡形狀，假設(shè)存在標量函數(shù) ，滿足1 在原點附近的某個鄰域內(nèi)是正定的；2 在同樣鄰域內(nèi)也是正定的。那么系統(tǒng)在原點處是不穩(wěn)定的。例 分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性選取正定函數(shù) 不穩(wěn)定！),()(tttxfx),

8、(tV x),(tV xttVd),(dxxx11112221)(xxVx1 122d ( ) d22Vtx xx xx1122122()2()x xxxxx22122()0 xx11李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性系統(tǒng)針對初始擾動的恢復(fù)才干系統(tǒng)針對初始擾動的恢復(fù)才干針對特定的平衡點針對特定的平衡點利用能量的概念來描畫系統(tǒng)運動衰減的情況利用能量的概念來描畫系統(tǒng)運動衰減的情況穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定、大范圍漸近穩(wěn)定等概念穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定、大范圍漸近穩(wěn)定等概念能量函數(shù)：正定、關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)負定能量函數(shù)：正定、關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)負定 函數(shù)定性的概念函數(shù)定性的概念對普通的系統(tǒng)：李雅普諾夫穩(wěn)定性定理只是一個充分條件，而

9、且沒有給出李雅普諾夫函數(shù)的尋對普通的系統(tǒng)：李雅普諾夫穩(wěn)定性定理只是一個充分條件，而且沒有給出李雅普諾夫函數(shù)的尋覓方法！覓方法！缺乏：充分條件、沒有給出系統(tǒng)性的方法缺乏：充分條件、沒有給出系統(tǒng)性的方法問題：對特殊的系統(tǒng)，能否有更好的結(jié)論呢？問題：對特殊的系統(tǒng)，能否有更好的結(jié)論呢？124.3 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性時不變系統(tǒng)：線性時不變系統(tǒng)：一類特殊的預(yù)選李雅普諾夫函數(shù)：一類特殊的預(yù)選李雅普諾夫函數(shù)：李雅普諾夫函數(shù)：本身是正定，時間導(dǎo)數(shù)負定！李雅普諾夫函數(shù)：本身是正定，時間導(dǎo)數(shù)負定！ 正定正定 矩陣矩陣P 是正定的。是正定的。沿系統(tǒng)軌線的時間導(dǎo)數(shù)沿系統(tǒng)軌線的時間導(dǎo)數(shù)Axx P

10、xxxT)(VTT( )d ( ) dLVtxxx Pxx PxxPAPAx)(TTT( )Vxx PxTT()AxPxx PAxTTTx A Pxx PAx( )0LxT0A PPA13 是一個李雅普諾夫函數(shù)的條件是：存在一個對稱正定矩陣P，使得以下矩陣不等式成立：即以上的矩陣不等式有正定解，那么系統(tǒng)漸近穩(wěn)定！反之，可以證明：假設(shè)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，那么它一定有正定解定理 線性時不變系統(tǒng) 漸近穩(wěn)定的的充分必要條件是存在一個對稱正定矩陣P，使得特點：條件是充分必要的； 給出了李雅普諾夫函數(shù)的詳細構(gòu)造方法。關(guān)鍵的問題：如何求解矩陣不等式：0 PAPATAxx 0 PAPAT0 PAPATT( )Vxx

11、 Px14李雅普諾夫方程處置方法李雅普諾夫方程處置方法轉(zhuǎn)化成方程來處置。對恣意選定的對稱正定矩陣轉(zhuǎn)化成方程來處置。對恣意選定的對稱正定矩陣Q，假設(shè)，假設(shè) 李雅普諾夫方程李雅普諾夫方程有一個對稱正定解有一個對稱正定解P，那么矩陣，那么矩陣P 一定滿足矩陣不等式一定滿足矩陣不等式 李雅普諾夫不等式李雅普諾夫不等式定理定理 線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是李雅普諾夫方程存在對稱正定解矩陣。線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是李雅普諾夫方程存在對稱正定解矩陣。闡明：李雅普諾夫方程的可解性不依賴矩陣闡明：李雅普諾夫方程的可解性不依賴矩陣Q的選取，故普通可以選的選取，故普通可以選Q I； 李雅普諾夫方程是一個

12、線性方程組；李雅普諾夫方程是一個線性方程組； 假設(shè)李雅普諾夫方程可解，那么其中矩陣假設(shè)李雅普諾夫方程可解，那么其中矩陣Q的含義是的含義是QPAPAT0 PAPATTd ( ) dVt xx Qx15例例 運用李雅普諾夫方程運用李雅普諾夫方程方法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。方法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。解解 原點是系統(tǒng)的獨一平衡點。解方程原點是系統(tǒng)的獨一平衡點。解方程系統(tǒng)是二階的，故系統(tǒng)是二階的，故 求解方程組，可得求解方程組，可得0111xxIPAPAT22121211ppppP1001111011102212121122121211pppppppp121112221222210221pppppp 12121232

13、2121211pppp1211122211122212222102201ppppppppp16驗證矩陣驗證矩陣P的正定性的正定性根據(jù)矩陣正定性判別的塞爾維斯特方法，對根據(jù)矩陣正定性判別的塞爾維斯特方法，對 矩陣矩陣P是正定的，故系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。是正定的，故系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。 系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)是系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)是01212123det, 02321)223(21)(222121TxxxxVPxxx)()(d)(d2221TxxtVxIxx121212322121211pppp17MATLAB函數(shù)P=lyap(A,B,Q) 求解矩陣方程：P=lyap(A,Q) 求解矩陣方程：作業(yè)：運用M

14、ATLAB函數(shù)求解李雅普諾夫方程。例 確定增益K的范圍，以使得系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。在工業(yè)運用中經(jīng)常需求根據(jù)工況，給出一些參數(shù)的在線調(diào)理范圍。QPBAPQPAPAT1sK21ss1+_ux3x2x118解 首先給出系統(tǒng)的形狀空間實現(xiàn)：針對自治系統(tǒng)，思索穩(wěn)定性。解以下方程，可得原點是獨一的平衡形狀。uKxxxKxxx0010120010321321223130020 xxxKxx 19選取半正定矩陣沿系統(tǒng)恣意軌線，上式不恒等于零。為什么？李雅普諾夫矩陣方程是11223301002101xxxxxKx122233132xxxxxxKxx 100000000Q1000000001012001011002100332313232212131211332313232212131211KppppppppppppppppppK23Td)(dxtVQxxx20求解線性方程組，可得矩陣P正定的充分必要條件是 ，當 時，系統(tǒng)在原點處是大范圍漸近穩(wěn)定的。KKKKKKKKKKKKKKK212621202122123212602126212122P0212 K0K60 K21線性矩陣不等式處置方法普