反常積分的斂散性判定方法

1、內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)本科學(xué)年論文反常積分?jǐn)可⑿缘呐卸ǚ椒ㄗ髡哧愔緩?qiáng)學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年級(jí)2012級(jí)學(xué)號(hào)122094102指導(dǎo)教師魏運(yùn)導(dǎo)師職稱教授最終成績(jī)75分摘要0.1關(guān)鍵詞。.。.。.1引言-2一、預(yù)備知識(shí).6。21 .無(wú)窮限反常積分。.。022 .瑕積分。.。33。反常積分的性質(zhì)。.。3二、反常積分的收斂判別法0.41無(wú)窮積分的收斂判別.4(1)。定義判別法0。.004(2)。比較判別法。.04(3)?？挛髋袆e法0.5(4) 阿貝爾判別法。6。06(5)。狄利克雷判別法。72瑕積分的收斂判別.。.0-8(1) .定義判別法00。.0.8(2)。定理判別法00.。.9(3) .比

2、較判別法0.9(4)?？挛髋袆e法o.9(5).阿貝爾判別法o。.10(6)。狄利克雷判別法10參考文獻(xiàn)。o.11摘要在很多實(shí)際問(wèn)題中，要突破積分區(qū)間的有窮性和被積函數(shù)的有界性，由此得到了定積分的兩種形式的推廣：無(wú)窮限反常積分和瑕積分。我們將這兩種積分統(tǒng)稱為反常積分。因?yàn)榉闯７e分涉及到一個(gè)收斂問(wèn)題，所以反常積分的斂散性判定就顯得非常重要了。本文將對(duì)反常積分的斂散性判定進(jìn)行歸納總結(jié)，并給出了相關(guān)定理的證明，舉例說(shuō)明其應(yīng)用，這樣將有助于我們靈活的運(yùn)用各種等價(jià)定理判斷反常積分的斂散性。關(guān)鍵詞：反常積分瑕積分極限斂散性引言近些年以來(lái)，一些數(shù)學(xué)工作者對(duì)反常積分?jǐn)可⑿缘呐袆e方法做了研究并取得了許多重要的進(jìn)展

3、.如華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))，對(duì)反常積分積分的定義，性質(zhì)的運(yùn)用及講義其判別收斂性的方法.華中科技大學(xué)出版的數(shù)學(xué)分析理論方法與技巧，也對(duì)反常積分?jǐn)可⑿耘袆e做了詳細(xì)的講解，還用圖形的方法說(shuō)明其意義.引申出反常積分?jǐn)可⑿缘牡葍r(jià)定義，并通過(guò)例題說(shuō)明其應(yīng)用.眾多學(xué)者研究白內(nèi)容全而廣，實(shí)用性很高，尤其是在研究斂散性的判別很明顯，這對(duì)我現(xiàn)所研究的論文題目提供了大量的理論依據(jù)和參考文獻(xiàn)，對(duì)我完成此次論文有很大的幫助，但絕大多數(shù)文獻(xiàn)只是對(duì)其一種方法進(jìn)行研究，而本文將對(duì)其進(jìn)行歸納總結(jié)，舉例說(shuō)明其應(yīng)用。i、預(yù)備知識(shí)1 .無(wú)窮限反常積分定義1。1設(shè)函數(shù)f(x)在a,+oo)有定義，若f(x)在a,A上可

4、積(A>a)A且當(dāng)A-+8時(shí)，Amaf(x)dx存在，稱反常積分af(x)dx收斂，否則a稱反常積分f(x)dx與f(x)dx發(fā)散.a對(duì)反常積分f(x)dx與f(x)dx可類似的給出斂散性定義。a注意：只有當(dāng)f(x)dx和f(x)dx都收斂時(shí)，才認(rèn)為f(x)dx是收斂的.2 .瑕積分定義1：設(shè)f(x)在a的任何鄰域內(nèi)均無(wú)界，則稱a為f(x)的一個(gè)瑕點(diǎn)bS定義2：設(shè)f(x)在a,b內(nèi)有定義，且b為唯一瑕點(diǎn)，若limf(x)dx存60ab在，稱瑕積分af(x)dx收斂cd定義3：設(shè)ca,b且為f(x)的一個(gè)瑕點(diǎn)，若f(x)dx和f(x)dx均acb收斂，則稱瑕積分af(x)dx3。反常積分的

