動力系統(tǒng)建模

1、動力系統(tǒng)建模唐 云（清華大學數(shù)學科學系）引言1。動力系統(tǒng)的基本概念與方法：從蝴蝶泉到蝴蝶效應2。機械與電力系統(tǒng)中的數(shù)學模型3。生命科學的數(shù)學建模4。分形模型目 錄引言 動力系統(tǒng)是關于系統(tǒng)演化規(guī)律的數(shù)學學科。數(shù)學建模是連接動力系統(tǒng)理論與應用的橋梁。 特點：（1）廣泛的應用前景；（2）深刻的數(shù)學理論基礎；（3）計算技術。 動力系統(tǒng)建模作用：（1）教學：數(shù)學建模；（2）科學研究：與國民經濟及科學前沿關系密切。從蝴蝶泉到蝴蝶效應1.1 蝴蝶的生態(tài)問題 云南大理蝴蝶泉，是影片五朵金花里阿鵬和金花對歌的地方，也有名的游覽勝地。泉內蝴蝶種類繁多，每年農歷4月15日白族的“蝴蝶會”前后，蝴蝶大的大如巴掌，小的

2、小如蜜蜂，成串懸掛于泉邊的合歡樹上，盛況空前。明代徐霞客在其“游記”中稱：“真蝶萬千，連須鉤足，自樹巔倒懸而下及于泉面”。郭沫若在1961年游蝴蝶泉時也曾留下“首尾聯(lián)接數(shù)公尺，自樹下垂疑花序”的詩句。 令人惋惜的是，近十數(shù)年，人們已經很難看到美麗的蝴蝶盛會，有時，雖有蝴蝶聚集，但數(shù)量已少。據當?shù)馗咐蟼餮裕汉?，原有一蓬枝葉茂密、開白花、發(fā)清香的茨蓬，花枝纏在橫斜泉面的樹干上，蝴蝶沿著這些下垂的花枝連成串。如今，茨蓬已除，泉面樹干葉枯，加上周圍自然環(huán)境受到破壞，田野大量使用農藥，誤傷不少蝴蝶，那連須鉤足懸于泉面的奇觀，久已不見。1.2 數(shù)學模型: Logistic映射).1 ( Logest

3、ic).(1)()()() 1( Verhust . .)( 1 (0).)( ).() 1( Malthus , 1).()() 1( )()() 1()()( 12nnnnxxxnPabnaPnPbnaPnPnnPaPanPnaPnPkankPnPnPnPnPnPnnP模型經尺度變換，得的修正于是有實際這顯然不合無限增大隨時，當易見模型則得命成正比，即與若增量開始時的總數(shù)。比如一個月時間段表示蝴蝶在第設f(x)= ax(1- x)， x 在0,1內變化xn+1= f(xn) 從0,1內點x0出發(fā)，由Logistic映射的迭代形成xn= f n(x0), n = 0,1,2,序列xn稱為x0

4、的軌道。由軌道迭代的極限集可組成分岔圖種群數(shù)的模型簡化：相應的迭代為了一個序列，即Logistic映射Logistic映射分岔圖關于吸引子 吸引子是動力系統(tǒng)相空間中的一類特殊集合，它能把周圍的軌道都“吸引”（收斂）過來。 吸引子分類： （1）平衡點 （2）周期軌 （3）擬周期軌 （4）混沌吸引子 當0a 1時，由于 當1a3時，任何(0,1)中初始值的軌道趨于 兩個不動點x1*, x2* ,一個穩(wěn)定(吸引),另一個xn 0 物種逐漸滅亡x*=1-1/a其中x*是方程f(x)=x的解，為映射f 的不動點（周期1點)例：a =1.5時 xn 1/3.不穩(wěn)定，軌道xn趨向穩(wěn)定點。數(shù)值迭代：倍周期分岔

