北京人口建模

1、基于二胎政策對中國人口預(yù)測摘要2015年10月29日，全會公報(bào)指出：促進(jìn)人口均衡發(fā)展，堅(jiān)持計(jì)劃生育的基本國策，完善人口發(fā)展戰(zhàn)略，全面實(shí)施一對夫婦可生育兩個(gè)孩子政策，積極開展應(yīng)對人口老齡化行動(dòng).在此政策下，我們預(yù)測北京市未來人口狀況.我們從北京未來50年各年齡段人口數(shù)來分析北京未來人口狀況。根據(jù)該地區(qū)第二年總?cè)丝跀?shù)=該地區(qū)第一年總?cè)丝跀?shù)+該地區(qū)該年出生人口-該地區(qū)該年死亡人口+該地區(qū)該年凈流入人口這個(gè)遞推公式.推導(dǎo)有關(guān)年齡組人口數(shù)隨年份變化的函數(shù)型公式.用插值法對已有死亡率數(shù)據(jù)進(jìn)行外推得出10組數(shù)據(jù)，再用lee-carter模型對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得出20102060年的預(yù)測死亡率?？芍髂挲g人

2、口死亡率都在下降，但不同年齡組別的人口死亡率改善程度存在差異和不穩(wěn)定性.根據(jù)對流動(dòng)人口變動(dòng)系統(tǒng)的考察和分析，認(rèn)為它是一個(gè)灰色系統(tǒng)。依據(jù)北京市20032014年的流動(dòng)人口數(shù)據(jù)，對灰色預(yù)測模型進(jìn)行驗(yàn)證和殘差檢驗(yàn)，結(jié)果顯示其達(dá)到一般要求，預(yù)測數(shù)據(jù)可用。北京市凈流入人口呈遞減趨勢。關(guān)鍵詞：人口、二胎政策、lee-carter模型、灰色預(yù)測一、問題重述2015年10月29日，全會公報(bào)指出：促進(jìn)人II均衡發(fā)展，堅(jiān)持計(jì)劃生育的基本國策，完善人11發(fā)展戰(zhàn)略，全面實(shí)施一對夫婦可生育兩個(gè)孩子政策，積極開展應(yīng)勸人11老齡化行動(dòng).在此政策下，我們預(yù)測北京市未來人口狀況.二、問題分析我們從北京未來50年各年齡段人口數(shù)來

3、分析北京未來人口狀況。根據(jù)該地區(qū)第二年總?cè)丝跀?shù);該地區(qū)第一年總?cè)丝跀?shù)+該地區(qū)該年出生人口-該地區(qū)該年死亡人口+該地區(qū)該年凈流入人口這個(gè)遞推公式.推導(dǎo)有關(guān)年齡組人口數(shù)隨年份變化的函數(shù)型公式。(1)死亡人口問題的分析：對已有的北京統(tǒng)計(jì)局2000年和2010年年齡結(jié)構(gòu)死亡率數(shù)據(jù)用幾何平均數(shù)得到2005年估計(jì)值，再用插值法共得到六組數(shù)據(jù)，利用對時(shí)間因子k修正計(jì)算后的lee-carter模型對這六組數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得出未來50年的年齡組死亡率預(yù)測值.(2)凈流入人口問題的分析：根據(jù)對流動(dòng)人口變動(dòng)系統(tǒng)的考察和分析，認(rèn)為它是一個(gè)灰色系統(tǒng)。依據(jù)北京統(tǒng)計(jì)局20032014年的流動(dòng)人口數(shù)據(jù),對灰色預(yù)測模型進(jìn)行驗(yàn)證和

4、殘差檢驗(yàn)。(3)出生人口問題的分析：三、模型假設(shè)與約定1、在預(yù)測時(shí)段內(nèi)該地區(qū)不發(fā)生重大意外事故，如戰(zhàn)爭、重大自然災(zāi)害等.2、假設(shè)所統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)都在誤差范圍內(nèi).3、假設(shè)預(yù)測年份中男女出生比例為1:14、將年齡分成04歲、59歲、1014歲、1519歲、2024歲、2529歲、30-34歲、3539歲、4044歲、4549歲、5054歲、5559歲、6064歲、6569歲、70-74歲、7579歲、8084歲、8589歲、9094歲、95-99歲、100歲以上這21個(gè)年齡組，年齡段內(nèi)的間隔為5歲。假設(shè)每個(gè)年齡組的死亡率、生育率都可以代表每個(gè)年齡組內(nèi)五年的死亡率、生育率.、符號說明及名詞定義符號/單位意

