專題09 分式方程（原卷版）

1、專題09 分式方程【思維導(dǎo)圖】【知識要點】知識點一：分式的基礎(chǔ)概念：一般地，如果A，B表示兩個整數(shù)，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A為分子，B為分母。與分式有關(guān)的條件：要求表示分式有意義分母0分式無意義分母=0分式值為0分子為0且分母不為0分式值為正或大于0分子分母同號 A>0,B>0 A<0,B<0分式值為負(fù)或小于0分子分母異號A>0,B<0A<0,B>0分式值為1分子分母值相等A=B分式值為-1分子分母值互為相反數(shù)A+B=0知識點二：分式的運(yùn)算（重點）基本性質(zhì)（基礎(chǔ)）：分式的分子和分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變。字母

2、表示：，其中A、B、C是整式，C0。拓展：分式的符號法則：分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變，即注意：在應(yīng)用分式的基本性質(zhì)時，要注意C0這個限制條件和隱含條件B0。n 分式的約分約分的定義：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子與分母的公因式約去。最簡公式的定義：分子與分母沒有公因式的分式。分式約分步驟：1）提分子、分母公因式2）約去公因式3）觀察結(jié)果，是否是最簡分式或整式。注意：1.約分前后分式的值要相等.2.約分的關(guān)鍵是確定分式的分子和分母的公因式.3.約分是對分子、分母的整體進(jìn)行的，也就是分子的整體和分母的整體都除以同一個因式n 分式的通分通分的定義：根據(jù)分式

3、的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。最簡公分母的定義：取各分母所有因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母。分式通分的關(guān)鍵：確定最簡公分母確定分式的最簡公分母的方法1.因式分解2.系數(shù)：各分式分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；3.字母：各分母的所有字母的最高次冪4.多項式：各分母所有多項式因式的最高次冪5.積約分與通分的相同點：n 分式的四則運(yùn)算與分式的乘方1）分式的乘除法法則：用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。式子表示為：分式除以分式：把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。式子表示為2）分式的乘方：把分子、分母分別乘方。式子

4、注意：1.分式乘方要把分子、分母分別乘方。2.分式乘方時，要首先確定乘方結(jié)果的符號，負(fù)數(shù)的偶次方為正，負(fù)數(shù)的奇次方為負(fù)。3）分式的加減法則：同分母分式加減法：分母不變，把分子相加減。式子表示為異分母分式加減法：先通分，化為同分母的分式，然后再加減。式子表示為4）整式與分式加減法：可以把整式當(dāng)作一個整數(shù)，整式前面是負(fù)號，要加括號，看作是分母為1的分式，再通分。5)分式混合運(yùn)算的運(yùn)算運(yùn)算順序：1.先把除法統(tǒng)一成乘法運(yùn)算；2.分子、分母中能分解因式的多項式分解因式；3.確定分式的符號，然后約分；4.結(jié)果應(yīng)是最簡分式.n 整數(shù)指數(shù)冪Ø ØØ Ø （）Ø

5、 Ø （）Ø （）（任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于1）其中m，n均為整數(shù)。n 科學(xué)記數(shù)法有了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪后，小于1的正數(shù)也可以用科學(xué)記數(shù)法表示。即小于1的正數(shù)可以用科學(xué)記數(shù)法表示為a×10-n的形式.(1a10，n是正整數(shù))注意：1）1a102）n是正整數(shù)，n等于原數(shù)中左邊第一個不為0的數(shù)字前面所有的0的個數(shù)。(包括小數(shù)點前面的0）知識點三 分式方程解分式方程的基本1）去分母(兩邊同乘最簡公分母，約去分母，化成整式方程)。2）解整式方程(去括號-移項/合并同類項-系數(shù)化為1)。3）檢驗(把整式方程的解代入最簡公分母，若最簡公分母為0 ，則x=a不是分式方程的解 若

6、最簡公分母不為0，則x=a是分式方程的解 4）寫出答案增根的概念：在分式方程化為整式方程的過程時，若整式方程的根使最簡公分母為0（即根使整式方程成立，但分式方程中分母為0 ），那么這個根叫做原分式方程的增根。分式方程解決實際問題的步驟：1. 根據(jù)題意找等量關(guān)系2. 設(shè)未知數(shù)3. 列出方程4. 解方程，并驗根（對解分式方程尤為重要）5. 寫答案【考查題型】考查題型一 分式有意義的條件【解題思路】函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：（1）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；（2）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時，考慮分式的分母不能為0；（3）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時，被開方數(shù)非負(fù)典例1（2020