5、,01nnaxx 當1+61/2a3.5440903506時, 從任意的點x0出 也稱為周期2點,對應軌道稱周期2軌道.(原來周期點失穩(wěn))發(fā)的軌道將逐漸沿著四個數(shù)值振動，它們滿足),(),( ,6132*4*3xfxxfxxxxan它們滿足振動，繞著兩個數(shù)時，當稱為周期4點，對應軌道稱周期4軌道(原有周期點 若a再增大，周期4點又會失穩(wěn)，而產生新的穩(wěn)定又失穩(wěn))周期8點，這個周期不斷加倍的過程將重復無限次，會依次出現(xiàn)周期16點，周期32點，. ，這種過程稱為倍周期分岔.相應的分岔值c1=3, c2=1+61/2構成一個單調增加的數(shù)列ck.其極限值為c*=3.569945557391。),(),(

6、),(),(324xfxxfxxfxxfx 當c*a4時，Logistic映射進入混沌區(qū)域.反映出 遍歷性：點 x0的軌道不趨向任何穩(wěn)定的周期性,即不同初始值，即使它們離得非常近，它們的的是：軌道, 它的軌道在(0,1)(或其中某些區(qū)間)內的任何一個子區(qū)間(a,b)內都會出現(xiàn)無數(shù)次. 敏感性：軌道表現(xiàn)出對初始條件的強烈敏感軌道也終將以某種方式分離.混沌的特點 Feigenbau常數(shù)(ck-ck-1)/(ck+1-ck)在k趨于無窮時，趨于常數(shù) q =4.6692016這常數(shù)的意義在于普適性，例如周期3窗口，還有 存在周期窗口：混沌區(qū)域內某些地方仍有倍周期分岔，例如a3.835附近其他映射 任取

7、(0,1)中的點x0,可以通過作圖來取得迭代 在以xn為橫坐標、xn+1為縱坐標的第一象限作拋物線?。簒n+1a xn(1- xn)的數(shù)值序列xn,從而也通過圖象直觀地看出由x0出發(fā)的軌道的變化. 這作圖的過程頗象蜘蛛織網,故稱為蛛網迭代. 圖像方法：蛛網迭代11xnxn1x0 x1x1x2 1a3 從(0,1)中任何初值出發(fā)的軌道趨向不動點 (周期1點) 3a61/2+1 從任何初值出發(fā)的軌道趨向周期2點61/2+1a 3.54409035從任何初值出發(fā)的軌道趨向周期4點 a=3.58軌道進入渾沌狀態(tài) a= 4 軌道的渾沌性表現(xiàn)充分 蛛網迭代的優(yōu)點是軌道非常直觀形象.缺點是當周期數(shù)較大時不易

8、看清軌道變化細節(jié) 密度分布圖：密度分布圖： 從密度：從一個初始點 x0出發(fā)，由迭代所 產生的序列xn (n一般很大)在區(qū)間 0,1上的概率分布密度. 將具體算法：將0,1區(qū)間分成m個長度為h=1/m的小區(qū)間，序列xnnN=0 落在各個小區(qū)間ih,(i+1)h的個數(shù)為ki,則該序列落在各小區(qū)間的概率（即密度)為pi=ki/N i=0,1,2,m 密度圖：橫軸為區(qū)間 0,1, 縱軸為概率 p.每個小區(qū)間上的細柱線的高度等于該區(qū)間上密度 a=3.2 (m=100 N=10000 x0= 0.1)(這是周期2情況) a=3.45(這是周期4情況) a=3.55(周期8的情況) 以上密度圖顯示在 0ac

9、*的情況下,xn只有極少數(shù)落在周期點以外的小區(qū)間,而最終以幾乎相等的概率落在周期點所在的小區(qū)間。 a=3.6(進入混沌區(qū)) (最混沌狀態(tài)) a= 4LogisticLogistic模型的混沌自相似（分形）模型的混沌自相似（分形）圖一圖一 圖二圖二 圖三：圖二局部放大圖圖三：圖二局部放大圖圖四：圖三局部放大圖圖四：圖三局部放大圖 1961年冬天年冬天E. Lorenz 進行關于天氣預報的計進行關于天氣預報的計算。他考慮下面加熱的流體由熱傳導進入對流，算。他考慮下面加熱的流體由熱傳導進入對流，然后產生湍流的過程，然后產生湍流的過程， 對對Rayleigh-Bernard方方程進行約化，得到下面的程