5、義N(t)/人第t年的人口總數(shù)M(t)/人第t年的出生人口總數(shù)g(t)/人第t年的死亡人口總數(shù)N,(t)/人第t年的凈遷入人口總數(shù)d(t)第t年的死亡率R(t)第t年的女性人口占總?cè)丝诒壤齊i女性人口占遷入人口的比例B(t)第t年的生育率X第x個(gè)年齡組(1-21)Ax年齡間隔Mn(t)中心死亡率心X歲對數(shù)死亡率的平均數(shù)Px年齡X對死亡率的敏感程度kt死亡率隨時(shí)間t的變動(dòng)程度五、模型建立根據(jù)生命周期規(guī)律，我們可得：第t+1年的人口等于第t年人口數(shù)量減去該年該年齡死亡人口數(shù)量，該年新增人口等于該年出生人口與外地凈遷入人口之和.如下圖：8765432100123456788765432押1一。出23

6、45678I第一年II第二年圖一人口總數(shù)計(jì)算方法圖解由公式表示即為：N(t)=N(t-1)+Nb(t)-Nd(t)+M(t)=/V(t-1)X(1-d(t)+N<t)+NS)=N(t-1)x(1-d(t)+NO+(N(t-1)XR(t-1)+M(t)X&)XB(t)其中，N(t)表示第t年的人口總數(shù)，Nb(t)表示第t年的出生人口總數(shù)，Nd(t)表示第t年的死亡人口總數(shù)，Ni(t)表示第t年的凈遷入人口總數(shù)，d表示第t年的死亡率，R(t)表示第t年的女性人口占總?cè)丝诒壤?，Ri表示女性人口占遷入人口的比例，B(t)表示第t年的生育率.我們從每一個(gè)年齡組來代入這個(gè)公式，可得到一個(gè)有關(guān)

7、年齡的連續(xù)形函數(shù)，其中N(t-1)表示該地區(qū)第t-1年第x年齡組的人口數(shù)，d(t)表示該地區(qū)第t年第x年齡組的死亡率，%表示該地區(qū)第t年第x年齡組的女性人口占總?cè)丝诘谋壤?凡表示該地區(qū)第t年第x年齡組女性的生育率：N(t)=-1)X(1-/)+2工式做-1)XRx(t-1)+川X凡)XB%(t)我們據(jù)此公式進(jìn)行具體求解，故我們須知各年齡段的死亡率，凈人口流動(dòng)率，生育率。下面分別求解這些數(shù)據(jù)量。一.死亡率預(yù)測：某一地區(qū)一段時(shí)間內(nèi)的死亡人數(shù)與該時(shí)期平均總?cè)藬?shù)之比率為該地區(qū)人口死亡率.數(shù)據(jù)準(zhǔn)備：鑒于北京市關(guān)于年齡結(jié)構(gòu)的死亡率數(shù)據(jù)較少，僅有2000年、2010年，來源于國家統(tǒng)計(jì)局人口普查統(tǒng)計(jì)年鑒.我們

8、基于這兩年數(shù)據(jù)估算2005年北京市含年齡結(jié)構(gòu)的死亡率.因?yàn)閹缀纹骄鶖?shù)適用于對比率的估算，故使用幾何平均數(shù)進(jìn)行估計(jì).2005年某年齡段死亡率=J2000年該年齡段死亡率X2010年該年齡段死亡率所得數(shù)據(jù)如下.年份/年齡2010死亡率2000死亡率2005估計(jì)。歲0.13%0.36%0.22%1-4歲0.02%0.04%0.03%5-9歲0.01%0.03%0.02%|10-14歲0.02%0.03%0.02%15-19歲0.02%0.03%0.02%|20-24歲0.01%0.05%0.03%25-29歲0.02%0.07%0.03%|30-34歲0.02%0.09%0.04%35-39歲0.0

9、5%0.11%0.07%|40-44歲0.08%0.16%0.12%45-49歲0.15%0.23%0.19%|50-54歲0.26%0.37%0.31%55-59歲0.37%0.61%0.48%|60-64歲0.63%1.07%0.82%65-69歲1.10%1.88%1.44%70-74歲2.06%3.30%2.61%75-79歲3.62%5.49%4.46%80-84歲6.27%9.03%7.52%85-89歲10.15%13.22%11.59%|90-94歲15.93%17.45%16.67%95-99歲20.95%20.35%20.65%|100歲及以上31.43%29.67%30.

