結構力學-高職建筑工程類

1、項目二靜定結構的內力與位移計算 子項目一靜定結構的內力計算 所謂靜定結構，由體系的幾何組成分析可知，靜定結構為無多余約束的幾何不變體系；由受力分析可知，在任意荷載作用下，靜定結構的全部反力和內力都可以僅由靜力平衡條件確定，且解答是唯一的。靜定結構的內力計算是結構位移和超靜定結構內力計算的基礎。 靜定結構包括梁、剛架、桁架、組合結構和拱等不同的結構形式。 根據不同結構形式的特點，計算的切入點不盡相同。首先，對體系進行整體和局部（隔離體）的受力分析，利用平衡條件計算支座反力。再應用截面法，計算桿件內力。最后繪制結構的內力圖，包括軸力圖（N 圖）、剪力圖（Q 圖）和彎矩圖（M 圖）。 1. 能熟練、

2、簡捷地應用截面法繪制單跨靜定梁的內力圖。 2. 能正確利用荷載、剪力、彎矩之間的微分關系進行內力圖的繪制。 3. 熟練掌握區(qū)段疊加法畫彎矩圖。 情景一 靜定單跨梁的內力計算學習能力目標項目表述 截面法是求靜定結構截面內力的基本方法，用截面法根據平衡思想求出靜定結構的截面內力；根據剪力、彎矩與荷載集度之間的微分關系，得到了梁和剛架內力圖的形狀規(guī)律，通過完成學習項目，可以熟練應用簡捷作圖法和區(qū)段疊加法作出單跨梁的內力圖。 情景一 靜定單跨梁的內力計算學習進程 情景一 靜定單跨梁的內力計算知識鏈接1靜定單跨梁的計算 （1）靜定單跨梁的類型 靜定單跨梁在工程中應用十分廣泛，是組成各種結構的基本構件之一

3、。單跨靜定梁有簡支梁（圖 2 1a）、外伸梁（圖 2 1b）、懸臂梁（圖 2 1c）三種基本形式。 情景一 靜定單跨梁的內力計算知識鏈接（2）靜定單跨梁的計算 在任意荷載的作用下，梁的支座處將產生反力，而梁的任意橫截面上，一般將產生彎矩M、剪力 Q、軸力 N 三個內力分量，如圖 2 2 所示，在圖中內力標注均是正值。 情景一 幾何組成分析的基本概論知識鏈接 （1）M、Q、q （x ) 之間的微分關系 如圖 23a 所示，通常梁上作用有分布荷載q ( x ) 、集中荷載 P 和力偶 M。取分布荷載作用下一微段 dx 為研究對象，其受力圖如圖 23b 所示。分布荷載以向下為正，由平衡方程可得 情景

4、一 靜定單跨梁的內力計算將（2-1b）式代入（2-1a）式，得知識鏈接上式微分關系式（2 1）表達的是彎矩、剪力和荷載之間的平衡關系，反映在內力圖上其幾何意義是： 1）式（2 1a）表示剪力圖上某點的切線斜率等于梁上相應點的荷載集度，當荷載向下時，斜率為負值。 2）式（2 1b）表示彎矩圖上某點的切線斜率等于相應點的剪力。 3）式（2 1c）表示彎矩圖上某點的二階導數等于剪力圖上相應點的切線斜率，又等于梁上相應點的荷載集度，當荷載向下時，彎矩曲線的凸側向下。 情景一 靜定單跨梁的內力計算知識鏈接 如果在集中力的作用處截取微段，如圖 2 3c 所示，由平衡方程可得 Q右=Q左-P （2-2a）

5、M右=M左 （2-2b）式（2 2）表明，在集中力作用處，兩側截面的剪力之差為集中力的大小，兩側截面的彎矩相等。 如果在集中力偶的作用處截取微段，如圖 2 3d 所示，由平衡方程可得 Q右=Q左 （2-3a） M右=M左 +M （2-3b）式（2 3）表明，在力偶作用處，兩側截面的剪力相等，兩側截面的彎矩之差為力偶矩的大小。 情景一 靜定單跨梁的內力計算知識鏈接情景一 靜定單跨梁的內力計算知識鏈接（2）梁上不同區(qū)段內力圖的形狀特點 1）無均布荷載作用的梁段，即q(x) = 0 。 剪力圖為一平行于梁軸線的直線，彎矩圖為斜直線，斜率等于剪力值。可能出現(xiàn)三種情況：Q=常數0 ，M 圖為下斜線； Q

6、=常數0() ，Q 圖為上斜直線，M 圖為上凸曲線。 q(x)=常數0() ，Q 圖為下斜直線，M 圖為下凸曲線。 情景一 靜定單跨梁的內力計算知識鏈接3）在集中力作用的左右兩側橫截面上剪力圖有突變，突變值等于該集中力的大??；而彎矩圖有尖角。 4）集中力偶兩側截面上剪力相同，彎矩發(fā)生了突變，突變值等于該集中力偶的力偶矩。 5）彎矩的極值。 在 Q = 0 處，M 有極值。當 Q 由正變負時，彎矩有極大值； 當 Q 由負變正時，彎矩有極小值。情景一 靜定單跨梁的內力計算知識鏈接3用區(qū)段疊加法繪制彎矩圖 （1）疊加原理 利用疊加原理作結構彎矩圖的方法稱為疊加法，這種方法適用于梁、剛架等直桿結構。所

7、謂疊加原理，是指在線彈性、小變形條件下，結構在一組荷載共同作用下所產生的效應（反力、內力、變形和位移等）等于該組中每一個荷載單獨作用在結構上所產生的相應效應的代數和。 如圖 2 4a 所示簡支梁，梁上作用的荷載分兩部分：跨間均布荷載 q 和端部集中力偶荷載MA 和 MB。下面利用疊加原理來繪制梁的彎矩圖。 當端部力偶 MA 和 MB 單獨作用時，梁的彎矩圖為一直線，如圖 2 4b 所示。 情景一 靜定單跨梁的內力計算知識鏈接當跨間均布荷載 q 單獨作用時，梁的彎矩圖為一個二次拋物線圖形，如圖 2 4c 所示。當跨間均布荷載 q 和端部集中力偶 MA 和 MB 共同作用時，梁的彎矩圖如圖 2 4