5、性質(zhì)(1)Cauchy收斂原理:f(x)dx收斂對(duì)£>0,A°a,當(dāng)Ai>A2>A。a2時(shí)，有A1f(x)dx£線性性質(zhì)：若af(x)dx與g(x)dx者b收斂，則對(duì)任意常數(shù)女小2,k1f(x)k2g(x)dxk1f(x)k2g(x)dx=k1f(x)dxk2g(x)dxaa,積分區(qū)間可加性，若af(x)dx收斂，則ba,bf(x)dx。bf(x)dx=f(x)dxa(4)f(x)dx收斂，則f(x)dxaf(x)dx.二、反常積分的斂散性判別法1。無(wú)窮積分的斂散性判別(1)定義判別法設(shè)函數(shù)f定義在無(wú)窮區(qū)間a,)上，且在任何有限區(qū)間a,u上可積.

6、如果存在極限lim：f(x)dxJ,u則稱af(x)dx收斂，否則發(fā)放，即相應(yīng)定積分的極限存在廣義積分收斂，定積分的極限不存在廣義積分發(fā)放例1.1計(jì)算無(wú)窮積分px,/xedx(p是常數(shù)，且p0)解:0xepxdxxpx1pxI-e0-0edxpp1px-2ep12p式中l(wèi)imxexpxlimxpxpe(2) .比較判別法的普通形式：f(x),g(x)在a,有定義，且0f(x)g(x)(xa)(a)ag(x)dxf(x)dx<a(b)f(x)dx=+aag(x)dx=+sinx例1o因?yàn)?25為收斂,所以根據(jù)比較判別法x0,sinx,rdx為絕對(duì)1x收斂。(3) .比較判別法的極限形式f(

7、x),g(x)在.f(x).lim-l則xg(x)小a,有定義，且非負(fù)，且(a)當(dāng)l=0時(shí),g(x)dx<af(x)dx<a(b) l+時(shí)，ag(x)dx=f(x)dx=a(c) 0<l<時(shí),ag(x)dx,f(x)dx具有相同點(diǎn)斂散性。證：(1)若limxf(x)g(x),由極限的性質(zhì)，存在常數(shù)A(A>a)使得當(dāng)xA時(shí)成立f(x)g(x)<lI1即f(x)<(l十1)g(x)于是由比較判別法，當(dāng)g(x)dx收斂時(shí)af(x)g(x)于是由比較判別法，當(dāng)g(x)dx發(fā)散時(shí)f(x)dx也發(fā)散aa13x43x35x22x-dx1的斂散性解：limx33x43

8、x35x22x1歹亍dx收斂,xf(x)dx也收斂f(x)(2)若limr<=l>0,由極限的性質(zhì)，存在常數(shù)a(aa),xg(x)使得當(dāng)xA時(shí)成立其中0<l<lf(x)>lg(x)1所以13/432dx收斂1 3'x43x35x22x1總結(jié)：使用比較判別法，需要一個(gè)斂散性判別結(jié)論明確，同時(shí)又形成簡(jiǎn)單的函1數(shù)作為比較對(duì)象，在上面的例子中我們都是取下為比較對(duì)象的，因?yàn)樗鼈冋脁能滿足這倆個(gè)條件(4)。柯西判別法:設(shè)f(x)在a,有定義，在任何有限區(qū)間a,u上可積，且,imxpfx入則有：當(dāng)p1,0入時(shí)，f(x)dx收斂a當(dāng)P1,時(shí)，.f(x)dx發(fā)散a(5)。

9、阿貝爾判別法：f(x)g(x)dx滿足：a(a) f(x)單調(diào)有界(b)g(x)dx收斂貝Uf(x)g(x)dx收斂a證：由于存在M>0,使f(x)M(xa)再由(2)可知,A2對(duì)Ve>0,A。a,當(dāng)A2,人>A0時(shí)，有Af(x)g(x)dx<£A1又A2(A2f(x)g(x)dx=f(Ai)g(x)dxf(A2)g(x)dxmAiAi(e+e)=2Me再次由柯西準(zhǔn)則知Abel定理成立.sinx一例4證i丁arctanxdx(。<入1)收斂sinx,利用阿貝爾判別法，因?yàn)?一丁dx收斂，又arctanx在1,上1x、.一sinx單調(diào)有界，故arctanx

10、dx是收斂的1x(b) .Dirichlet判別法：f(x)g(x)dx滿足a(1) f(x)單調(diào)且趨于0(x0)A(2)g(x)dx有界(a>A)a則f(x)g(x)dx收斂。aAA證：由于存在m>0,g(x)dx有界，所以有g(shù)(x)dxM又由于7a7af(x)0(x)故對(duì)對(duì)£0,A0a,當(dāng)&>白>A0時(shí)，有If(A1)V£，所以f(A2)f(A1)|<£即f(A2)<£,A2f(x)dxg(x)dxg(x)dx2M同理有Ai工g(x)dxA2A12M故當(dāng)A2,Ai>A0f(x)g(x)dxf(A2)s