10、53%表一2005年估算死亡率數(shù)據(jù)再根據(jù)現(xiàn)有數(shù)據(jù)對估算所得2005年死亡率數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).北京市統(tǒng)計(jì)局2005統(tǒng)計(jì)年鑒中含2005年年齡結(jié)構(gòu)人口數(shù)，據(jù)此計(jì)算總死亡人數(shù).OO總死亡人數(shù)=W(4xNQ故，據(jù)估算數(shù)據(jù)得總死亡人數(shù)為7969：大.而北京市統(tǒng)計(jì)局所查數(shù)據(jù)為79626,誤差為72人,誤差極小，故我們認(rèn)為此估算數(shù)據(jù)基本符合真實(shí)情況.所以，北京市死亡率如下圖：圖二顯示，我國各年齡段的人口死亡率隨著時(shí)間推移逐漸下降，主要原因是我國過去30多年經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和醫(yī)療條件的改善.圖三還顯示兩個(gè)特征，060歲年齡段的死亡率呈現(xiàn)平緩走勢；60歲以上年齡段死亡率呈陡峭走勢.生存概率線不斷向高齡集中，從側(cè)面反映出我

11、國人均存命不斷提高的事實(shí).盡管各年齡人口死亡率都在下降，但不同年齡組別的人口死亡率改善程度存在差異和不穩(wěn)定性.由于數(shù)據(jù)的缺失我們只能根據(jù)現(xiàn)有數(shù)據(jù)利用內(nèi)插法估算所得2000至2010年死亡率數(shù)據(jù).MATLAB代碼如下：t=2000:5:2010»x=2000:2010>>yi=interpl(t,swl,x,?spline*)其中swl為2000,2005,2010年死亡率數(shù)據(jù)的3x21的矩陣.利用內(nèi)插法估算2000年至2010年(除2000、2005、2010年)死亡率數(shù)據(jù)部分如下，具體見附錄一年份/年齡2000200120022003200420052006200720

12、08200920100-4歲0.10%0.09%0.09%0.08%0.07%0.06%0.06%0.05%0.05%0.04%0.04%5-9歲0.03%0.02%0.02%0.02%0.02%0.02%0.01%0.01%0.01%0.01%0.01%10-14歲0.03%0.03%0.03%0.02%0.02%0.02%0.02%0.02%0.02%0.02%0.02%15-19歲0.03%0.03%0.03%0.03%0.02%0.02%0.02%0.02%0.02%0.02%0.02%20-24歲0.05%0.05%0.04%0.04%0.03%0.03%0.02%0.02%0.02

13、%0.02%0.01%25-29歲0.07%0.06%0.05%0.05%0.04%0.03%0.03%0.03%0.02%0.02%0.02%30-340.09%0.08%0.07%0.06%0.05%0.04%0.04%0.03%0.03%0.02%0.02%歲35-390.11%0.10%0.09%0.09%0.08%0.07%0.07%0.06%0.06%0.05%0.05%歲40-440.16%0.15%0.14%0.13%0.12%0.12%0.11%0.10%0.10%0.09%0.08%芝表二利用內(nèi)插法估算2000年至2010年（除2000、2005、2010年）死亡率由于統(tǒng)計(jì)

14、數(shù)據(jù)的缺失我們只能得到北京市統(tǒng)計(jì)局2006至2009年死亡人總?cè)藬?shù),根據(jù)內(nèi)插法估算2000年至2010年（除2000、2005、2010年）死亡率數(shù)據(jù)估算總死亡人數(shù)與統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行對比評估.根據(jù)北京市統(tǒng)計(jì)局2007至2010年統(tǒng)計(jì)年鑒中抽樣年齡結(jié)構(gòu)人口數(shù)，據(jù)此計(jì)算總死亡人數(shù).總死亡人數(shù)=X=1據(jù)估算數(shù)據(jù)得總死亡人數(shù)與北京市統(tǒng)計(jì)局所查數(shù)據(jù)的差值比上北京市統(tǒng)計(jì)局所查數(shù)據(jù)可知最大誤差率低于誤差極小，故我們認(rèn)為此估算數(shù)據(jù)基本符合真實(shí)情況.所以，2000至2010年北京市死亡率如下圖：北京市2000年至2010年死亡率估算值35.00%30.00%25.00%20.00%15.00%10.00%5.00