10、進行約化，得到下面的Lorenz方程。方程。D. Gulick, Encounters with Chaos, Mc-Graw Hill, Inc., New York, 1992.()xyxyxyxzzzxy 和和 為正數(shù)為正數(shù). , , 和和 與流體的物理性質相關與流體的物理性質相關. Lorenz 取取 , , 和和 ., xyz102883Lorenz 吸引子吸引子對初值條件的敏感依賴性對初值條件的敏感依賴性 10,000 個幾乎相同的個幾乎相同的初值條件初值條件 從這從這10,000 個初值出個初值出發(fā)的每條軌道經過同樣發(fā)的每條軌道經過同樣時間后其終點很不一致時間后其終點很不一致.

11、這些點都在同一個吸引這些點都在同一個吸引子范圍內子范圍內.S. H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos with Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering, Addison-Wesley Publishing Company, New York, 1994.所謂“蝴蝶效應”是指： 初始值很小的改變會引起絕然不同的結果.巴西的一只蝴蝶扇動翅膀會引起明年在得克薩斯的大風暴嗎？E. Lorenz 數(shù)學的偉大使命在于從混沌中發(fā)現(xiàn)秩序。 倍爾在那個混沌的體制中，結構上的微小差異幾乎都

12、會造成行為方式上的巨大變化，可控制的行為似乎已被排除。 斯圖爾特.考夫曼關于混沌 一個動力系統(tǒng)是混沌的，如果它滿足： (1) 有一個由周期軌道組成的稠密集合； (2) 軌道敏感地依賴于其初值條件； (3) 為拓撲傳遞的. 混沌的度量性質： (1)正Lyapunov指數(shù) (2)拓撲熵與測度熵 (3)分形結構混沌出現(xiàn)在各個領域的一種現(xiàn)象:數(shù)學、物理、 由此引起的復雜而有趣的現(xiàn)象 “侏羅紀公園”中的恐龍重現(xiàn)生物、金融、經濟、管理等等： 宇宙的起源 龍卷風的產生、厄爾尼諾現(xiàn)象 東南亞金融危機爆發(fā) 可以從某些簡單的離散的數(shù)學模型開始, 討論2. 機械和電力系統(tǒng)的數(shù)學模型2.1 動力學模型 Newton力

13、學體系是第一個，也是最基本的動力系統(tǒng)數(shù)學模型。建模過程： （1）數(shù)據積累：第谷(Tycho Brahe, 1546-1601) （2）經驗公式：開普勒(J. Kepler, 1571-1630)的行星“三大定律”。 （3）數(shù)學模型：牛頓(I. Newton, 1642-1727)的“萬有引力”。 （4）驗證：如哈雷彗星和海王星的發(fā)現(xiàn)。非線性振動均為向量形式。和多自由度系統(tǒng)：上述單自由度系統(tǒng)： ).,(fxtxxfx Duffing 方程tfxxxxcos23 得，現(xiàn)取 ,31. 01.20.5 ftxxxx2 . 1cos31. 03 . 03 Duffing 方程方程位移位移x位移位移x時間

14、時間Tdx/dt0001. 0) 0(,0001. 2) 0(.0000. 0) 0(,0000. 2) 0( xxxx藍線紅線位移位移x時間時間Tdx/dt位移位移x000001. 0) 0(,000001. 2) 0(.000000. 0) 0(,000000. 2) 0( xxxx藍線紅線 耗散系統(tǒng)相體積的演化 解釋初值敏感和奇怪吸引子要用到相體積的伸展與折疊，定量描述這一特征的量是李雅普諾夫指數(shù)，這要證明三維（以上）相體積 而 中要有正有負。講混沌時專門解釋或用初等的例子說明不嚴格，并且要花費一定學時。但只要在前面講正則方程和劉維定理時稍做改動就可以自然引出耗散系統(tǒng)相體積演化公式，概念