8、d 所示，正好是圖 2 4b 和圖 2 4c 的疊加。這樣，就通過對荷載單獨作用下的彎矩圖疊加得到了梁的總的彎矩圖。 情景一 靜定單跨梁的內力計算知識鏈接下面討論圖 2 5a 所示結構中任意直線段 AB 的彎矩圖。情景一 靜定單跨梁的內力計算知識鏈接用區(qū)段疊加法繪制彎矩圖可歸納為如下的兩個主要步驟： 1）通常選定梁上的外力不連續(xù)點（如集中力作用點、集中力偶作用點、分布荷載作用的起點和終點及支座結點等）作為控制截面，并求出控制截面上的彎矩值。 2）分段用疊加法繪彎矩圖。如控制截面間無均布荷載時，用直線連接兩控制截面的彎矩值，即得到該段的彎矩圖。如控制截面間有均布荷載作用時，先用虛直線連接兩控制截

9、面的彎矩值，然后以此虛直線為基線，再疊加上這段梁相應簡支梁受均布荷載作用下的彎矩圖，從而繪制出最后的彎矩圖。 情景一 靜定單跨梁的內力計算知識鏈接（2）常用靜定單跨梁的內力圖（圖 2 6） 情景一 靜定單跨梁的內力計算知識鏈接（2）常用靜定單跨梁的內力圖（圖 2 6） 情景一 靜定單跨梁的內力計算知識鏈接（2）常用靜定單跨梁的內力圖（圖 2 6） 情景一 靜定單跨梁的內力計算項目實施案例 2 1試作出如圖 2 7 所示梁的剪力圖和彎矩圖。 情景一 靜定單跨梁的內力計算項目實施 （1）計算支座反力 （2）繪制剪力圖 用截面法算出下列各控制截面的剪力值 根據各控制截面的剪力值，可繪得剪力圖如圖 2

10、 7b 所示。 計算剪力等于零的截面位置 （3）繪制彎矩圖 用截面法計算各控制截面的彎矩值 根據各控制截面的彎矩值，可繪出彎矩圖，如圖 2 7c 所示。其中 EF 段的彎矩圖是根據疊加原理繪出的，即根據 ME 和 MF 作出直線彎矩圖后，再在其上疊加相應簡支梁在均布荷載作用下的彎矩圖，即可得出相應簡支梁的彎矩圖是一條二次拋物線。 （4）計算彎矩最大值 由剪力與彎矩之間的微分關系知，當剪力為零時，彎矩有極值，用截面法。 情景一 靜定單跨梁的內力計算能力拓展工程上遇到的樓梯梁，屬于桿軸傾斜的斜梁，如圖 2 8a 所示。單跨靜定斜梁的結構形式有梁式樓梯、板式樓梯、屋面斜梁以及具有斜桿的剛架。根據圖

11、2 8a 中 A、B 兩端的支承情況， 對其簡化后便得到圖 2 8b 所示的計算簡圖。 情景一 靜定單跨梁的內力計算能力拓展情景一 靜定單跨梁的內力計算梁承受兩種均布荷載作用。一是荷載集度 q 可以表示為沿水平線分布，如樓梯上的人群荷載以及屋面斜梁上的雪荷載等均以這種形式給出，如圖 2 9a 所示。二是斜梁上的荷載集度q，可以表示為沿桿軸線分布，如樓梯梁自重就屬于這種情況，如圖 2 9b 所示。 能力拓展圖 2 10a 為一簡支斜梁 AB，承受沿水平線作用的均布荷載 q，作其內力圖。 情景一 靜定單跨梁的內力計算能力拓展圖 2 11a 為一簡支斜梁 AB, 承受將 q 折算成沿水平線分布的荷載

12、集度 q0 的作用（圖2 11b），作其內力圖。 情景一 靜定單跨梁的內力計算1. 能夠掌握多跨靜定梁的幾何組成的結構特點和受力特點。 2. 能夠熟練計算多跨靜定梁的支座反力及內力。 3. 能夠繪制多跨梁的內力圖。學習能力目標情景二 靜定多跨梁的內力計算 項目表述 靜定多跨梁的內力圖繪制是以單跨梁的內力圖的繪制方法為基礎的。但是也有其獨特的幾何組成特點，即靜定多跨梁是由基礎部分和附屬部分組成；求支座反力時要從先附屬后基本的順序計算。通過完成學習項目，可以最終掌握靜定多跨梁內力圖的繪制方法。學習進程情景二 靜定多跨梁的內力計算 知識鏈接 多跨靜定梁是由若干個單跨靜定梁用鉸鏈，并用若干支座與基礎相

13、連而組成的靜定結構。由于其能跨越幾個相連的跨度，所以在工程中被廣泛應用，如公路橋梁的主要承重結構和房屋的檁條梁等。圖 2 12a 為一公路多跨靜定梁橋。 1多跨靜定梁的幾何組成 從幾何組成上看，多跨靜定梁可分為基本部分和附屬部分。所謂基本部分，是指在豎向荷載的作用下，不依賴其他部分本身能獨立維持幾何不變性。情景二 靜定多跨梁的內力計算 知識鏈接2多跨靜定梁的傳力關系 從受力分析看，當荷載作用在基本部分上時，該部分能將荷載直接傳向地基，附屬部分不受影響，即附屬部分不產生內力。而當荷載作用在附屬部分上時，則必須通過基本部分才能傳向地基。故當荷載作用在基本部分上時，只有該部分受力，附屬部分不受力。而