15、%0.00%20002001200220032004200520062007200820092010圖三：北京市2000年至2010年死亡率估算值由圖三可知95至100歲以上的死亡率在逐年上升，這與0至95歲的數(shù)據(jù)表現(xiàn)不符也與現(xiàn)代醫(yī)療技術(shù)發(fā)展趨勢不符.原因是我們利用的是基于2000年與2010年死亡率數(shù)據(jù)進(jìn)行的預(yù)測，由于2010年的95歲以上死亡率高于2000年的死亡率導(dǎo)致我們預(yù)測數(shù)據(jù)與事實(shí)不符程度大，因此我們再后而計(jì)算時(shí)舍棄預(yù)測的95歲以上的死亡率。死亡率估算20.00%200020012002200320042005200620072008-2009-2010圖四：北京市2000年至201

16、0年死亡率估算值(最終)圖四顯示，我國各年齡段的人口死亡率隨著時(shí)間推移逐漸下降，主要原因是我國多年的經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和醫(yī)療條件的改善.圖四還顯示兩個(gè)特征，每年的060歲年齡段的死亡率曲線相對重合度較高；每年的60歲以上年齡段死亡率曲線變化程度較大.高齡的死亡率逐漸降低，從側(cè)面反映出我國人均壽命不斷提高的事實(shí).盡管各年齡人口死亡率都在下降，但不同年齡組別的人口死亡率改善程度存在差異和不穩(wěn)定性.為了得到未來死亡率的準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，本文認(rèn)為有必要采用預(yù)測模型對未來死亡率進(jìn)行估計(jì).模型建立與數(shù)據(jù)求解：假定x歲的人在第t年的中心死亡率Mx(t),(t=tl,服從對數(shù)雙線性模型,即InMx(t)=ax+PxXkt+e

17、(xzt)(1)模型中包含有年齡因子ax和Bx,以及時(shí)間因子Kt.其中，ax是x歲對數(shù)死亡率的平均數(shù)，表示死亡率隨年齡x的變化;Bx表示年齡x對于死亡率變動(dòng)的敏感程度;Kt表示死亡率隨時(shí)間t的變動(dòng)程度;ex,t表示殘差項(xiàng)，且ex,tN(0,。2).為了獲得唯一確定的參數(shù)估計(jì)值，通常假定：2xPx=1,1tKt=0.采用最小二乘法可以得到，=2："山飛)(2)而瓦:和好一般通過對矩陣In而)-您進(jìn)行奇異值分解得到.按照時(shí)間序列號的變化采用相應(yīng)的模型，如有漂移的隨機(jī)游走模型、ARMA模型、ARIMA模型等對屋進(jìn)行擬合，然后外推出預(yù)測年份的6.最后，利用鼻，,，瓦得出預(yù)測年度的兀不)，即：

18、InMMt)=nai+pxkt或者：ln"x(t)=lnMx(tn)0x(£-t>tn(4)假定收集到不同時(shí)間uO,ul,uT共T+1年的分年齡死亡率數(shù)據(jù)mx(uO),mx(ul),mx(uT).利用這些數(shù)據(jù)可以求得，=擊雙=0也也近)(5)然后，對矩陣InMG)-/進(jìn)行奇異值分解可以求得相應(yīng)的瓦和瓦0,心，心.對于時(shí)間因子，根據(jù)數(shù)據(jù)準(zhǔn)備中得出的六組數(shù)據(jù)，將所選數(shù)據(jù)代入式(5),可得出相應(yīng)的石(如圖三所示).然后對矩陣InAf商)-/進(jìn)行奇異值分解：A二In也記)一西U,S,V=svds(A)%奇異值分解p1=maX(diag(S)%取最大的對角線元素瓦M(jìn)S%kut二

19、PiUxaXxx.i得到底(如圖四所示)和時(shí)間因子心(如圖五所示)圖五：直估計(jì)序列圖012圖六：聲估計(jì)序列圖圖七：七估計(jì)序列圖從瓦的圖形可以看出，20-40年齡段對死亡率改善的敏感程度較大，而其他年齡段對于死亡率的敏感程度相對較低.從丘的圖形可以看出，時(shí)間因子kt近似服從直線，因此用帶漂移的隨機(jī)游走模型來對kt建模是合理的.采用帶漂移的隨機(jī)游走模型來擬合.則kUfkui-i=d(ut+(ew-i+i+eut-i+2+,ew)(6)其中,£iN(0,o2),o是常數(shù).可見,對于不同的t,KUtKut-1不再是同分布的隨機(jī)變量，因此，對于漂移參數(shù)d和標(biāo)準(zhǔn)差。的估計(jì)就不能采用經(jīng)典的Lee-