15、的引入嚴格、定量，學時反而減少。 通常講劉維定理，對相空間保守體系ttteeeVxxxV3210321321,00dtVddtd或其證明用到過去教材都是代入保守體系的正則方程。實際上，對一力學體系，如果除保守力外還含非保守力，則正則方程應寫為其中 代表非保守力，代入前式后得出，積分馬上得到)(1ppqqdtddtVdfQqHppHqVpQdtVdf1dtpQfeVV10Q容易證明，對保守力 對非保守力（如 ）對高維耗散系統(tǒng)，自然導出指數(shù)形式 形式其中 （i=1f）可正可負總和為正。01fpQkxxxF)(teVV20teVV0f321i極限環(huán)與分岔考慮一個數(shù)學例子： 2222122221221

16、222221122211211)()(2)()(2xxxxxxcxxxxxxxxxxcxx用二維極坐標表示，作代換.sin,cos21rxrx2242rrcrr得到 當 時有 0r 0)2(42rrcr方程有三個根： ， 00rcr1121cr1122-1.5-1-0.500.51-1-0.500.511.5, 1c00r，點是穩(wěn)定定態(tài)（焦點） 01c（硬激勵）00 rr穩(wěn)定定態(tài)（焦點）； 2rr 1rr 不穩(wěn)定的極限環(huán)； 穩(wěn)定的極限環(huán)。1rr 黑洞 0c（軟激勵） 1rr 0r 1rr 0r 1rr 是穩(wěn)定的極限環(huán) 00 rr不穩(wěn)定的焦點極限環(huán)極限環(huán)分岔分岔叉式分岔叉式分岔：定性舉例，旋轉單

17、擺 Hopf Hopf 分岔分岔：點到極限環(huán)的突變 1c穩(wěn)定定態(tài)； 穩(wěn)定極限環(huán)； 0c01c終態(tài)穩(wěn)定點與初始條件有關（亞臨界Hopf 分岔）。 倍周期分岔倍周期分岔: : 周期成倍突變 阻尼單擺的強迫振動方程引入無因次量后化為 :tfcossin2 00sin , 0時， 0穩(wěn)定的定態(tài)， ，不穩(wěn)定點， 0 擺長為擺長為l ，小球質量為，小球質量為m的單擺，相對與平衡的下垂位置的角位的單擺，相對與平衡的下垂位置的角位移為移為，重力加速度為，重力加速度為g ，則其運動方程為：，則其運動方程為： (1)或或 (2) 等式右邊是周期性的驅動力，其角頻率為。把方程式無量綱化，等式右邊是周期性的驅動力，其

18、角頻率為。把方程式無量綱化，用去除每一項，將無量綱的時間叫做用去除每一項，將無量綱的時間叫做t ，即得，即得 (3)式中式中都是無量綱化的。都是無量綱化的。 阻尼單擺的強迫振蕩阻尼單擺的強迫振蕩tmlFmDcossin20 tfcossin2 tFmglmlDcossin)(sintmglI )(2mod)sin(1nKnnCK旋轉數(shù)mnnmmK01lim21),(其中)(KCHenon-Heiles 星體勢模型星體勢模型322231)(21yyxyxV32222231)(21)(21yyxyxyxH等勢圖等勢圖粒子真實軌跡粒子真實軌跡粒子的龐加萊截面粒子的龐加萊截面)(cos22nTtIJH

19、).(sinnTtJIJ激勵轉子激勵轉子2.3 關于電力系統(tǒng)的數(shù)學模型 電力工業(yè)是國民經濟的支柱產業(yè)，并且直接影響到 人民的生活。 我國電力工業(yè)發(fā)展迅速：19491990 2001裝機容量（億千瓦）0.0181.353.36年發(fā)電量（萬億千瓦時） 0.00430.6181.45世界排名2542重大停電事故時間地點造成損失1978年12月法國電網電壓崩潰停電4-7小時，直接損失2億美元1982年12月加拿大魁北克停電8.5小時1987年7月日本東京停電3小時1996年7月美國西部200萬用戶停電3小時1996年8月美國西部750萬用戶停電3-6小時北美東部大停電 2003年8月14日下午3時許，