11、inx5證積分1證:sinAsinxdxDirichletsinxg(x)dxadx收斂，但不絕對(duì)收斂cosAcos1_2sinx.sinxf(A1)sinx,dx收x1cos2xAcos12xdx1sin2A2sin1cos2x一1，也收斂，而12xdx發(fā)散,16積分0xpdx的斂散性當(dāng)p0時(shí)是可積的；當(dāng)pV0數(shù)在A1Ig(x)dx時(shí)趨于0,2x2x1二一單調(diào)趨于2xAsinxdx1時(shí)，它是不可積的,0,1上無(wú)界。但作為反常積分，當(dāng)p>1時(shí)收斂;1散；因?yàn)楫?dāng)p1時(shí)有l(wèi)jmxdxlim00001Sp1發(fā)散因?yàn)檫@時(shí)被積函1/p1若p，若p<-1時(shí)發(fā)而當(dāng)p=1時(shí)有l(wèi)ims011.1.x

12、dxlimS0ln1ln8例1。7積分0xpdx作為反常積分，當(dāng)p<1時(shí)它收斂；當(dāng)p時(shí)它發(fā)散為當(dāng)p1時(shí)1-limxpdxlim60sSSp111/p1，若p1，若p>-1而當(dāng)p=-1時(shí)有l(wèi)im01dxlimS0ln8In12.瑕積分的收斂判別(1)定義判別法設(shè)函數(shù)f定義在無(wú)窮區(qū)間(a,b上，在點(diǎn)a的任一右鄰域!無(wú)界，但在任何內(nèi)閉區(qū)間有限區(qū)間u,b(a,b上有界且可積.如果存在極限limuf(x)dxJ,ua則稱反常積分af(x)dx收斂.，否則發(fā)放例2.1計(jì)算瑕積分0_x_dx的值-1x2x解：被積函數(shù)f(x),x在0,1)上連續(xù)，從而在任何0,u0,1)上可積,1x2x0為其瑕點(diǎn)

13、.依定義求得0/x2dxUm0/x2dx!in?(1J1u2)11x1x(2)定理判另肽(柯四I攵斂則理)b瑕積分af(x)dx(瑕點(diǎn)為a)收斂的充要條件是：任給£>0,存8>0u1u2a,aU1f(x)dxbf(x)dxU2U2U1f(x)dx=0<&(3)。比較法則如果設(shè)f(x)定義于a,b,a為其瑕點(diǎn)，且在任何u,ba,b上可積,limxx0f(x)當(dāng)p1,0入時(shí)，f(x)dx收斂a當(dāng)p1,0入時(shí)，f(x)dx發(fā)散a(4)?？挛髋袆e法、一一一.一.一c設(shè)x=a是f(x)的瑕點(diǎn)，如果f(x)pc0,p1那么xaf(x)dx絕對(duì)收斂；如果|f(x)1那么f

14、(x)dx發(fā)散-dx例2-2討,侖0e再n工的斂散性(p解：x=0是其唯一奇點(diǎn).1p.當(dāng)0cp<1時(shí)，取qp,1limx0xqxplnx0,由柯西判別法知dxe0xplnx收斂類似的，1p,當(dāng)p>1時(shí)，取q2-1,pxim0xqxplnx由柯西判別法知,dx0xplnx發(fā)散當(dāng)p=1時(shí)，可以直接用Newton-leibniz公式得到-dxe0xplnxlimlnlnx00因此，當(dāng)0<p<1時(shí)，反常積分-dxe.0p,收當(dāng)斂；當(dāng)p0xlnx1時(shí)，反常積dxxpInx發(fā)散(5) o阿貝爾判別法b設(shè)f(x)在x=a有奇點(diǎn)，f(x)dx收斂，g(x)單調(diào)有界，那么積ab分f(x)g(x)dx收斂a(6) .狄利克雷判別法b設(shè)f(x)在x=a有奇點(diǎn)，f(x)dx是刀的有界函數(shù)，atg(x)單調(diào)且當(dāng)xa時(shí)趨于零，那么積分f(x)g(x)dx例2。3討論積分,1sin一dxx的收斂情形<1.1sinxrx,積分絕對(duì)收斂，又1112sindxnxxcosi1cos.1sin一