函數(shù)對(duì)稱性周期性和奇偶性規(guī)律總結(jié)

1、百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我函數(shù)對(duì)稱性、周期性和奇偶性關(guān)嶺民中數(shù)學(xué)組(一)、同一函數(shù)的函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性：(奇偶性是一種特殊的對(duì)稱性)1、奇偶性：(1)奇函數(shù)關(guān)于(0,0)對(duì)稱，奇函數(shù)有關(guān)系式f(x)f(x)0(2)偶函數(shù)關(guān)于y(即x=0)軸對(duì)稱，偶函數(shù)有關(guān)系式f(x)f(x)2、奇偶性的拓展：同一函數(shù)的對(duì)稱性、(1)函數(shù)的軸對(duì)稱：函數(shù)yf(x)關(guān)于xa對(duì)稱f(ax)f(ax)f(ax)f(ax)也可以寫(xiě)成f(x)f(2ax)或f(x)f(2ax)若寫(xiě)成：f(ax)f(bx),則函數(shù)yf(x)關(guān)于直線x(ax)(bx)3對(duì)稱22證明：設(shè)點(diǎn)(x1,y1)在yf(x)上，通過(guò)f(x)f(2a

2、x)可知，yif(x1)f(2axi),即點(diǎn)(2ax，yi)也在yf(x)上，而點(diǎn)(xi,yi)與點(diǎn)(2ax1，y)關(guān)于x=a對(duì)稱。得證。說(shuō)明：關(guān)于xa對(duì)稱要求橫坐標(biāo)之和為2a,縱坐標(biāo)相等。f(x)關(guān)于xa對(duì)稱f(x)關(guān)于xa對(duì)稱f(x)關(guān)于xa對(duì)稱(axyi)與(ax1，y1)關(guān)于xa對(duì)稱，函數(shù)yf(ax)f(ax).(x，yi)與(2ax，yi)關(guān)于xa對(duì)稱，函數(shù)yf(x)f(2ax)(xi,yi)與(2axi,yi)關(guān)于xa對(duì)稱，函數(shù)yf(x)f(2ax)(2)函數(shù)的點(diǎn)對(duì)稱：函數(shù)yf(x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱f(ax)f(ax)2b上述關(guān)系也可以寫(xiě)成f(2ax)f(x)2b或f(2ax)

3、f(x)2b若寫(xiě)成：f(ax)f(bx)c,函數(shù)yf(x)關(guān)于點(diǎn)Cab,W)對(duì)稱22百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我證明：設(shè)點(diǎn)(xi，yi)在yf(x)上，即yif(xi),通過(guò)f(2ax)f(x)2b可知，f(2axi)f(xi)2b,所以f(2axi)2bf(xi)2byi,所以點(diǎn)(2axi,2byi)也在yf(x)上，而點(diǎn)(2axi,2by1)與(x，y1)關(guān)于(a,b)對(duì)稱得證。說(shuō)明：關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱要求橫坐標(biāo)之和為2a,縱坐標(biāo)之和為2b,如(ax)與(ax)，之和為2a。(3)函數(shù)yf(x)關(guān)于點(diǎn)yb對(duì)稱：假設(shè)函數(shù)關(guān)于yb對(duì)稱，即關(guān)于任一個(gè)x值，都有兩個(gè)y值與其對(duì)應(yīng)，顯然這不符合

4、函數(shù)的定義，故函數(shù)自身不可能關(guān)于yb對(duì)稱。但在曲線c(x,y)=0,則有可能會(huì)出現(xiàn)關(guān)于yb對(duì)稱，比如圓c(x,y)x2y240它會(huì)關(guān)于y=0對(duì)稱。(4)復(fù)合函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)定理：性質(zhì)i、復(fù)數(shù)函數(shù)y=fg(x)為偶函數(shù)，則fg(x)=fg(x)。復(fù)合函數(shù)y=fg(x)為奇函數(shù)，則fg(x)=fg(x)。性質(zhì)2、復(fù)合函數(shù)y=f(x+a)為偶函數(shù)，則f(x+a)=f(x+a)；復(fù)合函數(shù)y=f(x+a)為奇函數(shù)，則f(x+a)=f(a+x)。性質(zhì)3、復(fù)合函數(shù)y=f(x+a)為偶函數(shù)，則y=f(x)關(guān)于直線x=a軸對(duì)稱。復(fù)合函數(shù)y=f(x+a)為奇函數(shù)，則y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對(duì)稱?？偨Y(jié)：x

5、的系數(shù)一個(gè)為i,一個(gè)為-i,相加除以2,可得對(duì)稱軸方程總結(jié)：x的系數(shù)一個(gè)為i,一個(gè)為-i,f(x)整理成兩邊，其中一個(gè)的系數(shù)是為i,另一個(gè)為-i,存在對(duì)稱中心。/總結(jié)：x的系數(shù)同為為i,具有周期性。/(二)、兩個(gè)函數(shù)的圖象對(duì)稱性/i、yf(x)與yf(x)關(guān)于X軸對(duì)稱。/證明：設(shè)yf(x)上任一點(diǎn)為(xi,yi)則yif(xi),所以yf(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(xi,yi)(xi,yi)與(xi,yi)關(guān)于X軸對(duì)稱，丁.yif(x1)與yf(x)關(guān)于X軸對(duì)稱.注：換種說(shuō)法：yf(x)與yg(x)f(x)若滿足f(x)g(x),即它們關(guān)于百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我y0對(duì)稱。2、yf(x)與y&quo