20、俄亥俄州北部34.5萬伏超高壓突然發(fā)生故障。一小時內波及包括紐約和多倫多在內的美加東中部大停電，5000萬人陷入黑暗之中。至16日10時基本恢復正常。 估計經濟損失每天達300億美元。 這兩張衛(wèi)星照片分別顯示了美國和加拿大部分地區(qū)當?shù)貢r間8月13日晚9時21分（左），及14日9時03分的夜間光亮強度，從中可以看出停電前后這一地區(qū)的夜間照明情況的差異。美國東部時間日下午，美國東北部和加拿大部分地區(qū)發(fā)生大面積停電，波及美加兩國的許多城市，給當?shù)亟煌ā⑼ㄐ藕途用竦纳钤斐蓢乐赜绊?。紐約市目前已有的地區(qū)恢復了電力供應。電力系統(tǒng)的建模負荷發(fā)電機組電力網法拉第電磁感應定律克希荷夫電流定律（節(jié)點）和電壓定律

21、（回路）電力系統(tǒng)的數(shù)學模型含n+m+1條母線且第m+1條母線為無窮大的電力系統(tǒng)方程為：微分代數(shù)方程DAE(Differential-Algebraic Equation),(0),(pyxgpyxfx nqmnRRf:mqmnRRg:mRy在電力系統(tǒng)中 為動態(tài)狀態(tài)變量，一般是發(fā)電機電壓和轉角； 為瞬時變量，一般是母線電壓及其他潮流變量；參數(shù) 通常是系統(tǒng)參數(shù)，元件參數(shù)及負荷和電壓設定值等操作參數(shù)。nRxqRp關于DAE的穩(wěn)定性與分岔考慮DAE),(0),(pyxgpyxfx .,),()1(,),(.)1()(.)(,()(),(0),(det|),(0),(|),(:),0000000稱為奇異

22、面或不存在附近可能解不唯一在則但若可得系統(tǒng)的唯一解代入將使附近存在唯一在時，由隱函數(shù)定理則當記光滑。其中（pppppypppmnqmnSyxSyxxyyxyxxyyxxSyxpyxgyxSpyxgyxRRgf單機無窮大系統(tǒng)SMIB分岔圖參數(shù)空間奇異誘導分岔SIB(singularity induced bifurcation)000.00,2SIByxyxx處出現(xiàn)在障礙點(impasse point)障礙點，可得后改為類似，將障礙點稱為前，時不能再往前，則當?shù)慕饪紤]例)(11)(0011, 1)(, 1)(1)0(, 1)0(0, 12backwardxxforwardttttyttxyxyx

23、x(0,0)xy電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性是指系統(tǒng)在受到擾動后恢復到原始穩(wěn)態(tài)，或達到新的穩(wěn)態(tài)運行的能力。它主要研究電壓穩(wěn)定性，前面所提到的一些重大事故也都是由電壓崩潰引起的?？梢园央娏ο到y(tǒng)的穩(wěn)定性分成靜態(tài)和動態(tài)兩大類。它們所研究的對象和方法各有不同，如下表。電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題靜態(tài)穩(wěn)定性電力系統(tǒng)的靜態(tài)穩(wěn)定性分析歸于求解一組非線性代數(shù)方程的潮流分析法。在這里重要的是計算其穩(wěn)定區(qū)域，即可行域（或靜態(tài)安全域）。如Venkatasubramanian等所指出的，可行域的邊界通常是由上述鞍結分岔(SNB)，Hopf分岔(HB)和奇異誘導分岔(SIB)組成。動態(tài)穩(wěn)定性 對電力系統(tǒng)的動態(tài)穩(wěn)定性研究可按

24、動態(tài)過程所經歷的時間長短而引起電壓失穩(wěn)分成三類： （）零秒（約）10秒，為暫態(tài)電壓穩(wěn)定。 （）分鐘（多為分鐘），為中期電壓穩(wěn)定。 （）幾分鐘幾十分鐘，為長期電壓穩(wěn)定。 其中（）?？蓺w結靜態(tài)穩(wěn)定性來研究，而（）是當前電力系統(tǒng)穩(wěn)定性研究的基本課題?；旌舷到y(tǒng)與暫態(tài)穩(wěn)定性混合系統(tǒng)(Hybrid system)為研究電力系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性，可將DAE分時間段定義，即看成一個混合系統(tǒng)，其一般形式如下。電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定性分析方法(1) Lyapunov函數(shù)法(2) TEF（暫態(tài)能量函數(shù)法）（Hsiao-Dong Chiang） 關于BCU法（boundary of stability region based