14、當荷載作用在附屬部分上時，除該部分受力外，基本部分也受力。多跨靜定梁的傳力關系如圖 212d 所示。 情景二 靜定多跨梁的內力計算 知識鏈接情景二 靜定多跨梁的內力計算 知識鏈接情景二 靜定多跨梁的內力計算 知識鏈接情景二 靜定多跨梁的內力計算 3多跨靜定梁的計算 由上述傳力關系可知，計算多跨靜定梁的順序應該是先附屬部分，后基本部分。即由最上層的附屬部分開始，利用平衡條件求出約束反力后，將其反向作用在基本部分上。這樣便把多跨靜定梁拆成了若干根單跨梁的形式，當取多跨梁的每一部分為研究對象時，計算方法與單跨梁完全相同，不必聯(lián)立方程。每一部分的剪力圖和彎矩圖與相應的單跨靜定梁的剪力圖和彎矩圖的繪制方

15、法也完全相同，最后將各單跨梁的內力圖連在一起，就得到整個多跨靜定梁的內力圖。知識鏈接情景二 靜定多跨梁的內力計算 4多跨靜定梁的計算步驟 1）將多跨靜定梁拆成單跨梁，畫多跨靜定梁的層疊圖。 2）求各段單跨梁的支座反力。先求附屬部分的支座反力，將其反向作用在基本部分上，然后再求基本部分的支座反力。 3）繪制多跨靜定梁的內力圖。作出各段單跨梁的內力圖，將各段單跨梁的內力圖連在一起，就得到整個多跨靜定梁的內力圖。 項目實施案例 2 2 試作圖 2 13a 所示多跨靜定梁的內力圖。情景二 靜定多跨梁的內力計算 項目實施情景二 靜定多跨梁的內力計算 項目實施情景二 靜定多跨梁的內力計算 解答：（1）作多

16、跨靜定梁的層疊圖 如圖2-13b、c所示，AC段為基本部分，CE段為附屬部分 （2）計算支座壓力 由附屬部分CE開始計算，如圖2-13c所示 將VC反向作用于梁AC上，計算 基本部分AC梁的反力。 （3）作剪力圖和彎矩圖 各支座反力求出后，分別繪制AC段、CE段的剪力圖和彎矩圖項目實施情景二 靜定多跨梁的內力計算 AB段剪力等于零的截面F到A點距離為5.8m各分段點的彎矩值為：其中AB段有均布荷載，繪制時采用疊加的方法在圖中虛線基礎上疊加上相應簡支梁受均布荷載作用時的彎矩圖。項目實施情景二 靜定多跨梁的內力計算 案例 2 3試作圖 2 14a 所示多跨靜定梁的內力圖。 項目實施情景二 靜定多跨

17、梁的內力計算 解答：（1）畫層疊圖 AC 與 DG 部分為基本部分，CD 部分為附屬部分。將附屬部分畫在上層，基本部分畫在下層，得到如圖 2 14b 所示的層疊圖。 （2）求反力 先求附屬部分 CD 的反力，將其反向作用在兩個基本部分上，然后再求兩個基本部分 AC和 DG 的反力，如圖 2 14c 所示。 （3）作內力圖 分別畫出三個單跨梁 AC、CD、DG 的剪力圖和彎矩圖，連在一起即是多跨靜定梁的內力圖，如圖 2 14d、e 所示。 項目實施情景二 靜定多跨梁的內力計算 1檁條梁 房屋中的檁條梁，如圖 2 15a 所示。計算簡圖和層疊圖分別如圖 2 15b、c 所示。 多跨靜定梁有兩種基本

18、形式：第一種如圖 2 12b 所示，其特點是無鉸跨和雙鉸跨交替出現(xiàn)；第二種如圖 2 15b 所示，其特點是第一跨無中間鉸，其余各跨各有一個中間鉸。 能力拓展情景二 靜定多跨梁的內力計算 2多跨靜定梁的受力特性 在荷載與跨度總長相同的情況下，多跨靜定梁與一串簡支梁相比，彎矩較小并且分布較均勻，材料用料較省，但中間鉸處構造比較復雜，而且若基本部分破壞，其上支承的附屬部分也會隨之破壞，應用時需全面考慮。能力拓展情景二 靜定多跨梁的內力計算 下面我們以兩跨靜定梁為例加以比較。 案例 2 4圖 2 16a 所示兩跨靜定梁，全梁承受均布荷載 q，欲使 AB 跨的正彎矩與支座截面 B 的負彎矩的絕對值相等，

19、試確定鉸 D 的位置。能力拓展情景二 靜定多跨梁的內力計算 能力拓展情景二 靜定多跨梁的內力計算 解答：設 BD = x，先計算附屬部分 AD，如圖216b 所示，求得其約束反力均為 ，則跨中最大正彎矩為計算基本部分 DC，如圖 216c 所示，將附屬部分支座 D 的反力反向作用在基本部分上，支座截面 B 將產生最大負彎矩，其絕對值為令ME=MB,有解得x = 0.172l鉸 D 的位置確定，即可繪制出彎矩圖，如圖 216d 所示。能力拓展情景二 靜定多跨梁的內力計算 1. 能熟練求出靜定剛架支座反力。 2. 能熟練應用截面法求靜定平面剛架內力。 3. 能掌握繪制彎矩圖的技巧，熟練繪制靜定平面

20、剛架的彎矩圖和剪力圖。 學習能力目標情景三 靜定平面剛架的計算 項目表述 介紹靜定平面剛架的基本知識，包括剛架結構的特點、靜定剛架類型、剛架各桿件橫截面上的三個內力、靜定平面剛架內力計算步驟、畫剛架內力圖方法等，通過完成學習項目，可以最終能夠熟練掌握靜定平面剛架內力圖的繪制技巧和方法。 情景三 靜定平面剛架的計算 學習進程 情景三 靜定平面剛架的計算 知識鏈接1剛架的概述 （1）剛架和平面剛架 剛架是由直桿組成，主要用剛結點連接而成的結構。如果剛架所有桿件軸線都在同一平面內，且荷載也作用于該平面內，這樣的剛架稱為平面剛架。本節(jié)主要討論靜定平面剛架。 （2）剛架結構的特點 變形特點：在結構變形過