7、3;四川遂寧市·中考真題）函數(shù)y中，自變量x的取值范圍是（）Ax2Bx2Cx2且x1Dx2且x1變式1-1（2020·湖北黃石市·中考真題）函數(shù)的自變量x的取值范圍是（ ）A，且BCD，且變式1-2（2019·甘肅中考真題）使得式子有意義的x的取值范圍是（）x4Bx4Cx4Dx4考查題型二 分式值為0的條件【解題思路】分式值為0的條件是分子為0分母不為0是解題的關(guān)鍵.典例2（2020·四川雅安市·中考真題）若分式的值為0，則x的值為（）A0B1C1D±1變式2-1（2020·貴州貴陽市·中考真題）當(dāng)時，下

8、列分式?jīng)]有意義的是（ ）ABCD變式2-2（2019·山東聊城市·中考真題）如果分式的值為0，那么的值為（ ）A-1B1C-1或1D1或0考查題型三 分式求值【解題思路】熟練掌握分式的性質(zhì)式解題的關(guān)鍵典例3（2020·武漢模擬）若，則的值是（）A5B4C3D2變式3-1（2019·江蘇無錫市·九年級零模）若x取整數(shù)，則使分式的值為整數(shù)的x值有（）A3個B4個C6個D8個變式3-2（2019·湖北孝感市·）使分式的值為整數(shù)的所有整數(shù)的和是（ ）AB0C1D2考查題型四 探索分式的基本性質(zhì)【解題思路】熟練掌握分式的性質(zhì)式解題的關(guān)

9、鍵典例4（2020·河北中考真題）若a不等于b，則下列分式化簡正確的是（ ）ABCD變式4-1（2020·河北邯鄲市模擬）將分式中的x，y的值同時擴(kuò)大為原來的3倍，則分式的值（）A擴(kuò)大6倍B擴(kuò)大9倍C不變D擴(kuò)大3倍變式4-2（2020·江蘇淮安市三模）若=，則的值為（）A5BC3D變式4-3（2020·山東煙臺市期末）分式可變形為（ ）ABCD變式4-4（2020·河北模擬）把ABC三邊的長度都擴(kuò)大為原來的3倍，則銳角A的正弦函數(shù)值（ ）A不變B縮小為原來的C擴(kuò)大為原來的3倍D不能確定考查題型五 分式的運(yùn)算典例5（2020·山東威海市

10、·中考真題）分式化簡后的結(jié)果為（ ）ABCD變式5-1（2020·天津中考真題）計算的結(jié)果是（ ）ABC1D變式5-2（2020·湖北隨州市·中考真題）的計算結(jié)果為（ ）ABCD變式5-3（2020·四川攀枝花市·中考真題）中國抗疫取得了巨大成就，堪稱奇跡，為世界各國防控疫情提供了重要借鑒和支持，讓中國人民倍感自豪2020年1月12日，世界衛(wèi)生組織正式將2019新型冠狀病毒名為該病毒的直徑在0.00000008米-0.000000012米，將0.000000012用科學(xué)計數(shù)法表示為的形式，則為（ ）ABC7D8變式5-4（2020&#

11、183;山東濱州市·中考真題）冠狀病毒的直徑約為80120納米，1納米米，若用科學(xué)記數(shù)法表示110納米，則正確的結(jié)果是（ ）A米B米C米D米考查題型六 解分式方程【解題思路】熟練掌握解分式方程的步驟是解決此類問題的關(guān)鍵典例6（2020·黑龍江哈爾濱市·中考真題）方程的解是（ ）ABCD變式6-1（2020·四川甘孜藏族自治州·中考真題）分式方程的解為（ ）ABCD變式6-2（2020·四川南充市·中考真題）若，則x的值是 （ ）A4BCD4考查題型七 分式方程的解【解題思路】熟練掌握解分式方程的一般步驟及注意事項是解題的關(guān)鍵

12、.注意在任何時候都要考慮分母不為0典例7（2020·甘肅蘭州市·中考真題）關(guān)于x的分式方程的解為負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是ABC且D且變式7-1（2020·重慶中考真題）若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為x5，且關(guān)于y的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)a的和為（ ）A-1B-2C-3D0變式7-2（2020·四川成都市·中考真題）已知是分式方程的解，那么實數(shù)的值為（ ）A3B4C5D6變式7-3（2020·四川遂寧市·中考真題）關(guān)于x的分式方程1有增根，則m的值（）Am2Bm1Cm3Dm3考查題型八 列分式方程【解題思