25、 controlling unstable equilibrium point）(3) EAC（等面積準則）和EEAC（擴展的EAC） （薛禹勝） 關于同步穩(wěn)定性與CCEBC（“互補簇簇標能量壁壘準則”） ISD（孤立穩(wěn)定域）與NARI（由ISD導誘導的鄰域吸引子） 為論證EEAC法的合理性，可以把電力系統(tǒng)的暫態(tài)過程近似地看作一個分時間段的簡單Hamilton系統(tǒng)， 其中勢能函數(shù) V為 nRVM , .),(,0),(, 0),()(postinpretVtVtVV1111*)cos()(niiinjijiijPBV2.4 關于大型發(fā)電機組軸承的轉子動力學研究 事故：如大同、秦嶺等地20萬千瓦

26、發(fā)電機組的七次（含一次在國外）重大事故。 軸系特點： （1）多自由度； （2）高速、強震動； （3）非線性，如分岔與混沌。 數(shù)學模型研究。3.生命科學中的數(shù)學建模 3.1 生態(tài)模型 設有n個種群（密度為） 相互作用，則一般形式為（Kolmogorov） （1） 其中，記 ，則對 表示 即 （如食餌）對 起促進作用，而 表示 （如捕食者）對 起阻礙作用。, 1,nixinixgxxfxiiii, 2 , 1),()(jiijxgg/0,ijgjiijxxjxixjxix0ijg 通常 。顯然， 都是不變的超平面。記 我們感興趣的是正平衡解 的穩(wěn)定性（吸引性）。0iig, 2 , 1, 0nixi

27、, 2 , 1, 0;nixRxRinnnRx*捕食者食餌模型 11221122121111111222222212(1),(),(),c xyc xmyxxrxKa xymya xymye c xyyda xymye c mxyyda xymy 考慮兩個捕食者和一個食餌的三維情形，這里兩個捕食者是對稱的，它們之間形成競爭的關系，且三物種嚴格依賴于比率： 分析表明，該模型通常沒有孤立的嚴格正平衡解，即至少有一個物種會滅絕。但在一定的條件下會出現(xiàn)由平衡解組成的一條平衡曲線。該曲線一邊穩(wěn)定，另一邊不穩(wěn)定，在中間出現(xiàn)一類“無參數(shù)分岔”現(xiàn)象，使得系統(tǒng)從總體上是穩(wěn)定的。捕食系統(tǒng)的整體穩(wěn)定性3.2 病毒感

28、染模型 SARS病毒概述及其生命周期 病毒在細胞內各生化反應的動態(tài)模擬 病毒在細胞間傳播的動態(tài)模擬 進一步的工作SARS病毒概述 一種新型冠狀病毒,屬單鏈正義RNA病毒 特點 增長迅速,易變異 主要結構 基因組RNA 結構蛋白SARS病毒的生命周期病毒在細胞內各生化反應的動態(tài)模擬符號:均為大于零的常數(shù)。的參數(shù)病毒粒子；模型中涉及未知蛋白；蛋白；蛋白；蛋白；蛋白；聚合酶；負鏈；正鏈987654321xxSxMxExNxRNAxRNAxRNAx假設RNA聚合酶的合成先于其他生化反應,即設細胞內RNA聚合酶為常數(shù) 病毒生命周期的數(shù)學模型.)(,8 ,7,6,5,4 ,)(99184991122323

29、121221118432321211xdxxckdtdxixdxxcxkdtdxxdxcxxkxvdtdxxdxxcxcxxkxvdtdxiiiiiiiiiiii系統(tǒng)由平衡點(0,0,0,0,0,0,0,0),且當時該平衡點穩(wěn)定.0212121kkvvdd該系統(tǒng)有零平衡點和一個正平衡解,)(1,8,7,6,5,4,)(849911122122eiieiieeiieieieeexxcdxixcdxkxxkdxvx8321111221121.0iieiieiieeidxcdxkcxkdkxvvx）（滿足：其中數(shù)值結果 正鏈RNA N-蛋白病毒在細胞間傳播的動態(tài)模擬 考慮易感染細胞, 已感染細胞,自