21、程中，各桿件以彎曲變形為主；剛性聯(lián)結的桿件之間在剛結點處的夾角保持不變。情景三 靜定平面剛架的計算 知識鏈接如圖 2 17a、b 所示，鉸結點所連各桿端可發(fā)生相對轉動，因此水平梁的彎曲作用不會通過鉸結點傳給柱子（圖 2 17a 中虛線所示）。而剛結點所連各桿端不能發(fā)生相對轉動，即各桿端夾角保持不變，因此梁的彎曲會通過剛結點帶動柱子一起發(fā)生彎曲（圖 2 17b 中虛線所示）。 情景三 靜定平面剛架的計算 知識鏈接 受力特點：如圖 2 17c 所示，鉸結點只能傳遞力而不能傳遞彎矩，因此鉸結點處的彎矩一定為零。如圖 2 17d 所示，剛結點能承受和傳遞彎矩，從而使結構中彎矩的分布較均勻， 橫梁跨中彎

22、矩的峰值得到削減，節(jié)約材料。 情景三 靜定平面剛架的計算 知識鏈接 構造特點：剛架在構造方面，具有桿件少，內部空間大，整體性好，便于施工和使用的特點。如圖 2 18a 所示為幾何可變體系，不能用作結構?？梢酝ㄟ^增加一根斜桿變?yōu)閳D 2 18b所示鉸結結構（桁架），而利用剛性結點變?yōu)閳D 2 18c、d，可以使內部有較大空間。因此在建筑工程中剛架得到廣泛應用，例如單層廠房、工業(yè)和民用建筑，如教學樓、圖書館，通常6 15 層房屋建筑的承重結構體系的骨架主要就是剛架。 靜定平面剛架的全部支座反力和內力都能由靜力平衡條件求得。情景三 靜定平面剛架的計算 知識鏈接（3）常見靜定剛架類型 常見的靜定平面剛架有

23、以下幾種形式：懸臂剛架（站臺）、簡支剛架（渡槽、蓄水池）和三鉸剛架（倉庫、廠房天窗架、場館等無吊車的建筑物）的結構簡圖及計算簡圖，如圖 2 19所示。 情景三 靜定平面剛架的計算 知識鏈接2靜定平面剛架的內力 （1）剛架各桿件橫截面上的三個內力 在荷載作用下，平面剛架桿件的橫截面上一般存在軸力 N、剪力 Q 和彎矩 M 三個內力分量，需要繪出其軸力圖、剪力圖和彎矩圖。 （2）靜定平面剛架內力計算步驟 靜定平面剛架內力計算方法與靜定梁基本相同，具體步驟如下： 求支座反力和約束反力。取整體或部分為研究對象，利用靜力平衡條件求出剛架的支座反力或連接處的約束反力。對于懸臂剛架可以略去這一步，內力從自由

24、端算起。 情景三 靜定平面剛架的計算 知識鏈接 求各桿端內力。根據荷載作用情況和結構特點，將剛架分解成若干段，求出各桿端內力。剪力和軸力正、負號的規(guī)定與梁相同，即剪力以使隔離體產生順時針轉動為正，反之為負；軸力以拉力為正，反之為負。彎矩可不規(guī)定正負號。 繪制剛架內力圖。由桿端內力并運用疊加原理逐段繪制內力圖，從而得到整個剛架的內力圖。 情景三 靜定平面剛架的計算 知識鏈接為了明確表示剛架上不同截面的內力，尤其是為了區(qū)分匯交于同一結點的各桿端截面的內力，通常對內力符號采用雙下腳標的形式：第一個腳標表示內力所在截面，第二個腳標表示該截面所在桿件的另一端。例如： MAB ：表示 AB 桿件 A 端橫

25、截面上的彎矩。MBA ：表示 AB 桿件 B 端橫截面上的彎矩。QCD ：表示 CD 桿件 C 端橫截面上的剪力。NEF ：表示 EF 桿件 E 端橫截面上的軸力。情景三 靜定平面剛架的計算 項目實施案例 2 5試求如圖 2 20a 所示剛架內力圖。 情景三 靜定平面剛架的計算 項目實施情景三 靜定平面剛架的計算 解答：該剛架為懸臂剛架，可先不求支座反力，從自由端開始，逐段截取隔離體，求各桿段的桿端內力，畫出內力圖。由結構和荷載情況分 DC、CB、BA 三段計算。 項目實施情景三 靜定平面剛架的計算 （1）繪制彎矩圖根據以上計算結果繪制彎矩圖，其中CB段上有均布荷載作用，繪制時利用區(qū)段疊加的方

26、法，在直線彎矩圖上疊加相應簡支梁在均布荷載作用下的彎矩圖。項目實施情景三 靜定平面剛架的計算 （2）繪制剪力圖根據以上計算結果繪制剪力圖如圖2-20c所示（3）繪制軸力圖根據楊計算結果繪制軸力圖，如圖2-20d所示項目實施情景三 靜定平面剛架的計算 （4）校核 利用計算過程中沒有用過的平衡條件進行 M、Q、N 的校核。 取結點 B 為隔離體，如圖 2 20e 所示，有 取 CB 段為隔離體，如圖 2 20f 所示，有 滿足平衡條件。 項目實施情景三 靜定平面剛架的計算 案例 2 6試求如圖 2 21a 所示簡支剛架的內力圖。 解答：（1）求支座反力 項目實施情景三 靜定平面剛架的計算 （2）繪