20、carter方法.由于式(6)中右側(cè)第二項(xiàng)期望值為0,因此，漂移參數(shù)d的無偏估計(jì)曷可以由下式得出，d=反匚星=-1.2631(7)由于針對不同的t,式(6)中右側(cè)第一項(xiàng)的方差不再相等，方差。2可以由下式得出：XLKhL戲)2=0.0079(8)uT-u0從式和(8)可以推導(dǎo)出漂移參數(shù)d的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤，&蘇®),質(zhì)面=501.二；J+一，“(9)ut-uqJul”。var(d)=7.9245*10A-4(10)有了以上數(shù)據(jù)就可以對t>uT時(shí)，Kt做出估計(jì)，即ut+l=kut+d+令d=£+&N(O,var(d),代入式(9)可得，kut+l=*+)+

21、63;u當(dāng)樣本量較少時(shí)，£的波動(dòng)性不應(yīng)該被忽略，應(yīng)該將；的影響包含在Kt的建模中，從而采用“雙隨機(jī)過程”來描述Kt的變化過程.通過式(11)可以得出時(shí)間因子Kt在任何時(shí)間上的預(yù)測值：kut+i=卜或+E3(*+，)+£ut+j=kut+"d+»=i"+£ut+j(12)由式(12)可得出相應(yīng)的KuT+k的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)值.有j"uT+k就可以用式_2(4)對m時(shí)其口門k)做出預(yù)測.預(yù)測數(shù)據(jù)部分如下，詳見附錄二：年份/年齡201520202025203020352040204520502055206004歲0.026%0.0

22、17%0.010%飛.007%0.004%0.CO3%0.002%0.001%0.001%0.000%5-9歲0.006%0.003%0.002%0.001%0.001%0X00%0.000%0.000%0.000%0.000%10-14歲0.011%0.008%0.006%0.004%0.003%0X02%0.002%0.001%0.001%0.001%15-19歲0.013%0.009%0.007%0.005%0.004%0.CO3%0.002%0.002%0.001%0.001%20-24歲0.008%0.004%0.002%0.001%0.001%O.COO%0.000%0.000%0

23、.000%0.000%25-29歲0.008%0.004%0.002%0.001%0.000%O.COO%0.000%0.000%0.000%0.000%30-34歲0.011%0.006%0.003%0.001%0.001%O.COO%0.000%0.000%0.000%0.000%35-390.031%0.020%0.013%0.008%0.001%0X04%0.002%0.002%0.001%0.001%40-44歲0.061%0.044%0.032%0.023%0.017%0.012%0.009%0.006%0.005%0.003%45-490.122%0.098%0.079%0.06

24、4%0.051%0.C41%0.033%0.027%0.022%0.017%歲表三利用Lee-carter模型預(yù)測2015、2020、2025>2030>2035、2040、2045、2050、2055、2060年的年齡段死亡率基于表三中對未來每隔五年的年齡段死亡率的預(yù)測值為最終計(jì)算未來每隔五年的死亡人口的基準(zhǔn)數(shù)據(jù).由表三數(shù)據(jù)得到圖八如下：死亡率預(yù)測18.000%16.000%14.000%12.000%10.000%8.000%6.000%4.000%2.000%0.000%2015202020252030203520402045205020552060圖八：死亡率預(yù)測曲線除了與

25、圖三和圖四能得出相似的結(jié)論外，還能看出每年80至89歲的死亡率曲線下降幅度較大，說明醫(yī)療發(fā)展對這一年齡段的賬響最大.二.凈流動(dòng)人口預(yù)測：流動(dòng)人口，是指離開戶籍所在地的縣、市或者市轄區(qū)，以工作、生活為目的異地居住的成年育齡人員.北京作為首都和快速發(fā)展的城市，因其特有的城市性質(zhì)、經(jīng)濟(jì)優(yōu)勢，吸引了大量流動(dòng)人口，成為流動(dòng)人口的熱點(diǎn)城市之一.從北京市統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站中，我們可以獲取2003-2014年的北京市戶籍人口機(jī)械增長量，即凈流入人口數(shù)。具體數(shù)據(jù)如下表：年份/年機(jī)械變動(dòng)/人2003141100.2004146474200516310720061416742007107177200810995520091