6、t;*)關(guān)于丫軸對(duì)稱。證明：設(shè)yf(x)上任一點(diǎn)為(x/)則yf(x)，所以yf(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(x1,y1).(、，丫1)與(xyi)關(guān)于Y軸對(duì)稱，.yf(x)與yf(x)關(guān)于Y軸對(duì)稱。注：因?yàn)?x1,yi)代入yf(x)得yif(xi)f(x1)所以yf(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(xi,yi)換種說(shuō)法：yf(x)與yg(x)f(x)若滿足f(x)g(x),即它們關(guān)于x0對(duì)稱。g(x)f(x)f(x)3、yf(x)與yf(2ax)關(guān)于直線xa對(duì)稱。證明：設(shè)yf(x)上任一點(diǎn)為(oyff(xj,所以yf(2ax)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2axi,yi).(x，y1)與(2axi,y)關(guān)于xa軸對(duì)稱，y"刈與丫f(2a

7、x)關(guān)于直線xa對(duì)稱。注：換種說(shuō)法：y"*)與丫g(x)f(2ax)若滿足f(x)g(2ax),即它們關(guān)于xa對(duì)稱。4、y"*)與丫2af(x)關(guān)于直線ya對(duì)稱。證明:設(shè)yf(x)上任一點(diǎn)為(。丫則乂f(xi),所以y2af(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(xi,2ayi)(x1,yi)與(xi,2ayi)關(guān)于ya軸對(duì)稱，.yf(x)與y2af(x)關(guān)于直線ya對(duì)稱./注：換種說(shuō)法：y“*)與丫g(x)2af(x)若滿足f(x)g(x)2a,即它們關(guān)于ya對(duì)稱。/5、y"*)與丫2bf(2ax)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱。/證明：設(shè)yf(x)上任一點(diǎn)為(xi,yi)則yif(x1)，所以y

8、2bf(2ax)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2axi,2byi).(x，yi)與(2axi,2by1)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱，yf(x)與y2bf(2ax)關(guān)百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱.g(2ax)2b,注：換種說(shuō)法：y”*)與丫g(x)2bf(2ax)若滿足f(x)即它們關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱。g(2ax)2bf(2a(2ax)2bf(x)6、yf(ax)與y,f(xb)關(guān)于直線xab一對(duì)稱。2證明:設(shè)yf(x)上任一點(diǎn)為(x1，y1)則yf(x)，所以yf(ax)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(ax1,y1)，yf(bx)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(b。乂)，./x1，y1)與(bxi,yi)關(guān)于直線yf(ax)與yf(xb)關(guān)于直

9、線x3對(duì)稱。2三、總規(guī)律：定義在R上的函數(shù)yfx,在對(duì)稱性、周期性和奇偶性這三條性質(zhì)中，只要有兩條存在，則第二條一定存在。一、同一函數(shù)的周期性、對(duì)稱性問(wèn)題(即函數(shù)自身)(一)、函數(shù)的周期性：對(duì)于函數(shù)yf(x),如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(xT)f(x)都成立，那么就把函數(shù)yf(x)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期如果所有的周期中存在著一個(gè)最小的正數(shù)，就把這個(gè)最小的正數(shù)叫做最小正周期1、周期性:(1)函數(shù)yf(x)滿足如下關(guān)系式，則f(x)的周期為2Tf(xT)f(x)B、f(xT)1，、一或f(xT)f(x)f(x1f(x)7.T或f(x)

10、1f(x)21f(x)f(x)(等式右邊加負(fù)號(hào)亦成立)其他情形(2)函數(shù)yf(x)滿足f(ax)f(ax)且f(bx)f(bx),則可推出f(x)f(2ax)fb(2axb)fb(2axb)fx2(ba)即可以得到y(tǒng)f(x)的周期為2(b-a),即可以得到“如果函數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于垂直于x軸兩條直線對(duì)稱，則函數(shù)一定是周期函數(shù)”百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我(3)如果奇函數(shù)滿足f(xT)f(x)則可以推出其周期是2T,且可以推出對(duì)稱軸為x：2kT(kz),根據(jù)f(x)f(x2T)可以找出其對(duì)稱中心為(kT,0)(kz)(以上彳0)如果偶函數(shù)滿足f(xT)f(x)則亦可以推出周期是2T,且可以推出

11、對(duì)稱中心為(T2kT,0)(kz),根據(jù)f(x)f(x2T)可以推'出對(duì)稱軸為2xT2kT(kz)(以上T0)(4)如果奇函數(shù)yf(x)滿足f(Tx)f(Tx)(T0),則函數(shù)yf(x)是以4T為周期的周期性函數(shù)。如果偶函數(shù)yf(x)滿足f(Tx)f(Tx)(T0),則函數(shù)yf(x)是以2T為周期的周期性函數(shù)。定理1:若函數(shù)fx在R上滿足f(ax)fax,且f(bx)fbx(其中ab),則函數(shù)yfx以2ab為周期.定理2:若函數(shù)fx在R上滿足f(ax)fax,且f(bx)fbx(其中ab),則函數(shù)yfx以2ab為周期.定理3:若函數(shù)fx在R上滿足f(ax)fax,且f(bx)fbx(其中ab),則函數(shù)yfx以4ab為周期.定理4：若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=a和x=b都對(duì)稱，則f(x)是周期函數(shù)，2(b-a)是它的一個(gè)周期(未必是最小正周期)。定理5:若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,c)和(b,c)都成中心對(duì)稱，則f(x)是周期函數(shù)，2(b-a)是它的一個(gè)周期(未必是最小正周期)。定理6:若函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,c)和x=b都對(duì)稱，則f(x)是周期，4(b-a)是它的一個(gè)周期(未必是最小正周期)。/定理7：若函數(shù)f(x)滿足f(x-a)=f(x+a)(a>0),則f(x)是周期函數(shù)，2a是它的一個(gè)周期。百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我定理8：若函