27、制彎矩圖根據以上計算結果繪制彎矩圖，如圖2-21b所示，其中CD段上有均布荷載作用，繪制時利用區(qū)段疊加的方法，在直線彎矩圖上疊加相應簡支梁在均布荷載作用下的彎矩圖（3）繪制剪力圖根據以上結果繪制剪力圖，如圖2-21c所示項目實施情景三 靜定平面剛架的計算 （4）繪制軸力圖根據以上計算結果繪制軸力圖，如圖2-21d所示能力拓展對于三鉸剛架的內力計算，應先取整體作為研究對象，列出平衡方程求出某些支座反力，再取某些部分為研究對象，列平衡方程求出剩余的支座反力。再應用截面法求出各個控制截面的內力。最后畫出三鉸剛架的三個內力圖。 案例 2 7試求如圖 2 22a 所示三鉸剛架的內力圖。 情景三 靜定平面

28、剛架的計算 能力拓展情景三 靜定平面剛架的計算 能力拓展情景三 靜定平面剛架的計算 解答：（1）求支座反力取整個剛架為隔離體，列平衡方程取左半剛架AC為隔離體，列平衡方程代入整體HA-HB=0，得能力拓展情景三 靜定平面剛架的計算 （2）繪制彎矩圖根據以上計算結果繪制彎矩圖，如圖 2 22b 所示，其中 CE 段上有均布荷載作用，繪制時利用區(qū)段疊加的方法，在直線彎矩圖上疊加相應簡支梁在均布荷載作用下的彎矩圖。 能力拓展情景三 靜定平面剛架的計算 （3）繪制剪力圖 根據以上計算結果繪制剪力圖，如圖 2 22c 所示。 能力拓展情景三 靜定平面剛架的計算 （4）繪制軸力圖 根據以上計算結果繪制軸力

29、圖，如圖 2 22d 所示。 1. 能夠掌握三鉸拱的反力和內力計算。 2. 了解三鉸拱的內力圖繪制的步驟。3. 掌握三鉸拱合理拱軸線的形狀及其特征。 學習能力目標情境四三鉸拱的計算 項目表述 三鉸拱是建筑工程中一種重要的結構形式，是拱中唯一的靜定結構，求三鉸拱的內力應先根據三鉸拱與相應梁的關系，求出三鉸拱的支座反力，再由三鉸拱的內力公式求出任意截面的三個內力，即軸力 N、剪力 Q、彎矩 M。學習進程 情境四三鉸拱的計算 知識鏈接1拱的概述 拱被廣泛用于房屋、橋梁建筑工程中，而拱橋也是公路工程中最基本的橋型之一。 （1）拱的各部分的名稱（圖 2 23） 情境四三鉸拱的計算 知識鏈接 拱軸線：拱身

30、各截面形心的連線稱為拱軸線，拱的軸線的形式有拋物線、圓弧線和懸鏈線等，它的選擇與外荷載有關。 拱趾和起拱線：拱的兩端支座處稱為拱趾，兩個拱趾的連線稱為起拱線。起拱線為水平線的拱稱為平拱，如圖 2 24a 所示。起拱線為斜線的拱稱為斜拱，如圖 2 24b 所示。情境四三鉸拱的計算 知識鏈接 拱頂、拱高：拱軸線最高點稱為拱頂，三鉸拱通常在拱頂處設置鉸，拱頂到起拱線的豎直距離稱為拱高 f（也稱矢高）。 跨度與高跨比：兩個拱趾間的水平距離 l 稱為跨度。拱高 f 與跨度 l 之比 f/l 稱為高跨比（矢跨比），拱的主要力學性能與高跨比有關。在橋梁工程中，常將矢跨比大于或等于 1/5 的拱稱為陡拱，矢跨

31、比小于 1/5 的拱稱為坦拱。 情境四三鉸拱的計算 知識鏈接（2）拱結構特點 拱的反力特點。拱是桿軸為曲線且在豎向荷載作用下能產生水平反力（或稱水平推力）的結構。拱與梁的區(qū)別主要在于豎向荷載作用下是否產生水平推力。如圖 2 25a 所示，桿件的軸線也是曲線，但它在豎向荷載作用下，沒有產生水平反力，產生的彎矩與相應的簡支梁（同跨度、同荷載）相同，所以它不是拱結構，稱為曲梁。圖 2 25b 所示的結構在豎向荷載作用下，由于桿件兩端都有水平方向的約束，將產生水平推力，所以它屬于拱結構?？梢姡酵屏Φ拇嬖谂c否是區(qū)別拱和梁的主要標志。設計拱結構時要充分考慮解決水平反力的承載、傳遞問題，保證基礎或支撐結

32、構（柱、墻、墩、臺等）的強度、剛度和穩(wěn)定性等。 情境四三鉸拱的計算 知識鏈接 拱的內力特點。由于水平推力的存在，拱中的彎矩比梁中的彎矩小得多，因為水平推力產生負彎矩，可以抵消部分正彎矩。通常，拱中的剪力也較小，拱主要以受壓為主，因此拱可以用廉價的磚石、混凝土等抗壓強度較高而抗拉強度較低的材料來修建。另外，與承受彎矩不同，承受壓力時，應力沿截面分布較均勻，因而節(jié)省材料，同時減輕自重。 拱的主要缺點。拱在對基礎或支承結構施加壓力的同時，還施加水平推力，所以要求基礎更加堅固。 情境四三鉸拱的計算 知識鏈接 常見拱結構形式。常見的拱結構形式：無鉸拱（圖 2 26a）、兩鉸拱（圖 2 26b）、三鉸拱（

33、圖 2 26c）。無鉸拱和兩鉸拱兩者都是超靜定的拱結構，容易引起附加內力，但整體剛度大，內力分布 較均勻。而三鉸拱是靜定結構，整體剛度低，易受活載沖擊，頂鉸構造復雜，一般用在腹拱圈，不作為主拱圈使用。 情境四三鉸拱的計算 知識鏈接 拱身構造。按拱身構造，可分為實體拱和桁架拱兩類。當拱身為實體截面時，稱為實體拱。它通常用磚石、混凝土或鋼筋混凝土筑成。若拱身為桁架所構成，則稱為桁架拱。它通常用鋼材或鋼筋混凝土建造，如圖 2 27 所示。 情境四三鉸拱的計算 知識鏈接2三鉸拱的計算 現(xiàn)在討論常見的平拱承受豎向荷載時，三鉸拱的反力和內力的計算，如圖 2 28a 所示。 情境四三鉸拱的計算 知識鏈接（1