30、由病毒粒子和免疫細胞間的關系 數(shù)學模型.)() )(;,),(;,1849的病毒粒子數(shù)是每個被感染細胞釋放為衰減率為免疫參數(shù)是病毒感染細胞的參數(shù)細胞的生產速率為易感染是單調增加的且關于描述免疫細胞的變化胞的數(shù)量細自由的病毒粒子和免疫已感染細胞分別表示易感染細胞其中txtxckbdpkrVVmfmVISiiiii,),(,4312111mdpVmVmfmVdpVmVSkbIVIdVSkISdVSkrS . 0),(.,0), 0 , 0 ,(. 0,),(.)(,11111112321*221849VImVISrbkrddddRmSakVkVaVmfxxckbeeiii滿足出其他平衡點另外可進一

31、步由系統(tǒng)解該平衡點穩(wěn)定時當則系統(tǒng)有平衡點取為常數(shù)即令間的傳播度遠遠大于病毒在細胞設細胞內病毒的增長速數(shù)值結果 易感染細胞數(shù)量 已感染細胞數(shù)量 病毒粒子數(shù)量 免疫細胞數(shù)量S,I,V,m四種粒子與參數(shù) 的依賴關系 S與 的依賴關系 1kp和1kp和I與 的依賴關系 1kp和3.3 關于生物信息學和系統(tǒng)生物學 生物信息 系統(tǒng)生物學 模型：隨機微分方程等4.分形模型 分形是簡單空間(如歐氏空間)中具有某種精細結構的復雜集合，其特點為： (1) 具有自相似結構； (2) 不同于傳統(tǒng)的幾何圖形, 不是某些簡單方程的解集, 但?？赏ㄟ^對較簡單的變換作迭代來產生. (3) 需用分維數(shù)來度量, 其維數(shù)通常大于相

32、應的拓撲維； (4) 具有混沌性質.法國的Mandelbrot.B 開創(chuàng)了分形幾何1967年的論文：“英國海岸線的長度不確定” （fractal geometry）的研究（1）具有無限嵌套層次的精細結構對自然幾何形態(tài)的數(shù)學研究海岸線的長度隨測量尺度變化（2）在不同尺度下具有某種相似特性科赫雪花科赫雪花 維數(shù)d=log4/log3=1.26186Koch 雪花曲線設E0為單位直線段三等分后，中間一段用與其組成等邊三角形的另兩邊代替，得到E1對E1的4條線段的每一條重復以上做法，得到E2以此方法重復，可得En當n趨于無窮，得到的極限曲線就是Koch 曲線用Mathematica 畫koch曲線re

33、dokochptlist_List := Blocktmp = , i, pnum = Lengthptlist, Fori = 1, i Sqrt3/6自相似性精細結構：復雜性不隨尺度減小而消失處處不光滑，每一點是尖點長度：En的長度(4/3)n趨于無窮本身定義方式簡單Koch 曲線的特點Koch曲線在有限區(qū)域卻長度無限，它具有分維數(shù)。單參數(shù)的函數(shù)曲線是一維的嗎？設是平面上邊長為1/2的正三角形，構造 fnf1f2f3以此方式得到 fn ，在0,1一致收斂到極限函數(shù) f的象將為整個三角形分維數(shù)將單位邊長的線段，正方形，立方體分成邊長為1/2的同樣幾何物體，得到21，22，23個小線段，正方形，立方體注意指數(shù)給出了幾何物體的維數(shù)若將幾何物體的長度（線度）縮小為1/r，定義分形維數(shù)得到N個相似小幾何物體，那么維數(shù)d滿足N=rdd=logN/log rKoch曲線的維數(shù)？約1.2618Cantor集從單位區(qū)間0,1出發(fā)，三分去中段，得E1，E1兩個區(qū)間三分去中得E2 ，極限集合為Cantor集 這是一個完備的、完全不連通、具有自相似的精細結構的集合，其長度為0?？低袪柸旨暇S數(shù)d=l