26、632010109091201112931320121070722013109656201474654表四：北京市機(jī)械變動(dòng)人口數(shù)灰色系統(tǒng)是20世紀(jì)80年代初提出的數(shù)學(xué)理論:一個(gè)系統(tǒng)，如果其內(nèi)部信息部分己知，部分未知，則稱為灰色系統(tǒng)?；疑到y(tǒng)理論認(rèn)為:一切隨機(jī)量都是在一定范圍內(nèi)、一定時(shí)段上變化的灰色量及灰色過程。對于灰色量的處理，不是去尋求它的統(tǒng)計(jì)規(guī)律和概率分布，而是將無規(guī)律的原始數(shù)據(jù)通過一定方式處理后，使其成為較有規(guī)律的時(shí)間序列再建立模型?；疑A(yù)測就是將原始數(shù)列進(jìn)行累加生成，使其成為具有近似指數(shù)增長的曲線，使隨機(jī)性被弱化，從而建立起微分方程，對方程進(jìn)行求解后所做出的預(yù)測。流動(dòng)人口的預(yù)測，由于影

27、響因素繁多而復(fù)雜，且各因素之間相互影響、相互作用，通過影響因素的變動(dòng)分析來進(jìn)行流動(dòng)人口預(yù)測具有較大的難度，所以預(yù)測的科學(xué)性較難達(dá)到。如果把城市流動(dòng)人口的變動(dòng)看作一個(gè)系統(tǒng)的話，那么影響其變動(dòng)的因素中，部分是已知的，部分是未知的，這正符合灰色系統(tǒng)的特征?；诨疑到y(tǒng)原理，我們可以把城市人口遷入、遷出的變動(dòng)過程看成是一個(gè)灰色系統(tǒng)，應(yīng)用灰色動(dòng)態(tài)模型對流動(dòng)人口未來發(fā)展態(tài)勢進(jìn)行預(yù)測?；疑A(yù)測模型：1 .數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)與處理建立凈流入人口數(shù)據(jù)時(shí)間序列如下：x(0)=x(0)(1),%(0)(2),%(0)(3),.x(0)(12)=(141100,146474,163107,141674,107177,1099

28、55,112163,109091,129313,107072,109656,74654)(1)求級比入(k)心）=”)(k-1)x(o)(A)A=(入(2).入(3)入(12)=(0.963310895,0.898023997,1.151283934,1.321869431,0.974735119,0.980314364,1.028159977,0.843619744,1.207720039,0.976435398,1.468856324)(2)級比檢驗(yàn)如果所有的級比人(k)都落在可容覆蓋在(e后,©&)內(nèi)，則數(shù)列x(0)可以作為模型GM(1,1)的數(shù)據(jù)進(jìn)行灰色預(yù)測.所有的入

29、(k)6(0.85740392,1.15356499)(k=2,312).故可以用作滿意的GM(1,1)建模.2 .GM(1,1)建模(1)對原始數(shù)據(jù)x(0)作一次累加，即-=(無(1)(1)"(2),一1)(3),.無(1)(71)=(x(l),x(1)+%(0)(2),.x(1)(n-1)+%(0)(n)其中x(k)=23”)(i),(k=l,2,3.,n)故無=(141100,287574,450681,592355,故9532,809487,921650,1030741,1160054,1267126,1376782,1451436)（2）構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣B及數(shù)據(jù)向量Y/-J(x

30、(1)(l)+%(1)(2)A_沁+x)1-1(x(1)(ll)+x(1)(12)1/146474163107*74654(-214337所以,-369128-1414109(3)計(jì)算日u=(a,d)r=(BTBylBTY求得a=0.0489.b=160860(1)建立模型GM(1,1)求解得：x(k+l)=(x(°)(l)-±)e-ak+2a/a即x(D(k+1)=-3148471e-00489k+3289571所以，x(0)(k+1)=父(Z+1)一£(D(k)由此令k=0到k=57,我們可以得出2003年到2060年凈流入人口的數(shù)量。具體數(shù)據(jù)見附錄一。3.模