34、）支座反力計算 三鉸拱有四個支座反力，其解法與三鉸剛架相同，分別以三鉸拱整體和局部為研究對象列靜力平衡方程，可解出三鉸拱的所有支座反力。 取整個三鉸拱為研究對象，列平衡方程 情境四三鉸拱的計算 知識鏈接取左半拱為隔離體，列平衡方程為了概念清晰和計算簡便，常將三鉸拱的支座反力及內力與相應的簡支梁（與三鉸拱同跨度、同荷載）相對比，如圖 2 28b。情境四三鉸拱的計算 知識鏈接情境四三鉸拱的計算 為了概念清晰和計算簡便，常將三鉸拱的支座反力及內力與相應的簡支梁（與三鉸拱同跨度、同荷載）相對比，如圖 228b。相應簡支梁的豎向支座反力用VA0、VB0表示。 考慮（24a）、（24b）式的右邊可知：VA

35、 、VB 等于相應簡支梁（圖 228b）的支反力VA0、VB0，（24d）式右邊的分子則等于相應簡支梁上與拱的中間鉸處對應的截面 C 的彎矩MC0。將（24a）、（24b）、（24c）式可改寫為 上式表明三鉸平拱的支座反力與相應簡支梁的支座反力的關系為：在豎向荷載作用下，拱的豎向支座反力與相應簡支梁的豎向支座反力相同，拱的水平反力等于相應簡支梁在對應于鉸C 位置處的彎矩MC0除以拱高 f 。知識鏈接（2）內力計算 三鉸拱的內力一般包括軸力 N、彎矩 M 和剪力 Q。支座反力求出之后，可用截面法求得三鉸拱任一截面上的內力。 由于拱通常受壓，所以一般規(guī)定拱的軸力 N 以受壓為正；拱的彎矩 M 以拱

36、內側受拉為正；剪力 Q 以繞保留桿段順時針旋轉為正。 下面討論圖 2 29a 所示三鉸拱任意截面 K 的內力計算。情境四三鉸拱的計算 知識鏈接 彎矩的計算。取 AK 段為隔離體，如圖 2 29b 所示。 剪力的計算（沿 K 截面切線方向投影）。任意截面的剪力等于該截面一側所有外力在該截面切線方向上投影的代數和。 軸力的計算（沿 K 截面法線方向投影）。任意截面的軸力等于該截面一側所有外力在該截面法線方向上投影的代數和。情境四三鉸拱的計算 項目實施案例 2 8試作圖 2 30a 所示三鉸拱的內力圖。已知拱軸線為拋物線，其方程為情境四三鉸拱的計算 解答：（1）計算支座反力 由式（25）得項目實施情

37、境四三鉸拱的計算 項目實施案例 1 12試對圖 1 59 所示體系進行幾何組成分析。 （2）繪制內力圖 根據所給拱軸線方程求出各截面的縱坐標y及各截面的傾角 為此先計算出拱軸線的方程和傾角方程 情境四三鉸拱的計算 項目實施情境四三鉸拱的計算 將拱軸線沿水平方向分為八等分，用式（2-6）計算各等分點的彎矩M、剪力Q、軸力N。下面以D截面為例，說明計算步驟。D截面x=12，代入拱軸線翻唱歌和那個和傾角方程得在D截面有集中荷載作用，剪力有突變，所以要分別計算D截面左右兩側的剪力和軸力。其他截面的計算方法相同，表2-1列出了全部的計算結果項目實施情境四三鉸拱的計算 項目實施情境四三鉸拱的計算 根據表中

38、計算的結果繪制出內力圖，如圖 2 30b、c、d 所示。 由三鉸拱的內力計算可以看出，拱的截面上存在彎矩、剪力和軸力。由于彎矩、剪力引起的應力在截面上的分布是不均勻的，為了改善三鉸拱橫截面上的應力狀態(tài)，應使截面上的剪力和彎矩越小越好，以使拱處于均勻受壓狀態(tài)。最理想的狀態(tài)就是彎矩為零（剪力也相應為零），拱僅承受壓力的作用。 在一定荷載作用下，如果拱的所有截面上的彎矩都為零，這樣的拱的軸線稱為合理拱軸線。項目實施情境四三鉸拱的計算 由此可見，在滿跨的豎向均布荷載作用下，對稱三鉸拱的合理拱軸為二次拋物線。這就是工程中拱軸線常采用拋物線的原因。項目實施情境四三鉸拱的計算 需要指出，三鉸拱的合理拱軸只是

39、對一種給定荷載而言的，在不同的荷載作用下有不同的合理拱軸。例如，涵洞、高壓隧道、拱壩等結構物常常采用對稱三鉸拱，此時的荷載是徑向均布荷載。對稱三鉸拱在徑向均布荷載的作用下，處于無彎矩狀態(tài)時，任意截面上只有軸力 N =qr，合理拱軸線方程為 r =Nq ，因此，其合理拱軸線為圓弧線，如圖 2 32a 所示。又例如在拱上填土（填土表面為水平）的重力作用下（也稱為填料荷載作用下），其合理拱軸為懸鏈線，如圖 2 32b 所示。能力拓展 拱的基本特點是在豎向荷載作用下會產生水平推力。由于水平推力的存在，對拱趾處基礎的要求高。所以有的三鉸拱在兩個支座間設置系桿來承受水平推力，這種結構稱為系桿拱，如圖 23