13、路】找題中等量關(guān)系典例8（2020·湖南長沙市·中考真題）隨著5G網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展，市場對5G產(chǎn)品的需求越來越大，為滿足市場需求，某大型5G產(chǎn)品生產(chǎn)廠家更新技術(shù)后，加快了生產(chǎn)速度，現(xiàn)在平均每天比更新技術(shù)前多生產(chǎn)30萬件產(chǎn)品，現(xiàn)在生產(chǎn)500萬件產(chǎn)品所需的時間與更新技術(shù)前生產(chǎn)400萬件產(chǎn)品所需時間相同，設(shè)更新技術(shù)前每天生產(chǎn)x萬件，依據(jù)題意得（ ）ABCD變式8-1（2020·遼寧本溪市·中考真題）隨著快遞業(yè)務(wù)的增加，某快遞公司為快遞員更換了快捷的交通工具，公司投遞快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原來多投遞80件，若快遞公司的快遞員人數(shù)

14、不變，求原來平均每人每周投遞快件多少件？設(shè)原來平均每人每周投遞快件件，根據(jù)題意可列方程為（ ）ABCD變式8-2（2020·遼寧朝陽市·中考真題）某體育用品商店出售毽球，有批發(fā)和零售兩種售賣方式，小明打算為班級購買鍵球，如果給每個人買一個毽球，就只能按零售價付款，共需80元；如果小明多購買5個毽球，就可以享受批發(fā)價，總價是72元已知按零售價購買40個毽球與按批發(fā)價購買50個毽球付款相同，則小明班級共有多少名學(xué)生？設(shè)班級共有x名學(xué)生，依據(jù)題意列方程得（ ）ABCD考查題型九 利用分式方程解決實際問題典例9（2020·貴州黔西南布依族苗族自治州·中考真題）“

15、節(jié)能環(huán)保，綠色出行”意識的增強(qiáng)，越來越多的人喜歡騎自行車出行，也給自行車商家?guī)砩虣C(jī)某自行車行經(jīng)營的A型自行車去年銷售總額為8萬元今年該型自行車每輛售價預(yù)計比去年降低200元若該型車的銷售數(shù)量與去年相同，那么今年的銷售總額將比去年減少10%，求：（1）A型自行車去年每輛售價多少元；（2）該車行今年計劃新進(jìn)一批A型車和新款B型車共60輛，且B型車的進(jìn)貨數(shù)量不超過A型車數(shù)量的兩倍已知，A型車和B型車的進(jìn)貨價格分別為1500元和1800元，計劃B型車銷售價格為2400元，應(yīng)如何組織進(jìn)貨才能使這批自行車銷售獲利最多變式9-1（2020·廣東中考真題）某社區(qū)擬建，兩類攤位以搞活“地攤經(jīng)濟(jì)”，每

16、個類攤位的占地面積比每個類攤位的占地面積多2平方米，建類攤位每平方米的費用為40元，建類攤位每平方米的費用為30元，用60平方米建類攤位的個數(shù)恰好是用同樣面積建類攤位個數(shù)的（1）求每個，類攤位占地面積各為多少平方米？（2）該社擬建，兩類攤位共90個，且類攤位的數(shù)量不少于類攤位數(shù)量的3倍.求建造這90個攤位的最大費用變式9-2（2020·浙江中考真題）某企業(yè)承接了27000件產(chǎn)品的生產(chǎn)任務(wù)，計劃安排甲、乙兩個車間的共50名工人，合作生產(chǎn)20天完成已知甲、乙兩個車間利用現(xiàn)有設(shè)備，工人的工作效率為：甲車間每人每天生產(chǎn)25件，乙車間每人每天生產(chǎn)30件（1）求甲、乙兩個車間各有多少名工人參與生產(chǎn)?（2）為了提前完成生產(chǎn)任務(wù)，該企業(yè)設(shè)計了兩種方案：方案一 甲車間租用先進(jìn)生產(chǎn)設(shè)備，工人的工作效率可提高20%，乙車間維持不變方案二 乙車間再臨時招聘若干名工人（工作效率與原工人相同），甲車間維持不變設(shè)計的這兩種方案，企業(yè)完成生產(chǎn)任務(wù)的時間相同求乙車間需臨時招聘的工人數(shù)；若甲車間租用設(shè)備的租金每天900元，租用期間另需一次性支付運(yùn)輸?shù)荣M用1500元；乙車間需支付臨時招聘的工人每人每天200元問：從新增加的費用考慮，應(yīng)選擇哪種方案能更節(jié)省開支？請說明理由變式9-3（2020