31、型檢驗(yàn)（1）殘差檢驗(yàn)：令殘差為£化），則:£(k)=川。）（女）-£（。）（上）小。）（山）1,2.n如果£（k）0.2,則可認(rèn)為達(dá)到一般要求；如果£（k）0.1,則認(rèn)為達(dá)到較高的要求。（2）級比偏差值檢驗(yàn):令級比偏差值為p（k）則：p（k）=i-（瑞）xa（"）如果p（k）0.2,則可認(rèn)為達(dá)到一般要求；如果p（k）0.1,則認(rèn)為達(dá)到較高的要求。我們可得GM（1,1）模型檢驗(yàn)表年份預(yù)測值真實(shí)值殘差級比偏差20031577901411000.118320041502601464740.02580.08272005143090163107

32、-0.12270.14482006136260141674-0.0382-0.096320071297501071770.2106-0.258820081235601099550.12370.071820091176701121630.04910.066520101120501090910.02710.02092011106700129313-0.17490.19662012101610107072-0.0510-0.1501201396761109656-0.11760.0702201492143746540.2343-0.3987表五:GM(1,1)模型檢驗(yàn)表通過模型檢驗(yàn)，可以看出基本上&

33、#163;(k)<0.2,p(k)<0.2,故我們認(rèn)為此次預(yù)測達(dá)到一般要求，是合理的，可以進(jìn)行預(yù)測。計(jì)算的MATLAB程序如下：clclearx0=141100,146474,163107,141674,107177,109955,112163,109091,129313,107072,109656,74654;n=length(xO);lamda=xO(l:n-l)./xO(2:n)range=minmax(lamda)xl=cumsum(xO)fori=2:nz(i)=0.5*(xl(i)+xl(i-l);endB=-z(2:n),/ones(n-l/l);Y=x0(2:n),

34、;u=BYx=dsolve(,Dx+a*x=b,/x(0)=x0,)；x=subs(x,Hb?xO',u,u(2),xl);yucel=subs(x/t,/O:n-l);digits(6)zy=vpa(x)%為提高預(yù)測精度，先計(jì)尊預(yù)測值，再顯示微分方程的解yuce=xO(l)/diff(yucel)epsilon=xO-yuce%計(jì)算殘差delta=abs(epsilon./xO)%計(jì)算相對誤差rho=l-(l-0.5*u(l)/(l+0.5*u(l)*lamda%計(jì)兌級比偏差值三.生育率預(yù)測：從國家統(tǒng)計(jì)局普查數(shù)據(jù)中可以獲得2000年及2010年的年齡別生育率，如下:北京分年齡組生育率

35、（千分之一）年份'年齡段15-1920-2425-2930-3435-3940-4445-492010年1.0617.5149.3550.9416.764.341.382000年1.3937.2167.4723.374.370.740.17|表六：北京分年齡組生育率繪圖可看出:2000年2010年圖九：北京分年齡組生育率分年齡組生育率偏正太分布，我們進(jìn)行擬合，發(fā)現(xiàn)高斯擬合重合度較高:GeneralmodelGaussl:f(x)=al*exp(-(x-bl)/cl)A2)Coefficients(with95%confidencebounds):al=0.4184(0.3802,0.4

36、567)bl=29.08(28.58,29.57)cl=6.659(5.953,7.365)Goodnessoffit:SSE:0.0008392R-square:0.9944AdjustedR-square:0.9916RMSE:0.01448可以看出，分年齡組生育率基本符合：f（x）=0.4148Xe（F）X（0）為初始生育年齡，參數(shù)a、b、c決定了生育模式的形狀。引入生育意愿概念，指人們關(guān)于生育行為的態(tài)度和看法，即人們是否愿意生育孩子以及愿意生育幾個(gè)孩子。根據(jù)第六次人口普查數(shù)據(jù)，我們易知2010年總和生育率為0.7069,假定當(dāng)時(shí)一胎政策下愿意生一個(gè)孩子的意愿為PL那么：1XP1+OX（

37、1-P1）=0.7069可得：Pl=0.7069.通過各類問卷調(diào)查，我們易知有二胎意愿的人數(shù)占Q=70%,不愿生孩子的意愿比例不變，由此可得：此時(shí)的總和生育率為：2XQP1+1X1-QP1-(1-Pl)+0X(1-P1)=1.20159六、模型評價(jià)1 .死亡率數(shù)據(jù)不足，使用的幾何平均法及內(nèi)插法擴(kuò)大數(shù)據(jù)量說服力不足。使得90歲以上死亡率估算值出現(xiàn)明顯偏差，最后此年齡段另作處理。2 .死亡率預(yù)測模型使用lee-carter模型最后未考慮其置信區(qū)間，對精確度有一定影響。3 .凈流入人口預(yù)測使用灰色預(yù)測結(jié)果一般可用，未做修正處理，準(zhǔn)確度仍可以提高。七、參考文獻(xiàn)1孟令國、李超令、胡廣，基于PDE模型的中