40、3 所示。 情境四三鉸拱的計算 例如，在屋架中，為消除水平推力對墻或柱的影響，在兩支座間增加一拉桿，支座上的水平推力由拉桿來承擔。如圖 2 34 所示為一帶拉桿的裝配式鋼筋混凝土三鉸拱，為了減小拉桿的撓度，經常設置吊桿，吊桿很細，不參與計算。施工中，不可隨意減小拉桿的橫截面積，且在拆除模板之前，要拉緊拉桿，使它承受拉力，拱結構才能正常工作。能力拓展情境四三鉸拱的計算 能力拓展情境四三鉸拱的計算 能力拓展情境四三鉸拱的計算 1. 熟悉各種常見桁架的計算簡圖。 2. 了解桁架的受力特點及其分類。 3. 掌握零桿的特點。 4. 重點掌握用結點法和截面法計算桁架的內力。 學習能力目標情境五靜定平面桁架

41、的計算 項目表述 桁架由直桿通過鉸連接而成，只受軸力作用。計算方法有結點法和截面法，結點法取結點為隔離體，每個結點有兩個平衡方程；截面法取桁架的一部分為隔離體，每次可列三個平衡方程，應盡可能避免解聯(lián)立方程。通過學習本項目，最終可以了解桁架的結構和類型，掌握零桿的判斷方法，以及桁架內力的求解方法結點法和截面法。情境五靜定平面桁架的計算 學習進程 情境五靜定平面桁架的計算 知識鏈接 1桁架的特點與組成分類 （1）理想桁架 桁架是由直桿組成，全部由鉸結點連接而成的結構。鐵路和公路橋梁，民用房屋和工業(yè)廠房中的屋架、托架，建筑起重設備中的塔架，以及建筑施工中的支架等都是桁架結構，如圖2 37 所示。情境

42、五靜定平面桁架的計算 知識鏈接 （2）桁架的計算假設 為了便于計算，通常對工程實際中平面桁架的計算簡圖作如下假設： 桁架的結點都是光滑的理想鉸。 各桿的軸線都是直線，且在同一平面內，并通過鉸的中心。 荷載和支座反力都作用于結點上，并位于桁架的平面內。 符合上述假設的桁架稱為理想桁架，理想桁架中各桿都是只承受軸力的二力桿，如圖2 38 所示。由于桁架中各桿的只有軸力，截面上應力分布是均勻的，充分發(fā)揮了材料的作用。同時，減輕了結構的自重。因此，桁架在大跨度結構應用得非常廣泛。 情境五靜定平面桁架的計算 知識鏈接 然而，工程實際中的桁架與理想桁架有著較大的差別，不同材料有不同的連接方式。例如，在如圖

43、 2 37b 所示的鋼屋架的計算簡圖中，各桿是通過焊接、鉚接而連接在一起的；木結構采用榫接或螺栓連接（圖 2 39a），而鋼筋混凝土采用整體澆筑（圖 2 39b），不完全符合理想鉸的情況。此外，各桿的軸線不可能絕對平直，各桿的軸線也不可能完全交于一點，荷載也不可能絕對地作用于結點上。因此，實際桁架中的各桿不可能只承受軸力，通常把根據計算簡圖（圖 2 39c、d）求出的內力稱為主內力，把由于實際情況與理想情況不完全相符而產生 的附加內力稱為次內力。理論分析和實測表明，在一般情況下次內力可忽略不計。情境五靜定平面桁架的計算 知識鏈接 （3）桁架各桿件名稱 如圖 2 40 所示，桁架的桿件可分為上弦

44、桿、下弦桿、斜桿和豎桿。斜桿和豎桿通稱為腹桿，弦桿上相鄰兩結點間的距離 d 稱為節(jié)間長度，兩支座間的水平距離 l 稱為跨度，支座連線至桁架最高點的距離 h 稱為桁高。 情境五靜定平面桁架的計算 知識鏈接 （4）桁架的分類 按桁架外形分為以下三類。平行弦桁架（上下弦平行），如圖 2 41a 所示。 三角形桁架（上弦呈人字坡，下弦水平），如圖 2 41b 所示。 折線形桁架（上弦呈折線，下弦水平），如圖 2 41c 所示。 情境五靜定平面桁架的計算 知識鏈接 按桁架幾何體系的構成方法分為以下三類。 簡單桁架：在一個基本鉸結三角形上依次增加二元體而組成的桁架，如圖 2 41a、b、c 所示都是簡單桁

45、架。 聯(lián)合桁架：由兩個簡單桁架按兩剛片組成規(guī)則所形成的桁架，如圖 2 42a 所示。 復雜桁架：不屬于簡單桁架和聯(lián)合桁架的靜定桁架，如圖 2 42b 所示。 情境五靜定平面桁架的計算 知識鏈接 按整體受力特征分為以下兩類。 梁式桁架：梁式桁架是指在豎向荷載作用下支座無水平推力的桁架，此種情況與梁相同， 因此稱為梁式桁架，如圖 2 43a、b 所示。 拱式桁架：拱式桁架是指在豎向荷載作用下支座有水平推力的桁架，此種情況與拱相同， 因此稱為拱式桁架，如圖 2 43c 所示。 情境五靜定平面桁架的計算 知識鏈接2平面靜定桁架的內力計算 （1）內力計算的方法 平面靜定桁架的內力計算的方法有結點法和截面

46、法。 結點法。結點法是截取桁架的結點為隔離體，由結點的平衡條件計算桁架桿件內力的方法。由于桁架的外力（荷載和支座反力）都作用于鉸結點上，而各桿件軸線又都匯交于鉸結點，故每個結點所受的力構成一個平面匯交力系。因此，以鉸結點為分析對象時，只能列出兩個平衡方程，最多只能求出兩個未知軸力。用結點法計算桁架內力時，為了避免在結點間解聯(lián)立方程，每次截取的分析結點上未知軸力一般不能超過兩個。 利用結點法計算內力時，一般先取整個桁架為研究對象，列平衡方程求支座反力，然后按照一定的順序截取各結點為研究對象，建立平衡方程求解桁架所有桿件的軸力。實際上取結點的順序就是簡單桁架拆除二元體的順序。 情境五靜定平面桁架的

47、計算 知識鏈接 截面法。用一適當的截面截取桁架的某一部分為隔離體（隔離體包含兩個以上結點），利用平面一般力系的三個獨立平衡方程來計算未知力的方法，稱為截面法。截面法的分析對象是桁架的一部分，故分析對象所受的力系通常是平面任意力系，只能列出三個獨立的平衡方程，最多可求解三個未知軸力。因此為了避免解聯(lián)立方程，可以通過選取適當的投影軸與矩 心，使每一個平衡方程中只含一個未知量，從而使計算過程簡化。 截面法通常用于計算聯(lián)合桁架和求簡單桁架中少數指定桿件的內力。 情境五靜定平面桁架的計算 知識鏈接（2）桁架中的特殊桿件 在桁架中，有一些特殊形狀的結點，掌握由這些特殊結點連接的某些桿件的內力規(guī)律，可以更方

48、便地解決桁架問題。 桁架中軸力等于零的桿件稱為零桿。零桿是桁架最常見的桿件，計算桁架內力前先找出桁架中的零桿，可以使計算得到很多簡化。 情境五靜定平面桁架的計算 知識鏈接 L 形結點：如圖 2 45a 所示兩桿匯交，當結點上無荷載時兩桿軸力都為零桿；當結點上有一個荷載與其中一桿共線時，不共線的另一桿為零桿。 X 形結點：如圖 2 45b 所示四桿匯交，且桿件兩兩共線，當結點上無荷載時，則共線的兩桿軸力相等，其符號相同。 T 形結點：如圖 2 45c 所示，三桿匯交，其中兩桿共線，當結點上無荷載時，第三桿為零桿，共線兩桿軸力大小相等且拉壓性質相同。 K 形結點：如圖 2 45d 所示四桿匯交，其

49、中兩桿共線，另外兩桿在直線同側且夾角相等， 當結點上無荷載時，若共線兩桿軸力不等，則不共線兩桿軸力大小相等，但拉壓性質相反；若共線兩桿軸力大小相等，拉壓性質相同，則不共線兩桿為零桿。 情境五靜定平面桁架的計算 知識鏈接情境五靜定平面桁架的計算 知識鏈接情境五靜定平面桁架的計算 （3）比例關系的應用 為簡便計算，在利用平衡條件求桿件軸力時，經常把斜桿的軸力 N 正交分解為水平分力Nx 和豎向分力 Ny，如圖 2 47 所示，設斜桿的長度為 l，桿件在水平和豎向的投影長度分別為lx、ly，我們會發(fā)現(xiàn)力三角形和桿件三角形為相似三角形，所以有如下比例關系 案例 2 9試用結點法計算圖 2 48a 所示

50、靜定平面桁架各桿的軸力。 情境五靜定平面桁架的計算 項目實施解答： 計算支座反力。取桁架整體為研究對象：情境五靜定平面桁架的計算 取 G 結點為隔離體，如圖 2 48b 所示。 取 F 結點為隔離體，如圖 2 48c 所示。 取 E 結點為隔離體，如圖 2 48d 所示。 取 D 結點為隔離體，如圖 2 48e 所示。 取 C 結點為隔離體，如圖 2 48f 所示。 取 A 結點為隔離體，如圖 2 48g 所示。 校核：取 B 結點為隔離體，如圖 2 48h 所示。 項目實施案例 2 10試用截面法求圖 2 49a 所示桁架中 a、b、c 各桿的內力。 情境五靜定平面桁架的計算 項目實施情境五

51、靜定平面桁架的計算 項目實施解答：求支座反力。取整體為隔離體：計算桿的內力。如圖做截面，截斷需求內力的三根桿，取左半部分為隔離體，如圖2-49b所示，取兩個未知力作用線的交點為矩心，列平衡方程能力拓展情境五靜定平面桁架的計算 1結點法和截面法的聯(lián)合應用 有些比較復雜的桁架形式，若求其中某幾個桿件內力，需要聯(lián)合使用結點法和截面法才能求出桿件內力。案例 2 11試求圖 2 50a 所示桁架的 a 桿和 b 桿的內力。 能力拓展情境五靜定平面桁架的計算 能力拓展情境五靜定平面桁架的計算 解答： 求支座反力。取整體為隔離體，列平衡方程求支座反力。對此桁架可用結點法逐次求出全部桿的內力。但若只求 a、b

52、 桿的軸力，這樣做是不方便的。 如采用截面法，在桿 a、桿 b 所在節(jié)間作截面時（圖 250c），則截斷四根桿，而獨立的平衡方程只有三個，所以還得設法求出四個未知力中的某一個或找出某兩個之間的關系。 取 K 結點為隔離體，如圖 2 50b 所示。 再取截面左半部分為研究對象，如圖 2 50c 所示。 取 截面左半部分為隔離體，如圖 2 50d 所示，共截出四個桿，但除 Nb 外其余 三個桿都相交于 1 點，所以可由力矩方程求得 Nb。能力拓展情境五靜定平面桁架的計算 2梁式桁架受力性能的比較 在豎向荷載作用下支座無水平推力的桁架，稱為梁式桁架。常見的梁式桁架有平行弦桁架、三角形桁架、梯形桁架、拋物線形桁架和折線形桁架等。桁架的外形對桁架中各桿的受力情況有很大的影響。為了便于比較，在圖 2 51 中給出了同跨度、同荷載的五種常用桁架的內力數值，下面對這幾種桁架的受力性能進行對比分析，以便合理選擇應用。 能力拓展情境五靜定平面桁架的計算 能力拓展情境五靜定平面桁架的計算 能力拓展情境五靜定平面桁架的計算 3桁架主體建筑 如圖 2 52a 所示為美國芝加哥的約翰 漢考克大樓，采用了錐形桁架筒承力結構；如圖2 52b 為