38、國人口結(jié)構(gòu)預(yù)測研究，中國人口笠源與環(huán)境：2014年第24卷第2期.2王曉軍任文東，有限數(shù)據(jù)下Lee-Carter模型在人口死亡率預(yù)測中的應(yīng)用,統(tǒng)計(jì)研究：第29卷第6期,2012年6月.3李曉梅，城市流動(dòng)人口預(yù)測模型探討，南京人口管理干部學(xué)院學(xué)報(bào)：2006年10月第22卷，第4期4姜啟源，數(shù)學(xué)模型(第四版)，北京：高等教育出版社，2008八、附錄附錄一：利用內(nèi)插法估算2000年至2010年(除2000、2005、2010年)死亡率數(shù)據(jù)年份/200020012002年齡200320042005200620072008200920100-40.10%0.09%0.09%歲0.08%0.07%0.06

39、%0.06%0.05%0.05%0.04%0.04%5-90.03%0.02%0.02%歲0.02%0.02%0.02%0.01%0.01%0.01%0.01%0.01%10-140.03%0.03%0.03%歲0.02%0.02%0.02%0.02%0.02%0.02%0.02%0.02%15-190.03%0.03%0.03%歲0.03%0.02%0.02%0.02%0.02%0.02%0.02%0.02%20-240.05%0.05%0.04%歲0.04%0.03%0.03%0.02%0.02%0.02%0.02%0.01%25-290.07%0.06%0.05%歲0.05%0.04%0

40、.03%0.03%0.03%0.02%0.02%0.02%30-340.09%0.08%0.07%歲0.06%0.05%0.04%0.04%0.03%0.03%0.02%0.02%35-390.11%0.10%0.09%歲0.09%0.08%0.07%0.07%0.06%0.06%0.05%0.05%40-440.16%0.15%0.14%歲0.13%0.12%0.12%0.11%0.10%0.10%0.09%0.08%45-490.23%0.22%0.21%歲0.20%0.20%0.19%0.18%0.17%0.16%0.16%0.15%50-540.37%036%0.34%歲0.33%03

41、2%0.31%0.30%0.29%0.28%0.27%0.26%55-590.61%0.58%0.55%歲0.53%0.50%0.48%0.45%0.43%0.41%0.39%0.37%60-641.07%1.02%0.96%歲0.91%0.86%0.82%078%073%0.70%0.66%0.63%65-691.88%1.79%1.69%歲1.60%1.52%1.44%1.36%1.29%1.22%1.16%1.10%70-743.30%3.15%3.01%歲2.87%2.74%2.61%2.49%2.38%2.27%2.16%2.06%75-795.49%5.26%5.05%歲4.85%

42、4.65%4.46%4.27%4.10%3.93%3.77%3.62%80-849.03%8.71%8.40%歲8.10%7.80%7.52%7.25%6.99%6.74%6.50%6.27%85-8913.2212.8812.5512.2211.9011.5911.2810.9910.7010.4210.15歲%90-9417.4517.2917.1316.9816.8216.6716.5216.3716.2216.0715.93歲%95-9920.3520.4120.47歲%10029.6729.8430.0120.5320.5920.6520.7120.7720.8320.8920.95

43、O/Q/Q/O/O/O/O/Q/707070/O/O/O/O7030.1830.3630.5330.7130.8931.0731.2531.43歲及%以上附錄一：利用Lee-carter模型預(yù)測2015、2020、2025、2030、2035、2040、2045>2050、2055、2060年的年齡段死亡率年份/20152020202520302035204020452050205520600-4歲0.026%0.017%0.010%0.007%0.004%0.003%0.002%0.001%0.001%0.000%5-9歲0.006%0.003%0.002%0.001%0.001%0.000%0.000%0.000%0.000%0.000%10-1卜歲0.011%0.008%0.006%0.004%0.003%0.002%0.002%0.001%0.001%0.001%15-19歲0.013%0.009%0.007%0.005%0.004%0.003%0.002%0.002%0.001%0.001%20-21歲0.008%0.004%0.002%0.001%0.001%0.000%0.000%0.000%0.000%0.000%25-29歲0.008%0.004%0.002%0.